Programma Parziale I - Dipartimento di Matematica

Prima parte del Programma di Matematica Generale e Laboratorio di Modellazione computazionale, Programma Parziale 1
Prof. Fioresi, Morigi 2005/2006
Il parziale consistera’ di 5 esercizi, 2 di algebra lineare, 2 di analisi e uno da svolgersi con
il programma mathematica per un totale di 90 punti. Ogni esercizio contiene diverse parti
alcune di teoria. Non e’ permesso portare ne’ libri ne’ appunti di alcun tipo, ne’ fogli di
brutta. Non sono ammesse calcolatrici, cellulari, palmari e simili.
ANALISI
Retta reale, intervalli aperti e chiusi. Disequazioni. Piano coordinato. Coefficiente angolare, equazione della retta. Circonferenze e parabole. Funzioni. Dominio, Codominio,
Grafico di f . Tipi di funzioni: polinomiali, razionali, algebriche, trascendenti. Trigonometria. Cap. 1.
Concetto di successione e limite di una successione. Concetto di limite. Definizione di
limite (destro, sinistro, per x → ∞ etc.). Teorema sull’esistenza del limite sse esiste
limite destro e sinistro (con dimostrazione). Teorema dell’unicita’ del limite (con
dimostrazione). Proprieta’ dei limiti (con dimostrazione). Teorema del confronto
(con dimostrazione). Limiti trigonometrici. Verifiche di limiti.
Cap. 2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.5. Appendice A.2. Dispense sui limiti.
Definizione di funzione continua. Proprieta’ delle funzioni continue. Teorema di composizione delle funzioni continue. Esempi principali di funzioni continue: polinomi,
funzioni razionali, seno, coseno, esponenziale e logaritmo (escludendo opportuni
valori) con GRAFICO. Il numero e, sua definizione e limiti che lo coinvolgono.
Cap. 2, 2.6. Appendice A.2.
Introduzione al calcolo differenziale: il coefficiente angolare della tangente ad una
funzione data in un punto. Rapporto incrementale. Fondamenti del calcolo differenziale. Teorema di limitatezza. Nozione di estremo superiore e inferiore, massimo
e minimo di un sottoinsieme di R. Teorema dei valori estremi (con dimostrazione).
Teorema di Rolle (con dimostrazione). Teorema del valor medio (con dimostrazione).
Cap. 2, 2.1, 2.2. Appendice A.1, A.3.
Calcolo di derivate e regole di derivazione. Derivata del prodotto e del quoziente.
Derivata della funzione composta. Derivate di funzioni trigonometriche, dell’
esponenziale e del logaritmo. La tangente ad una curva y = f (x).
Cap. 3, 3.1, 3.2. 3.3, 3.4.
Calcolo di limiti: forme indeterminate. Limiti notevoli. Metodo degli infiniti e
infinitesimi. Regola di de l’Hospital.
Cap. 11, 11.1. Dispense su infiniti e infinitesimi.
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ALGEBRA LINEARE
Metodo di Eliminazione di Gauss per i sistemi lineari. Matrice del sistema, matrice
completa e matrice dei coefficienti. Nozione di sistema equivalente e matrici equivalenti.
Operazioni elementari. Algoritmo di Gauss. Soluzione dei sistemi lineari, sistemi
con soluzione unica, soluzioni infinite dipendenti da parametri e impossibili. Sistemi
dipendenti da un parametro.
Cap 15, 15.1, 15.2.
Definizione di spazio vettoriale. Gli esempi: Rn spazio euclideo a n-dimensioni, Rd [t]
polinomi di grado minore o uguale a d, Mm,n (R) matrici a m righe e n colonne.
Nozione di sottospazio vettoriale. Esempi: rette per l’origine in R2 , matrici diagonali
e triangolari inferiori o superiori in Mm,n (R), soluzioni di sistemi lineari omogenei.
Cap. 15, 15.3.
Nozione di combinazione lineare di vettori e di span, sottospazio generato da kvettori dati. Tecniche per determinare se un dato vettore e’ nello span di k-vettori dati.
Vettori linearmente indipendenti. Tecniche per determinare quando n-vettori sono
linearmente indipendenti. Nozione di base di uno spazio vettoriale V (=insieme di vettori
linearmente indipendenti con span V ) e dimensione di V (numero di elementi di una
base). Teorema del completamento.
Cap. 15, 15.4, 15.5.
MATHEMATICA
Introduzione generale a Mathematica. Notebooks e packages. Uso dell’help. Costanti
e funzioni elementari. Convenzioni principali. Funzioni definite dall’utente. Grafici di
funzioni: Plot, ShowGraphics.
Risoluzione di equazioni. Equazioni polinomiali: istruzioni Solve, Roots.
Sistemi Lineari: istruzioni Solve, Rowreduce, Reduce, LinearSolve.
Soluzioni di disequazioni: InequalitySolve, (nei rispettivi pacchetti).
NOTA. Sono indicate in grassetto i concetti fondamentali delle varie materie, la cui
conoscenza e’ necessaria per il parziale. (Si noti che nessuna dimostrazione e’ in grassetto).
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