+ Z - Ingegneria elettrica ed elettronica

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
Teoria e applicazioni delle linee di trasmissione_2
Caratteristiche dell’onda nelle linee di trasmissione finite
Per le linee di trasmissione le soluzioni delle equazioni
armoniche nel tempo di Helmholtz, sono:
V ( z ) = V + ( z ) + V − ( z ) = V0+ e − γ z + V0− e γ z
I ( z ) = I + ( z ) + I − ( z ) = I 0+ e − γ z + I 0− e γ z
dove
M. Usai
V0+
V0−
= − − = Z0
+
I0
I0
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
1
Per le linee di lunghezza infinita le onde di riflessione si annullano e le
equazioni diventano:
V ( z ) = V + ( z ) = V0+ e − γ z
I ( z ) = I + ( z ) = I 0+ e − γ z
Queste relazioni sono valide anche per le linee di lunghezza finita che
terminano con una impedenza caratteristica, ossia quando le linee sono
adattate.
•Dalla teoria dei circuiti si ha che il massimo trasferimento di potenza
al carico, per una sorgente di tensione data, si ha in “condizioni di
adattamento” quando l’impedenza del carico è il complesso coniugato
della impedenza della sorgente: Z L = Z *g .
•Nella terminologia della linea di trasmissione, una linea è adattata
quando l’impedenza del carico è uguale alla impedenza caratteristica
della linea: Z L = Z 0 ( e non al complesso coniugato della impedenza
caratteristica).
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
2
Per verificare le condizioni di linea adattata, si consideri il caso generale
di una linea di trasmissione finita con impedenza caratteristica pari a Z0
con una impedenza di carico alla estremità pari a ZL :
0
+
+
Vg
-
Zg
-
+
(γ,Z0)
Vi Zi
ZL
VL
z
z’=l-z
z’
Ponendo z=l nelle equazioni e risolvendo in
M. Usai
z
-
z=0
z’=l
VL = V0+ e − γ l + V0− e γ l


V0+ − γ l V0− γ l
e −
e
I L =
Z0
Z0

IL
⇒
V0+ e V0−
z=l
z’=0
0’
:
 + 1
γl
(
)
V
V
I
Z
e
=
+
L 0
 0 2 L

V0− = 1 (VL − I L Z 0 )e − γ l

2
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
3
VL = V0+ e − γ l + V0− e γ l



+ −γ l
− γl
=
−
Z
I
V
e
V
0
0 e
 0 L
M. Usai

VL
eγ l

γl
−
Z
I
e
1
γl
V + = 0 L
(
)
=
+
V
I
Z
e
L
L 0
−γ l
γl
 0
2
e
e

e−γ l − eγ l


⇒ 

−γ l
e
VL

 − e−γ l Z0 I L 1
−γ l
(
)
=
−
V
I
Z
e
V0 = − γ l
L
L 0
γl
2
e
e

γl
−γ l

−
e
e

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4
VL
Ponendo Z L =
IL
+
−
V0 e V0
e sostituendo le espressioni trovate di
nelle relazioni di partenza, si ottiene:
[
[
]
]
IL
( Z L + Z 0 ) e γ (l − z ) + ( Z L − Z 0 ) e − γ (l − z )
V(z ) =
2
IL
( Z L + Z 0 ) e γ (l − z ) − ( Z L − Z 0 ) e − γ (l − z )
I(z ) =
2Z0
e introducendo la variabile z’=l-z (distanza misurata dal carico) si
ha:
IL
(Z L + Z0 ) e γ z' + (ZL − Z0 ) e − γ z'
V(z') =
2
IL
(Z L + Z0 ) e γ z' − (ZL − Z0 ) e − γ z'
I(z') =
2Z0
[
[
M. Usai
]
]
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5
 + 1
γl
VL = V0+ e − γ z + V0− e γ z
(
)
V
V
I
Z
e
=
+
L 0
 0 2 L

