Componenti di Elettronica di Potenza

Sistemi Elettrici Navali
Appendice C
Il metodo della base interna
(o dei valori relativi)
Sommario
C.1. Premessa ............................................................................................................................................ 1
C.2. Grandezze e relazioni in unità interne per l’analisi di circuiti ..................................................... 2
C.2.1. Numeri e unità di misura universali e interne ................................................................................ 2
C.2.2. Basi interne coerenti con il S.I. ...................................................................................................... 3
C.2.3. Vantaggi dell’utilizzo delle unità interne....................................................................................... 4
C.2.4. Esempi ........................................................................................................................................... 5
C.3. Utilizzi avanzati del metodo della base interna .............................................................................. 5
C.3.1. Rappresentazione unifilare di sistemi trifasi simmetrici in base interna ....................................... 5
C.3.2. Utilizzo della base interna multipla in circuiti contenenti trasformatori ....................................... 7
C.1. Premessa
Questa appendice riporta solo nozioni elementari estremamente concise sul metodo di calcolo detto in letteratura normalmente dei valori relativi, o del per unità.
In questa trattazione si è preferito modificarne il nome in conseguenza dell’approccio seguito,
profondamente differente da quello tradizionale, resosi necessario per evitarne alcune incongruenze teoriche e difficoltà pratiche1
La trattazione è inoltre molto più concisa di quanto necessario per uno sviluppo completo del metodo; in particolare non viene riportata la classica tecnica che consente di utilizzare il metodo dei
valori relativi (o della base interna) per semplificare drasticamente la soluzione circuitale delle reti
che contengono trasformatori.
Si consideri infine che nel presente capitolo le espressioni “base” e “sistema di riferimento” sono
da considerarsi sinonimi fra loro perfettamente equivalenti.
1
Il vantaggio pratico consiste nel poter utilizzare l’analisi dimensionale per valutare la correttezza formale
delle espressioni matematiche che si scrivono, anche quando esse sono scritte nella base interna, mentre
tradizionalmente si afferma che nel metodo dei valori relativi le grandezze sono tutte espresse da numeri
puri e pertanto l’analisi dimensionale non è utilizzabile.
App. C: Il metodo della base interna
pag. C.1
Sistemi Elettrici Navali
C.2. Grandezze e relazioni in unità interne per l’analisi di circuiti
Nella presente appendice si affronta in maniera molto semplificata l’argomento della rappresentazione in valori relativi (o, come in alternativa si dice, per unità) delle grandezze.
Si fa solo cenno che questo argomento è di portata molto più vasta, potendo essere applicato ad
intere reti, con notevoli vantaggi in termini di calcolo, soprattutto se manuale.
C.2.1. Numeri e unità di misura universali e interne
Si richiama qui brevemente il concetto dell’utilizzo delle grandezze fisiche e delle relative unità di
misura.
In accordo con gli accordi nazionali ed internazionali le grandezze fisiche sono espresse da simboli in carattere corsivo.
Si consideri a titolo di esempio una corrente I se vogliamo attribuire un particolare valore numerico x al valore della corrente, occorrerà rapportare la corrente I ad un valore assunto come riferimento. Se, come quasi sempre è auspicabile, il riferimento è l’unità della corrente del sistema Internazionale delle unità di misura, (S.I:) si potrà scrivere:
I=x A
(C.1)
essendo “A” il simbolo del’ampere, da riportare in carattere diritto.
L’espressione (C.1) va intesa così: “Il valore numerico della grandezza I è pari a x volte l’unità di
misura ‘ampere’ ”. Il numero x è quindi intrinsecamente adimensionale, dovendo esprimere un
rapporto fra grandezze dimensionalmente omogenee.
