“Le geometrie della visione”
Liceo Classico Varrone (Rieti) 2005-2006
LABORATORIO VI
Indice degli elementi del laboratorio
- Lo spazio albertiano
- Linee di profondità.
- I limiti di procedimenti empirici nelle botteghe del ’400.
- Linee traverse e loro rappresentazione.
- Rappresentazione e ricostruzione di un pavimento piastrellato
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Laura Catastini
Obiettivi disciplinari e formativi della lezione
- Lo spazio albertiano rappresentato attraverso una griglia e la sua proiezione sul piano del quadro
- Linee di profondità e loro rappresentazione su un piano verticale.
- Il degradare delle linee traverse.
- Il degradare delle linee traverse. Il modo ottimo di Alberti e il metodo del punto di distanza di
Piero della Francesca a confronto.
- Costruzioni geometricamente sbagliate in uso nelle botteghe del ’400. si mostrano quadri
dell’epoca per l’analisi della correttezza del procedimento in questione
- Realizzazione su foglio dello scorcio di un pavimento piastrellato dato il punto di vista, col
metodo del punto di distanza.
SVOLGIMENTO LABORATORIO
♦ Lo spazio albertiano
Nel Rinascimento l'attenzione maggiore si è concentrata sul modo di rappresentare in uno spazio
relativamente piccolo (un quadro o un affresco) l’oggetto della visione dando, nelle due dimensioni
del dipinto, l’illusione della profondità.
L'immagine più naturale a cui riferirsi è quella del vetro di una finestra sul quale pare intessuto il
paesaggio che si sta guardando, o un velo, o uno specchio che pur essendo piatto restituisce, come
una fotografia, ciò che riflette. Dirà Alberti parlando della superficie del dipinto: ...in questa
superficia si representino le forme delle cose vedute, non altrimenti che se essa fusse di vetro
tralucente tale che la pirramide visiva indi trapassasse, posto una certa distanza, con certi lumi e
certa posizione di centro in aere e ne' suoi luoghi altrove.
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Il modello geometrico euclideo si confà perfettamente allo scopo: raggi rettilinei e immateriali
generano una "piramide visiva" che ha il vertice nell'occhio e la base sul contorno della cosa vista ,
un piano (quello del quadro) taglia questa piramide visiva e il contorno, che in questo modo viene
determinato, è la rappresentazione prospettica, su quel piano e da quel punto di vista, dell’oggetto
osservato.
La questione, squisitamente geometrica, consiste nel dare le regole per costruire, a partire da pochi
elementi iniziali che fissino la posizione dell’occhio e le dimensioni di ciò che si vuole
rappresentare, l’immagine prospettica sul piano del dipinto. Detta in questi termini e considerata la
varietà praticamente infinita di oggetti che si potrebbe voler rappresentare, la cosa sembra di
difficile se non impossibile soluzione. È il ricorso ad una procedura astratta, fondata su ciò che oggi
si direbbe l’uso delle coordinate cartesiane, che consente a Leon Battisti Alberti di esprimere per
iscritto e per la prima volta regole semplici e di facile applicazione con le quali rappresentare gli
oggetti e prima ancora lo spazio.
♦ L’impianto albertiano
L’impianto albertiano consiste in una preparazione del piano del quadro che permetterà al pittore di
eseguire le costruzioni necessarie alla rappresentazione prospettica. Alberti chiede ai pittori che
vogliono dipingere in “vera” prospettiva, di piastrellare il piano di terra con una quadrettatura, che
permetterà di localizzare facilmente gli oggetti posti su di esso contando semplicemente il numero
di "mattonelle". Il loro lato va preso uguale a un "braccio" , unità di misura in uso al tempo, pari a
circa 57 cm, che diviene così fattore di scala tra l'oggetto reale e la sua rappresentazione.
Sul piano si alzano verticali le altezze degli oggetti rispetto al piano orizzontale, anch’esse
rappresentabili prospetticamente sul piano del quadro con il metodo che presenteremo.
L'immagine animata che abbiamo realizzato, una prospettiva della prospettiva, permette di
visualizzare questa situazione. Muovendo col mouse i punti rossi del timone è possibile ruotare
l'immagine per vederne i diversi punti di vista.
