1 Espressioni polinomiali Un monomio è un’espressione letterale in una variabile x che contiene una potenza intera (non negativa, cioè maggiori o uguali a zero) di x moltiplicata per un numero reale: axn AD ESEMPIO: √ 3 2x , 5x2 , 9 sono tutti monomi. In particolare va osservato che 9 = 9x0 √ Il grado del monomio axn è l’esponente n quindi il grado di 2x3 è 3, il grado di 5x2 è 2, il grado di 9 = 9x0 è zero. Un’espressione letterale in una variabile x è detta polinomiale se è somma di monomi e il suo grado è il grado massimo dei suoi monomi: AD ESEMPIO: √ 3 2x + 5x2 + 9 è un’espressione polinomiale di grado 3. Un’equazione tra due espressioni polinomiali si dice di grado 1 o di primo grado se vi compare un monomio di grado 1 e i monomi che vi compaiono sono al massimo di grado 1 (cioè le potenze di x che vi compaiono sono al massimo di esponente 1). AD ESEMPIO: 2x + 1 = 3(x + 1) 2x + 1 = 3(x + 1) − x 2x + 1 = 3(x + 1) − x − 2 sono tutte equazioni di primo grado. Un’equazione tra due espressioni polinomiali si dice di grado 2 o di secondo grado, se vi compare un monomio di grado 2 e i monomi che vi compaiono sono al massimo di grado 2, cioè se le potenze di x che vi compaiono sono al massimo di esponente 2: 2x2 + 1 = 3(x + 1) − 2 è un’equazione di secondo grado. In generale, un’equazione tra due espressioni polinomiali si dice di grado n, o di grado n-simo se vi compare un monomio di grado n e se i monomi che vi compaiono sono tutti di grado al massimo n, cioè le potenze di x che vi compaiono sono al massimo di esponente n: 2x2 + 1 = 3(x5 + 1) è un’equazione di quinto grado. UNA SOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE è un valore x0 reale tale che se poniamo x = x0 le due espressioni sono uguali. AD ESEMPIO ponendo x = 2 in 2x2 + 1 = 3(x + 1) otteniamo 2x2 + 1 = 3(x + 1) per x = 2 SE E SOLO SE 2 · 22 + 1 = 3(2 + 1) SE E SOLO SE e quindi x = 2 è soluzione dell’equazione 2x2 + 1 = 3(x + 1). 8+1 = 3·3 ⇔ 9 = 9 2 Equazioni e disequazioni di primo grado Un’equazione di primo grado si può sempre ridurre ad una espressioe del tipo ax + b = 0 AD ESEMPIO: 2x + 1 = 3(x + 1) ⇔ 2x + 1 = 3x + 3 ⇔ 2x + 1 − 3x − 3 = 3x + 3 − 3x − 3 ⇔ −x − 2 = 0 2x + 1 = 3(x + 1) − x ⇔ 2x + 1 = 3x + 3 − x ⇔ 2x + 1 = 2x + 3 ⇔ 2x + 1 − 2x − 3 = 2x + 3 − 2x − 3 ⇔ −2 = 0 2x + 1 = 3(x + 1) − x − 2 ⇔ 2x + 1 = 3x + 3 − x − 2 ⇔ 2x + 1 = 2x + 1 ⇔ 2x + 1 − 2x − 1 = 2x + 1 − 2x − 1 ⇔ 0 = 0 Come mostrato dagli esempi precendenti, per un’equazione di primo grado ridotta alla forma canonica si possono avere tre situazioni diverse: a 6= 0: in questo caso l’equazione ha una sola soluzione x = −b/a; a = 0, b 6= 0: in questo caso l’equazione non ha soluzioni e si dice anche che l’equazione è impossibile; a = 0 b = 0: in questo caso l’equazione ha infinite soluzioni, infatti qualunque valore scegliamo per x, questo è soluzione. In questo caco si dice che l’equazione è indeterminata. Concentriamoci sul caso in cui a 6= 