Se invece di utilizzare come unità di misura per la corrente I l’ampere se ne vuole utilizzare una
corrente differente, chiamiamola genericamente corrente nominale e conferiamole il simbolo
“In”2, allora sarà:
I=x1 In
(C.2)
La relazione fra i due valori numerici considerati è facilmente ottenibile dividendo membro a
membro la C.2) per (C.1):
x1 I n
 1  x1  x A/I n
xA
Si ritrova la regola generale ben nota allo studente che per convertire una grandezza numerica da
un’unità di misura all’altra occorre moltiplicare il valore della grandezza espresso nella prima unità per il rapporto fra l’unità di partenza e quella di arrivo.
Così, ad es. per una corrente di 25 A, se l’unità “corrente nominale” è pari numericamente a 20 A
si avrà:
I  25 A  25 1/ 20 In  1,25 In
L’unità di misura An ovviamente non presenta il vantaggio dell’universalità che invece l’unità
ampere ha, ma per lo studio di specifici problemi può avere dei significativi vantaggi: sarà quindi
un’unità definita all’interno di un problema specifico, e per questo verrà detta unità di misura interna: nel caso specifico unità di misura interna delle correnti.
Il procedimento esposto può ovviamente essere utilizzato per una qualsiasi grandezza fisica, per la
quale, quindi all’interno di un certo problema viene introdotta un’unità di misura interna.
2
Lo standard di scrittura delle formule e delle grandezze fisiche prevede di utilizzare il carattere corsivo per
le grandezze fisiche, il carattere diritto per le unità di misura. Così una corrente di 1 ampere sarà scritta:
I=1A. Per questa ragione per la corrente In, assunta come unità di misura si sono usati caratteri diritti, e questa convenzione verrà utilizzata nel presente documento anche per le altre unità interne.
App. C: Il metodo della base interna
pag. C.2
Sistemi Elettrici Navali
Nel prossimo paragrafo il procedimento verrà esteso ad un set di unità di misura di grandezze fra
loro collegate da equazioni matematiche.
Qualora sarà necessario chiarire nel simbolo che una grandezza è espressa in unità interne, per
essa verrà adottato, in luogo pedice “1” usato nella (C.2), il pedice “i”.
C.2.2. Basi interne coerenti con il S.I.
Supponiamo, a titolo di esempio, di avere introdotto una unità di misura interna per la tensione, la
corrente e l’impedenza. Ci si chiede che relazione debba sussistere affinché la legge di Ohm che
tipicamente lega tensione, corrente e resistenza espresse in unità del sistema internazionale sia
esprimibile in maniera formalmente identica anche qualora esse vengano rappresentate da valori
numerici espressi in unità interne.
Il problema è ben posto in quanto le equazioni della fisica così come le conosciamo sono utilizzabili sono
all’interno di un certo sistema di riferimento (normalmente l’S.I.), ma la loro forma può cambiare cambiando
sistema di riferimento, nel senso che possono comparire o scomparire o variare le costanti moltiplicative di
adattamento delle grandezze. Un caso importante di questa dipendenza è costituito dalla espressione della forza di attrazione elettrostatica che, come è noto, ha rispettivamente le seguenti espressioni nel S:I. e nel C.G.S.
elettrostatico:
FCGS 
q1q2
FSI 
2
D12
1 q1q2
2
4 D12
Per coloro che hanno buone conoscenze di elettromagnetismo si aggiunge che questa differenza trova riscontro anche nella più generale espressione della forza agente su una carica, che, in forma vettoriale vale come
segue:
FCGS  qE 
q
vB
c
FSI  qE  qv  B
La risposta nel caso delle grandezze di interesse del presente volume, ovvero di tensione, corrente
impedenza (e resistenza, reattanza) potenza, è immediatamente trovata.
