1 Espressioni polinomiali - e

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Espressioni polinomiali
Un monomio è un’espressione letterale in una variabile x che contiene una potenza intera (non negativa, cioè maggiori o uguali
a zero) di x moltiplicata per un numero reale:
axn
AD ESEMPIO:
√ 3
2x ,
5x2 ,
9
sono tutti monomi.
In particolare va osservato che
9 = 9x0
√
Il grado del monomio axn è l’esponente n quindi il grado di 2x3 è 3,
il grado di 5x2 è 2,
il grado di 9 = 9x0 è zero.
Un’espressione letterale in una variabile x è detta polinomiale se è somma di monomi e il suo grado è il grado massimo dei suoi
monomi:
AD ESEMPIO:
√ 3
2x + 5x2 + 9
è un’espressione polinomiale di grado 3.
Un’equazione tra due espressioni polinomiali si dice di grado 1 o di primo grado
se
vi compare un monomio di grado 1 e i monomi che vi compaiono sono al massimo di grado 1 (cioè le potenze di x che vi
compaiono sono al massimo di esponente 1).
AD ESEMPIO:
2x + 1 = 3(x + 1)
2x + 1 = 3(x + 1) − x
2x + 1 = 3(x + 1) − x − 2
sono tutte equazioni di primo grado.
Un’equazione tra due espressioni polinomiali si dice di grado 2 o di secondo grado, se vi compare un monomio di grado
2 e i monomi che vi compaiono sono al massimo di grado 2, cioè se le potenze di x che vi compaiono sono al massimo di
esponente 2:
2x2 + 1 = 3(x + 1) − 2
è un’equazione di secondo grado.
In generale, un’equazione tra due espressioni polinomiali si dice di grado n, o di grado n-simo se vi compare un monomio
di grado n e se i monomi che vi compaiono sono tutti di grado al massimo n, cioè le potenze di x che vi compaiono sono al
massimo di esponente n:
2x2 + 1 = 3(x5 + 1)
è un’equazione di quinto grado.
UNA SOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE è un valore x0 reale tale che se poniamo x = x0 le due espressioni sono uguali.
AD ESEMPIO ponendo x = 2 in 2x2 + 1 = 3(x + 1) otteniamo
2x2 + 1 = 3(x + 1) per x = 2
SE E SOLO SE
2 · 22 + 1 = 3(2 + 1) SE E SOLO SE
e quindi x = 2 è soluzione dell’equazione 2x2 + 1 = 3(x + 1).
8+1 = 3·3 ⇔ 9 = 9
2
Equazioni e disequazioni di primo grado
Un’equazione di primo grado si può sempre ridurre ad una espressioe del tipo
ax + b = 0
AD ESEMPIO:
2x + 1 = 3(x + 1) ⇔ 2x + 1 = 3x + 3 ⇔ 2x + 1 − 3x − 3 = 3x + 3 − 3x − 3 ⇔ −x − 2 = 0
2x + 1 = 3(x + 1) − x ⇔ 2x + 1 = 3x + 3 − x ⇔ 2x + 1 = 2x + 3 ⇔ 2x + 1 − 2x − 3 = 2x + 3 − 2x − 3 ⇔ −2 = 0
2x + 1 = 3(x + 1) − x − 2 ⇔ 2x + 1 = 3x + 3 − x − 2 ⇔ 2x + 1 = 2x + 1 ⇔ 2x + 1 − 2x − 1 = 2x + 1 − 2x − 1 ⇔ 0 = 0
Come mostrato dagli esempi precendenti, per un’equazione di primo grado ridotta alla forma canonica si possono avere tre situazioni diverse:
a 6= 0: in questo caso l’equazione ha una sola soluzione x = −b/a;
a = 0, b 6= 0:
in questo caso l’equazione non ha soluzioni e si dice anche che l’equazione è impossibile;
a = 0 b = 0:
in questo caso l’equazione ha infinite soluzioni, infatti qualunque valore scegliamo per x, questo è soluzione.
In questo caco si dice che l’equazione è indeterminata.
