Tutorato 17 03 2014 Benedetti [Calcolo Combinatorio]

Esercizi di Probabilità - Matematica
Applicata a. a. 2013-3014
Doriano Benedetti
26 marzo 2014
1
Esercizio 1
In quanti modi diversi si può vestire una persona che possiede 10 abiti, 5
paia di scarpe e 2 cappelli?
Soluzione
Si deve scegliere un oggetto da ciascuna delle tre categorie, quindi:
Dn1,1 · Dn2,1 · Dn3,1 = 10 · 5 · 2 = 100
Esercizio 2
In quanti modi posso disporre su uno scaffale due enciclopedie, ciascuna
di 3 volumi, e altre due enciclopedie, ciascuna di 4 volumi, in modo che
volumi della stessa opera non siano mai separati?
Soluzione
Si usano le permutazioni semplici
P4 · ( P3 )2 · ( P4 )2 = 4! · 3!2 · 4!2 = 497.664
dove P4 il numero di modi in cui si possono riordinare le 4 opere tra loro. Gli altri termini fanno riferimento invece al modo in cui si possono
riordinare i libri all’interno delle varie opere.
Esercizio 3
Quante parole di 4 consonanti e 3 vocali si possono formare usando 7
consonanti e 5 vocali (senza nessun vincolo ortografico)?
Soluzione
Si devono scegliere 4 consonanti tra le 7 a disposizione (senza ripetizione e
l’ordine in cui si pescano non conta) e lo stesso per le vocali. Poi calcoliamo
2
gli anagrammi, ovvero il numero di parole che si possono formare con le
7 lettere scelte. Quindi otterremo:
� � � �
7
5
C7,4 · C5,3 · P7 =
·
· 7! = 1.764.000
4
3
Esercizio 4
Uno studente deve rispondere a 7 domande scelte a caso da una lista di
10. Quante possibili scelte ha, se:
1. non ha vincoli?
2. deve rispondere ad almeno 3 delle prime 5 domande?
3. deve rispondere a 2 delle prime 4 e ad almeno 2 delle ultime 3?
Soluzione
1. Se non ha vincoli saranno le combinazioni, visto che l’ordine non
conta:
� �
10
C10,7 =
= 120
7
2. Se deve rispondere ad almeno 3 delle prime 5, potrà rispondere a 3
delle prime 5 e poi a 4 delle ultime 5, o a 4 delle prime 5 e a 3 delle
ultime 5, oppure a tutte le prime 5 e a 3 delle restanti 5. Quindi:
� � � � � � � � � � � �
5
5
5
5
5
5
C5,3 · C5,4 + C5,4 · C5,3 + C5,5 · C5,2 =
·
+
·
+
·
= 110
3
4
4
3
5
2
3. Se deve rispondere a 2 delle prime 4 e ad almeno 2 delle ultime 3:
� � � �
4
3
C4,2 · C3,3 · C3,2 + C4,2 · C3,2 · C3,3 = 2 ·
·
= 36
2
2
3
Esercizio 5
10 giocatori di tennis decidono di giocare un doppio:
1. quante coppie distinte si possono formare?
2. una volta formate le 5 coppie, quante distinte partite (coppia contro
coppia) si possono giocare?
Soluzione
Le coppie che possiamo formare sono:
� �
10
C10,2 =
= 45
2
Le partite che si possono disputare con 5 coppie sono:
� �
5
C5,2 =
= 10
2
Esercizio 6
La biglietteria di un teatro dispone di 100 biglietti numerati. Scegliendone
5 a caso, quante sono le possibilità:
1. di avere estratto dei biglietti consecutivi?
2. e se si considera anche l’ordine con cui i biglietti vengono scelti?
Soluzione
Partendo dal biglietto numero 1, i gruppi di 5 biglietti consecutivi, sono
D96,1 = 96
Se cosideriamo anche l’ordine con cui i biglietti sono scelti, dovremmo
tener conto anche che i 5 biglietti consecutivi, possono essere venduti in
5! modi. Per tale valore dovremo quindi moltiplicare il risultato del punto
precedente
96 · 5! = 96 · 120 = 11.520
4
Esercizio 7
Uno studente ha deciso di vendere 3 libri fra i 6 di matematica, 7 di scienze,
4 di economia e 3 di latino che possiede. Quante sono le possibili scelte se:
1. i libri devono trattare lo stesso argomento:
2. i libri devono trattare argomenti diversi;
3. almeno due libri venduti devono essere di latino.
