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Relatività Generale - Introduzione - I fondamenti della relatività generale - Il principio di equivalenza - Il principio di relatività generale - Il principio di Mach - La gravità nella teoria di Einstein, la geometrodinamica - Curvatura e gravità dello spazio-tempo - Verifiche classiche della relatività generale - Onde gravitazionali Introduzione La teoria della Relatività Generale di Einstein fornisce gli strumenti matematici ed il riferimento fisico in cui viene costruita la Teoria della Gravitazione come Teoria dello Spazio-Tempo ed estende la Teoria di Newton I fondamenti della Relatività Generale Due sono i principi che hanno guidato Einstein nella revisione della teoria Newtoniana: Il Principio di Equivalenza Il Principio di Mach A questi due principi va aggiunta l’introduzione dello spazio-tempo già sviluppato nell’ambito della teoria della Relatività Ristretta Il principio di equivalenza Il principio di equivalenza stabilisce che: in una zona limitata dello spazio-tempo è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento in modo da simulare l'esistenza di un dato campo gravitazionale uniforme o, al contrario, in modo da eliminare l'effetto di una forza di gravità costante Il principio di equivalenza (Riferimento inerziale) In un razzo che si muove (in assenza di gravità) a velocità costante v la pallina lasciata “cadere” si muove in linea retta. Il principio di equivalenza (Riferimento accelerato) In un razzo che si muove (in assenza di gravità) ad accelerazione costante a (che si sovrappone alla velocità costante precedentemente considerata) la pallina “cade” con traiettoria parabolica come nel caso del campo gravitazionale terrestre g Il principio di relatività generale Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento Il principio di relatività generale “Le leggi della fisica devono essere di natura tale che esse si possono applicare a sistemi di riferimento comunque in moto” “Tutte le verifiche sperimentali si riducono invariabilmente a una determinazione di coincidenze spazio-temporali” Principio di covarianza generale: le leggi della natura devono potersi esprimere in una forma che sia covariante rispetto a qualunque sistema di riferimento Il principio di relatività generale La luce in un campo accelerato Torniamo al principio di equivalenza e consideriamo di nuovo il nostro ascensore che, lontano da forze gravitazionali, viene costantemente accelerato verso l'alto. Cerchiamo di capire su quale traiettoria si muove il raggio di luce e quale è l’effetto del suo moto accelerato Il principio di relatività generale Supponiamo di inviare un raggio luminoso verso il soffitto La luce, come è noto, è composta da radiazione elettromagnetica le cui oscillazioni possono darci una misura del tempo che passa. Analogamente al ticchettio di un orologio, contando i "battiti" di un'onda, possiamo dire quanti secondi sono trascorsi, una volta che si conosca la frequenza dell'onda, ossia il numero di oscillazioni (i "battiti") compiute ogni secondo. Il principio di relatività generale Il raggio di luce deve compiere un percorso maggiore dell'altezza della cabina per raggiungere il soffitto, dal momento che questo nel frattempo si muove verso l'alto. In virtù della velocità sempre crescente della cabina, a causa della costante accelerazione verso l'alto le successive creste d'onda del raggio di luce devono compiere distanze uniformemente crescenti per raggiungere il soffitto che si allontana. Il principio di relatività generale A causa dell'analogia tra il ticchettio di un orologio e le oscillazioni di un'onda, possiamo anche dire che: Un orologio posto sul soffitto della cabina funziona più lentamente (cioè ritarda) rispetto all'orologio sul pavimento si ha quindi uno spostamento della frequenza del battito verso il rosso! Di conseguenza bisogna concludere che la gravitazione altera lo scorrere del tempo. Il principio di relatività generale Se il raggio di luce viene inviato orizzontalmente, orizzontalmente in un sistema di riferimento inerziale in volo libero (razzo non accelerato), la sua traiettoria sarà una retta con vettore velocità costante In un sistema non inerziale (razzo accelerato), la traiettoria della luce sarà curva, curva quindi il vettore velocità cambierà da punto a punto Con il principio di relatività generale si estende il primo assioma che fa riferimento all'invarianza delle leggi in tutti i sistemi inerziali a tutti i sistemi, e si abbandona il secondo sulla costanza della velocità della luce Il principio di Mach “Le masse laggiù determinano l’inerzia qua”. L'inerzia, cioè la proprietà di continuare a muoversi di moto uniforme finché