Concentriamoci sul caso in cui a 6= 0 e b due numeri reali noti, risolvere l’equazione di primo grado
ax + b = 0
significa trovare, se esistono, i valori di x reali che soddisfano la precedente uguaglianza
Ricordando alcune proprietà dei numeri reali , ossia, ad esempio, ∀ α, β ∈ R (che si legge: per ogni alfa e beta che appartengono
all’insieme dei numeri reali)
α = β, implica α + γ = β + γ
∀γ ∈ R
α = β, implica αγ = βγ ∀γ ∈ R.
Interpretazione grafica:
riprendiamo gli esempi precedenti, iniziando dall’equazione 2x + 1 = 3(x + 1).
Possiamo disegnare sul piano cartesiano il grafico delle due rette
y = 2x + 1,
e
y = 3(x + 1)
ossia i due sottoinsiemi del piano cartesiano
{(x, y), tali che y = 2x + 1}
{(x, y), tali che y = 3(x + 1)}
queste due rette si intersecano in un punto (x0 , y0 ).
Per trovare le coordinate del punto (x0 , y0 ) occorre e basta richiedere che appartenga ad entrambe le rette, ossia che
y0 = 2x0 + 1
e contemporaneamente
y0 = 3(x0 + 1)
di conseguenza deve necessariamente accadere che
2x0 + 1 = 3(x0 + 1) = y0 ⇔ x0 è soluzione dell’equazione 2x + 1 = 3(x + 1)
QUINDI
x0 = −2
e
y0 = 2x0 + 1 = 2 · (−2) + 1 = −3
IN CONCLUSIONE: risolvere l’equazione 2x + 1 = 3(x + 1) significa trovare l’ascissa del punto in comune alle due rette
y = 2x + 1 e y = 3(x + 1).
Figura 1: Grafico delle due rette y = 2x + 1 e y = 3(x + 1).
Figura 2: Grafico delle due rette y = 2x + 1 e y = 3(x + 1) − x (= 2x + 3).
Per gli altri due casi diamo solo l’interpretazione grafica: per l’equazione 2x + 1 = 3(x + 1) − x, in modo del tutto analogo,
osserviamo che risolvere l’equazione corrisponde a cercare l’ascissa (o le ascisse) degli eventuali punti in comune tra le due rette
y = 2x + 1
e
y = 3(x + 1) − x ⇔ y = 2x + 3.
In questo caso le due rette sono parallele e quindi non hanno punti in comune Questo fatto si riflette nel fatto che non ci sono
soluzioni all’equazione 2x + 1 = 3(x + 1) − x.
Anche per l’equazione 2x + 1 = 3(x + 1) − x − 2 osserviamo che risolvere l’equazione corrisponde a cercare l’ascissa (o le
ascisse) degli eventuali punti in comune tra le due rette
y = 2x + 1
e
y = 3(x + 1) − x − 2 ⇔ y = 2x + 1.
In questo caso le due rette coincidono e quindi hanno tutti i punti in comune.
Questo fatto si riflette nel fatto che per qualunque valore di x vale l’uguaglianza 2x + 1 = 3(x + 1) − x − 2.
Per le disequazioni di primo grado, esattamente come prima, si riducono sempre ad disequazioni del tipo
ax + b ≥ 0.
Ad esempio
2x + 1 ≥ 3(x + 1) ⇔ 2x + 1 ≥ 3x + 3 ⇔ 2x + 1 − 3x − 3 ≥ 3x + 3 − 3x − 3 ⇔ −x − 2 ≥ 0
2x + 1 ≥ 3(x + 1) − x ⇔ 2x + 1 ≥ 3x + 3 − x ⇔ 2x + 1 ≥ 2x + 3 ⇔ 2x + 1 − 2x − 3 ≥ 2x + 3 − 2x − 3 ⇔ −2 ≥ 0
2x + 1 ≥ 3(x − 1) − x ⇔ 2x + 1 ≥ 3x − 3 − x ⇔ 2x + 1 ≥ 2x − 3 ⇔ 2x + 1 − 2x + 3 ≥ 2x − 3 − 2x + 3 ⇔ 2 ≥ 0
2x + 1 ≥ 3(x + 1) − x − 2 ⇔ 2x + 1 ≥ 3x + 3 − x − 2 ⇔ 2x + 1 ≥ 2x + 1 ⇔ 2x + 1 − 2x − 1 ≥ 2x + 1 − 2x − 1 ⇔ 0 ≥ 0
3
Equazioni e disequazioni di secondo grado
Siano a 6= 0, b e c tre numeri reali noti, risolvere un’equazione di secondo grado significa trovare, se esistono, i valori di x reali
per i quali vale
ax2 + bx + c = 0
