Scheda III
Problema 3
Per un punto P interno alla base AB di un triangolo isoscele ABC, si conducano le corde
PM e PN parallele rispettivamente a BC e AC.
Dimostrare che il perimetro del parallelogramma AMPN è costante al variare di P.
Risoluzione
1° passo:
Leggendo il testo cosa puoi dedurre?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Disegna nel riquadro in basso una figura che rappresenti il problema.
2° passo:
Quali sono le proprietà che caratterizzano un parallelogramma?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Quali sono le proprietà che caratterizzano un triangolo isoscele?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
3° passo:
Apri un foglio di lavoro di CABRI ed esegui le istruzioni elencate nella seguente
tabella.
Comando utilizzato
Segmento
Retta
Punto su un oggetto
Circonferenza
Segmento
Compasso
Specificazione
Di estremi A e B
Passante per i punti A e B
Sulla retta r (a destra di B)
Di centro A e passante per K
Di estremi A e K
Di centro B e raggio AK
Oggetti costruiti
Segmento AB
Retta r
Punto K
Circonferenza q
Segmento AK
Circonferenza h
1
Intersezione di due
oggetti
Segmento
Segmento
Punto su un oggetto
Retta parallela
Intersezione di due
oggetti
Segmento
Segmento
Retta parallela
Intersezione di due
oggetti
Segmento
Segmento
Segmento
Segmento
Della circonferenza h con la
circonferenza q
Di estremi A e C
Di estremi B e C
Sul segmento AB
Al segmento BC e passante per P
Della retta s con il segmento AC
Punto C
Segmento AC
Segmento BC
Punto P
Retta s
Punto M
Di estremi P e M
Di estremi C e M
Al segmento AC e passante per P
Della retta t con il segmento BC
Segmento PM
Segmento CM
Retta t
Punto N
Di estremi P e N
Di estremi C e N
Di estremi A e M
Di estremi N e B
Segmento PN
Segmento CN
Segmento AM
Segmento NB
Osserva la figura.
Perché puoi affermare con certezza che il quadrilatero PNCM è un parallelogramma?
________________________________________________________________
Cosa puoi affermare sulla lunghezza dei lati del parallelogramma PNCM?
________________________________________________________________
Perché puoi affermare con certezza che il triangolo ABC è isoscele?
________________________________________________________________
Secondo te il fatto che il triangolo ABC sia isoscele dipende dalla posizione di K?
________________________________________________________________
Prova a spostare il punto K. Il triangolo ABC è ancora isoscele?
________________________________________________________________
Comando utilizzato
Specificazione
Oggetti costruiti
Distanza e lunghezza
Dei segmenti: AC, BC, PN, NC, CM
e MP
Misura della lunghezza dei
segmenti AC, BC, PN, NC,
CM e MP
Hai ottenuto ciò che ti aspettavi?
________________________________________________________________
Utilizzando il comando Colore, colora in rosso i segmenti MP e CN, e in blu i segmenti
PN e CM. Utilizzando il comando Mostra/Nascondi, nascondi le rette, le circonferenze
e tutte le misure dei segmenti.
4° passo:
Qual è l’ipotesi del problema?
Ipotesi:__________________________________________________________
________________________________________________________________
2
Qual è la tesi del problema?
Tesi:____________________________________________________________
5° passo:
Per risolvere il problema devi dimostrare che il perimetro del parallelogramma PNCM
è costante.
Cosa significa che il perimetro è costante?
________________________________________________________________
Comando utilizzato
Specificazione
Oggetti costruiti
Poligono
Distanza e lunghezza
Di estremi P, N, C e M
Del poligono PNCM
Quadrilatero PNCM
Misura del perimetro del
quadrilatero PNCM
Prova a muovere il punto P. Hai ottenuto ciò che ti aspettavi?
________________________________________________________________
Utilizzando il comando Mostra/Nascondi, nascondi il quadrilatero PNCM.
Cosa puoi dire sugli angoli CAB e CBA? (Motiva la risposta)
________________________________________________________________
Cosa puoi dire sugli angoli MPA e CBA? (Motiva la risposta)
________________________________________________________________
Comando utilizzato
Specificazione
Oggetti costruiti
Misura dell’angolo
Degli angoli: CAB, CBA e MPA
Misura dell’ampiezza degli
angoli CAB, CBA e MPA
Hai ottenuto ciò che ti aspettavi?
________________________________________________________________
Utilizzando il comando Segna un angolo, segna gli angoli CAB, CBA, MPA.
Utilizzando il comando Mostra/Nascondi, nascondi le misure degli angoli.
Cosa puoi dire sul triangolo AMP? (Motiva la risposta)
________________________________________________________________
In particolare, cosa puoi dire sui segmenti AM e MP?
________________________________________________________________
Comando utilizzato
Specificazione
Oggetti costruiti
Distanza e lunghezza
Dei segmenti: AM e MP
Misura della lunghezza dei
segmenti AM e MP
Hai ottenuto ciò che ti aspettavi?
________________________________________________________________
Utilizzando il comando Colore, colora in rosso il segmento AM.
Utilizzando il comando Mostra/Nascondi, nascondi tutte le misure dei segmenti.
3
Prova ora a dimostrare che PN è congruente a NB.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Utilizzando il comando Colore, colora in blu il segmento PN.
Osserva ora la figura.
Il perimetro del quadrilatero PNCM è uguale alla somma dei segmenti
______________, pertanto è costante.
6° passo:
Considero il triangolo ___________________, esso ha gli angoli ___________
congruenti perché: ________________________________________________
________________________________________________________________
dunque è _________________. Da ciò segue che i segmenti _____________ sono
congruenti.
Considero il triangolo ___________________, esso ha gli angoli ___________
congruenti perché: ________________________________________________
________________________________________________________________
dunque è _________________. Da ciò segue che i segmenti _____________ sono
congruenti.
Osservando la figura è evidente che il perimetro del quadrilatero PNCM è uguale alla
somma dei segmenti ______________, pertanto è costante.
4