+
−
⇒


V
V
−γ z
γz
0
0
1
I
e
e
=
−
γ
−
−
l
V0 = (VL − I L Z 0 )e
 L
Z0
Z0


2
1
1

γ l −γ z
−γ l γ z
(
)
(
)
V
V
I
Z
e
e
V
I
Z
e
e
=
+
+
−
L 0
L
L 0
 L 2 L
2

1
1

γl
−γ l
(
)
(
)
V
I
Z
e
V
I
Z
e
+
−
L
L 0
L
L 0

−γ z
γz
2
2
I
e
e
=
−
 L
Z0
Z0

1
1

γ (l − z )
− γ (l − z )
(
)
(
)
=
+
+
−
V
I
Z
Z
e
I
Z
Z
e
0
0
L
L
 L 2 L L
2

1
1
I L =
I L (Z L + Z 0 )eγ (l − z ) − I L (Z L − Z 0 )e −γ (l − z )

2Z 0
2
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
6
Utilizzando la nuova variabile z’, le equazioni precedenti, si
possono semplificare ulteriormente con le funzioni iperboliche:
eγ z ' + e −γ z ' = 2 cosh γ z ' e eγ z ' − e −γ z ' = 2 sinh γ z '
da cui, mettendo in evidenza i termini in ZL e in Z0:
[ (
[ (
)
(
)]
)
(
)]
IL

γ z'
− γ z'
γ z'
− γ z'
(
)
V
z'
Z
e
e
Z
e
e
=
+
+
−
L
0

2

I
I(z') = L Z L e γ z' − e − γ z' + Z0 e γ z' + e − γ z'

2Z0
si ottiene:
M. Usai
V ( z ') = I L (Z L cosh γz '+ Z 0 sinh γ z ')

IL

 I ( z ') = Z (Z L sinh γz '+ Z 0 cosh γ z ')

0
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7
Dalle relazioni:
V ( z ') = I L (Z L cosh γz '+ Z 0 sinh γ z ')
IL
(Z L sinh γz '+ Z 0 cosh γ z ')
I ( z ') =
Z0
facendo il rapporto tra V(z’) e I(z’) si ottiene l’impedenza vista dal
carico verso la linea alla distanza z’:
Z(z') =
M. Usai
Z cosh γz' + Z 0 sinh γz '
Z + Z 0 tanh γz '
V ( z' )
= Z0 L
= Z0 L
I ( z' )
Z L sinh γz' + Z 0 cosh γz '
Z 0 + Z L tanh γz '
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
8
Alla estremità della linea, dal lato della sorgente per z=0 e z’=l-z=l,
il generatore vede una impedenza d’ingresso Zi:
Z i = (Z )z = 0 z' = l
 Z L + Z 0 tanh γz ' 
Z L + Z 0 tanh γl

[Ω ]
=  Z 0
= Z0
Z 0 + Z L tanh γl
 Z 0 + Z L tanh γz '  z' = l
da cui il circuito equivalente sarà:
Zg
+
Vg
-
Ii
+
Zi
Vi
Vi =
Ii =
-
Zi
Vg
Z g + Zi
Vg
Z g + Zi
Questo modello circuitale consente di determinare facilmente la
tensione Vi e la corrente Ii in ingresso nella linea e in qualunque altro
punto della linea.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
9
La potenza media trasmessa dal generatore ai terminali di
ingresso (input) della linea è:
(Pav )i = 1 Re[Vi I i* ] z = 0, z '= l
2
La potenza media trasmessa al carico:
(Pav )L
[
1
= Re VL I L*
2
]
2
z =l , z '= 0
1 VL
1 2
RL = I L RL
=
2 ZL
2
Per una linea priva di perdite deve essere:
(Pav )i = (Pav )L
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
10
Se la linea si chiude sulla impedenza caratteristica Zl = Z0
l’impedenza della linea vista dal carico a qualunque distanza z’
dal carico sarà: Z(z’) = Z0, essendo:
 Z L + Z 0 tanh γ l 
Z 0 + Z 0 tanh γ l
Zi =  Z0
= Z0
= Z0 [Ω]

Z 0 + Z 0 tanh γ l
 Z 0 + Z L tanh γ l  z =0 z '=l
ed essendo z’=l-z per la tensione e la corrente si ottiene:
V ( z ') = [I L (Z L cosh γz '+ Z 0 sinh γ z ')]Z = Z = I L Z 0 eγz '
0