non viene disturbato da una forza, non può essere una proprietà intrinseca al corpo, ma deve essere determinata dalla sua interazione con le altre masse dell'Universo Tolte via queste masse, anche l'inerzia sparirebbe perché non si vede rispetto a cosa il corpo potrebbe accelerare o rallentare il suo moto La gravità nella teoria di Einstein la geometro-dinamica La gravità è interpretata come effetto geometrico in quanto la materia presente nell'Universo determina la curvatura dello spazio-tempo. Le equazioni di Einstein esprimono semplicemente la relazione fra la curvatura da un lato e la materia ed energia dall'altro. Lo spazio-tempo è una entità a quattro dimensioni (tre spaziali + una temporale) che sostituisce lo spazio ed il tempo assoluti della teoria newtoniana. Non solo lo spazio ed il tempo non sono più assoluti possono essere intrinsecamente connessi La gravità nella teoria di Einstein la geometro-dinamica Equazione di campo della Relatività Generale di Einstein RRg8 G / c2 ) T spazio-tempo materia La materia produce la curvatura La curvatura determina il moto della materia La distribuzione di materia ed il suo moto non possono essere descritti indipendentemente dal campo gravitazionale da essi prodotto Cambiamento di curvatura-->cambia la distanza tra due punti nello spazio La gravità nella teoria di Einstein la geometro-dinamica Equazione di campo della Relatività Generale di Einstein RRg8 G / c2 ) T R: tensore di curvatura di Ricci, R: curvatura scalare, cioè la traccia di R, g: tensore metrico, T: tensore stress-energia, c: velocità della luce, G: costante gravitazionale. Il tensore metrico, metrico descrive la metrica dello spazio-tempo ed è un tensore simmetrico 4x4 La gravità nella teoria di Einstein la geometro-dinamica Metrica euclidea Lo spazio euclideo Rn è dotato della metrica euclidea, che può essere descritta da un tensore metrico g. g Lo spazio tangente di ogni punto è identificato naturalmente con Rn. Rispetto a questa identificazione, il tensore g è la matrice identità per ogni punto dello spazio. Spazio-tempo di Minkowski Lo spazio-tempo di Minkowski è lo spazio R4 dotato del tensore metrico g La gravità nella teoria di Einstein la geometro-dinamica Il tensore metrico è un oggetto centrale nella relatività generale che descrive la geometria locale dello spazio-tempo (onde risolvere l'equazione di campo di Einstein). Usando l'approssimazione del campo debole, la metrica può anche essere pensata come rappresentante il "potenziale gravitazionale". Il tensore metrico viene spesso propriamente chiamato "il metrico". Il metrico è un tensore simmetrico ed è un importante strumento matematico. Oltre ad essere utilizzato per sollevare e abbassare gli indici tensore, genera anche le connessioni usate per costruire le equazioni geodetiche di moto e il tensore di curvatura di Ricci. La gravità nella teoria di Einstein la geometro-dinamica Un modo opportuno per esprimere il tensore metrico in combinazione con gli intervalli incrementali di distanza coordinata che mette in relazione è attraverso l'elemento di linea: ds2 = gμν dxμ dxν Il tensore metrico è comunemente scritto come una matrice 4 per 4. A causa della simmetria della metrica, questa matrice è simmetrica e ha 10 componenti indipendenti. La gravità nella teoria di Einstein la geometro-dinamica Una delle conseguenze profonde della teoria della relatività fu l'abolizione del sistema di riferimento privilegiato. La descrizione dei fenomeni fisici non dovrebbero dipendere da chi esegue la misurazione - un sistema di riferimento dovrebbe essere buono come qualunque altro. La relatività ristretta ha dimostrato che nessun sistema di riferimento inerziale è preferenziale a ogni altro sistema di riferimento inerziale, inerziale ma prediligendo sistemi di riferimento inerziali a quelli non-inerziali. La relatività generale ha eliminato il privilegio per i sistemi di riferimento inerziali, dimostrando che non esiste un sistema di riferimento privilegiato (inerziale o non) per la descrizione della natura. La gravità nella teoria di Einstein la geometro-dinamica Ogni osservatore può effettuare misurazioni e con l'esatta quantità numerica ottenuta soltanto in base al sistema di coordinate utilizzato. Ciò ha suggerito un modo di formulare la relatività utilizzando le "strutture invarianti", quelle che non dipendono dal sistema usato di coordinate (rappresentato dall'osservatore), ma che hanno ancora un'esistenza indipendente. La struttura matematica più adatta è risultata essere il tensore. tensore Per esempio, durante la misurazione del campo elettrico e magnetico prodotti da una carica in accelerazione, i valori dei campi dipenderanno dal sistema di