0 e b due numeri reali noti, risolvere l’equazione di primo grado ax + b = 0 significa trovare, se esistono, i valori di x reali che soddisfano la precedente uguaglianza Ricordando alcune proprietà dei numeri reali , ossia, ad esempio, ∀ α, β ∈ R (che si legge: per ogni alfa e beta che appartengono all’insieme dei numeri reali) α = β, implica α + γ = β + γ ∀γ ∈ R α = β, implica αγ = βγ ∀γ ∈ R. Interpretazione grafica: riprendiamo gli esempi precedenti, iniziando dall’equazione 2x + 1 = 3(x + 1). Possiamo disegnare sul piano cartesiano il grafico delle due rette y = 2x + 1, e y = 3(x + 1) ossia i due sottoinsiemi del piano cartesiano {(x, y), tali che y = 2x + 1} {(x, y), tali che y = 3(x + 1)} queste due rette si intersecano in un punto (x0 , y0 ). Per trovare le coordinate del punto (x0 , y0 ) occorre e basta richiedere che appartenga ad entrambe le rette, ossia che y0 = 2x0 + 1 e contemporaneamente y0 = 3(x0 + 1) di conseguenza deve necessariamente accadere che 2x0 + 1 = 3(x0 + 1) = y0 ⇔ x0 è soluzione dell’equazione 2x + 1 = 3(x + 1) QUINDI x0 = −2 e y0 = 2x0 + 1 = 2 · (−2) + 1 = −3 IN CONCLUSIONE: risolvere l’equazione 2x + 1 = 3(x + 1) significa trovare l’ascissa del punto in comune alle due rette y = 2x + 1 e y = 3(x + 1). Figura 1: Grafico delle due rette y = 2x + 1 e y = 3(x + 1). Figura 2: Grafico delle due rette y = 2x + 1 e y = 3(x + 1) − x (= 2x + 3). Per gli altri due casi diamo solo l’interpretazione grafica: per l’equazione 2x + 1 = 3(x + 1) − x, in modo del tutto analogo, osserviamo che risolvere l’equazione corrisponde a cercare l’ascissa (o le ascisse) degli eventuali punti in comune tra le due rette y = 2x + 1 e y = 3(x + 1) − x ⇔ y = 2x + 3. In questo caso le due rette sono parallele e quindi non hanno punti in comune Questo fatto si riflette nel fatto che non ci sono soluzioni all’equazione 2x + 1 = 3(x + 1) − x. Anche per l’equazione 2x + 1 = 3(x + 1) − x − 2 osserviamo che risolvere l’equazione corrisponde a cercare l’ascissa (o le ascisse) degli eventuali punti in comune tra le due rette y = 2x + 1 e y = 3(x + 1) − x − 2 ⇔ y = 2x + 1. In questo caso le due rette coincidono e quindi hanno tutti i punti in comune. Questo fatto si riflette nel fatto che per qualunque valore di x vale l’uguaglianza 2x + 1 = 3(x + 1) − x − 2. Per le disequazioni di primo grado, esattamente come prima, si riducono sempre ad disequazioni del tipo ax + b ≥ 0. Ad esempio 2x + 1 ≥ 3(x + 1) ⇔ 2x + 1 ≥ 3x + 3 ⇔ 2x + 1 − 3x − 3 ≥ 3x + 3 − 3x − 3 ⇔ −x − 2 ≥ 0 2x + 1 ≥ 3(x + 1) − x ⇔ 2x + 1 ≥ 3x + 3 − x ⇔ 2x + 1 ≥ 2x + 3 ⇔ 2x + 1 − 2x − 3 ≥ 2x + 3 − 2x − 3 ⇔ −2 ≥ 0 2x + 1 ≥ 3(x − 1) − x ⇔ 2x + 1 ≥ 3x − 3 − x ⇔ 2x + 1 ≥ 2x − 3 ⇔ 2x + 1 − 2x + 3 ≥ 2x − 3 − 2x + 3 ⇔ 2 ≥ 0 2x + 1 ≥ 3(x + 1) − x − 2 ⇔ 2x + 1 ≥ 3x + 3 − x − 2 ⇔ 2x + 1 ≥ 2x + 1 ⇔ 2x + 1 − 2x − 1 ≥ 2x + 1 − 2x − 1 ⇔ 0 ≥ 0 3 Equazioni e disequazioni di secondo grado Siano a 6= 0, b e c tre numeri reali noti, risolvere un’equazione di