Corso di Laurea in Matematica per
l’Informatica e la Comunicazione Scientifica
♦
Esame di profitto di Matematica Discreta 1 - I modulo
del 09 novembre 2006.
Esercizio 1. Quante permutazioni di periodo 4 ci sono nel gruppo simmetrico
S6 su 6 oggetti?
(a) 180;
(b) 90;
(c) 60;
(d) 30.
Soluzione. Le permutazioni di periodo 4 di S6 possono essere solo di due tipi:
quelle di tipo [2 4] e quelle di tipo [12 4]. Dunque in S6 ci sono c1 +c2 permutazioni
di periodo 4, se indichiamo con c1 il numero di permutazioni di S6 di tipo [2 4]
e con c2 il numero di permutazioni di S6 di tipo [12 4]. Dalla teoria allora segue:
c1 =
6!
= 90
2 × 4 × 1! × 1!
e c2 =
12
6!
= 90.
× 4 × 2! × 1!
Esercizio 2. Si determini il valore di 99727 in Z16 :
(a) 3;
(b) 6;
(c) 9;
(d) 12.
Soluzione. L’esercizio è un’applicazione del Teorema di Eulero-Fermat: infatti
M.C.D.(9, 16) = 1, per cui 9φ(16) ≡ 1 (mod 16). Essendo φ(16) = 8 ed essendo
9727 = 1215 × 8 + 7, si ha
99727 = 91215×8+7 = (98 )1215 × 97 ≡ 97 ≡ 9−1 ≡ 9 (mod 16).
Esercizio 3. Sono disponibili 25 fiori, 10 dei quali sono rose, 8 sono garofani
e 7 sono margherite (i fiori sono tutti diversi tra loro anche quelli della stessa
specie). Se si vogliono inserire i fiori in 25 vasi numerati da 1 a 25 con la regola
che i vasi con numero < 8 contengano esclusivamente rose e quelli con numero
> 22 contengano esclusivamente garofani, in quanti modi lo si può fare?:
(a)
(c)
10!
3!
¡10 ¢
7
×
×
8!
5!
¡8 ¢
3
× 15!;
(b) 107 × 83 × 15!
× 15!;
(d)
10!
7!
×
8!
3!
× 15!;
Soluzione. Il numero di modi in cui si possono disporre le 10 rose nei vasi da
uno a sette è uguale al numero di sequenze ordinate di 7 elementi da un insieme
di 10 elementi. Esse sono 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 10!
3! . Analogamente, il
numero di modi in cui si possono disporre gli 8 garofani nei vasi da ventitre a
venticinque è uguale al numero di sequenze ordinate di 3 elementi da un insieme
di 8 elementi. Esse sono 8 × 7 × 6 = 8!
5! . I rimanenti 15 fiori, rispettivamente
3 Rose, 7 margherite e 5 garofani si possono disporre nei restanti 15 vasi in 15!
modi.
Esercizio 4. In quale dei seguenti anelli il polinomio x2 + 4x + 5 è riducibile?:
(a) Z19 [x];
(b) Z23 [x];
(c) Z31 [x];
(d) Z37 [x].
Soluzione. Il polinomio x2 + 4x + 5 è riducibile se ammette radici e quindi se
il discriminante è un quadrato. Essendo ∆ = −4 ed essendo 4 un quadrato, il
polinomio è riducible quando −1 è un quadrato, cioè in Z37 [x]. Infatti, −1 è un
quadrato in Fq se q ≡ 1(mod4) e 37 ≡ 1(mod4).
Esercizio 5. Quanti numeri di otto cifre si possono ottenere utilizzando le cifre
0, 1, 2, 3, 4, 5 con la condizione che il numero ottenuto non inizi con 0000 e non
finisca con 11?
(a) meno di cinquecentomila;
(b) tra cinquecentomila ed un milione;
(c) tra un milione e due milioni;
(d) più di due milioni.
Soluzione. Si deve applicare il principio d’inclusione-esclusione: il numero cercato è
c = |C1 | − |C2 | − |C3 | + |C4 |
dove C1 , C2 , C3 , C4 denotano rispettivamente
• l’insieme di tutti i numeri di otto cifre che si possono ottenere utilizzando
le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5 (se ne ottengono 68 = 1.679616);
• l’insieme di tutti i numeri di otto cifre che si possono ottenere utilizzando
le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5 e che iniziano con 0000 (se ne ottengono 64 = 1296);
• l’insieme di tutti i numeri di otto cifre che si possono ottenere utilizzando
le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5 e che terminano con 11 (se ne ottengono 66 = 46656);
• l’insieme di tutti i numeri di otto cifre che si possono ottenere utilizzando
le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5 e che iniziano con 0000 e terminano con 11 (se ne
ottengono 62 = 36). Dunque è c = 1631700.
Esercizio 6. Un gruppo di 30 ex compagni di classe ha l’abitudine di riunirsi
una volta all’anno per rivedersi, anche se non tutti i compagni ogni anno possono prendere parte alla riunione. Dopo n anni di riunioni si verifica che ogni
riunione annuale ha visto presenti esattamente 25 persone. Inoltre, si rileva che
ogni amico ha partecipato ad esattamente m riunioni. Si individui l’unica coppia
non compatibile con i dati del problema, tra le seguenti
(a) (n, m) = ( 6, 5);
(b) (n, m) = (12, 10);
(c) (n, m) = (18, 15);
(d) (n, m) = (24, 25);
Soluzione. I dati del problema sono compatibili se è possibile costruire un disegno
di parametri (30, 25, m) con n blocchi. Dalla condizione vr = bk, necessaria per
l’esistenza di un disegno, segue che 30m = 25n e cioè 6m = 5n. Quindi, la
coppia non compatibile con i dati del problema è (n, m) = (24, 25).
