Relatività Generale
- Introduzione
- I fondamenti della relatività generale
- Il principio di equivalenza
- Il principio di relatività generale
- Il principio di Mach
- La gravità nella teoria di Einstein, la geometrodinamica
- Curvatura e gravità dello spazio-tempo
- Verifiche classiche della relatività generale
- Onde gravitazionali
Introduzione
La teoria della Relatività Generale di Einstein
fornisce gli strumenti matematici ed il riferimento
fisico in cui viene costruita la
Teoria della Gravitazione
come
Teoria dello Spazio-Tempo
ed estende la Teoria di Newton
I fondamenti della Relatività
Generale
Due sono i principi che hanno guidato Einstein
nella revisione della teoria Newtoniana:
Il Principio di Equivalenza
Il Principio di Mach
A questi due principi va aggiunta l’introduzione
dello
spazio-tempo
già sviluppato nell’ambito della teoria della
Relatività Ristretta
Il principio di equivalenza
Il principio di equivalenza stabilisce che:
in una zona limitata dello spazio-tempo
è sempre possibile scegliere un sistema
di riferimento in modo da simulare
l'esistenza di un dato campo
gravitazionale uniforme o, al contrario,
in modo da eliminare l'effetto di una
forza di gravità costante
Il principio di equivalenza
(Riferimento inerziale) In un razzo che si muove
(in assenza di gravità) a velocità costante v la
pallina lasciata “cadere” si muove in linea retta.
Il principio di equivalenza
(Riferimento accelerato) In un razzo che si muove (in
assenza di gravità) ad accelerazione costante a (che si
sovrappone alla velocità costante precedentemente
considerata) la pallina “cade” con traiettoria parabolica
come nel caso del campo gravitazionale terrestre g
Il principio di relatività generale
Le leggi della fisica hanno la
stessa forma in tutti i sistemi
di riferimento
Il principio di relatività generale
“Le leggi della fisica devono essere di natura tale che
esse si possono applicare a sistemi di riferimento
comunque in moto”
“Tutte le verifiche sperimentali si riducono
invariabilmente a una determinazione di coincidenze
spazio-temporali”
Principio di covarianza generale: le leggi della natura
devono potersi esprimere in una forma che sia
covariante rispetto a qualunque sistema di
riferimento
Il principio di relatività generale
La luce in un campo accelerato
Torniamo al principio di
equivalenza e consideriamo di
nuovo il nostro ascensore che,
lontano da forze gravitazionali,
viene costantemente accelerato
verso l'alto.
Cerchiamo di capire su quale
traiettoria si muove il raggio
di luce e quale è l’effetto del
suo moto accelerato
Il principio di relatività generale
Supponiamo di inviare un raggio
luminoso verso il soffitto
La luce, come è noto, è composta da
radiazione elettromagnetica le cui
oscillazioni possono darci una
misura del tempo che passa.
Analogamente al ticchettio di un
orologio, contando i "battiti" di
un'onda, possiamo dire quanti
secondi sono trascorsi, una volta che
si conosca la frequenza dell'onda,
ossia il numero di oscillazioni (i
"battiti") compiute ogni secondo.
Il principio di relatività generale
Il raggio di luce deve compiere un percorso maggiore
dell'altezza della cabina per raggiungere il soffitto, dal
momento che questo nel frattempo si muove verso
l'alto.
In virtù della velocità sempre crescente della cabina, a
causa della costante accelerazione verso l'alto le
successive creste d'onda del raggio di luce devono
compiere distanze uniformemente crescenti per
raggiungere il soffitto che si allontana.
Il principio di relatività generale
A causa dell'analogia tra il ticchettio di un orologio e le
oscillazioni di un'onda, possiamo anche dire che:
Un orologio posto sul soffitto della cabina funziona più
lentamente (cioè ritarda) rispetto all'orologio sul
pavimento
si ha quindi uno spostamento della frequenza del battito
verso il rosso!
Di conseguenza bisogna concludere che la gravitazione
altera lo scorrere del tempo.