Siano detti U, Z, I, S una quaterna di grandezze corrispondenti con la legge di Ohm per la corrente
alternata espresse nel S.I., U , Z , I, S , le rispettive rappresentazioni in numeri complessi (in
particolare indicative di fasori per U e I) e Ui, Ii, Zi le relative grandezze espresse in una data base
interna. Affinché sia
U i  Zi Ii
occorrerà che:
V
 A
U
Z
I
cioè, essendo per ipotesi U  Z I e 1V=1 x 1A, deve essere:
Un
Zn In
U n  Zn I n
(C.3)
Analogamente, affinché sia
Si  U i I*i
occorrerà che:
VA  V * A
S
U
I
cioè, essendo per ipotesi S  UI* e 1V=1 x 1A, deve essere:
Sn
U n In
Sn  U n I n
App. C: Il metodo della base interna
(C.4)
pag. C.3
Sistemi Elettrici Navali
Se le unità di misura della base interna rispettano la struttura formale delle leggi che legano fra
loro le unità dell’ S.I., e quindi anche le corrispondenti relazioni fra le grandezze espresse in unità
S.I., si dice che esso è un sistema di unità coerente con il Sistema Internazionale.
Sulla base delle considerazioni svolte si può quindi enunciare il seguente
Risultato: se si scelgono unità interne che costituiscono un sistema coerente con l’S. I., allora le
leggi che legano le grandezze fisiche espresse in unità interne sono le medesime che legano le
medesime grandezze quando espresse in unità del S.I.
E’ solo il caso di osservare che il precedente risultato è stato espresso solo per ragioni didattiche con riferimento al S.I., ma può essere ulteriormente generalizzato ad un qualsiasi passaggio da un sistema di unità
esterne ad un sistema di unità interne con esso coerente. Questa generalizzazione è però priva particolare di
utilità pratica.
Nella pratica si scelgono sempre solo unità interne coerenti. Fa eccezione il solo caso particolare
rappresentato dalla base interna ibrida di sistemi trifasi simmetrici ed equilibrati, discussa nel par.
C.3.
C.2.3. Vantaggi dell’utilizzo delle unità interne
I valori nominali della base interna vengono scelti in maniera particolarmente significativa per il
problema in esame, rispetto a quelli dell’SI che essendo universali non hanno particolare significatività per un particolare problema.
Ad esempio se si analizza un sistema trifase in b.t., avendo per questo tipo di distribuzione la tensione nominale i valori unificati 400/230V, appare naturale considerare come valori nominali della base interna uno dei due set possibili 3:
U3n=400V U1n  400 / 3  230,9 V
U1n  230 V U 3n  3  230  398,4 V
Si consideri ad esempio una tensione misurata Um su un sistema BT terrestre di 235 V. Il suo valore in base interna varrà:
Um
235
Ui 

 1,02
U n /A 230
Quindi il valore ottenuto della tensione misurata è 1,02 Un. E’ evidente come questa maniera di
operare consenta di vedere immediatamente che la tensione misurata è del 2% superiore al riferimento. Ecco quindi un primo vantaggio delle grandezze in base interna: i valori numerici che si
ottengono hanno immediata interpretazione fisica.
Un ulteriore importante vantaggio consiste nel fatto che i parametri fisici delle macchine elettriche
hanno una variabilità molto più limitata rispetto a quella che si ha nel caso di utilizzo della base
S.I. Ad esempio le reattanze subtransitoria, transitoria e sincrona che espresse in ohm presentano
amplissime variabilità da una macchina all’altra, espressi un unità interne hanno dei valori molto
simili anche considerando macchine di taglie molto diverse.
Normalmente si ha, infatti: considerando le macchine sincrone in generale:
Xs =1-2 Zn. X’=0,2-0,35 Zn
X’’=0,1-0,2 Zn
Con la rappresentazione in base interna possono essere analizzati anche interi circuiti, intendendosi che tutte le grandezze del circuito. Alla fine dei calcoli risulterà però normalmente opportuno
effettuare il riporto delle grandezze dalla base interna alla base internazionale, mediante moltiplicazione del rapporto fra le due unità di misura. Per la grandezza generica A (ce poi, di volta in
volta potrà essere una tensione, una corrente, una potenza, ecc.) sarà
3
Se si vuole mantenere la massima precisione dei calcoli è bene fare in modo che il rapporto U 3n/U1n sia
con adeguata precisione prossimo alla radice quadrata di tre.