secondo grado significa trovare, se esistono, i valori di x reali per i quali vale ax2 + bx + c = 0 ESEMPIO 1 x2 − x − 2 = 0 Osservando che x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) [infatti (x + 1)(x − 2) = x2 + x − 2x − 2 = x2 − x − 2] si vede facilmente che le soluzioni sono x = −1 e x = 2 (infatti per due numeri reali α e β si ha αβ = 0 se e solo se α = 0 oppure β = 0) ESEMPIO 2 x2 − 2 = 0 √ √ Le soluzioni sono + 2 e − 2 ESEMPIO 3 x2 + 2 = 0 non ammette soluzioni reali in quanto per ogni x reale si ha x2 ≥ 0 per cui x2 + 2 ≥ 0 + 2. ESEMPIO 4 x2 − 2x + 1 = 0 Osservando che x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 si vede facilmente che solo x = 1 soddisfa l’equazione x2 − 2x + 1 = 0. Siano a 6= 0, b e c tre numeri reali noti, risolvere una disequazione di secondo grado significa trovare, se esistono, i valori di x reali per i quali vale ax2 + bx + c ≥ 0 (oppure ax2 + bx + c ≤ 0) ESEMPIO 1 BIS x2 − x − 2 ≥ 0 Osservando che x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) e ricordando che, per ogni α e β numeri reali, "( αβ ≥ 0 ⇔ α≥0 β≥0 ( oppure α≤0 β≤0 # si vede facilmente che le soluzioni sono date da ( x+1 ≥ 0 x−2 ≥ 0 ( oppure x+1 ≤ 0 x−2 ≤ 0 Ossia x≥2 oppure x ≤ −1 GRAFICAMENTE si può usare il metodo illustrato nella Figura 3: si studiano i segni di ciascuno dei due fattori (x + 1) e (x − 2) e si ottiene il segno del prodotto utilizzando le regole ”+ per + = +”, ”+ per - = -” e ”- per - = +”. Figura 3: Studio del segno di (x + 1)(x − 2) ESEMPIO 2 BIS x2 − 2 ≥ 0 √ √ Le soluzioni dell’equazione corrispondente sono + 2 e − 2 e quindi le soluzioni sono date dal sistema ( ( √ √ x+ 2 ≥ 0 x+ 2 ≤ 0 √ √ oppure x− 2 ≥ 0 x− 2 ≤ 0 ossia x≥ √ 2 oppure √ x ≤ − 2. ESEMPIO 3 BIS x2 + 2 ≥ 0 L’equazione corrispondente non ammette soluzioni reali, in quanto per ogni x reale si ha x2 ≥ 0 per cui x2 + 2 ≥ 0 + 2. Quindi ogni x reale soddisfa la disequazione, e l’insieme delle soluzioni è tutta la retta reale. ESEMPIO 4 BIS x2 − 2x + 1 ≤ 0 Osservando che x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 si vede facilmente che solo x = 1 soddisfa la disequazione x2 − 2x + 1 ≤ 0. ATTENZIONE: √ Definizione di radice quadrata di un numero positivo. Se α ≥ 0 allora α è definito come quel numero β MAGGIORE O UGUALE A ZERO, β ≥ 0, tale che β2 = α. QUINDI LA√ RADICE QUADRATA DI UN NUMERO MAGGIORE O UGUALE A ZERO È SEMPRE MAGGIORE O UGUALE A ZERO!!! √ Ad esempio 4 = 2 MENTRE SCRIVERE 4 = ±2 È UN ERRORE!! √ Invece le soluzioni dell’equazione x2 = 4 sono effettivamente ± 4 = ±2. La confusione potrebbe derivare dal fatto che a volte le soluzioni di un’equazione di secondo grado sono dette radici dell’equazione. COME ARRIVARE ALLA SOLUZIONE GENERALE DELL’EQUAZIONE ax2 + c = 0 (ossia il caso b = 0, e, come sempre, a 6= 0) ax2 + c = 0 ⇔ ax2 + c−c = 0−c ⇔ ax2 = −c ⇔ 1 2 1 ax = (−c) a a Da questi semplici passaggi otteniamo che vanno distinti due casi, a seconda del segno di