Il principio di relatività generale
Se il raggio di luce viene inviato orizzontalmente,
orizzontalmente in un
sistema di riferimento inerziale in volo libero (razzo
non accelerato), la sua traiettoria sarà una retta con
vettore velocità costante
In un sistema non inerziale (razzo accelerato), la
traiettoria della luce sarà curva,
curva quindi il vettore
velocità cambierà da punto a punto
Con il principio di relatività generale si estende il primo
assioma che fa riferimento all'invarianza delle leggi in
tutti i sistemi inerziali a tutti i sistemi, e si abbandona il
secondo sulla costanza della velocità della luce
Il principio di Mach
“Le masse laggiù determinano l’inerzia qua”.
L'inerzia, cioè la proprietà di continuare a muoversi di
moto uniforme finché non viene disturbato da una
forza, non può essere una proprietà intrinseca al corpo,
ma deve essere determinata dalla sua interazione con le
altre masse dell'Universo
Tolte via queste masse, anche l'inerzia sparirebbe
perché non si vede rispetto a cosa il corpo potrebbe
accelerare o rallentare il suo moto
La gravità nella teoria di Einstein
la geometro-dinamica
La gravità è interpretata come effetto geometrico in quanto la materia
presente nell'Universo determina la curvatura dello spazio-tempo.
Le equazioni di Einstein esprimono semplicemente la relazione fra la
curvatura da un lato e la materia ed energia dall'altro.
Lo spazio-tempo è una entità a quattro dimensioni (tre spaziali + una
temporale) che sostituisce lo spazio ed il tempo assoluti della teoria
newtoniana. Non solo lo spazio ed il tempo non sono più assoluti possono
essere intrinsecamente connessi
La gravità nella teoria di Einstein
la geometro-dinamica
Equazione di campo della Relatività Generale di Einstein
RRg8 G / c2 ) T
spazio-tempo
materia
La materia produce la curvatura
La curvatura determina il moto della materia
La distribuzione di materia ed il suo moto non possono essere
descritti indipendentemente dal campo gravitazionale da essi
prodotto
Cambiamento di curvatura-->cambia la distanza tra due punti nello
spazio
La gravità nella teoria di Einstein
la geometro-dinamica
Equazione di campo della Relatività Generale di Einstein
RRg8 G / c2 ) T
R: tensore di curvatura di Ricci,
R: curvatura scalare, cioè la traccia di R,
g: tensore metrico,
T: tensore stress-energia,
c: velocità della luce,
G: costante gravitazionale.
Il tensore metrico,
metrico descrive la metrica dello spazio-tempo ed è un tensore
simmetrico 4x4
La gravità nella teoria di Einstein
la geometro-dinamica
Metrica euclidea
Lo spazio euclideo Rn è dotato della metrica euclidea, che può essere
descritta da un tensore metrico g.
g Lo spazio tangente di ogni punto è
identificato naturalmente con Rn. Rispetto a questa identificazione, il
tensore g è la matrice identità per ogni punto dello spazio.
Spazio-tempo di Minkowski
Lo spazio-tempo di Minkowski è lo spazio R4 dotato del tensore metrico g
La gravità nella teoria di Einstein
la geometro-dinamica
Il tensore metrico è un oggetto centrale nella relatività
generale che descrive la geometria locale dello spazio-tempo
(onde risolvere l'equazione di campo di Einstein). Usando
l'approssimazione del campo debole, la metrica può anche
essere pensata come rappresentante il "potenziale
gravitazionale". Il tensore metrico viene spesso propriamente
chiamato "il metrico".
Il metrico è un tensore simmetrico ed è un importante
strumento matematico. Oltre ad essere utilizzato per
sollevare e abbassare gli indici tensore, genera anche le
connessioni usate per costruire le equazioni geodetiche di
moto e il tensore di curvatura di Ricci.
La gravità nella teoria di Einstein
la geometro-dinamica
Un modo opportuno per esprimere il tensore
metrico in combinazione con gli intervalli
incrementali di distanza coordinata che mette in
relazione è attraverso l'elemento di linea:
ds2 = gμν dxμ dxν
Il tensore metrico è comunemente scritto come una matrice 4 per
4. A causa della simmetria della metrica, questa matrice è
simmetrica e ha 10 componenti indipendenti.