Animazione VI-1
Alberti, pur specificando che può essere scelta a piacere, dà anche indicazioni sull’altezza
dell’occhio, che indica di tre braccia, perché secondo lui armonica nel contesto generale di un
quadro.
♦ Linee di profondità
Le rette del piano orizzontale che si allontanano perpendicolarmente alla linea dove i due piani si
intersecano, la così detta linea di terra, debbono disegnarsi sul quadro come segmenti che
concorrono al punto centrico O.
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Il raggio che dall’occhio arriva al quadro ortogonalmente, il razzo centrico, definisce quello che
Alberti chiama il punto centrico, cioè il punto di fuga principale. In quel punto che vediamo
incontrarsi le linee del piano orizzontale perpendicolari al quadro.In questo modo l’infinito spazio
che si estende dinanzi al pittore lungo la direzione perpendicolare al quadro si rappresenta tutto in
una striscia limitata
La considerazione della piramide visiva, dell’occhio che è nel vertice, il modello euclideo insomma
della visione, permette di dimostrare rigorosamente quanto abbiamo intuito. Ogni retta r sul piano
orizzontale che sia perpendicolare al quadro infatti è parallela al raggio centrico, e quindi il piano
generato dalla retta r e dall’occhio contiene anche quel raggio, così che interseca il piano del
quadro in una retta r' che passa sempre per il punto centrico.
Animazione VI-2
Tale retta r' è la proiezione sul quadro della retta r e man mano che il punto P si allontana verso
l’infinito muovendosi sulla retta r (cosa che può essere fatta manualmente spostando col mouse il
punto P'') la sua proiezione P' sul quadro si avvicina sempre più al punto centrico, il punto di fuga,
senza mai raggiungerlo, come se questo punto fosse l'immagine concreta, attuale dell’infinito.
Già Euclide nella sua Ottica, dimostra che le linee parallele non si vedono parallele perché la loro
distanza allontanandosi appare sempre più piccola. Qua il vedere diventa rappresentazione sul
quadro e sul quadro nasce questo punto centrico chiaramente definito da Alberti all'interno del
modello teorico euclideo, e la considerazione della proiezione, cioè dell'intersezione della piramide
visiva col piano del quadro – in modo che vedere la realtà o vedere il dipinto provochi lo stesso
effetto – permette di impiantare delle dimostrazioni matematiche.
Un bellissimo esempio di colonnato in prospettiva è il polittico di Sant’Antonio di Piero della
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Francesca realizzato intorno al 1470.
♦ Le “linee trasverse”: I limiti di procedimenti empirici nelle botteghe del ’400.
Il secondo passo per disegnare in prospettiva è quello di rappresentare correttamente le rette che
corrono sul piano di terra, parallelamente alla linea di terra. Tali rette si mantengono parallele alla
linea di terra anche nella pittura,
Animazione VI-3
ma la distanza tra di loro diminuisce col loro allontanarsi in profondità. Il problema sta nel rispettare
il loro giusto “degradare” al punto centrico.
Prima di un definitivo affermarsi del metodo di Alberti o di quello di Piero della Francesca,
geometricamente corretti, i modi per disegnare in prospettiva seguivano varie regole empiriche
patrimonio, a volte segreto, dei maestri dell’arte. Uno di questi è il così detto metodo delle
"superbipartienti" che Alberti critica aspramente. "Superbipartiente" è un termine della matematica e
della musica medioevale e indica un rapporto proporzionale di due terzi, più esattamente indica la
diminuzione di un terzo di una delle due quantità. La proporzione che passa tra 9, 6 e 4
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(diminuzione di un terzo) veniva chiamata "superbipartiente".
Il metodo consiste nel dividere la linea di terra in un certo numero di parti uguali, di fissare il punto
centrico C, di scegliere la prima alzata AP ad occhio e tracciare le altre nella proporzione
superbipartiente, cioè diminuendo via via di un terzo la quantità trovata. Il risultato è mostrato dal
seguente disegno animato, dove si può muovere il punto A e vedere il risultato della costruzione.
Animazione VI-4
Animazione VI-5
Trascinando il punto P si può cambiare il numero di parti in cui è diviso l’arco e vedere il risultato.