i ⇔ x2 = −c a −c a −c ≥0 a In questo caso ci sono due soluzioni r x1 = + −c a r x2 = − −c , a o più sinteticamente r x1,2 = ± ATTENZIONE: ovviamente se ii −c a −c . a = 0 in realtà x1 = x2 = 0: in questo sottocaso si dice che ci sono due soluzioni coincidenti. −c <0 a In questo caso non ci sono soluzioni reali, in quanto, qualunque sia x reale, x2 ≥ 0 e quindi è impossibile che x2 = −c a NOTA: Ovviamente reali, perché se si sercano INVECE soluzioni complesse, ricordando che il numero √ stiamo parlando2 di soluzioni immaginario i = −1,, per il quale i = (−i)2 = −1, potremmo dire che ci sono due soluzioni complesse r c z1,2 = ±i . a COME ARRIVARE ALLA SOLUZIONE GENERALE DELL’EQUAZIONE ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) L’idea è riuscire a riscrivere # " b 2 b2 − 4ac 2 − ax + bx + c = a x + 2a (2a)2 in modo da trasformare l’equazione ax2 + bx + c = 0 nell’equazione # " b 2 b2 − 4ac =0 a x+ − 2a (2a)2 da cui si ottiene (trascurando il fattore a 6= 0) in modo del tutto simile al caso precedente ax2 + bx + c = 0 ⇔ b 2 b2 − 4ac x+ = 2a (2a)2 Tralasciando, per ora, il motivo per cui vale questa uguaglianza, osserviamo che vanno distinti due casi, a seconda del segno di b2 −4ac , (2a)2 ossia di ∆ := b2 − 4ac (∆ è una lettera maiuscola e si legge delta) i b2 − 4ac ≥0 (2a)2 ⇔ ∆ := b2 − 4ac ≥ 0 x1,2 = In questo caso ci sono due soluzioni √ −b ± b2 − 4ac , 2a ovvero x1 = √ √ −b − b2 − 4ac −b + b2 − 4ac , x2 = , 2a 2a (1) b ATTENZIONE: ovviamente se b2 −4ac = 0 in realtà x1 = x2 == − 2a : in questo sottocaso si dice che ci sono due soluzioni coincidenti. 2 2 b −4ac Per la verifica di (1) basta osservare che x + 2a = b(2a) 2 vale se e solo se s b b2 − 4ac x1,2 + =± , 2a (2a)2 ossia b x1,2 = − ± 2a s b2 − 4ac . (2a)2 Per ottenere la forma usuale basta notare che s ( √2 √ −4ac ± b 2a b2 − 4ac b2 − 4ac √ √ ± =± = 2 −4ac 2 −4ac 2 b |2a| (2a) ± −2a = ∓ b 2a se a > 0 se a < 0 e quindi nel caso in cui a < 0, l’insieme delle soluzioni rimane lo stesso del caso in cui a √ > 0. IMPORTANTE: Abbiamo usato il fatto che, il fatto che per un numero reale α si ha che α2 = |α|, dove il simbolo |α| è il suo valore assoluto, anche detto il suo modulo, ossia ( α se α ≥ 0 |α| = −α se α < 0 ad esempio |3| √ = 3 mentre | − 3| = 3. Ricordando che la radice quadrata di un numero è sempre maggiore o uguale a zero, si vede facilmente che α2 = |α|, Infatti ( q p p α se α ≥ 0 ad esempio α2 = 32 = 3, e (−3)2 = 3 = −(−3) 2 2 −α se α < 0 (infatti (−α) = α e −α > 0) ii b2 − 4ac <0 (2a)2 ⇔ ∆ := b2 − 4ac < 0 b 2 In questo caso non ci sono soluzioni reali, in quanto, per ogni numero y reale, y2 ≥ 0 e quindi è impossibile che (x + 2a ) = b2 −4ac (< 0). (2a)2 NOTA: Ovviamente √ stiamo parlando di soluzioni reali, perché se si cercano INVECE soluzioni complesse, ricordando che il numero immaginario i = −1, potremmo dire che ci sono due soluzioni complesse p √ √ |∆| −b + i −b2 + 4ac −b −b2 + 4ac −b z1 = = +i = +i , 2a 