Soluzione
1. Se i libri da vendere devono trattare lo stesso argomento, dobbiamo
sommare le possibili scelte di matematica, di scienze, di economia e
di latino:
� � � � � � � �
6
7
4
3
+
+
+
= 60
3
3
3
3
2. Se deveono trattare argomenti diversi, dovremmo considerare le possibili scelte di 3 libri dai 4 gruppi
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
6
7
4
6
7
3
6
4
3
7
4
3
·
·
+
·
·
+
·
·
+
·
·
= 450
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3. Se almeno due libri devono essere di latino, dovremmo considerare
le combinazioni di 3 libri in gruppi di 2 di latino, per le possibili
scelte del 3 libro. Quindi
� � � �
3
17
·
= 51
2
1
Esercizio 8
(Maturità Europea 1986)
1. Tre automobilisti si servono per i loro veicoli del medesimo parcheggio. Essi devono consegnare le chiavi delle loro automobili al custode del parcheggio. Costui è notoriamente piuttosto negligente e
infatti custodisce le chiavi, ma non si cura di contrassegnarle con il
5
nome del rispettivo proprietario. Accade che i tre automobilisti si
rechino contemporaneamente a riprendersi le chiavi e che il custode
le restituisca a caso. Calcolare la probabilità che:
(a) ciascun automobilista riceva proprio le sue chiavi;
(b) un solo automobilista riceva proprio le sue chiavi;
(c) nessun automobilista riceva le sue chiavi.
2. Ciascun automobilista ha dato 10 €uro al custode del parcheggio;
quest’ultimo è obbilgato a dare 11 €uro a ciascun automobilista che
non riceva le sue chiavi. Calcolare la speranza matematica di guadagno del custode.
Soluzione
1. Calcoliamo le probabilità:
(a) P (3chiavi ) =
1
P3
(b) P (1chiave) =
C3,1
P3
=
(31)
3!
(c) P (0chiavi ) =
D2,1
P3
=
2
6
=
1
3!
= 16 ;
= 12 ;
=
1
3
2. Per rispondere al quesito è di grande utilità disporre una tabella in
cui si riportano per ogni evento, le rispettive probabilità e il guadagno per il custode.
N. di persone che hanno la propria chiave
Probabilità
Guadagno del custode
0
1/3
−3€
1
1/2
+8€
Il guadagno medio del custode diventa allora
G = −3€ ·
1
1
1
+ 8€ · + 30€ · = 8€
3
2
6
2
0
0
3
1/6
+30€
6
Esercizio 9
(Esercizi tratti da Mood-Graybill-Boes, 1997) ...
Un’urna contiene 3 palle rosse, 2 bianche e 1 blu. Una seconda urna
contine 1 palla rossa, 2 bianche e 3 blu.
1. Si estrae a caso una palla da ogni urna.
(a) descrivere uno spazio campionario per questo esperimento;
(b) trovate la probabilità che entrambe le palle siano dello stesso
colore;
(c) la probabilità di estrarre due palle rosse è maggiore di quella di
estrarre due palle bianche?
2. Si mescolano insieme in una stessa urna tutte le palle e quindi si
estrae da questa un campione di tre palle. Trovate la probabilità che
siano rappresentati tutti e tre i colori se il campionamento avviene
(a) con reimmissione
(b) senza reimmissione.
Soluzione
spazio campionario ω
R, R
R, Bi
R, Bl
Bi, R
1.
Bi, Bi
Bi, Bl
Bl, R
Bl, Bi
Bl, Bl
p (ω )
1/12
1/6
1/4
1/18
1/9
1/6
1/36
1/18
1/12
1
(a) Vedi tabella;
(b) P [stesso colore] = P [ R, R] + P [ Bi, Bi ] + P [ Bl, Bl ] = 5/18;
7
(c) No, infatti P [ R, R] < P [ Bi, Bi ].
2. Utot =4R, 4Bi, 4Bl
(a) P [una per ciascun colore] = P3 ·
(b) P [una per ciascun colore] =
� �3
4
12
(41)·(41)·(41)
(12
3)
=
=
2
9
16
55 ;
Esercizio 10
Un’urna contiene 5 palle numerate da 1 a 5, delle quali le prime 3 sono
nere e le ultime due dorate. Si estrae con reimmissione un campione di
ampiezza 2. Sia B1 l’evento connesso al fatto che la prima palla estratta sia
nera, e B2 l’evento connesso al fatto che la seconda palla estratta sia nera.
1. Descrivete uno spazio campionario dell’esperimento e mostrate gli
eventi B1 , B2 e B1 B2 .
2. Trovate P [ B1 ], P [ B2 ], P [ B1 B2 ].
3. Ripetete i punti precedenti con il campionamento senza reimmissione.
Soluzione
spazio campionario ω
NN
ND
1.