La gravità nella teoria di Einstein
la geometro-dinamica
Una delle conseguenze profonde della teoria della relatività fu
l'abolizione del sistema di riferimento privilegiato. La
descrizione dei fenomeni fisici non dovrebbero dipendere da
chi esegue la misurazione - un sistema di riferimento dovrebbe
essere buono come qualunque altro. La relatività ristretta ha
dimostrato che nessun sistema di riferimento inerziale è
preferenziale a ogni altro sistema di riferimento inerziale,
inerziale ma
prediligendo sistemi di riferimento inerziali a quelli non-inerziali.
La relatività generale ha eliminato il privilegio per i sistemi di
riferimento inerziali, dimostrando che non esiste un sistema di
riferimento privilegiato (inerziale o non) per la descrizione della
natura.
La gravità nella teoria di Einstein
la geometro-dinamica
Ogni osservatore può effettuare misurazioni e con l'esatta
quantità numerica ottenuta soltanto in base al sistema di
coordinate utilizzato. Ciò ha suggerito un modo di formulare la
relatività utilizzando le "strutture invarianti", quelle che non
dipendono dal sistema usato di coordinate (rappresentato
dall'osservatore), ma che hanno ancora un'esistenza
indipendente. La struttura matematica più adatta è risultata
essere il tensore.
tensore Per esempio, durante la misurazione del
campo elettrico e magnetico prodotti da una carica in
accelerazione, i valori dei campi dipenderanno dal sistema di
coordinate usato, ma i campi sono considerati come aventi
un'esistenza indipendente, rappresentata dal tensore di
campo elettromagnetico.
La gravità nella teoria di Einstein
la geometro-dinamica
La caratteristica fondamentale dei tensori utilizzati in
questo approccio è il fatto che (una volta data la
metrica) l'operazione di contrarre un tensore su tutti
gli indici fornisce un numero - un "invariante" - che è
indipendente dal grafico di coordinate usato per
eseguire la contrazione. Fisicamente, questo significa
che l'invariante calcolato da ciascun osservatore avrà
lo stesso valore, suggerendo un qualche suo
significato indipendente.
La gravità nella teoria di Einstein
la geometro-dinamica
Il principio di equivalenza e il principio di relatività generale
sono i punti di partenza della TEORIA DELLA
GRAVITAZIONE
Tale teoria nota soprattutto con il nome di RELATIVIA'
GENERALE, necessita dell'introduzione di altre due idee
fondamentali:
1) la presenza di masse incurva lo spazio-tempo
2) i corpi soggetti alla forza di gravità, devono essere
considerati come particelle libere, che si muovono seguendo
curve di minima lunghezza (massimo invecchiamento) dette
geodetiche dello spazio-tempo
Gravità e curvatura dello spaziotempo
Una volta nota la distribuzione delle masse, l'equazione di
campo di Einstein permette di calcolare qual è la geometria
dello spazio
La geometria dello spazio-tempo è locale, cioè varia da zona a
zona.