2a 2a 2a 2a p √ √ |∆| −b2 + 4ac −b −b − i −b2 + 4ac −b = +i = −i z2 = 2a 2a 2a 2a 2a MOTIVO PER CUI VALE ax2 + bx + c = a 2 2 b −4ac x + 2a − b(2a) 2 e quindi, SE ∆ = b2 − 4ac ≥ 0 ax2 + bx + c = a i h i h q 2 q 2 −4ac b −4ac b x + 2a = a(x − x1 )(x − x2 ) x + 2a − b(2a) + b(2a) 2 2 Infatti, essendo a 6= 0, possiamo scrivere ! b c c b 2 2 ax + bx + c = a x + x + x+ = a x +2 a a a 2a 2 aggiungendo e sottraendo b 2 2a e ricordando che (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 , si ottiene allora " # " # 2 2 b c b b b 2 b2 − 4ac − + − x+ = a x+ 2a 2a 2a a 2a 4a2 " # ∆ b 2 = a x+ − 2 2a 4a ax2 + bx + c = a x2 + 2 Arrivati alla precedente espressione, se ∆ ≥ 0 basta usare la ben nota uguaglianza α2 − β2 = (α − β)(α + β) con b α = x+ e β= 2a q 2 −4ac Si noti che se ∆ := b2 − 4ac ≥ 0 allora ha senso calcolare b(2a) 2 . s b2 − 4ac (2a)2 ax2 + bx + c ≥ 0. DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Iniziamo con il considerare il caso in cui ci sono due soluzioni reali e distinte x1 e x2 , ossia se b2 − 4ac ≥ 0 come abbiamo visto questa condizione ci permette di scrivere ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ). Lo studio del segno di tale espressione si riduce allo studio del segno dei singoli fattori a, (x − x1 ) e (x − x2 ), come illustrato nella Figura 4, ma, come accennato in seguito, c’è un metodo di rappresentazione che permette di ricordare facilmente lo studio del segno. Figura 4: Studio del segno di a(x − x1 )(x − x2 ) Riassumendo: se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0 e se a > 0 allora a(x − x1 )(x − x2 ) ≥ 0 se e solo se x ≤ x1 oppure x ≥ x2 ovvero per x ∈ (−∞, x1 ] ∪ [x2 , +∞) ed EQUIVALENTEMENTE allora a(x − x1 )(x − x2 ) ≤ 0 se e solo se x ≥ x1 e x ≤ x2 ovvero per x1 ≤ x ≤ x2 ovvero per x ∈ [x1 , x2 ] se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0 e se a < 0 allora a(x − x1 )(x − x2 ) ≤ 0 se e solo se x ≤ x1 oppure x ≥ x2 ovvero per x ∈ (−∞, x1 ] ∪ [x2 , +∞) ed EQUIVALENTEMENTE allora a(x − x1 )(x − x2 ) ≥ 0 se e solo se x ≥ x1 e x ≤ x2 ovvero per x1 ≤ x ≤ x2 ovvero per x ∈ [x1 , x2 ] Infine osserviamo che se b2 − 4ac = 0, allora x1 = x2 e quindi ax2 + bx + c = a(x − x1 )2 e il segno dipende solo dal segno di a. Anche nel caso in cui non ci sono due soluzioni reali, ossia se ∆ = b2 − 4ac < 0 il segno dipende solo da a, infatti, poiché, abbiamo visto che " # b 2 b2 − 4ac ax + bx + c = a x + − 2a (2a)2 2 2 2 b −4ac quando ∆ = b2 − 4ac < 0, si ha che anche x + 2a − b(2a) 2 > 0. Quindi riassumendo se ∆ = b2 − 4ac < 0 e se a > 0 allora ax2 + bx + c > 0 per ogni x se ∆ = b2 − 4ac < 0 e se a < 0 allora ax2 + bx + c < 0 per ogni x PER CAPIRE BENE E MEMORIZZARE, conviene pensare al grafico della funzione f (x) = ax2 + bx + c, ossia all’insieme {(x, y) tali che y = ax2 + bx + c}, che è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto o verso il basso, a seconda del segno di a (come in Figura 5). Figura 5: dalla Figura 