ESEMPIO 1
x2 − x − 2 = 0
Osservando che
x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)
[infatti (x + 1)(x − 2) = x2 + x − 2x − 2 = x2 − x − 2]
si vede facilmente che le soluzioni sono x = −1 e x = 2
(infatti per due numeri reali α e β si ha αβ = 0 se e solo se α = 0 oppure β = 0)
ESEMPIO 2
x2 − 2 = 0
√
√
Le soluzioni sono + 2 e − 2
ESEMPIO 3
x2 + 2 = 0
non ammette soluzioni reali in quanto per ogni x reale si ha x2 ≥ 0 per cui x2 + 2 ≥ 0 + 2.
ESEMPIO 4
x2 − 2x + 1 = 0
Osservando che x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 si vede facilmente che solo x = 1 soddisfa l’equazione x2 − 2x + 1 = 0.
Siano a 6= 0, b e c tre numeri reali noti, risolvere una disequazione di secondo grado significa trovare, se esistono, i valori di x reali per i
quali vale
ax2 + bx + c ≥ 0
(oppure ax2 + bx + c ≤ 0)
ESEMPIO 1 BIS
x2 − x − 2 ≥ 0
Osservando che
x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)
e ricordando che, per ogni α e β numeri reali,
"(
αβ ≥ 0
⇔
α≥0
β≥0
(
oppure
α≤0
β≤0
#
si vede facilmente che le soluzioni sono date da
(
x+1 ≥ 0
x−2 ≥ 0
(
oppure
x+1 ≤ 0
x−2 ≤ 0
Ossia
x≥2
oppure
x ≤ −1
GRAFICAMENTE si può usare il metodo illustrato nella Figura 3: si studiano i segni di ciascuno dei due fattori (x + 1) e (x − 2) e si
ottiene il segno del prodotto utilizzando le regole ”+ per + = +”, ”+ per - = -” e ”- per - = +”.
Figura 3: Studio del segno di (x + 1)(x − 2)
ESEMPIO 2 BIS
x2 − 2 ≥ 0
√
√
Le soluzioni dell’equazione corrispondente sono + 2 e − 2 e quindi le soluzioni sono date dal sistema
(
(
√
√
x+ 2 ≥ 0
x+ 2 ≤ 0
√
√
oppure
x− 2 ≥ 0
x− 2 ≤ 0
ossia
x≥
√
2
oppure
√
x ≤ − 2.
ESEMPIO 3 BIS
x2 + 2 ≥ 0
L’equazione corrispondente non ammette soluzioni reali, in quanto per ogni x reale si ha x2 ≥ 0 per cui x2 + 2 ≥ 0 + 2. Quindi ogni x reale
soddisfa la disequazione, e l’insieme delle soluzioni è tutta la retta reale.
ESEMPIO 4 BIS
x2 − 2x + 1 ≤ 0
Osservando che x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 si vede facilmente che solo x = 1 soddisfa la disequazione x2 − 2x + 1 ≤ 0.
ATTENZIONE:
√ Definizione di radice quadrata di un numero positivo.
Se α ≥ 0 allora α è definito come quel numero β MAGGIORE O UGUALE A ZERO, β ≥ 0, tale che β2 = α.
QUINDI LA√
RADICE QUADRATA DI UN NUMERO
MAGGIORE O UGUALE A ZERO È SEMPRE MAGGIORE O UGUALE A ZERO!!!
√
Ad esempio 4 = 2 MENTRE SCRIVERE 4 = ±2 È UN ERRORE!!
√
Invece le soluzioni dell’equazione x2 = 4 sono effettivamente ± 4 = ±2.
La confusione potrebbe derivare dal fatto che a volte le soluzioni di un’equazione di secondo grado sono dette radici dell’equazione.
COME ARRIVARE ALLA SOLUZIONE GENERALE DELL’EQUAZIONE ax2 + c = 0 (ossia il caso b = 0, e, come sempre, a 6= 0)
ax2 + c = 0
⇔
ax2 + c−c = 0−c
⇔ ax2 = −c
⇔
1 2 1
ax = (−c)
a
a
Da questi semplici passaggi otteniamo che vanno distinti due casi, a seconda del segno di
i
⇔ x2 =
−c
a
−c
a
−c
≥0
a
In questo caso ci sono due soluzioni
r
x1 = +
−c
a
r
x2 = −
−c
,
a
o più sinteticamente
r
x1,2 = ±
ATTENZIONE: ovviamente se
ii
−c
a
−c
.
a