Ad occhio la regola sembra buona. Come vedere che è sbagliata? Un modo è quello di trovare una
proprietà che si sa debba essere verificata se la regola fosse giusta, e vedere che invece non è
rispettata. Alberti per dimostrare che il metodo delle "superbipartienti" è sbagliato si riferisce alle
diagonali. Se la costruzione fosse giusta i punti diametralmente opposti sui vari trapezi che
rappresentano le mattonelle del pavimento, dovrebbero essere allineati. Punti allineati si proiettano
in punti allineati e vanno quindi disegnati su una stessa retta.
È questa una prima proprietà fondamentale che necessariamente deve soddisfare una costruzione
corretta. Dice Alberti dopo aver esposto il suo modo ottimo: E a questo modo mi truovo descritto
tutti e' paraleli, cioé le braccia quadrate del pavimento nella dipintura quali quanto sieno
dirittamente descritti a me ne sarà indizio se una medesima ritta linea continoverà diamitro di più
quadrangoli descritti alla pittura. Alberti non dimostra, se non graficamente, questa proprietà per la
sua costruzione, né sappiamo se abbia osservato che le diagonali (che lui chiama diametri) di tutti i
trapezi, se prolungate, concorrono a uno stesso punto (poi detto punto di distanza), resta tuttavia il
fatto che ben chiaramente l'Alberti si è accorto che i punti diagonali, in una corretta rappresentazione
prospettica, debbono allinearsi. Se guardiamo i pavimenti realizzati col metodo delle
"superbipartienti" ci accorgiamo che questa proprietà è disattesa, che le diagonali "curvano".
Anche Danti nel trattato Le due regole della prospettiva pratica (1583) espone alcune costruzioni
sbagliate al tempo ancora in voga. Una consiste in questo: si fissa il punto centrico C e si divide la
linea di base in un certo numero di parti, come al solito. Si traccia poi un quarto di circonferenza,
come nella figura animata seguente, e si divide l’arco in un certo numero di parti uguali (si suggerisce
di dividerlo in 15 parti uguali), si congiungono queste parti col punto A e si tracciano le parallele
come mostrato. Anche in questo caso,i punti sulle diagonali non si allineano come si vede a occhio
nella successiva animazione. Il difetto è tanto più pronunciato tanto più ci si avvicina al punto
centrico, cosa che risulta chiaramente allargando l’ angolo di partenza.
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Animazione VI-6
Animazione VI-7
Osservando L'annunciazione di Ambrogio Lorenzetti, dipinto datato 1344,
vediamo come le linee che escono perpendicolarmente all'occhio convergono correttamente, se
prolungate, nel punto centrico, ma le linee trasverse sono disegnate in modo approssimato.
Probabilmente Lorenzetti non era cosciente della portata pratica, nella tecnica della rappresentazione
prospettica, di questa semplicissima proprietà della geometria della visione: quella di conservare
l'allineamento. Danti cercherà varie condizioni necessarie che debbono essere soddisfatte da una
costruzione prospettica corretta. Ad esempio ne scopre una di grande importanza per il metodo di
Piero della Francesca e cioè il fatto che, non solo i punti sulle diagonali sono allineati, ma in più Le
rette diagonali passano tutte per uno stesso punto sulla linea dell’orizzonte (detto punto di distanza)
la cui distanza dal punto centrico è (in scala) uguale alla distanza dell’occhio dal quadro. La cosa
come abbiamo visto dipende dal fatto che sul pavimento queste diagonali sono parallele tra loro ed
inclinate di 45 gradi rispetto alla linea di terra e quindi la retta per l’occhio parallela al piano di terra
incontra la linea dell’orizzonte in un punto che ha la stessa distanza dal punto centrico, dell’occhio
dal quadro. Il Cenacolo di Leonardo da Vinci è un chiaro esempio dell'efficacia figurativa che si può
ottenere quando sia ben chiaro il quadro teorico che regola le leggi della geometria della visione.
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♦ Le linee trasverse: il “modo ottimo” di Alberti
Alberti mostra una costruzione molto comoda al pittore per trovare il giusto degradare delle linee
orizzontali.
Una strada per risolvere questo problema senza usare la scorciatoia indicata da Alberti sarebbe la
seguente: poiché il piano da proiettare sul quadro è perpendicolare al piano del quadro stesso, per
realizzare una costruzione corretta si dovrebbe disegnare, con le stesse proporzioni, lo schema della
proiezione per poi riportare sul piano del dipinto i valori trovati, esattamente come è suggerito nella
figura del teorema 10 dell’ottica euclidea.