 IL

γz '
(
)
(
)
=
+
=
I
z
'
Z
sinh
γ
z
'
Z
cosh
γ
z
'
I
e
0
L
L

Z

 0
Z =Z0

(
)
I ( z ) = (I L e γ l ) e − γ z = I i e − γ z
V ( z ) = I L Z 0 e γ l e − γ z = Vi e − γ z
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
11
(
)
I ( z ) = (I L e γ l ) e − γ z = I i e − γ z
V ( z ) = I L Z 0 e γ l e − γ z = Vi e − γ z
Le relazioni trovate dimostrano che, quando una linea di
trasmissione finita si chiude all’estremità con la sua
impedenza caratteristica, ossia quando una linea finita è
adattata: Z c = Z 0 ,
⇓
le distribuzioni della tensione e della corrente sulla linea
sono esattamente le stesse di una linea di lunghezza
infinita, per cui non saranno presenti onde riflesse.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
12
Linee di trasmissione utilizzate come elementi circuitali
per ottenere il massimo trasferimento di potenza
Le linee di trasmissione possono essere usate non solo come:
• strutture per guide d’onda per trasferire potenza e informazione da
un punto ad un’altro della linea, ma anche come
• elementi circuitali per le altissime frequenze UHF ossia per:
• frequenze: f=300MHz ÷ 3 GHz e
• lunghezze d’onda: λ=1m ÷0.1m.
A tali frequenze
• gli elementi circuitali ordinari a parametri concentrati sono
difficili da realizzare e
• i campi dispersi diventano importanti e quindi non trascurabili.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
13
La progettazione di sezioni di linee di trasmissione può essere
finalizzata ad ottenere una impedenza induttiva o capacitiva
utilizzabile ad adattare un carico arbitrario alla impedenza
*
interna del generatore: Z c = Z g , per trasferire la massima
potenza.
Le lunghezze delle linee richieste per ottenere elementi circuitali,
sono utilizzabili in pratica nel campo delle UHF.
Al di fuori di questo campo di frequenze il loro uso non risulta
conveniente, infatti:
• alle frequenze più basse di 300 MHz le linee richieste tendono ad
essere troppo lunghe e
• per frequenze più alte di 3 GHz le dimensioni fisiche diventano
sconvenientemente piccole per essere dimensionate, per cui sarebbe
vantaggioso usare componenti di guide d’onda.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
14
In molti casi i settori di linea di trasmissione possono essere
considerati privi di perdite γ=α+jβ ≃ jβ e l’impedenza di ingresso
diventa:
Z +Z tanhγl
Z +jR tanβl
L
0
0
Z = ( Z )z=0 z'=l =Z
=R L
i
0 Z +Z tanhγl
0 R +jZ tanβl
0 L
0
L
R + jω L
γ
R + jω L
=
=
infatti essendo: Z0 =
γ
G + jω C
G + jω C
[Ω]
L
se la linea è priva di perdite : R=G=0 → Z = R0 =
e
0
C
: γ=jβ → tanhγl=tanh(jβl)=jtanβl
Attraverso questa espressione di Zi è possibile verificare come il
comportamento delle onde piane incidenti normalmente contro una
interfaccia, sia del tutto simile alla propagazione di un’onda lungo
una linea di trasmissione di lunghezza limitata.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
15
Per verificare tale comportamento si possono esaminare diversi casi
particolari:
1.
2.
3.
4.
5.
Linea aperta
Linea in corto circuito
Linea in quarto d’onda
Linea in metà onda
Linea con l’impedenza di carico uguale all’impedenza caratteristica
Z + jR tan β l
0
Z =R L
i
0 R + jZ tan β l
L
0
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
16
1) Linea aperta ZL=∞
L’impedenza di ingresso è puramente reattiva

Z + jR tan β l 
jR
jR
L
0
0
0
Z =R
=
=
i  0 R + jZ tan β l 
tan β l
j tan β l

 zL =∞
0
L
jR0
Z i = − jX 0 = −
= − jR0 cot β l = −
tan β z
Zi = ∞
M. Usai
per z =
λ
2
n
e
Zi = 0
jR0
2π z 
tan 