coordinate usato, ma i campi sono considerati come aventi un'esistenza indipendente, rappresentata dal tensore di campo elettromagnetico. La gravità nella teoria di Einstein la geometro-dinamica La caratteristica fondamentale dei tensori utilizzati in questo approccio è il fatto che (una volta data la metrica) l'operazione di contrarre un tensore su tutti gli indici fornisce un numero - un "invariante" - che è indipendente dal grafico di coordinate usato per eseguire la contrazione. Fisicamente, questo significa che l'invariante calcolato da ciascun osservatore avrà lo stesso valore, suggerendo un qualche suo significato indipendente. La gravità nella teoria di Einstein la geometro-dinamica Il principio di equivalenza e il principio di relatività generale sono i punti di partenza della TEORIA DELLA GRAVITAZIONE Tale teoria nota soprattutto con il nome di RELATIVIA' GENERALE, necessita dell'introduzione di altre due idee fondamentali: 1) la presenza di masse incurva lo spazio-tempo 2) i corpi soggetti alla forza di gravità, devono essere considerati come particelle libere, che si muovono seguendo curve di minima lunghezza (massimo invecchiamento) dette geodetiche dello spazio-tempo Gravità e curvatura dello spaziotempo Una volta nota la distribuzione delle masse, l'equazione di campo di Einstein permette di calcolare qual è la geometria dello spazio La geometria dello spazio-tempo è locale, cioè varia da zona a zona. Le zone più vicine alle masse hanno curvatura più accentuata rispetto a quelle che si trovano lontane da esse Lo spazio-tempo della relatività ristretta è piatto, perché in esso non si tiene conto degli effetti gravitazionali delle masse Lo spazio-tempo della relatività generale è curvo Gravità e curvatura dello spaziotempo Anche nello spazio curvo della Relatività Generale è possibile definire la distanza percorsa lungo un cammino Le curve di minima lunghezza che uniscono due punti si chiamano geodetiche Nello spazio euclideo le curve geodetiche sono segmenti di retta Nello spazio non euclideo (geometria ellittica) le curve geodetiche sono archi di circonferenza massima Le curve geodetiche hanno un ruolo fondamentale in Relatività Generale, perché le particelle che si muovono per effetto solo della forza gravitazionale si muovono lungo le geodetiche dello spazio-tempo Gravità e curvatura dello spaziotempo Secondo l'idea di Einstein, la presenza di masse incurva la geometria dello spazio-tempo, nel quale esse stesse si muovono come particelle libere che seguono linee di minima lunghezza Ogni massa risente della geometria dello spazio-tempo in cui si trova, in definitiva: LE MASSE DICONO ALLO SPAZIO COME INCURVARSI; LO SPAZIO DICE ALLE MASSE COME MUOVERSI Se le particelle sono soggette ad altre forze (elettromagnetiche) la loro traiettoria nello spazio-tempo ne risente e queste traiettorie non sono più geodetiche Gravità e curvatura dello spaziotempo Questo conferma che nella relatività generale la gravità assume un ruolo peculiare: le sue caratteristiche non sono dovute, come avviene per l'elettromagnetismo o i fenomeni nucleari, a forze che agiscono nello spazio-tempo, ma alla stessa struttura geometrica dello spazio-tempo LA GRAVITA' E' SPAZIOTEMPO IN AZIONE (J. A. Wheeler) Gravità e curvatura dello spaziotempo Così come gli effetti della relatività ristretta diventano evidenti quando i moduli delle velocità delle particelle si avvicinano molto al valore di c, analogamente, gli effetti della relatività generale si manifestano quando sono in gioco grandi masse, in modo tale che le forze gravitazionali presenti hanno un'intensità molto alta La zona di universo in cui si trova la Terra è con buona approssimazione “quasi piatta”, quindi in esso l'effetto della curvatura dello spazio-tempo è sperimentalmente indistinguibile da quello della forza di Newton (legge della gravitazione universale) Gravità e curvatura dello spaziotempo Si considerino due osservatori O (lontano da un campo gravitazionale) e O' (molto vicino ad un forte campo gravitazionale), O vede l'orologio di O' rallentare e le lunghezze contrarsi in senso radiale CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE L' = L0 (1 – 2G0 M / Rc2 )1/2 DILATAZIONE DEI TEMPI τ' = τ0 / (1 – 2G0 M / Rc2 )1/2 Gravità e curvatura dello spaziotempo Lo spazio-tempo si chiude Nel 1916 K. Schwartschild trova soluzioni alle equazioni di campo in cui la velocità di fuga da un corpo celeste diventa uguale a quella della luce RS = 2G0 M / c2 Al di sotto del raggio di Schwartschild la velocità di fuga è maggiore di c, la superficie così definita è detta orizzonte degli eventi Sull'orizzonte degli eventi la dilatazione temporale e la contrazione delle lunghezze