Le zone più vicine alle masse hanno curvatura più accentuata
rispetto a quelle che si trovano lontane da esse
Lo spazio-tempo della relatività ristretta è piatto, perché in
esso non si tiene conto degli effetti gravitazionali delle masse
Lo spazio-tempo della relatività generale è curvo
Gravità e curvatura dello spaziotempo
Anche nello spazio curvo della Relatività Generale è possibile
definire la distanza percorsa lungo un cammino
Le curve di minima lunghezza che uniscono due punti si
chiamano geodetiche
Nello spazio euclideo le curve geodetiche sono segmenti di
retta
Nello spazio non euclideo (geometria ellittica) le curve
geodetiche sono archi di circonferenza massima
Le curve geodetiche hanno un ruolo fondamentale in
Relatività Generale, perché le particelle che si muovono per
effetto solo della forza gravitazionale si muovono lungo le
geodetiche dello spazio-tempo
Gravità e curvatura dello spaziotempo
Secondo l'idea di Einstein, la presenza di masse incurva la
geometria dello spazio-tempo, nel quale esse stesse si muovono
come particelle libere che seguono linee di minima lunghezza
Ogni massa risente della geometria dello spazio-tempo in cui si
trova, in definitiva:
LE MASSE DICONO ALLO SPAZIO COME INCURVARSI;
LO SPAZIO DICE ALLE MASSE COME MUOVERSI
Se le particelle sono soggette ad altre forze (elettromagnetiche)
la loro traiettoria nello spazio-tempo ne risente e queste
traiettorie non sono più geodetiche
Gravità e curvatura dello spaziotempo
Questo conferma che nella
relatività generale la gravità
assume un ruolo peculiare: le sue
caratteristiche non sono dovute,
come avviene per
l'elettromagnetismo o i fenomeni
nucleari, a forze che agiscono
nello spazio-tempo, ma alla
stessa struttura geometrica dello
spazio-tempo
LA GRAVITA' E' SPAZIOTEMPO IN AZIONE
(J. A. Wheeler)
Gravità e curvatura dello spaziotempo
Così come gli effetti della relatività ristretta diventano evidenti
quando i moduli delle velocità delle particelle si avvicinano
molto al valore di c, analogamente, gli effetti della relatività
generale si manifestano quando sono in gioco grandi masse, in
modo tale che le forze gravitazionali presenti hanno un'intensità
molto alta
La zona di universo in cui si trova la Terra è con buona
approssimazione “quasi piatta”, quindi in esso l'effetto della
curvatura dello spazio-tempo è sperimentalmente
indistinguibile da quello della forza di Newton (legge della
gravitazione universale)
Gravità e curvatura dello spaziotempo
Si considerino due osservatori O (lontano da un campo
gravitazionale) e O' (molto vicino ad un forte campo
gravitazionale), O vede l'orologio di O' rallentare e le lunghezze
contrarsi in senso radiale
CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE
L' = L0 (1 – 2G0 M / Rc2 )1/2
DILATAZIONE DEI TEMPI
τ' = τ0 / (1 – 2G0 M / Rc2 )1/2
Gravità e curvatura dello spaziotempo
Lo spazio-tempo si chiude
Nel 1916 K. Schwartschild trova soluzioni alle equazioni di
campo in cui la velocità di fuga da un corpo celeste diventa
uguale a quella della luce
RS = 2G0 M / c2
Al di sotto del raggio di Schwartschild la velocità di fuga è
maggiore di c, la superficie così definita è detta orizzonte degli
eventi
Sull'orizzonte degli eventi la dilatazione temporale e la contrazione
delle lunghezze diventano infinite
Gravità e curvatura dello spaziotempo
Buchi Neri
Nel 1947 J. A. Wheeler conia il termine Black Hole per
le stelle collassate al di sotto del raggio di
Schwartschild
All'interno dell'orizzonte degli eventi la relatività
prevede la formazione di una singolarità spaziotemporale
Qualunque oggetto precipiti in un buco nero, una volta
attraversato l'orizzonte, cade inesorabilmente verso la
singolarità centrale
Verifiche classiche della relatività
generale
La prima verifica della bontà della Relatività Generale era che:
Nel caso di “debole” gravità la teoria di Einstein
ricade in quella di Newton
Ma il fatto straordinario era che Einstein riuscì a prevedere con la
nuova teoria che, anche per fenomeni (quali il moto dei pianeti e
della luce) che avvenivano nel nostro Sistema solare, potevano
essere messi in evidenza effetti di Relatività Generale NON
previsti da Newton:
1) Deflessione dei raggi luminosi in prossimità del bordo del
Sole
2) Precessione del perielio di Mercurio
3) Redshift gravitazionale
Verifiche classiche della relatività
generale
Verifiche classiche della relatività
generale
Conferma della previsione: Eddington (1919)
Posizione vera della stella
Δθ
Terra
d
Posizione apparente della stella
Sole
Verifiche classiche della relatività
generale
Precessione del perielio di Mercurio
Il perielio avanza di 574” al secolo. Di questi, 531” sono dovuti a
perturbazioni gravitazionali da parte degli altri pianeti, soprattutto
Venere, la Terra e Giove.