App. C: Il metodo della base interna
pag. C.4
Sistemi Elettrici Navali
ASI=AiAn
cioè il valore in unità SI è pari al prodotto del valore in unità interna per il valore della unità interna espresso in grandezze SI.
C.2.4. Esempi
Al fine di comprendere i vantaggi dell’uso del metodo della base interna si può considerare
l’esempio raffigurato nella figura C.1, nella quale è indicato un generatole ideale che alimenta una
rete di impedenze che potrebbe ad esempio essere quella di un locale di un appartamento, e nel
quale sono anche indicate
Zu1 le tensioni ai capi delle utenze Zu1, Zu2, Zu3. Man mano che si procede
dall’alimentazione, a 235V, la tensione ai carichi si riduce per effetto delle cadute sulle resistenze
di linea, R1, R2, R3.
R1
R2
+
+
235 V
232 V
-
R3
+
Zu1
218 V
-
+
Zu2
Zu3
200 V
-
-
Fig. C.1: Esempio di circuito in AC con indicazione delle tensioni su generazione e carichi.
Supponiamo ora di raffigurare il medesimo circuito in cui le tensioni siano espresse in una base
interna per la quale si sia
Zu1 assunto a riferimento il valore di tensione di Un=230V, cioè la tensione
nominale standard per i sistemi in BT in corrente alternata, in tutta l’Unione Europea.
Il circuito diviene ora come rappresentato in fig. C.2.
R1
R2
+
+
1,02 Vn
1,01 Vn
-
-
R3
+
Zu1
0,947 Vn
+
Zu2
-
0,870 Vn
Zu3
-
Fig. C.2: Esempio di circuito in AC con tensioni su generazione e carichi espressi in unità interna “Un”.
La nuova rappresentazione mostra con grande immediatezza la relazione esistente fra le tensioni
ed il valore di riferimento. ad esempio si vede subito come, assumendo una tolleranza del 10%
sul valore nominale la sola tensione inammissibile è quella sull’impedenza di carico Zu3, che ‘è
sotto il valore nominale del 13%.
C.3.
Utilizzi avanzati del metodo della base interna
C.3.1. Rappresentazione unifilare di sistemi trifasi simmetrici in base interna
I sistemi trifasi trattati nel presente volume sono tutti, salvo limitati casi particolari, del tipo simmetrico ed equilibrato. Di conseguenza essi sono stati rappresentati in molte occasioni mediante il
circuito monofase equivalente, costituito da un unico circuito riportante le grandezze della fase 1
(s la numerazione delle fasi era 1-2-3) o r (se la numerazione delle fasi era r-s-t), quando il circuito trifase è stato preventivamente scritto con componenti tutti a stella.
Sappiamo però che nei sistemi trifasi la tensione di linea è sempre pari alla tensione di fase moltiplicata per radice di 3, e la potenza trifase è il tipo della potenza del circuito monofase equivalente.
App. C: Il metodo della base interna
pag. C.5
Sistemi Elettrici Navali
L’analisi del circuito monofase in base interna, facilita quindi l’interpretazione dei risultati del
circuito monofase all’intero circuito trifase:
 quando la tensione è ad esempio 1 p.u. (il che come sappiamo equivale a dire una volta Un),
sapremo contemporaneamente che la tensione di fase è pari al relativo valore nominale ma anche la tensione di linea sarà pari al relativo valore nominale (pari a radice di tre volte quella
nominale di fase).
 analogamente se la potenza P o Q è 1 p.u., la potenza (rispettivamente attiva o reattiva) di fase
sarà pari a quella nominale, ma anche quella dell’intero circuito trifase sarà pari a quella nominale, pari al triplo di quella nominale del circuito monofase equivalente.