= 0 in realtà x1 = x2 = 0: in questo sottocaso si dice che ci sono due soluzioni coincidenti.
−c
<0
a
In questo caso non ci sono soluzioni reali, in quanto, qualunque sia x reale, x2 ≥ 0 e quindi è impossibile che x2 = −c
a
NOTA: Ovviamente
reali, perché se si sercano INVECE soluzioni complesse, ricordando che il numero
√ stiamo parlando2 di soluzioni
immaginario i = −1,, per il quale i = (−i)2 = −1, potremmo dire che ci sono due soluzioni complesse
r
c
z1,2 = ±i
.
a
COME ARRIVARE ALLA SOLUZIONE GENERALE DELL’EQUAZIONE ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) L’idea è riuscire a riscrivere
#
"
b 2 b2 − 4ac
2
−
ax + bx + c = a x +
2a
(2a)2
in modo da trasformare l’equazione
ax2 + bx + c = 0
nell’equazione
#
"
b 2 b2 − 4ac
=0
a x+
−
2a
(2a)2
da cui si ottiene (trascurando il fattore a 6= 0) in modo del tutto simile al caso precedente
ax2 + bx + c = 0
⇔
b 2 b2 − 4ac
x+
=
2a
(2a)2
Tralasciando, per ora, il motivo per cui vale questa uguaglianza, osserviamo che vanno distinti due casi, a seconda del segno di
b2 −4ac
,
(2a)2
ossia di
∆ := b2 − 4ac (∆ è una lettera maiuscola e si legge delta)
i
b2 − 4ac
≥0
(2a)2
⇔
∆ := b2 − 4ac ≥ 0
x1,2 =
In questo caso ci sono due soluzioni
√
−b ± b2 − 4ac
,
2a
ovvero x1 =
√
√
−b − b2 − 4ac
−b + b2 − 4ac
, x2 =
,
2a
2a
(1)
b
ATTENZIONE: ovviamente se b2 −4ac = 0 in realtà x1 = x2 == − 2a
: in questo sottocaso si dice che ci sono due soluzioni coincidenti.
2
2
b
−4ac
Per la verifica di (1) basta osservare che x + 2a
= b(2a)
2 vale se e solo se
s
b
b2 − 4ac
x1,2 +
=±
,
2a
(2a)2
ossia
b
x1,2 = − ±
2a
s
b2 − 4ac
.
(2a)2
Per ottenere la forma usuale basta notare che
s
( √2
√
−4ac
± b 2a
b2 − 4ac
b2 − 4ac
√
√
±
=±
=
2 −4ac
2 −4ac
2
b
|2a|
(2a)
± −2a = ∓ b 2a
se a > 0
se a < 0
e quindi nel caso in cui a < 0, l’insieme delle soluzioni rimane lo stesso del caso in cui a √
> 0.
IMPORTANTE: Abbiamo usato il fatto che, il fatto che per un numero reale α si ha che α2 = |α|, dove il simbolo |α| è il suo valore
assoluto, anche detto il suo modulo, ossia
(
α
se α ≥ 0
|α| =
−α se α < 0
ad esempio |3| √
= 3 mentre | − 3| = 3. Ricordando che la radice quadrata di un numero è sempre maggiore o uguale a zero, si vede
facilmente che α2 = |α|, Infatti
(
q
p
p
α
se α ≥ 0
ad esempio
α2 =
32 = 3, e (−3)2 = 3 = −(−3)
2
2
−α se α < 0
(infatti (−α) = α e −α > 0)
ii
b2 − 4ac
<0
(2a)2
⇔
∆ := b2 − 4ac < 0
b 2
In questo caso non ci sono soluzioni reali, in quanto, per ogni numero y reale, y2 ≥ 0 e quindi è impossibile che (x + 2a
) =
b2 −4ac
(< 0).
(2a)2
NOTA: Ovviamente
√ stiamo parlando di soluzioni reali, perché se si cercano INVECE soluzioni complesse, ricordando che il numero
immaginario i = −1, potremmo dire che ci sono due soluzioni complesse
p
√
√
|∆|
−b + i −b2 + 4ac −b
−b2 + 4ac −b
z1 =
=
+i
=
+i
,
2a
2a
2a
2a
2a
p
√
√
|∆|
−b2 + 4ac −b
−b − i −b2 + 4ac −b
=
+i
=
−i
z2 =
2a
2a
2a
2a
2a
MOTIVO PER CUI VALE
ax2 + bx + c = a
2
2
b
−4ac
x + 2a
− b(2a)
2
e quindi, SE ∆ = b2 − 4ac ≥ 0
ax2 + bx + c = a
i h
i
h
q 2
q 2
−4ac
b
−4ac
b
x + 2a
= a(x − x1 )(x − x2 )
x + 2a
− b(2a)