La differenza, 43” al secolo, fu spiegata dalla relatività generale
In una lettera che Einstein scrisse verso la fine del 1915 a
Sommerfeld diceva: “L’ultimo mese è stato uno dei più
emozionanti e intensi della mia vita. Quello che mi rende così
felice non è solo il fatto che la teoria di Newton si ottiene come
prima approssimazione, ma che la precessione del perielio di
Mercurio si ottiene come seconda approssimazione”
Verifiche classiche della relatività
generale
sole
α
afelio
perielio
mercurio
Verifiche classiche della relatività
generale
Verifiche classiche della relatività
generale
Redshift gravitazionale
Quando la luce viaggia da un campo gravitazionale forte ad uno
debole, la frequenza diminuisce, cioè la luce è spostata verso il
rosso
Prima misura di alta precisione: Pound, Rebka, Snider
(1960-65) – Misura dello spostamento di frequenza di fotoni
emessi nel decadimento del 57 Fe, che salivano o scendevano
nella torre del Jefferson Laboratory (Harvard). Precisione 1%
Spostamento righe spettrali atomiche nel campo gravitazionale del
sole
Esperimenti più recenti hanno portato la precisione ad alcune parti
in 105
Verifiche classiche della relatività
generale
L'esperimento di Pound e Rebka del 1960, poi ripetuto da
Pound e Snider nel 1965, è una fondamentale verifica
del Principio di Equivalenza che sta alla base della
moderna interpretazione di Einstein della gravità come
"curvatura" dello spazio-tempo.
La Teoria della Relatività Generale di Einstein ha avuto
enormi riflessi nella descrizione non solo degli oggetti
massicci, stelle di neutroni e buchi neri, ma nella
descrizione della struttura a grande scala
(cosmologica) dell'Universo. Per quanto complicata,
questa raffinata teoria fisica ha alla sua base, e questo
è veramente un "miracolo", un semplice principio: il
Principio di Equivalenza.
Verifiche classiche della relatività
generale
Questo principio stabilisce che "è sempre possibile
annullare localmente un campo gravitazionale con un
sistema di riferimento uniformemente accelerato". La
conseguenza immediata di questo principio riguarda il
comportamento di corpi di differente composizione
chimica e fisica in caduta libera in un campo
gravitazionale.
Ebbene se è sempre possibile annullare un campo
gravitazionale, seppur localmente con un sistema di
riferimento uniformemente accelerato, ecco che la
massa gravitazionale di un corpo deve sempre essere
uguale a quella inerziale
Verifiche classiche della relatività
generale
Già l'esperimento di Eötvos del 1904,
aveva verificato la validità di questo
principio per i corpi materiali
misurando, con una bilancia
gravitazionale, l'uguaglianza tra massa
inerziale e gravitazionale con una
notevole precisione.
Verifiche classiche della relatività
generale
Quello che Pound e Rebka fecero con successo nel
1960 fu di verificare la validità dello stesso
principio per la luce. Come mai questa estensione
dai corpi materiali alla luce? Una delle
caratteristiche del principio di equivalenza, per
altro già individuata da Galileo Galilei, è che la
caduta libera dei corpi materiali in un campo
gravitazionale uniforme è indipendente dalla loro
composizione chimica e struttura fisica.
Verifiche classiche della relatività
generale
Questo si può tradurre in un problema di
traiettorie: corpi con la stessa massa
inerziale percorrono traiettorie simili nello
stesso campo gravitazionale
indipendentemente dalla loro composizione
chimico-fisica.
Per essere ancora più precisi, questo significa
che la struttura atomica dei corpi non
interagisce con il campo gravitazionale e
quindi con lo spazio-tempo.
Verifiche classiche della relatività
generale
Se sostituiamo i corpi materiali con dei raggi di luce
in caduta libera nel campo gravitazionale terrestre
che succederà? Pound e Rebka utilizzarono la torre
del Jefferson Physical Laboratory dell'Università di
Harvard, alta circa 22,5 metri, per studiare l'effetto
della differenza del potenziale del campo
gravitazionale dalla cime alla base della torre.
