Scheda problema III - Liceo B Croce
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Scheda III Problema 3 Per un punto P interno alla base AB di un triangolo isoscele ABC, si conducano le corde PM e PN parallele rispettivamente a BC e AC. Dimostrare che il perimetro del parallelogramma AMPN è costante al variare di P. Risoluzione 1° passo: Leggendo il testo cosa puoi dedurre? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Disegna nel riquadro in basso una figura che rappresenti il problema. 2° passo: Quali sono le proprietà che caratterizzano un parallelogramma? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Quali sono le proprietà che caratterizzano un triangolo isoscele? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 3° passo: Apri un foglio di lavoro di CABRI ed esegui le istruzioni elencate nella seguente tabella. Comando utilizzato Segmento Retta Punto su un oggetto Circonferenza Segmento Compasso Specificazione Di estremi A e B Passante per i punti A e B Sulla retta r (a destra di B) Di centro A e passante per K Di estremi A e K Di centro B e raggio AK Oggetti costruiti Segmento AB Retta r Punto K Circonferenza q Segmento AK Circonferenza h 1 Intersezione di due oggetti Segmento Segmento Punto su un oggetto Retta parallela Intersezione di due oggetti Segmento Segmento Retta parallela Intersezione di due oggetti Segmento Segmento Segmento Segmento Della circonferenza h con la circonferenza q Di estremi A e C Di estremi B e C Sul segmento AB Al segmento BC e passante per P Della retta s con il segmento AC Punto C Segmento AC Segmento BC Punto P Retta s Punto M Di estremi P e M Di estremi C e M Al segmento AC e passante per P Della retta t con il segmento BC Segmento PM Segmento CM Retta t Punto N Di estremi P e N Di estremi C e N Di estremi A e M Di estremi N e B Segmento PN Segmento CN Segmento AM Segmento NB Osserva la figura. Perché puoi affermare con certezza che il quadrilatero PNCM è un parallelogramma? ________________________________________________________________ Cosa puoi affermare sulla lunghezza dei lati del parallelogramma PNCM? ________________________________________________________________ Perché puoi affermare con certezza che il triangolo ABC è isoscele? ________________________________________________________________ Secondo te il fatto che il triangolo ABC sia isoscele dipende dalla posizione di K? ________________________________________________________________ Prova a spostare il punto K. Il triangolo ABC è ancora isoscele? ________________________________________________________________ Comando utilizzato Specificazione Oggetti costruiti Distanza e lunghezza Dei segmenti: AC, BC, PN, NC, CM e MP Misura della lunghezza dei segmenti AC, BC, PN, NC, CM e MP Hai ottenuto ciò che ti aspettavi? ________________________________________________________________ Utilizzando il comando Colore, colora in rosso i segmenti MP e CN, e in blu i segmenti PN e CM. Utilizzando il comando Mostra/Nascondi, nascondi le rette, le circonferenze e tutte le misure dei segmenti. 4° passo: Qual è l’ipotesi del problema? Ipotesi:__________________________________________________________ ________________________________________________________________ 2 Qual è la tesi del problema? Tesi:____________________________________________________________ 5° passo: Per risolvere il problema devi dimostrare che il perimetro del parallelogramma PNCM è costante. Cosa significa che il perimetro è costante? ________________________________________________________________ Comando utilizzato Specificazione Oggetti costruiti Poligono Distanza e lunghezza Di estremi P, N, C e M Del poligono PNCM Quadrilatero PNCM Misura del perimetro del quadrilatero PNCM Prova a muovere il punto P. Hai ottenuto ciò che ti aspettavi? ________________________________________________________________ Utilizzando il comando Mostra/Nascondi, nascondi il quadrilatero PNCM. Cosa puoi dire sugli angoli CAB e CBA? (Motiva la risposta) ________________________________________________________________ Cosa puoi dire sugli angoli MPA e CBA? (Motiva la risposta) ________________________________________________________________ Comando utilizzato Specificazione Oggetti costruiti Misura dell’angolo Degli angoli: CAB, CBA e MPA Misura dell’ampiezza degli angoli CAB, CBA e MPA Hai ottenuto ciò che ti aspettavi? ________________________________________________________________ Utilizzando il comando Segna un angolo, segna gli angoli CAB, CBA, MPA. Utilizzando il comando Mostra/Nascondi, nascondi le misure degli angoli. Cosa puoi dire sul triangolo AMP? (Motiva la risposta) ________________________________________________________________ In particolare, cosa puoi dire sui segmenti AM e MP? ________________________________________________________________ Comando utilizzato Specificazione Oggetti costruiti Distanza e lunghezza Dei segmenti: AM e MP Misura della lunghezza dei segmenti AM e MP Hai ottenuto ciò che ti aspettavi? ________________________________________________________________ Utilizzando il comando Colore, colora in rosso il segmento AM. Utilizzando il comando Mostra/Nascondi, nascondi tutte le misure dei segmenti. 3 Prova ora a dimostrare che PN è congruente a NB. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Utilizzando il comando Colore, colora in blu il segmento PN. Osserva ora la figura. Il perimetro del quadrilatero PNCM è uguale alla somma dei segmenti ______________, pertanto è costante. 6° passo: Considero il triangolo ___________________, esso ha gli angoli ___________ congruenti perché: ________________________________________________ ________________________________________________________________ dunque è _________________. Da ciò segue che i segmenti _____________ sono congruenti. Considero il triangolo ___________________, esso ha gli angoli ___________ congruenti perché: ________________________________________________ ________________________________________________________________ dunque è _________________. Da ciò segue che i segmenti _____________ sono congruenti. Osservando la figura è evidente che il perimetro del quadrilatero PNCM è uguale alla somma dei segmenti ______________, pertanto è costante. 4