+ b(2a)
2
2
Infatti, essendo a 6= 0, possiamo scrivere
!
b
c
c
b
2
2
ax + bx + c = a x + x +
x+
= a x +2
a
a
a
2a
2
aggiungendo e sottraendo
b 2
2a
e ricordando che (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 , si ottiene allora
"
#
"
#
2 2
b
c
b
b
b 2 b2 − 4ac
−
+
−
x+
= a x+
2a
2a
2a
a
2a
4a2
"
#
∆
b 2
= a x+
− 2
2a
4a
ax2 + bx + c = a x2 + 2
Arrivati alla precedente espressione, se ∆ ≥ 0 basta usare la ben nota uguaglianza
α2 − β2 = (α − β)(α + β)
con
b
α = x+
e β=
2a
q 2
−4ac
Si noti che se ∆ := b2 − 4ac ≥ 0 allora ha senso calcolare b(2a)
2 .
s
b2 − 4ac
(2a)2
ax2 + bx + c ≥ 0.
DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Iniziamo con il considerare il caso in cui ci sono due soluzioni reali e distinte x1 e x2 , ossia
se b2 − 4ac ≥ 0
come abbiamo visto questa condizione ci permette di scrivere
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
Lo studio del segno di tale espressione si riduce allo studio del segno dei singoli fattori a, (x − x1 ) e (x − x2 ), come illustrato nella Figura 4,
ma, come accennato in seguito, c’è un metodo di rappresentazione che permette di ricordare facilmente lo studio del segno.
Figura 4: Studio del segno di a(x − x1 )(x − x2 )
Riassumendo: se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0 e se a > 0
allora a(x − x1 )(x − x2 ) ≥ 0 se e solo se x ≤ x1 oppure x ≥ x2 ovvero per x ∈ (−∞, x1 ] ∪ [x2 , +∞)
ed EQUIVALENTEMENTE
allora a(x − x1 )(x − x2 ) ≤ 0 se e solo se x ≥ x1 e x ≤ x2 ovvero per x1 ≤ x ≤ x2 ovvero per x ∈ [x1 , x2 ]
se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0 e se a < 0
allora a(x − x1 )(x − x2 ) ≤ 0 se e solo se x ≤ x1 oppure x ≥ x2 ovvero per x ∈ (−∞, x1 ] ∪ [x2 , +∞)
ed EQUIVALENTEMENTE
allora a(x − x1 )(x − x2 ) ≥ 0 se e solo se x ≥ x1 e x ≤ x2 ovvero per x1 ≤ x ≤ x2 ovvero per x ∈ [x1 , x2 ]
Infine osserviamo che se b2 − 4ac = 0, allora x1 = x2 e quindi ax2 + bx + c = a(x − x1 )2 e il segno dipende solo dal segno di a.
Anche nel caso in cui non ci sono due soluzioni reali, ossia
se ∆ = b2 − 4ac < 0 il segno dipende solo da a, infatti, poiché, abbiamo visto che
"
#
b 2 b2 − 4ac
ax + bx + c = a x +
−
2a
(2a)2
2
2
2
b
−4ac
quando ∆ = b2 − 4ac < 0, si ha che anche x + 2a
− b(2a)
2 > 0.
Quindi riassumendo
se ∆ = b2 − 4ac < 0 e se a > 0 allora ax2 + bx + c > 0 per ogni x
se ∆ = b2 − 4ac < 0 e se a < 0 allora ax2 + bx + c < 0 per ogni x
PER CAPIRE BENE E MEMORIZZARE, conviene pensare al grafico della funzione f (x) = ax2 + bx + c, ossia all’insieme {(x, y) tali che y =
ax2 + bx + c}, che è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto o verso il basso, a seconda del segno di a (come in Figura 5).
Figura 5: dalla Figura 5.4 del testo di Villani, segno delle parabole
DISUGUAGLIANZE IRRAZIONALI (con le radici quadrate)
Siano A(x) e B(x) due espressioni polinomiali, una disuguaglianza irrazionale è una disuguaglianza del tipo
p
TIPO I A(x) ≥ B(x)
TIPO II A(x) ≤
p
B(x)
ESEMPIO 1:
2x − 1 ≥
p
x2 − 4
che è una disuguaglianza irrazionale di tipo I, è equivalente al seguente sistema:

2

x − 4 ≥ 0
2x − 1 ≥ 0


(2x − 1)2 ≥ x2 − 4
INFATTI: Per iniziare bisogna assicurarsi che l’espressione
√
x2 − 4 abbia senso, ossia che x2 − 4 ≥ 0.
Si noti che, per x = 1, si ha x2 − 4 = 12 − 4 = −3 e NON HA SENSO scrivere
Poi, tenendo conto che
√
−3.
√
√
x2 − 4 ≥ 0 e che 2x − 1 ≥ x2 − 4, bisogna richiedere che l’espressione 2x − 1 ≥ 0.
Si noti che, per x = −3, si ha x2 − 4 = (−3)2 − 4 = 5 e 2x − 1 = −7,
√
ma NON VALE −7 ≥ 5, mentre vale (−7)2 ≥ 52 , ossia 49 ≥ 25!!!
√
√
Infine, tenendo conto del fatto che x2 − 4 ≥ 0, x2 − 4 ≥ 0 e 2x − 1 ≥ 0, la disequazione 2x − 1 ≥ x2 − 4 è equivalente a richiedere che
√
2
(2x − 1)2 ≥
x2 − 4 , ossia (2x − 1)2 ≥ x2 − 4.
Quindi per risolvere la disequazione razionale
2x − 1 ≥
p
x2 − 4
va risolto il seguente sistema:

2

x − 4 ≥ 0
2x − 1 ≥ 0


(2x − 1)2 ≥ x2 − 4
che è equivalente a


x ≥ 2 oppure x ≤ −2
x ≥ 12

 2
4x − 4x + 1 ≥ x2 − 4
e quindi la soluzione di 2x − 1 ≥
⇔
3x2 − 4x + 5 ≥ 0
che vale per ogni x, in quanto ∆ = 42 − 4 · 3 · 5 = 4(4 − 15) < 0
√
x2 − 4 è: per ogni x ≥ 2
Ricapitolando: una disuguaglianza del tipo I
A(x) ≥
p
B(x) equivale al sistema di disuguaglianze


B(x) ≥ 0
A(x) ≥ 0

2

A(x) ≥ B(x)
Passiamo ora invece ad un esempio di disuguaglianza irrazionale di tipo II
p
2x − 1 ≤ x2 − 4
Questa disuguaglianza è equivalente ai seguenti sistemi:
(
x2 − 4 ≥ 0
2x − 1 ≤ 0

2

x − 4 ≥ 0
2x − 1 ≥ 0


(2x − 1)2 ≤ x2 − 4
oppure
la soluzione della disequazione è data dall’unione delle soluzioni√dei due sistemi.
INFATTI: Per iniziare bisogna assicurarsi che l’espressione x2 − 4 abbia senso, ossia che x2 − 4 ≥ 0.
COME PRIMA: Si noti che, per x = 1, si ha x2 − 4 = 12 − 4 = −3 e NON HA SENSO scrivere
√
−3.
Poi, vanno distinti i casi in cui l’espressione 2x − 1 ≤ 0 e il caso in cui 2x − 1 > 0:
quando 2x − 1 ≤ 0
basta richiedere che x2 − 4 ≥ 0 e abbiamo finito,
Si noti che ogni numero negativo o nullo è minore o uguale a una radice quadrata
√
in quanto una radice quadrata è sempre positiva o nulla: ad esempio −3 ≤ 5
quando 2x − 1 > 0
√
√
tenendo conto del fatto che x2 − 4 ≥ 0, x2 − 4 ≥ 0 e 2x − 1 > 0, la disequazione 2x − 1 ≤ x2 − 4 è equivalente a richiedere che (2x − 1)2 ≤
√
2
x2 − 4 , ossia (2x − 1)2 ≤ x2 − 4.
√
Quindi per risolvere la disequazione irrazionale 2x − 1 ≤ x2 − 4 vanno risolti i seguenti sistemi:
primo sistema
(
x2 − 4 ≥ 0
2x − 1 ≤ 0
che è equivalente a
(
x ≥ 2 oppure x ≤ −2
x ≤ 21
la cui soluzione è: {x tali che x ≤ −2};
secondo sistema
ovvero x ≤ −2
ovvero x ∈ (−∞, −2]

2

x − 4 ≥ 0
2x − 1 ≥ 0


(2x − 1)2 ≤ x2 − 4
che è equivalente a


x ≥ 2 oppure x ≤ −2
x ≥ 12

 2
4x − 4x + 1 ≤ x2 − 4
e quindi 2x − 1 ≤
⇔
3x2 − 4x + 5 ≥ 0
che non vale mai, in quanto ∆ = 42 − 4 · 3 · 5 < 0
√
x2 − 4 è soddisfatta per x ∈ (−∞, 2] ∪ 0/ = x ∈ (−∞, 2].
Ricapitolando: risolvere una disuguaglianza del tipo II
p
A(x) ≤ B(x) equivale a risolvere il problema dato da due sistemi di disuguaglianze:

