Calcolo combinatorio.
Il calcolo combinatorio ha per scopo la costruzione ed il conteggio dei raggruppamenti che si
possono formare a partire da n elementi secondo regole assegnate.
I raggruppamenti che esamineremo sono:
1. Disposizioni semplici
2. Permutazioni semplici
3. Permutazioni con oggetti identici
4. Disposizioni con ripetizione
5. Combinazioni semplici
6. Combinazioni con ripetizione
1. Disposizioni semplici Dn,k
Sono disposizioni semplici di n oggetti in classe k (k<n) tutti i gruppi che si possono formare
prendendo k oggetti in modo che due gruppi differiscano per qualche elemento o per l’ordine in cui
gli elementi sono disposti.
Esempio: con quattro elementi a, b, c, d
Disposizioni di classe 1:
a
b
c
d
D4,1=4
Disposizioni di classe 2:
ab ac ad
ba bc bd
ca cb cd
da db dc
Disposizioni di classe 3:
abc abd
acb acd
adb adc
…
D4,2= 4x3 = 12
…
…
D4,3= 12x2 = 24
Osservando le modalità di costruzione dei vari raggruppamenti:
Dn,k = n(n-1)(n-2)…(n-k+1)
Fattoriale di n: n!
n != n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⋅ 1
Per definizione : 1! =1 e 0! = 1
2. Permutazioni semplici Pn
Sono permutazioni semplici di n elementi i gruppi che si possono formare in modo che ogni gruppo
contenga tutti gli elementi e che differisca dagli altri per l’ordine degli elementi.
Pn = Dn,n quindi:
Pn = n!
Esempio: prese le quattro lettere
a, m, o, r
P 4 = 24
amor
amro
armo
ramo
maor
maro
mrao
rmao
….
….
….
….
1
3. Permutazioni con oggetti identici
n oggetti α dei quali sono identici Pn(α )
Esempio 1
Con le lettere a l a si formano sei permutazioni semplici:
a l a
aal
aa l
laa
laa
ala
i gruppi differenti sono tre poiché le due a sono identiche e non si distinguono:
n!
α!
Esempio 2
P (α)
n =
I numeri interi differenti di sei cifre che si possono formare con le cifre 7 7 5 5 5 1 sono:
P (2,3)
=
6
6!
= 60
2!⋅ 3!
P (α,β)
n =
n!
α!⋅ β!
4. Disposizioni con ripetizione D'n,k
Sono disposizioni con ripetizione di n elementi distinti presi a k a k, o di classe k, tutti i gruppi che
si possono formare con k oggetti in modo che:
(a) In ogni gruppo lo stesso oggetto compaia fino a k volte;
(b) Due gruppi differiscano tre loro o per qualche elemento o per il numero di volte in cui
l’elemento è ripetuto o per l’ordine con cui gli elementi compaiono nei gruppi.
Esempio1
Dati due elementi A B le disposizioni con ripetizione di classe tre sono: D'2,3 = 8
2
Esempio 2
Dati tre numeri 5 7 9
D'3,2 = 9
Esempio 3
Disposizioni con ripetizione di tre oggetti A,B,C, in
classe quattro
Tre vie ognuna delle quali dà origine
a tre diversi modi di procedere,
ognuno dei quali …
In tutto 34 quaterne!
In generale
D’ n,k = nk
5. Combinazioni semplici Cn,k
Sono combinazioni semplici di n elementi distinti presi a k a k, o di classe k, tutti i gruppi che si
possono formare prendendo k elementi in modo che due gruppi differiscano tra loro per almeno un
elemento.
Supponendo di avere scritto tutte le combinazioni semplici Cn,k si possono costruire le disposizioni
prendendo ogni combinazione e permutandone gli elementi.
Dn,k =Cn,k· k!
dunque
⎛n⎞
≡ ⎜ ⎟ enne sopra cappa
k! ⎝ k ⎠
Un’altra forma
n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - k+1)
Cn,k =
k!
Cn,k =
D n,k
Moltiplicando numeratore e denominatore per (n-k)!
⎛n⎞
n!
⎜ ⎟ = Cn,k =
k!⋅ (n-k)!
⎝k⎠
3
Proprietà:
⎛n⎞ ⎛ n ⎞
1) ⎜ ⎟ = ⎜
⎟
⎝k ⎠ ⎝n−k ⎠
⎛ n ⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞
2) ⎜ ⎟ = ⎜
⎟
⎟+⎜
⎝ k ⎠ ⎝ k − 1⎠ ⎝ k ⎠
⎛ n ⎞ ⎛n⎞ n − k
3) ⎜
⎟ = ⎜ ⎟⋅
⎝ k + 1⎠ ⎝ k ⎠ k + 1
6. Combinazioni con ripetizione C'n,k
Sono combinazioni con ripetizione di n elementi distinti presi a k a k, o di classe k, tutti i gruppi che
si possono formare con k oggetti in modo che:
¾ In ogni gruppo ogni oggetto compaia fino a k volte;
¾ Due gruppi differiscano tra loro o per un elemento, o per il numero di volte in cui
l’elemento è ripetuto.