DN
DD
3
5
p (ω )
9
· 35 = 25
6
25
6
25
4
25
,
1
2.
B1
N·
9
25
P [ B1 ]
6
+ 25
=
3
5
,
B2
·N
9
25
P [ B2 ]
6
+ 25
=
3
5
,
B1 B2
NN
P [ B1 B2 ]
9
25
8
ω
NN
ND
3.
DN
DD
3
5
p (ω )
6
· 24 = 20
6
20
6
20
2
20
,
B1
N·
P [ B1 ]
6
2 · 20
=
3
5
,
B2
·N
P [ B2 ]
6
2 · 25
=
3
5
,
B1 B2
NN
P [ B1 B2 ]
3
10
1
Esercizio 11
In una catena di montaggio, 1/3 degli oggetti prodotti è difettoso. Se si
prelevano 3 oggetti a caso, qual è la probabilità che:
1. esattamente 1 di essi sia difettoso;
2. almeno 1 di essi sia difettoso;
Soluzione
1. La probabilità che prelevati 3 oggetti esattamente 1 sia difettoso ( D )
è
� �2
1
2
12 ∼
P [1 oggetto D ] = 3 · ·
=
= 0.4444
3
3
27
2. La probabilità cha almeno 1 sia difettoso è dato da
� �3
2
19 ∼
P [almeno 1 D ] = 1 − P [ D̄ D̄ D̄ ] = 1 −
=
= 0, 7037
3
27
Esercizio 12
1. Supponete che A e B siano due squadre ugualmente forti. E’ più
probabile che A batta B in 3 incontri su 4, o in 5 incontri su 7?
2. Supponete ora che la propabilità che A batta B in un singolo incontro
sia p, e rispondete ora alla domanda del punto precedente. La vostra
risposta dipende da p?
9
Soluzione
1. La probabilità che A batta B in 3 incontri su 4 è data da
� �
4
P [3/4] =
· p3 · q = 4 · p4 = 0.25
1
supposto che le due squadre siano ugualmente forti ( p = q = 0.5).
La probabilità che A batta B in 5 incontri su 7 è data da
� �
7
5
P [ /7] =
· p5 · q2 = 21 · p7 ∼
= 0.1641
2
quindi è più probabile che A batta B in 3 incontri su 4.
2. Dovremmo porre
4 · p3 · (1 − p) � 21 · p5 · (1 − p)2
e riarrangiando avremo
p2 (1 − p ) �
4
21
E’ possibile verificare che per valori di p compresi tra [0, 1], è sempre
verificata
4
p2 − p3 <
21
e quindi è confermato che è maggiore la probabilità di riuscire a battere una squadra in 3 incontri su 4, piuttosto che in 5 su 7 e la risposta
non dipende da p.
Esercizio 13
Su un gruppo di 25 persona, qual è la probabiltà che abbiano 25 compleanni diversi? (Assumete un anno di 365 giorni e che tutti i giorni siano
ugualmente equiprobabili).
10
Soluzione
La probabilità è
P [25 compleanni diversi] =
D365,25
365 · 364 · ... · 341 ∼
=
= 0, 4313
r
D365,25
36525
Esercizio 14
Dato P [ A] = 0.5 e P [ A ∪ B] = 0.6, trovate P [ B] se:
1. A e B sono incompatibili;
2. A e B sono indipendenti;
3. P [ A | B] = 0.4.
Soluzione
1. P [ B] = 0.1;
2. P [ B] = 0.2. Si dimostra ponendo per indipendenza P [ A | B] =
P[ AB]
P [ A ] = P[ B] ;
3. P [ B] = 16 ;
Esercizio 15
Se P [ B] = P [ A | B] = P [C | AB] = 12 , quanto vale P [ ABC ]?
Soluzione
P [ ABC ] = P [ B] · P [ A | B] · P [C | AB] = 18 .
11
Esercizio 16
Le urne A e B contengono ognuna 2 palle bianche e 2 nere. Si sceglie
una palla dall’urna A e la si trasferisce nell’urna B, poi se ne sceglie una
dall’urna B, che risulta essere bianca. Qual è la probabilità che la palla
trasferita fosse bianca?
Soluzione
Conviene risolvere il quesito costruendo un albero degli eventi e rifarsi a
teorema delle probabilità totali. Sia A = {la pallina estratta dalla seconda urna è bianca}
e sia B = {la pallina estratta dalla prima urna è bianca}, allora la probabilità richiesta è
P [ B | A] =
P [ A | B] · P [ B]
=
P [ A | B] · P [ B] + P [ A | B̄] · P [ B̄]
3
5
·
3 1
5 · 2
1
2
2 + 5
·
1
2
=
3
5