PROPRIETÀ GENERALI DEI CIRCUITI
INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLE RETI ELETTRICHE
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Teoria assiomatica
Si postulano le leggi fondamentali e si fa riferimento a componenti ideali, in
accordo con la teoria dei sistemi.
Vengono derivate metodologie di analisi e sintesi.
Legittimità dei postulati (completezza e chiusura nei confronti della teoria
elettromagnetica).
Il bagaglio di nozioni preliminari è ridotto al minimo e si ottiene una rapida
acquisizione di strumenti per l’analisi di sistemi elettrici anche di una certa
complessità.
1. CIRCUITI A PARAMETRI CONCENTRATI
La teoria dei circuiti ha carattere modellistico. In tale ambito sono definiti oggetti
astratti detti componenti ideali, completamente definibili mediante relazioni
matematiche; i componenti opportunamente connessi tra loro formano una rete (o
circuito).
COMPONENTE
è un oggetto, limitato da una superficie
chiusa, dalla quale emergono due o più
terminali filiformi ciascuno dei quali ha
per estremo un morsetto puntiforme.
COLLEGAMENTO
(o connessione) è l’operazione mediante la
quale i
morsetti vengono portati a
coincidere perdendo la loro individualità.
CIRCUITO ELETTRICO
è un insieme di componenti (ideali e a 2 o
più morsetti) opportunamente connessi tra
loro.
VARIABILI DESCRITTIVE
CORRENTI E TENSIONI ELETTRICHE
- Per ogni terminale si può definire una variabile reale scalare funzione del tempo
detta corrente elettrica i(t) riferita ad un sistema di riferimento associato al
terminale e scelto in modo arbitrario (indicazione grafica con una freccia).
La corrente elettrica si misura in Ampere A.
- Per ogni coppia morsetti si può definire una variabile reale scalare funzione del
tempo detta tensione elettrica v(t) riferita ad un sistema di riferimento associato
alla coppia di morsetti ed indicato graficamente con una freccia o con un +/-.
La tensione elettrica si misura in Volt V.
- Tensione e corrente sono variabili atte a descrivere il circuito per i nostri scopi.
- Per comportamento di un circuito si intende l’andamento temporale di tutte le
tensioni e correnti.
- Si possono usare variabili diverse da tensioni e correnti purchè ad esse collegate.
- Questo modello dà luogo a risultati aderenti alla realtà dei fenomeni fisici
fintantochè le dimensioni dei componenti reali, che il modello approssima, sono
piccole rispetto alla lunghezza d’onda associata alla più alta frequenza di
funzionamento.
VINCOLI TOPOLOGICI TRA CORRENTI E TRA
TENSIONI
1.2 LEGGI DI KIRCHHOFF
Il comportamento di un circuito è determinato da
1)
natura dei suoi componenti
2)
modalità di connessione (topologia)
È possibile precisare ciò che dipende dalle connessioni e ciò che dipende dalla natura
del componente.
Le connessioni impongono i seguenti vincoli:
LKC
si consideri una superficie chiusa (gaussiana) tutta al finito, che non
intersechi alcuna superficie limite dei componenti e che intersechi la rete
in corrispondenza solo dei terminali dei componenti (1, 2, .., p). Se si
attribuisce a ciascuno dei terminali un sistema di riferimento arbitrario
locale e un sistema di riferimento globale alla superficie (es. normale
p
uscente) allora per ogni t
i
k 1
LKT
k
(t ) 0 ik nel riferimento della superficie.
si consideri una linea chiusa tutta al finito, tale che ad essa
appartengono solo i morsetti degli elementi che costituiscono la rete.
Siano 1, 2, .., q i morsetti appartenenti alla linea . Si fissi un senso di
percorrenza di e, per ciascuna coppia di morsetti incontrati percorrendo
si attribuisca un riferimento locale per le tensioni, allora si ha per ogni t
v
jl
( j , l )
con sec utivi
(t ) 0 .
COMMENTI
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LKT e LKC impongono vincoli lineari ed esprimono la solenoidalità delle
correnti e l’irrotazionalità delle tensioni.
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LKT e LKC sono equazioni algebriche lineari omogenee a coefficienti costanti.
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LKT e LKC non dipendono dalla natura dei componenti e valgono per
componenti concentrati.
In pratica LKT e LKC valgono se i fenomeni sono completamente definibili e
descrivibili in termini di tensione e corrente.
Ciò implica limitazioni nella velocità di variazione delle grandezze elettriche ai
morsetti ma non all’interno dei componenti.
TENSIONI E CORRENTI DI UN COMPONENTE
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Il comportamento di un generico componente con (n+1) terminali può essere
completamente descritto conoscendo n correnti ed n tensioni ad esso pertinenti
(LKT e LKC).
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Convenzione normale (o degli utilizzatori) e direzioni di riferimento associate
(utile per considerazioni energetiche)
a) si sceglie un morsetto di riferimento (comune)
b) si definiscono le tensioni dei morsetti rimanenti rispetto al riferimento
orientate in senso positivo
c) si definiscono su tali morsetti le correnti con senso entrate nella superficie
limite del componente
-
Tale scelta non è l’unica possibile; basta considerare insiemi di variabili
indipendenti legate funzionalmente alle precedenti da una matrice non singolare.
