Funzione inversa: potenze, funzioni
trigonometriche
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La funzione radice quadrata
Sia f : [0, +∞) → [0, +∞) definita da f (x) = x2 . Questa legge
definisce una funzione bigettiva, la cui inversa,
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞) è tradizionalmente indicata col nome di
√
radice quadrata e simbolo x. In particolare, abbiamo:
q
√
(1)
(i)
(x2 ) = x ∀ x ≥ 0 ,
(ii) ( x)2 = x ∀ x ≥ 0 .
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Grafico della funzione radice quadrata
y
x2
y
=
x
√
x
x
1
Grafici delle funzioni x2 e
√
x,
x≥0 .
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Simmetria dei grafici di f e f −1
Proprietà: Sia f : A → B invertibile, con A e B sottoinsiemi di R.
Allora il grafico di f −1 e il grafico di f risultano uno il simmetrico
dell’altro rispetto alla bisettrice y = x.
Dimostrazione (*):
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Dimostrazione di simmetria...
Γf −1 = {[x, f −1 (x)] ∈ R2
= {[f (x), f
−1
: x ∈ B}
(f (x))] ∈ R2
2
= {[f (x), x] ∈ R
: x ∈ A}
: x ∈ A}.
D’altra parte,
Γf = {[x, f (x)] ∈ R2
: x ∈ A} .
Dunque Γf −1 si ottiene da Γf (e viceversa) scambiando i ruoli di
ascissa e ordinata. Questa affermazione conclude il
ragionamento (riflettere bene..).
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Esempi collegati
Si può considerare f : [0, +∞) → [0, +∞) definita da f (x) = xn ,
con n ∈ N , n > 0, n pari.
Anche in questo caso, l’inversa esiste ed è indicata con
√
f −1 (x) = n x, x ≥ 0 (radice n-esima di x).
Nel caso di esponente n dispari, f (x) = xn realizza una funzione
√
bigettiva f : R → R. La sua inversa è ancora denotata n x, x ∈ R.
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Grafico
Nella figura seguente è rappresentato il caso n = 3:
y
√
3
x
y
=
x
x3
1
Grafici delle funzioni x3 e
√
3
x,
x
x∈R.
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Esercizi
Esercizio: Sia f : R → R la funzione bigettiva definita da:
f (x) = 2x − 1,
x∈R.
(2)
Determinare l’espressione che definisce f −1 : R → R e
disegnarne il grafico.
Esercizio: Sia f : R → R la funzione bigettiva definita da:
p
5
f (x) = 2x3 + 1, x ∈ R .
(3)
Determinare l’espressione che definisce f −1 : R → R .
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Funzioni trigonometriche inverse
√
Per poter parlare di x, abbiamo dovuto scegliere dominio e
codominio di f (x) = x2 in modo che quest’ultima funzione
risultasse bigettiva. Un accorgimento simile è necessario per
poter invertire le funzioni trigonometriche fondamentali.
Iniziamo con lo studio dell’inversa del seno: più precisamente,
consideriamo
π π
f : [− , ] → [−1, 1]
2 2
,
f (x) = sin x ,
π π
∀ x ∈ [− , ] . (4)
2 2
Questa funzione è bigettiva e la sua inversa, chiamata
funzione arcoseno, si denota
arcsin x
,
x ∈ [−1, 1]
.
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Grafico della funzione arcoseno
x
y
y
=
π
2
1
−
π
2
sin x
1
−1
π
2
x
arcsin x
−1
−
π
2
Grafici delle funzioni sin x e arcsin x .
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Funzione arcoseno: esercizio
π
π
Si noti che arcsin(−1) = − , arcsin(1) = , arcsin(0) = 0.
2
2
L’arcoseno è una funzione dispari, strettamente crescente.
Esercizio: Quanto valgono arcsin(
Soluzione: arcsin(
√
2
π
)= ,
2
4
√
2
1
), arcsin( )?
2
2
1
π
arcsin( ) = .
2
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Funzione arcotangente
L’inversa della funzione tangente si ottiene considerando la
funzione bigettiva:
π π
π π
f : (− , ) → R , f (x) = tan x , ∀ x ∈ (− , ) . (5)
2 2
2 2
La sua inversa, detta arcotangente, si denota col simbolo
arctan x, x ∈ R. L’arcotangente è una funzione dispari,
strettamente crescente, con grafico come nella figura seguente:
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Grafici della funzioni tangente e arcotangente
y
y
=
x
tan x
π
2
−
arctan x
π
2
π
2
−
x
π
2
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Funzione arcocoseno
Per quanto riguarda l’inversa del coseno, chiamata
arcocoseno, si procede considerando la funzione bigettiva:
f : [0, π ] → [−1, 1]
,
f (x) = cos x
,
∀ x ∈ [0, π ] .
(6)
La funzione inversa, arccos x, x ∈ [−1, 1] , è strettamente
decrescente.
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Grafico della funzione arcocoseno
y
π
x
arccos x
y
=
π
2
1
1
−1
π
2
π
x
cos x
−1
Grafici delle funzioni cos x e arccos x .
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Esercizio
π π
Esercizio: Sia f : R → (− , ) la funzione bigettiva definita da
2 2
f (x) = arctan(x3 + 1), x ∈ R. Determinare l’espressione di
π π
f −1 : (− , ) → R .
2 2
Soluzione:
f −1 (x) =
p
3
(tan x) − 1 ,
π π
x ∈ (− , ) .
2 2
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