C'3,3 = 10
⎛ 3 + 3 − 1⎞ ⎛ 5 ⎞ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 60
= 10
C '3,3 = ⎜
=
⎟=⎜ ⎟=
3
3
3!
6
⎝
⎠ ⎝ ⎠
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Elementi di calcolo delle probabilità
Prime definizioni
Evento: concetto primitivo:
avvenimento suscettibile di presentarsi secondo una pluralità di alternative o modalità.
Evento semplice o elementare: è espresso da un enunciato non scomponibile in enunciati più
semplici.
Esempi di eventi elementari:
E1: Uscita di testa nel lancio di una moneta
E2: Uscita di 3 nel lancio di un dado
E3: Uscita di 1 nel lancio di un dado
Evento composto
È espresso da un enunciato che si costruisce a partire da eventi semplici facendo uso dei connettivi
logici e (⁄) , o (¤) , non (Ÿ) .
Esempi:
E4 Uscita di un divisore di 3 (E2 ¤ E3)
E5 Uscita di “non testa” nel lancio di una moneta: Ÿ E1 oppure E 1 .
Eventi incompatibili
il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro
Esempio:
Nella schedina del totocalcio sono eventi incompatibili:
E1:
E2 :
E3 :
1⎫
⎪
x⎬
2 ⎪⎭
Eventi compatibili
il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’altro
Esempio:
Nell’estrazione di una carta da un mazzo sono eventi compatibili:
E1: carta rossa ⎫
⎬
E2:
figura ⎭
Eventi indipendenti:
Il verificarsi di uno non influenza il verificarsi dell’altro.
Esempio:
Nel gioco della roulette sono eventi indipendenti:
E1:uscita di un numero rosso ⎫
⎬
E2: uscita di un numero pari ⎭
Eventi dipendenti
Il verificarsi di uno influenza il verificarsi dell’altro.
Esempio:
Nell’estrazione di biglie da un’urna : estrazioni senza reimmissione sono eventi dipendenti.
Formalismo insiemistico.
Situazione: urna con tre biglie :
E1: estrazione di una sfera rossa
E2: estrazione di una sfera verde
E3: estrazione di una sfera nera
{R}
{V}
{N}
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Fissato un esperimento si dice spazio dei campioni o spazio campionario o spazio fondamentale
l’insieme degli eventi elementari
I ={{N}, {V}, {R}}
Evento. Si dice evento un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario. Dunque un evento non
è altro che un raggruppamento di uno o più eventi elementari.
L'evento corrispondente all'intero spazio campionario (costituito da tutti gli eventi elementari) è
detto evento certo.
L'evento corrispondente all'insieme vuoto (costituito da nessun evento elementare) è detto evento
impossibile.
Dato uno spazio campionario associato a un esperimento, può darsi che l'analisi da condurre non
coinvolga tutti i possibili eventi ma solo una parte di essi. Gli eventi che hanno un ruolo in una
specifica analisi vengono detti eventi di interesse.
Famiglia (di eventi)
Si dice famiglia di eventi definita sullo spazio dei campioni una qualsiasi collezione di
sottoinsiemi.
Spazio degli eventi
L’insieme delle parti di I ={{N}, {V}, {R} }, cioè l’insieme di tutti i sottoinsiemi di I, compreso I
stesso e l’insieme vuoto
S ={ Ø {N} {V} {R} {N,V} {N,R} {V,R} {N,V,R} }
è detto spazio degli eventi
Nota bene: La definizione di spazio degli eventi è più sofisticata di quella data e la incontrerete nei
vostri studi universitari.
Un altro esempio
Situazione: Lancio di una moneta due volte
Spazio dei campioni: I ={TT, TC, CT, CC}
Spazio degli eventi:
S = {Ø , {TT} , {TC} , {CT} , {CC} , {TT,TC} , {TT,CT} , {TT,CC} , {TC,CT} , {TC,CC} ,
{CT,CC} , {TT,TC,CT} , {TT,TC,CC} , {TT,CT,CC} , {TC,CT,CC}, {TT,TC,CT,CC}}
L’evento evidenziato è “almeno una testa in due lanci”
Situazione: lancio di un dado.
Costruisci lo spazio degli eventi!
Eventi incompatibili secondo questa impostazione insiemistica
Situazione : lancio di un dado
E1: esce un numero maggiore di 3
E2: esce un divisore di 2
E1= {4,5,6}
E2= {1,2}
E1 ∩ E2 = Ø
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