Cinematica rotazionale
28 febbraio 2009
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie)
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Moto Circolare Uniforme
Un oggetto che si muove su una circonferenza con una velocità
costante v, compie un moto circolare uniforme.
Il modulo della velocità resta costante, ma la direzione cambia
continuamente.
Un cambiamento nella direzione della velocità costituisce un'
accelerazione proprio come costituisce un'accelerazione un
cambiamento nel modulo della velocità.
vt
ac
Il corpo che segue una traiettoria circolare a
velocità costante è quindi soggetto ad un'
accelerazione rivolta verso il centro del cerchio,
chiamata accelerazione centripeta. Questa
accelerazione sarà uguale ad:
vt2
ac =
r
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Moto Circolare Uniforme
vt
ac
L’accelerazione centripeta dipende da Vt ed da r
in quanto più grande è la velocità Vt e più
rapidamente cambia la direzione della velocità,
quindi l' accelerazione aumenta.
Più è grande il raggio, e meno rapidamente la
e
quindi
l'
velocità
cambia
direzione
accelerazione diminuisce.
vt2
ac =
r
ω
La velocità può anche essere
espressa in termini di velocità
angolare che si esprime in
radianti al secondo, definendo
così la velocità tangenziale e
l’accelerazione
centripeta,
rispettivamente, come
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rad
[ω] =
sec
2
vt = ωr e ac
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(
ωr )
=
r
= ω 2r
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Moto Circolare Uniformemente Accelerato
Se il moto è accelerato costantemente ed è
circolare
si
parla
di
moto
circolare
uniformemente accelerato.
Questo
è
molto
simile
a
quello
rettilineo
uniformemente accelerato, con la sola differenza che
invece di accelerazione e velocità si parla di
accelerazione angolare e velocità angolare.
dω
α=
= ω&
dt
atan
L'accelerazione angolare è definita come la
rapidità di variazione della velocità angolare.
dvt d (ωr )
dω
=
=
=r
= rα
dt
dt
dt
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Parlando
di
accelerazione
angolare è utile definire anche
l'accelerazione tangenziale
da non confondere con l'
accelerazione centripeta ar.
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Le equazioni cinematiche a confronto
Moto uniformemente accelerato
lineare
angolare
v = v0 + at
ω = ω 0 + αt
1 2
x = x0 + v0t + at
2
1 2
θ = θ 0 + ω 0 t + αt
2
2
2
0
v = v + 2a ( x − x0 )
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2
2
0
ω = ω + 2α (θ − θ 0 )
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Un problema di cinematica rotazionale
s
P
Un punto materiale P si muove lungo una traiettoria
circolare di centro O e raggio R seguendo la legge
oraria:
1 2
s = θR = ct
2
θ
R
o
Dove c=1m/sec2
tangenziale.
Si determini nel punto
3
θ=
rad
2
è
la
sua
accelerazione
il valore della accelerazione
angolare ed il modulo della accelerazione complessiva.
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Un problema di cinematica rotazionale
Si tratta di un moto circolare uniformemente accelerato la
cui velocità tangenziale è determinabile come:
1 2
d ct
2
vt = s& =
= ct
dt
s
P
θ
R
E
o
quindi
l’espressione
della velocità angolare è
Dalla legge oraria si ha
1 ct 2
θ=
2 R
sarà raggiunto all’istante
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quindi l’angolo
2 Rθ
t=
=
c
R 3
c
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vt ct
ω= =
R R
3
θ=
rad
2
pertanto …
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Un problema di cinematica rotazionale
… pertanto il cercato valore di velocità angolare è
R 3
c
c 3 rad
c
ω=
=
sec
R
R
Per la accelerazione totale a, bisogna ricordare che il
moto è circolare ed accelerato. E allora l’accelerazione
è la somma vettoriale di una accelerazione centripeta
e di una accelerazione tangenziale.
Quindi
r r r
at
a
P
an
a = an + at
Pertanto, per il modulo di a, si avrà
a = at2 + an2
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Un problema di cinematica rotazionale
A questo punto ricordando che
d (ct )
at = v&t =
=c
dt
mentre per la componente centripeta
vt2 (ct ) 2
an =
=
R
R
che calcolata all’istante t prima determinato vale
2
R 3
c
c
=c 3
an =
R
si ottiene
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a = c 2 + (c 3 ) 2 = 2c = 2 m
sec 2
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