(

B(x) ≥ 0
B(x) ≥ 0
oppure
A(x) ≥ 0

2
A(x) ≤ 0

A(x) ≤ B(x)
la soluzione della disequazione è data dall’unione delle soluzioni dei due sistemi.
OSSERVAZIONE 1: va notato che i valori di x per i quali A(x) = B(x) = 0 soddisfano sia il primo sistema che il secondo sistema. Non è molto
elegante, ma non è sbagliato.
OSSERVAZIONE 2: va notato che la condizione B(x) ≥ 0 nel secondo sistema è sovrabbondante, in quanto automaticamente soddisfatta se
2
2
vale anche A(x) ≤ B(x) in quanto 0 ≤ A(x) ≤ B(x): è poco elegante, ma è bene ricordare subito che la radice quadrata ha senso solo per
numeri maggiori o uguali a zero.
Bisogna poi stare attenti al caso delle disuguaglianze strette, ad esempio
p
A(x) < B(x) equivale a risolvere il problema dato da due sistemi di disuguaglianze:

(

B(x) ≥ 0
B(x) ≥ 0
oppure
A(x) ≥ 0

2
A(x) < 0

A(x) < B(x)
la soluzione della disequazione è data dall’unione delle soluzioni dei due sistemi.
ESEMPIO 2
x−1 ≤
p
x2 − 1
vale se e solo se
(
x2 − 1 ≥ 0
x−1 ≤ 0
oppure

2

x − 1 ≥ 0
x−1 ≥ 0

2

x − 1 ≤ x2 − 1
Il primo sistema è soddisfatto per x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞) ∩ (−∞, 1] ossia per x ∈ (−∞, −1] ∪ {1}.

(

x ≤ −1 oppure x ≥ 1
x≥1
Il secondo sistema è equivalente a
che a sua volta equivale a
x≥1

−2x ≤ −2
 2
x − 2x + 1 ≤ x2 − 1
e che soddisfatto per x ≥ 1.
√
La soluzione è quindi: la disequazione irrazionale x − 1 ≤ x2 − 1 è soddifatta per x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞).
ESEMPIO 2 BIS
x−1 <
p
x2 − 1
vale se e solo se
(
x2 − 1 ≥ 0
x−1 < 0
oppure

2

x − 1 ≥ 0
x−1 ≥ 0

2

x − 1 < x2 − 1
Il primo sistema è soddisfatto per x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞) ∩ (−∞, 1) ossia per x ∈ (−∞, −1].

(

x ≤ −1 oppure x ≥ 1
x≥1
Il secondo sistema è equivalente a
che a sua volta equivale a
x≥1

−2x < −2
 2
x − 2x + 1 < x2 − 1
e che soddisfatto per x > 1.
√
La soluzione è quindi: la disequazione irrazionale x − 1 < x2 − 1 è soddifatta per x ∈ (−∞, −1] ∪ (1, +∞).
DISUGUAGLIANZE IRRAZIONALI (con le radici cubiche)
Siano A(x) e B(x) due espressioni polinomiali, una disuguaglianza irrazionale (con radici cubiche) è una disuguaglianza del tipo
p
TIPO I A(x) ≥ 3 B(x)
TIPO II A(x) ≤
p
3
B(x)
Qui la trattazione è più semplice: infatti la radice cubica di un numero ha sempre senso, sia per numeri positivi che negativi, quindi
semplicemente i due problemi sono equivalenti a
TIPO I A(x)3 ≥ B(x)
TIPO II A(x)3 ≤ B(x)
Le considerazioni fatte si generalizzano facilmente al caso di radici n − sime distinguendo tra n pari, che si trattano in modo del tutto simile
al caso delle radici quadrate, ed n dispari, che si trattano in modo del tutto simile al caso delle radici cubiche.