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Un caso diverso di notevole importanza è costituito da componenti in cui sono
presenti coppie di morsetti che costituiscono unità a se stanti dette “porte”.
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Si definisce porta una coppia di morsetti per i quali sussiste la seguente
condizione: la corrente entrante in un morsetto è uguale ed opposta a quella
entrante nell’altro.
RAPPRESENTAZIONE DI SISTEMI
ELETTROMAGNETICI MEDIANTE MODELLI
CIRCUITALI A COSTANTI CONCENTRATE
IPOTESI DI BASE
Le dimensioni della regione sede dei fenomeni siano sufficientemente piccole da
poter essere trascurate nella propagazione del fenomeno elettromagnetico.
assenza di dimensione
velocità di propagazione , tempo di trasmissione del
fenomeno elettromagnetico nullo
In pratica i limiti di validità del modello a costanti concentrate risiedono nel tempo
impiegato dal campo elettromagnetico per spostarsi da un punto all’altro della
regione d’interesse
tp
L
C
Il tempo in questione deve essere confrontato con l’entità delle variazioni temporali
delle grandezze elettriche tipiche dell’applicazione. Sia T il periodo associato alla
variazione temporale della più alta frequenza presente nel sistema allora deve essere
t p T
ovvero
L
Es.
fmax=100 MHz
=3m
se L=1m non è rappresentabile con un modello concentrato
se L=1cm
l’approssimazione con il modello concentrato è valida
PROPRIETÀ GENERALI DEI CIRCUITI
LINEARITÀ
Un componente o un circuito è lineare se per un effetto valgono relazioni di
linearità rispetto alle cause. Questo significa che le equazioni costitutive dei
componentisono lineari e che le rappresentazioni dei circuiti sono costituite da
equazioni lineari.
TEMPO INVARIANZA
Un componente o circuito è tempo invariante se l’effetto non dipende dall’istante di
applicazione. In altre parole le equazioni costitutive e le rappresentazioni dei circuiti
sono indipendenti dalla variabile temporale.
PASSIVITÀ
Proprietà legata all’energia. Per circuiti che dissipano si esprime dicendo che l’effetto
di una causa di breve durata (limitata nel tempo) tende a scomparire al trascorrere del
tempo o si mantiene al più limitato. In altri termini si può esprimere dicendo che
l’elemento (o il circuito) non può fornire energia all’esterno più di quanta non ne
abbia accumulata
E (t )
t
p( )d 0
t e eccitazione
ove E(t) è l’energia in ingresso al sistema.
CAUSALITÀ
In qualsiasi istante t0 l’effetto dipende solo dai valori della causa per t t0. Per
circuiti lineri un’espressione equivalente è che l’effetto è nullo per t t0 se è nulla la
causa per t t0. Per bipoli lineari e passivi la causalità discende dalle altre due
proprietà.
ANALISI CIRCUITALE
- L’analisi di un circuito elettrico consiste nella determinazione del suo
comportamento (descritto da tutte le v e i) quando sono note le caratteristiche dei
componenti, le modalità di interconnessione e l’andamento temporale delle
eccitazioni presenti.
- I metodi di analisi e la loro complessità dipendono dal tipo dei componenti
presenti e dall’andamento temporale delle funzioni di eccitazione.
- In generale la soluzione del problema d’analisi, cioè l’individuazione di tutte le
{v, i} richiede la scrittura di un sistema di equazioni in 2l incognite (l è il numero
di lati):
1) l equazioni sono desumibili dalle LKT e LKC che esprimono vincoli lineari
omogenei alle grandezze
2) le rimanenti l equazioni sono fornite dalle relazioni costitutive dei componenti.
La natura dei lati e delle eccitazioni caratterizza il tipo di problema matematico
che occorre risolvere (algebrico, lineare, non lineare integrodifferenziale, etc.)
- Per particolari classi di reti (es. reti lineari RLC) è possibile dimostrare esistenza
e unicità della soluzione. In altri casi occorre invocare di volta in volta particolari
proprietà dei componenti affinché sia assicurata l’esistenza della soluzione, la sua
unicità, etc..
METODI DI ANALISI CIRCUITALE
I vari metodi di analisi hanno loscopo di consentire l’uso razionale e sistematico delle
LKC e LKT nell’impostazione del sistema risolvente facendo ricorso alle proprietà
topologiche formalizzate con la teoria dei grafi.
Se non si seguono tali metodi si corre il rischio di
a) impostare un sistema di equazioni non valido, cioè che non ammette soluzione
b) considerare un numero di incognite sproporzionatamente grande in relazione alla
complessità del circuito da analizzare.
Metodi di analisi considerati
- Metodo dei nodi
- Metodo delle maglie
- Metodo degli anelli
- Metodo degli insiemi di taglio
- Metodo del tableau sparso
- Equazioni di stato
I vari metodi di analisi differiscono per il modo in cui vengono scelte le incognite
(dette VARIABILI AUSILIARIE) e vengono scritte le equazioni del sistema
risolvente.
