21 gennaio 2014 S. Caprara e A. Crisanti

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Compito di Fisica Generale II - 21 gennaio 2014
S. Caprara e A. Crisanti
ES. 1 - Si consideri il sistema formato da un conduttore sferico di raggio R, messo a terra e racchiuso in un guscio
sferico concentrico, conduttore, di raggio interno Ri > R e raggio esterno Re > Ri , mantenuto ad un potenziale V0
[si veda la FIG. 1 (a)].
1. Adottato un sistema di coordinate sferiche centrato nel centro del conduttore sferico, si determinino il potenziale
elettrostatico V (r) generato dal sistema in tutto lo spazio, assumendo che esso sia nullo all’infinito, ed il campo
elettrostatico E(r).
2. Si determinino le densità superficiali di carica σ, σi , σe presenti, rispettivamente, sul conduttore sferico e sulla
superficie interna ed esterna del guscio sferico conduttore.
y
V0
R
B
Ri
Re
R
v0
P
O
x
(b)
(a)
FIG. 1.
ES. 2 - Una spira rigida conduttrice di resistenza elettrica R, a forma di triangolo rettangolo isoscele con i cateti di
lunghezza `, giace nel piano xy di un opportuno sistema di riferimento
cartesiano ortogonale e si muove su questo piano
√
di moto traslatorio. L’ipotenusa del triangolo, di lunghezza ` 2, si muove nel verso positivo dell’asse x, mantenendosi
parallela a questo asse, con velocità costante v0 = (v0 , 0, 0). All’istante t = 0, la spira giunge alla frontiera del
semispazio x > 0, nel quale è presente un campo di induzione magnetica uniforme B = (0, 0, B) [si veda la FIG. 1
(b)].
1. Orientata la spira di modo che la normale alla superficie da essa delimitata sia diretta nel verso positivo dell’asse
z, si determini per t > 0, la corrente i(t) che circola nella spira, assumendo che, per intervento di un’opportuna forza
esterna Fe , la spira continui a muoversi con velocità v0 . Si individui la posizione della spira mediante l’ascissa xP (t)
del suo vertice P [si veda la FIG. 1 (b)] e si trascuri l’autoinduzione della spira.
2. Si determini il lavoro complessivamente compiuto dalla forza esterna Fe , per t > 0.
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Risposte
ES. 1 1. Potenziale
V (r) =
V (r) =
V 0 Re
r
V0 RRi
Ri − R
per r > Re ,
1
1
−
R r
V (r) = V0
per Ri ≤ r ≤ Re ,
per R < r < Ri ,
V (r) = 0
per r < Re .
Campo
E(r) =
E(r) = −
V 0 Re
r̂
r2
V0 RRi r̂
Ri − R r2
per r > Re ,
E(r) = 0
per R < r < Ri ,
per Ri ≤ r ≤ Re ,
E(r) = 0
per r < Re .
2. Densità di carica
σ=−
ε0 V 0 Ri
,
R(Ri − R)
σi =
ε0 V 0 R
,
Ri (Ri − R)
σe =
ε0 V 0
Re
ES. 2 1. Corrente
Bv 2 t
i(t) = − 0
R
√
` 2
per 0 < t ≤
,
2v0
Bv0 √
i(t) = −
(` 2 − v0 t)
R
i(t) = 0
per t >
√
` 2
.
v0
2. Lavoro della forza esterna
√
Le =
2 B 2 v0 `3
.
6
R
√
√
` 2
` 2
per
<t≤
,
2v0
v0