Una volta riportati i valori, ad esempio sul bordo del quadro, le linee “trasverse” vengono tracciate
parallelamente alla linea di terra.
In questo modo si realizza correttamente lo scorcio della scacchiera sul pavimento.
Un impedimento, di carattere più pratico che teorico, a seguire la procedura esposta sopra consiste
nella difficoltà a realizzare la costruzione su un piano ausiliario per poi riportarla sul quadro nel
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caso che la distanza dell’occhio dal quadro sia molto grande (ad esempio 10, 20 braccia): in questo
caso si dovrebbe fare il disegno in uno spazio 3 o 4 volte la grandezza del quadro cosa che, se il
quadro è già grande come un affresco, riesce quanto mai scomodo.
Il “modo” suggerito da Alberti risulta invece molto agevole, in qualunque situazione. Alberti infatti
osserva che “stringendo” proporzionalmente le grandezze orizzontali ausiliarie senza alterare alcuna
misura verticale, i punti di proiezione restano alla stessa distanza dalla linea di terra.
E’ questo un esempio di trasformazione affine, di un piano in un altro, nel quale si cambia la scala
su un solo asse.
La costruzione è basata su giustificazioni geometriche, può esserne dimostrata la correttezza, ma per
problemi di tempo diamo solo i passi da fare:
Animazione VI-8
- si disegna una linea SA, allineata con la terra, con una suddivisione fine a piacere.
- sulla perpendicolare alla linea si disegna il segmento SH, di altezza pari a quella dell’occhio
- si congiunge il punto H con ogni suddivisione di SA
- sulla parallela per H alla linea di terra si individua un punto che abbia da H la distanza dell’occhio
dal quadro.
- da questo punto si tira la perpendicolare alla linea di terra, che interseca le congiungenti in punti
determinati, che segnano il livello delle corrispondenti linee orizzontali.
♦ Le linee trasverse: il metodo del punto di distanza
Nel De prospectiva Pingendi di Piero della Francesca, successivo ad Alberti, troviamo un metodo
per disegnare le rette orizzontale che fa uso del punto di distanza.
Abbiamo dimostrato nella lezione precedente che il punto di distanza, cioè il punto di fuga delle
rette del piano di terra con inclinazione di 45°, si trova sulla linea dell’orizzonte alla stessa distanza
dal punto di fuga principale di quella dell’occhio dal quadro. Questo fatto permette di determinare il
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degradare delle linee orizzontali del piano di terra con un procedimento più semplice di quello di
Alberti. In pratica:
- fissiamo il punto di distanza D che fissa la lontananza dell’occhio dal quadro, trasformiamo le
rette perpendicolari alla linea di terra in segmenti che concorrono nel punto A, tracciamo la
diagonale che concorre in D
O
D
intersechiamo la diagonale con le linee che abbiamo tracciato precedentemente
O
D
e tracciamo per essi le parallele.
O
D
ottenendo così la quadrettatura del piano in prospettiva
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O
D
Il metodo del punto di distanza sarà quello che useremo nei nostri esercizi di laboratorio.
♦ Ricostruzione della posizione degli oggetti su un pavimento piastrellato
Data la rappresentazione prospettica di una piastrellatura, è molto semplice ricostruirne la pianta,
con la posizione degli oggetti che vi si trovano sopra. Basta utilizzare la quadrettatura come
riferimento:
O
♦ Rappresentazione di un pavimento piastrellato
Si propone come esercizio la realizzazione su foglio dello scorcio di un pavimento piastrellato dato
il punto di vista, col metodo del punto di distanza. (Tavola VI-1)
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Pavimento in pianta
Lato del pavimento più lontano
Base del pavimento coincidente con la linea di terra del piano verticale
Disegnare sul foglio A3 assegnato la veduta prospettica del pavimento considerando la linea di terra
del piano verticale coincidente la base del pavimento stesso e secondo i dati seguenti:
- Lato orizzontale in scala della mattonella: 3 cm
- Altezza dell’occhio: 21 cm
- Distanza dell’occhio: 24 cm
- Il piano di profondità taglia la base in due parti uguali.
Ecco lo scorcio del pavimento, con cornice, realizzato secondo le indicazioni dell’esercizio (Tavola
VI-2)
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