5.4 del testo di Villani, segno delle parabole DISUGUAGLIANZE IRRAZIONALI (con le radici quadrate) Siano A(x) e B(x) due espressioni polinomiali, una disuguaglianza irrazionale è una disuguaglianza del tipo p TIPO I A(x) ≥ B(x) TIPO II A(x) ≤ p B(x) ESEMPIO 1: 2x − 1 ≥ p x2 − 4 che è una disuguaglianza irrazionale di tipo I, è equivalente al seguente sistema: 2 x − 4 ≥ 0 2x − 1 ≥ 0 (2x − 1)2 ≥ x2 − 4 INFATTI: Per iniziare bisogna assicurarsi che l’espressione √ x2 − 4 abbia senso, ossia che x2 − 4 ≥ 0. Si noti che, per x = 1, si ha x2 − 4 = 12 − 4 = −3 e NON HA SENSO scrivere Poi, tenendo conto che √ −3. √ √ x2 − 4 ≥ 0 e che 2x − 1 ≥ x2 − 4, bisogna richiedere che l’espressione 2x − 1 ≥ 0. Si noti che, per x = −3, si ha x2 − 4 = (−3)2 − 4 = 5 e 2x − 1 = −7, √ ma NON VALE −7 ≥ 5, mentre vale (−7)2 ≥ 52 , ossia 49 ≥ 25!!! √ √ Infine, tenendo conto del fatto che x2 − 4 ≥ 0, x2 − 4 ≥ 0 e 2x − 1 ≥ 0, la disequazione 2x − 1 ≥ x2 − 4 è equivalente a richiedere che √ 2 (2x − 1)2 ≥ x2 − 4 , ossia (2x − 1)2 ≥ x2 − 4. Quindi per risolvere la disequazione razionale 2x − 1 ≥ p x2 − 4 va risolto il seguente sistema: 2 x − 4 ≥ 0 2x − 1 ≥ 0 (2x − 1)2 ≥ x2 − 4 che è equivalente a x ≥ 2 oppure x ≤ −2 x ≥ 12 2 4x − 4x + 1 ≥ x2 − 4 e quindi la soluzione di 2x − 1 ≥ ⇔ 3x2 − 4x + 5 ≥ 0 che vale per ogni x, in quanto ∆ = 42 − 4 · 3 · 5 = 4(4 − 15) < 0 √ x2 − 4 è: per ogni x ≥ 2 Ricapitolando: una disuguaglianza del tipo I A(x) ≥ p B(x) equivale al sistema di disuguaglianze B(x) ≥ 0 A(x) ≥ 0 2 A(x) ≥ B(x) Passiamo ora invece ad un esempio di disuguaglianza irrazionale di tipo II p 2x − 1 ≤ x2 − 4 Questa disuguaglianza è equivalente ai seguenti sistemi: ( x2 − 4 ≥ 0 2x − 1 ≤ 0 2 x − 4 ≥ 0 2x − 1 ≥ 0 (2x − 1)2 ≤ x2 − 4 oppure la soluzione della disequazione è data dall’unione delle soluzioni√dei due sistemi. INFATTI: Per iniziare bisogna assicurarsi che l’espressione x2 − 4 abbia senso, ossia che x2 − 4 ≥ 0. COME PRIMA: Si noti che, per x = 1, si ha x2 − 4 = 12 − 4 = −3 e NON HA SENSO scrivere √ −3. Poi, vanno distinti i casi in cui l’espressione 2x − 1 ≤ 0 e il caso in cui 2x − 1 > 0: quando 2x − 1 ≤ 0 basta richiedere che x2 − 4 ≥ 0 e abbiamo finito, Si noti che ogni numero negativo o nullo è minore o uguale a una radice quadrata √ in quanto una radice quadrata è sempre positiva o nulla: ad esempio −3 ≤ 5 quando 2x − 1 > 0 √ √ tenendo conto del fatto che x2 − 4 ≥ 0, x2 − 4 ≥ 0 e 2x − 1 > 0, la disequazione 2x − 1 ≤ x2 − 4 è equivalente a richiedere che (2x − 1)2 ≤ √ 2 x2 − 4 , ossia (2x − 1)2 ≤ x2 − 4. √ Quindi per risolvere la disequazione irrazionale 2x − 1 ≤ x2 − 4 vanno risolti i seguenti sistemi: primo sistema ( x2 − 4 ≥ 0 2x − 1 ≤ 0 che è equivalente a ( x ≥ 2 oppure x ≤ −2 x ≤ 21 la cui soluzione è: {x tali che x ≤ −2}; secondo sistema ovvero x ≤ −2 ovvero x ∈ (−∞, −2] 2 x − 4 ≥ 0 2x − 1 ≥ 0 (2x − 1)2 ≤ x2 − 4 che è equivalente a x ≥ 2 oppure x ≤ −2 x ≥ 12 2 4x − 4x + 1 ≤ x2 − 4 e quindi 2x − 1 ≤ ⇔ 