diventano infinite Gravità e curvatura dello spaziotempo Buchi Neri Nel 1947 J. A. Wheeler conia il termine Black Hole per le stelle collassate al di sotto del raggio di Schwartschild All'interno dell'orizzonte degli eventi la relatività prevede la formazione di una singolarità spaziotemporale Qualunque oggetto precipiti in un buco nero, una volta attraversato l'orizzonte, cade inesorabilmente verso la singolarità centrale Verifiche classiche della relatività generale La prima verifica della bontà della Relatività Generale era che: Nel caso di “debole” gravità la teoria di Einstein ricade in quella di Newton Ma il fatto straordinario era che Einstein riuscì a prevedere con la nuova teoria che, anche per fenomeni (quali il moto dei pianeti e della luce) che avvenivano nel nostro Sistema solare, potevano essere messi in evidenza effetti di Relatività Generale NON previsti da Newton: 1) Deflessione dei raggi luminosi in prossimità del bordo del Sole 2) Precessione del perielio di Mercurio 3) Redshift gravitazionale Verifiche classiche della relatività generale Verifiche classiche della relatività generale Conferma della previsione: Eddington (1919) Posizione vera della stella Δθ Terra d Posizione apparente della stella Sole Verifiche classiche della relatività generale Precessione del perielio di Mercurio Il perielio avanza di 574” al secolo. Di questi, 531” sono dovuti a perturbazioni gravitazionali da parte degli altri pianeti, soprattutto Venere, la Terra e Giove. La differenza, 43” al secolo, fu spiegata dalla relatività generale In una lettera che Einstein scrisse verso la fine del 1915 a Sommerfeld diceva: “L’ultimo mese è stato uno dei più emozionanti e intensi della mia vita. Quello che mi rende così felice non è solo il fatto che la teoria di Newton si ottiene come prima approssimazione, ma che la precessione del perielio di Mercurio si ottiene come seconda approssimazione” Verifiche classiche della relatività generale sole α afelio perielio mercurio Verifiche classiche della relatività generale Verifiche classiche della relatività generale Redshift gravitazionale Quando la luce viaggia da un campo gravitazionale forte ad uno debole, la frequenza diminuisce, cioè la luce è spostata verso il rosso Prima misura di alta precisione: Pound, Rebka, Snider (1960-65) – Misura dello spostamento di frequenza di fotoni emessi nel decadimento del 57 Fe, che salivano o scendevano nella torre del Jefferson Laboratory (Harvard). Precisione 1% Spostamento righe spettrali atomiche nel campo gravitazionale del sole Esperimenti più recenti hanno portato la precisione ad alcune parti in 105 Verifiche classiche della relatività generale L'esperimento di Pound e Rebka del 1960, poi ripetuto da Pound e Snider nel 1965, è una fondamentale verifica del Principio di Equivalenza che sta alla base della moderna interpretazione di Einstein della gravità come "curvatura" dello spazio-tempo. La Teoria della Relatività Generale di Einstein ha avuto enormi riflessi nella descrizione non solo degli oggetti massicci, stelle di neutroni e buchi neri, ma nella descrizione della struttura a grande scala (cosmologica) dell'Universo. Per quanto complicata, questa raffinata teoria fisica ha alla sua base, e questo è veramente un "miracolo", un semplice principio: il Principio di Equivalenza. Verifiche classiche della relatività generale Questo principio stabilisce che "è sempre possibile annullare localmente un campo gravitazionale con un sistema di riferimento uniformemente accelerato". La conseguenza immediata di questo principio riguarda il comportamento di corpi di differente composizione chimica e fisica in caduta libera in un campo gravitazionale. Ebbene se è sempre possibile annullare un campo gravitazionale, seppur localmente con un sistema di riferimento uniformemente accelerato, ecco che la massa gravitazionale di un corpo deve sempre essere uguale a quella inerziale Verifiche classiche della relatività generale Già l'esperimento di Eötvos del 1904, aveva verificato la validità di questo principio per i corpi materiali misurando, con una bilancia gravitazionale, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale con una notevole precisione. Verifiche classiche della relatività generale Quello che Pound e Rebka fecero con successo nel 1960 fu di verificare la validità dello stesso principio per la luce. Come mai questa estensione dai corpi materiali alla luce? Una delle caratteristiche del principio di equivalenza, per altro già individuata da Galileo Galilei, è che la caduta libera dei corpi materiali in un campo gravitazionale uniforme è indipendente dalla loro composizione chimica e struttura fisica. Verifiche classiche della