 infine corrente e impedenza di 1 p.u. indica che la corrente è pari ai rispettivi valori nominali, i
quali sono numericamente uguali nel caso monofase e trifase. Infatti il valore nominale di tali
grandezze deve corrispondere con quelli di tensione e potenza attraverso le relative relazioni
dell’elettrotecnica (monofasi pedice 1 e trifasi pedice 3):
I3n = S3n /(√3U3n )= I1n = S1n /𝑈1n
Z3𝑛 =
U3n
I3n
𝑆2
𝑆2
= Z1n = U1n = U1n
1𝑛
1n
(C.5)
L’uguaglianza dei valori nominali di corrente e impedenza fra il circuito monofase e quello trifase può essere anche visto come conseguenza nel fatto che la corrispondenza fra questi due
circuiti è fatta pensando al circuito monofase equivalente, il quale a sua volta di ottiene dopo
tracciamento del circuito trifase con componenti tutti rappresentati a stella; nella rappresentazione a stella corrente e impedenza trifase coincidono con quelli del circuito monofase equivalente.
In definitiva il circuito che si ottiene, in base interna, può essere considerato rappresentativo sia
del circuito monofase equivalente, che dell’intero circuito trifase. Le relative unità in base interna
devono rispettare le relazioni che esistono nell’elettrotecnica fra le relative grandezze.
Considerando il fatto sopra osservato che i valori di base di corrente e impedenza sono i medesimi
nel circuito monofase equivalente e nel circuito monofase rappresentativo dell’intero circuito trifase, si può usare il medesimo simbolo nei due casi. Di conseguenza le basi sono:
1)
2)
base monofase (tensione, corrente, impedenza di fase, potenza del circuito monofase)
U1n , In , Zn , S1n
base trifase (tensione concatenata, potenze trifase, correnti e impedenza di linea uguale i a
quelle di fase, potenza trifase) U3n , In , Zn , S3n
Il procedimento normalmente utilizzato per effettuare calcoli di circuiti in base interna è il seguente:
1) le fem di alimentazione del circuito si convertono in base interna rapportandole ai rispettivi
valori nominali (se concatenate al valore nominale concatenato, se di fase al valore nominale
di fase, essendo i due in rapporto pari alla radice quadrata di 3)
2) le impedenze del circuito spesso sono già espresse in base interna di macchina.
Ad es. è spesso nota la reattanza interna di un trasformatore in termini percentuali, ad es. 4% il che significa
che nella base interna deli valori nominali del trasformatore essa vale 0.04.
Se si conoscono impedenze in ohm esse vengono convertite in base interna rapportandole a
Zn=U2n/Sn
In questa relazione si può usare indifferentemente la coppia Un-Sn relativa al circuito monofase (tensione di
fase e potenza del circuito monofase equivalente o tensione concatenata e potenza trifase pari al triplo di quella del circuito monofase equivalente
3) si fanno i calcoli nel circuito mediante le normali relazioni circuitali di un circuito monofase
4) se necessario i risultati di esprimono poi nuovamente in unità SI tramite moltiplicazione per i
rispettivi valori nominali, i quali, ovviamente rispetteranno le (C.5).
App. C: Il metodo della base interna
pag. C.6
Sistemi Elettrici Navali
Un esempio articolato dell’utilizzo della base interna per calcoli di sistemi trifasi è riportato nel
cap. 6, par. 2.7
C.3.2. Utilizzo della base interna multipla in circuiti contenenti trasformatori
I vantaggi dell’uso del sistema della base interna finora osservati derivano dalla semplicità e significatività dei numeri che si ottengono, in quanto l’unità rappresenta il valore nominale.
Per i circuiti trifasi è stato osservato l’ulteriore vantaggio di ottenere una rappresentazione unifilare immediatamente rappresentativa dell’intero circuito trifase.
Ulteriori importanti vantaggi si ottengono per l’analisi e la riguarda la risoluzione di circuiti contenenti trasformatori. Si consideri il circuito equivalente di un trasformatore monofase, già discusso nel cap. 2, e raffigurato in fig. C.3.
X1
R2
R1
X2 I
I10
I1
2
+
I10-I 1
U1
Xm
-
+
E
+
E
-
-
1
+
2
U2
-
Fig. C.3: Circuito equivalente di trasformatore monofase (tratto dal cap. 2).