3x2 − 4x + 5 ≥ 0 che non vale mai, in quanto ∆ = 42 − 4 · 3 · 5 < 0 √ x2 − 4 è soddisfatta per x ∈ (−∞, 2] ∪ 0/ = x ∈ (−∞, 2]. Ricapitolando: risolvere una disuguaglianza del tipo II p A(x) ≤ B(x) equivale a risolvere il problema dato da due sistemi di disuguaglianze: ( B(x) ≥ 0 B(x) ≥ 0 oppure A(x) ≥ 0 2 A(x) ≤ 0 A(x) ≤ B(x) la soluzione della disequazione è data dall’unione delle soluzioni dei due sistemi. OSSERVAZIONE 1: va notato che i valori di x per i quali A(x) = B(x) = 0 soddisfano sia il primo sistema che il secondo sistema. Non è molto elegante, ma non è sbagliato. OSSERVAZIONE 2: va notato che la condizione B(x) ≥ 0 nel secondo sistema è sovrabbondante, in quanto automaticamente soddisfatta se 2 2 vale anche A(x) ≤ B(x) in quanto 0 ≤ A(x) ≤ B(x): è poco elegante, ma è bene ricordare subito che la radice quadrata ha senso solo per numeri maggiori o uguali a zero. Bisogna poi stare attenti al caso delle disuguaglianze strette, ad esempio p A(x) < B(x) equivale a risolvere il problema dato da due sistemi di disuguaglianze: ( B(x) ≥ 0 B(x) ≥ 0 oppure A(x) ≥ 0 2 A(x) < 0 A(x) < B(x) la soluzione della disequazione è data dall’unione delle soluzioni dei due sistemi. ESEMPIO 2 x−1 ≤ p x2 − 1 vale se e solo se ( x2 − 1 ≥ 0 x−1 ≤ 0 oppure 2 x − 1 ≥ 0 x−1 ≥ 0 2 x − 1 ≤ x2 − 1 Il primo sistema è soddisfatto per x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞) ∩ (−∞, 1] ossia per x ∈ (−∞, −1] ∪ {1}. ( x ≤ −1 oppure x ≥ 1 x≥1 Il secondo sistema è equivalente a che a sua volta equivale a x≥1 −2x ≤ −2 2 x − 2x + 1 ≤ x2 − 1 e che soddisfatto per x ≥ 1. √ La soluzione è quindi: la disequazione irrazionale x − 1 ≤ x2 − 1 è soddifatta per x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞). ESEMPIO 2 BIS x−1 < p x2 − 1 vale se e solo se ( x2 − 1 ≥ 0 x−1 < 0 oppure 2 x − 1 ≥ 0 x−1 ≥ 0 2 x − 1 < x2 − 1 Il primo sistema è soddisfatto per x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞) ∩ (−∞, 1) ossia per x ∈ (−∞, −1]. ( x ≤ −1 oppure x ≥ 1 x≥1 Il secondo sistema è equivalente a che a sua volta equivale a x≥1 −2x < −2 2 x − 2x + 1 < x2 − 1 e che soddisfatto per x > 1. √ La soluzione è quindi: la disequazione irrazionale x − 1 < x2 − 1 è soddifatta per x ∈ (−∞, −1] ∪ (1, +∞). DISUGUAGLIANZE IRRAZIONALI (con le radici cubiche) Siano A(x) e B(x) due espressioni polinomiali, una disuguaglianza irrazionale (con radici cubiche) è una disuguaglianza del tipo p TIPO I A(x) ≥ 3 B(x) TIPO II A(x) ≤ p 3 B(x) Qui la trattazione è più semplice: infatti la radice cubica di un numero ha sempre senso, sia per numeri positivi che negativi, quindi semplicemente i due problemi sono equivalenti a TIPO I A(x)3 ≥ B(x) TIPO II A(x)3 ≤ B(x) Le considerazioni fatte si generalizzano facilmente al caso di radici n − sime distinguendo tra n pari, che si trattano in modo del tutto simile al caso delle radici quadrate, ed n dispari, che si trattano in modo del tutto simile al caso delle radici cubiche.