Sulla torre di Harvard vengono emessi fotoni gamma
di elevata energia dal ferro 57 e, utilizzando l'effetto
Mössbauer gli stessi fotoni vengono riassorbiti alla
base della torre sempre da ferro 57.
Verifiche classiche della relatività
generale
Se non esistesse il blueshift gravitazionale, i
fotoni che emette la sorgente in cima alla
torre dovrebbero cadere nel campo
gravitazionale terrestre ed essere
completamente assorbiti dalla sorgente
posta alla base (tramite il processo inverso
del decadimento).
Verifiche classiche della relatività
generale
Ma questo non accadde. Si osservò, invece,
che questo processo di assorbimento si
verificava soltanto imprimendo alla sorgente
in cima alla torre una certa velocità. Veniva
così prodotto uno spostamento Doppler che
compensava quello gravitazionale.
Verifiche classiche della relatività
generale
Dalla velocità che occorreva impartire alla
sorgente affinché si verificasse
l’assorbimento fu poi possibile risalire al
valore dello shift (spostamento)
gravitazionale.
Questo risultò in perfetto accordo con la
previsione fornita dalla relatività generale,
fornendo una sua ulteriore verifica
sperimentale.
Verifiche classiche della relatività
generale
Un complesso meccanismo di ricezioneassorbimento permette di mettere in evidenza che
alla base della torre gli stessi fotoni emessi 22,5
metri più in alto hanno una frequenza leggermente
più piccola (red-shift) prodotta da un rallentamento
del campo gravitazionale dei raggi luminosi.
In questo modo con un red-shift gravitazionale si
manifesta il Principio di Equivalenza per i raggi
luminosi!
Verifiche classiche della relatività
generale
Il risultato finale dà un valore, per il red-shift
gravitazionale, di (0,9990 ± 0,0076) volte il valore
(previsto dal principio di equivalenza) della
differenza di potenziale gravitazionale lungo la
torre e la verifica è fatta con una precisione di una
parte su 100.000.
Questo risultato conferma che la moderna teoria
relativistica della gravitazione si basa su di un
principio come quello di equivalenza che ha una
straordinaria verifica sperimentale
Onde gravitazionali
Una variazione dello stato di moto delle masse determina
una perturbazione delle proprietà geometriche dello
Spazio-Tempo
Queste perturbazioni della geometria, generate in
prossimità delle masse che stanno cambiando il loro
stato di moto, possono propagarsi nello Spazio-Tempo
==> ONDE GRAVITAZIONALI
Possiamo pensare alle onde gravitazionali come
increspature nello spazio-tempo piatto
Onde gravitazionali
Caratteristiche principali delle O.G.
Sono deformazioni dello spazio-tempo che si
propagano con la velocità della luce
Sono onde trasverse
Hanno due stati di polarizzazione
Onde gravitazionali
Onde gravitazionali
Vengono emesse da momenti di quadrupolo di massa variabili nel
tempo
– Massa di acciaio, 1 metro di raggio, lunga 20 metri, ruotante alla
velocità di 4.4 rivoluzioni/s P = 10-30 W
– In un evento di Supernova, a seconda del grado di asimmetria
del collasso gravitazionale associato all’esplosione, potrebbe
essere emessa energia pari a ~ 1040 Joule
Ma lo scambio d’energia tra Onde Gravitazionali e Materia è
debolissimo. L’Onda Gravitazionale attraversa la Materia
senza essere significativamente attenuata.
Il Sole, la Terra ed in generale i corpi celesti sono quasi
trasparenti alle Onde Gravitazionali
Onde gravitazionali
La variazione L della distanza L tra due particelle è
proporzionale all’intensità dell’onda gravitazionale
h L / L
Come possiamo renderci conto che stanno cambiando le
proprietà geometriche dello spazio?
Anche il nostro metro campione si deforma!!
Onde gravitazionali
Possiamo misurare il tempo che luce impiega a fare un
viaggio di andata e ritorno tra due punti, perché la velocità
della luce è sempre pari a c.
Se ho tre corpi ai vertici di una L, al passaggio di un’onda
gravitazionale, quando un tratto si allunga, l’altro si
accorcia e viceversa