Il circuito è in realtà una “rete”, nel senso che i potenziali dei vari punti del circuito sono riferiti a
due valori differenti per il primario e il secondario, e la tensione fa un punto a sinistra del trasformatore ideale ed uno a alla sua destra non è definita.
Evidentemente non vi sono ragioni perché non si possa scegliere una base differente per la parte
della rete a sinistra e quella a destra del trasformatore ideale.
Si potranno quindi sceglier, usando il pedice “1” per il primario e il pedice “2” per il secondario le
grandezze:
Un1, Sn1, Un2, Sn2
Si sceglierà anche:
Sn1/Un1=In1, Zn1=Un1/In1
Sn2/Un2=In2, Zn2=Un2/In2.
In questo caso diremo che abbiamo una base interna multipla, in quanto di hanno due distinti sistemi di unità di riferimento per primario e secondario.
Si ottengono particolari vantaggi se si scelgono queste grandezze secondo le relazione fondamentali dei trasformatori ideali, e cioè E2=E1=m=I1/I2 essendo m un parametro costruttivo, pari al
rapporto spire del trasformatore N2/N1. Queste relazioni implicano anche l’uguaglianza delle potenze attiva e reattiva 𝑆1̇ = 𝑈̇1 𝐼1∗̇ = 𝑆2̇ = 𝑈̇2 𝐼2∗̇ Si conseguenza scegliamo:
Un2/Un1=m=In1/In2
(C.4)
Dalle C.4 segue ovviamente anche Sn1=Sn2.
Con tali scelte il trasformatore della fig. C.3 si può rappresentare in unità interne come segue:
App. C: Il metodo della base interna
pag. C.7
Sistemi Elettrici Navali
R1
I10
+
X1
I12
R2
X2
I10-I 1
U1
I12
+
E 2
Xm
-
U2
-
Fig. C.5: Rappresentazione di trasformatore monofase in basi interne separate fra primario e secondario
e scelte secondo le relazioni C4.
Cioè il trasformatore ideale scompare dal circuito. La linea curva tratteggiata è stata lasciata a
promemoria del fatto che questo circuito, così come quello dalla figura C.3 non può essere utilizzato per individuare tensioni fra punti della parte destra e quelli della parte sinistra, in quanto la
relazione reciproca fra le tensioni primarie e secondarie è indefinita.
Il passaggio dalla fig. C.3 alla C.5 si giustifica in maniera immediata. Se chiamiamo E1, E2, I1, I2
le tensioni e le correnti a monte e valle del trasformatore ideale e, al solito si usano i pedici “s” per
la scelta della unità SI e “i” per quelle in base interna, sarà:
𝐸1,𝑖
𝐸2,𝑖
𝐸1,𝑠 /Un1
=
𝐸2,𝑠 /Un2
=
𝑚
𝑚
=1
𝐼1,𝑖
𝐼2,𝑖
=
𝐼1,𝑠 /In1
𝐼2,𝑠 /In2
𝑚
= =1
𝑚
Esempio
Si abbia il seguente sistema costituito da un generatore sincrono, un trasformatore elevatore, una
linea di trasmissione, un trasformatore abbassatore, due impedenze di carico.
Costruirne una rappresentazione unifilare adeguata per l’analisi con unità di misura del S:I, nella
quale i trasformatori siano costituiti in via semplificata dalla reattanza di corto circuito in serie
con un trasformatore ideale. Costruirne inoltre una rappresentazione in base interna multipla realizzata in modo tale da eliminare i trasformatori ideali dal circuito.
Le reattanze in % o p.u. si intendono tutte riferite ad una potenza di 10 MVA. Le potenze dei carichi R-L si intendono riferite ad una tensione alla sbarra che li alimenta pari al valore nominale di
20 kV.
2 MW
15 kV
15/ 132 kV
Xs =1p.u.
Xcc=8%
20
m/km
App. C: Il metodo della base interna
200
m/km
3 MW
1 Mvar
1 Mvar
132/ 20 kV
Xcc=6%
pag. C.8