relatività generale Questo si può tradurre in un problema di traiettorie: corpi con la stessa massa inerziale percorrono traiettorie simili nello stesso campo gravitazionale indipendentemente dalla loro composizione chimico-fisica. Per essere ancora più precisi, questo significa che la struttura atomica dei corpi non interagisce con il campo gravitazionale e quindi con lo spazio-tempo. Verifiche classiche della relatività generale Se sostituiamo i corpi materiali con dei raggi di luce in caduta libera nel campo gravitazionale terrestre che succederà? Pound e Rebka utilizzarono la torre del Jefferson Physical Laboratory dell'Università di Harvard, alta circa 22,5 metri, per studiare l'effetto della differenza del potenziale del campo gravitazionale dalla cime alla base della torre. Sulla torre di Harvard vengono emessi fotoni gamma di elevata energia dal ferro 57 e, utilizzando l'effetto Mössbauer gli stessi fotoni vengono riassorbiti alla base della torre sempre da ferro 57. Verifiche classiche della relatività generale Se non esistesse il blueshift gravitazionale, i fotoni che emette la sorgente in cima alla torre dovrebbero cadere nel campo gravitazionale terrestre ed essere completamente assorbiti dalla sorgente posta alla base (tramite il processo inverso del decadimento). Verifiche classiche della relatività generale Ma questo non accadde. Si osservò, invece, che questo processo di assorbimento si verificava soltanto imprimendo alla sorgente in cima alla torre una certa velocità. Veniva così prodotto uno spostamento Doppler che compensava quello gravitazionale. Verifiche classiche della relatività generale Dalla velocità che occorreva impartire alla sorgente affinché si verificasse l’assorbimento fu poi possibile risalire al valore dello shift (spostamento) gravitazionale. Questo risultò in perfetto accordo con la previsione fornita dalla relatività generale, fornendo una sua ulteriore verifica sperimentale. Verifiche classiche della relatività generale Un complesso meccanismo di ricezioneassorbimento permette di mettere in evidenza che alla base della torre gli stessi fotoni emessi 22,5 metri più in alto hanno una frequenza leggermente più piccola (red-shift) prodotta da un rallentamento del campo gravitazionale dei raggi luminosi. In questo modo con un red-shift gravitazionale si manifesta il Principio di Equivalenza per i raggi luminosi! Verifiche classiche della relatività generale Il risultato finale dà un valore, per il red-shift gravitazionale, di (0,9990 ± 0,0076) volte il valore (previsto dal principio di equivalenza) della differenza di potenziale gravitazionale lungo la torre e la verifica è fatta con una precisione di una parte su 100.000. Questo risultato conferma che la moderna teoria relativistica della gravitazione si basa su di un principio come quello di equivalenza che ha una straordinaria verifica sperimentale Onde gravitazionali Una variazione dello stato di moto delle masse determina una perturbazione delle proprietà geometriche dello Spazio-Tempo Queste perturbazioni della geometria, generate in prossimità delle masse che stanno cambiando il loro stato di moto, possono propagarsi nello Spazio-Tempo ==> ONDE GRAVITAZIONALI Possiamo pensare alle onde gravitazionali come increspature nello spazio-tempo piatto Onde gravitazionali Caratteristiche principali delle O.G. Sono deformazioni dello spazio-tempo che si propagano con la velocità della luce Sono onde trasverse Hanno due stati di polarizzazione Onde gravitazionali Onde gravitazionali Vengono emesse da momenti di quadrupolo di massa variabili nel tempo – Massa di acciaio, 1 metro di raggio, lunga 20 metri, ruotante alla velocità di 4.4 rivoluzioni/s P = 10-30 W – In un evento di Supernova, a seconda del grado di asimmetria del collasso gravitazionale associato all’esplosione, potrebbe essere emessa energia pari a ~ 1040 Joule Ma lo scambio d’energia tra Onde Gravitazionali e Materia è debolissimo. L’Onda Gravitazionale attraversa la Materia senza essere significativamente attenuata. Il Sole, la Terra ed in generale i corpi celesti sono quasi trasparenti alle Onde Gravitazionali Onde gravitazionali La variazione L della distanza L tra due particelle è proporzionale all’intensità dell’onda gravitazionale h L / L Come possiamo renderci conto che stanno cambiando le proprietà geometriche dello spazio? Anche il nostro metro campione si deforma!! Onde gravitazionali Possiamo misurare il tempo che luce impiega a fare un viaggio di andata e ritorno tra due punti, perché la velocità della luce è sempre pari a c. Se ho tre corpi ai vertici di una L, al passaggio di un’onda gravitazionale, quando un tratto si allunga, l’altro si accorcia e viceversa