λ


per z =
λ
4
2π 

β =

λ 

( 2n + 1)
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
n = 1, 2, 3,...
17
l
Zi = ∞
M. Usai
per z =
λ
2
n
e
Zi = 0
per z =
λ
4
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
( 2n + 1)
n = 1, 2, 3,...
18
2)
Linea in corto circuito ZL=0
Z + jR tan β l
0
Z =R L
0 R + jZ tan β l
i
L
0
 2π z 
Z is = − jX is = − jR0 tan β z = − jR0 tan 

 λ 
L’impedenza di ingresso è puramente reattiva o capacitiva in funzione
del valore di βl
Zi = 0
M. Usai
per z =
λ
2
n
e Zi = ∞
per z =
λ
4
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
( 2n + 1) n = 1, 2, 3,...
19
l
Zi = 0
M. Usai
per z =
λ
2
n
e Zi = ∞
per z =
λ
4
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
( 2n + 1) n = 1, 2, 3,...
20
3)
Linea di lunghezza in quarto d’onda
Quando la lunghezza della linea è un multiplo dispari di λ/4,
z=(2n-1) λ/4 ⇒ βz=(2π/ λ)(2n-1) λ/4 = (2n-1) π /2 ⇒ tan βz→±∞
da cui:
R02
Zi =
ZL
+ jR tan β l
0
Z = R
i
0 R + jZ tan β l
L
0
Z
L
Una linea senza perdite con lunghezza pari a un quarto della lunghezza
d’onda, trasforma l’impedenza ai terminali d’ingresso nel prodotto del
suo inverso per la resistenza caratteristica al quadrato. Essa agisce
come un invertitore di impedenza, in particolare:
•
in un circuito aperto, la linea in quarto d’onda equivale ad un corto
circuito ai terminali di ingresso ( Zl = ∞ ⇒
Zi = 0 ) .
•
in un circuito in corto circuito, di una linea in quarto d’onda equivale
⇒ Zi = ∞ ).
ad un circuito aperto ( Z L = 0
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
21
In realtà se la resistenza serie della linea in quarto d’onda non è
trascurabile, l’impedenza d’ingresso del corto circuito della linea in
quarto d’onda è una impedenza di valore molto elevato.
4) Linea in metà della lunghezza d’onda
Quando la lunghezza della linea è un multiplo intero di λ/2,
z=n λ/2 per n=1, 2, 3,… ⇒ βz=(2π/ λ)n λ/4 = n π ⇒ tan βz=0
da cui
Z +jR tanβl
0
Zi = Z L
Z =R L
i 0 R +jZ tanβl
0 L
Una linea senza perdite con lunghezza pari a metà della lunghezza d’onda
trasferisce l’impedenza del carico ai terminali d’ingresso senza
perdite.
Ciò non è verificato per linea con perdite e pari lunghezza.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
22
Determinazione della impedenza caratteristica Z0 e della costante di
propagazione della linea γ di una sezione di linea, dalle misure della
impedenza di ingresso in condizioni di circuito aperto e di corto circuito.
Infatti in base alla relazione:
Z i = ( Z ) z =0 z' =l = Z 0
Z L + Z 0 tanh γz
Z 0 + Z L tanh γz
linea con circuito aperto ZL → ∞
linea in corto circuito
ZL = 0
Zio = Z 0 coth γ l
Zis = Z 0 tanh γ l
moltiplicando tra di loro le relazioni trovate si ottiene:
⇓
Z 0 = Z io Z is
[Ω]
e
1
z
γ = tanh −1
Z is
Z io
 m-1 
relazioni generali valide per linee con e senza perdite.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
23
5)
Linea con l’impedenza di carico uguale all’impedenza
caratteristica ZL=Z0
Z i = ( Z ) z =0 z' =l
Z L + Z 0 tanh γz
= Z0
= Z0
Z 0 + Z L tanh γz
infatti, per qualunque valore di z: Zi(z)=Z0= costante
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
24
Linea con impedenza di carico arbitraria
L’espressione generica della impedenza di linea sarà:
Z(z') =
V ( z' )
Z cosh γz' + Z 0 sinh γz
Z + Z 0 tanh γz
= Z0 L
= Z0 L
I ( z' )
Z L sinh γz' + Z 0 cosh γz
Z 0 + Z L tanh γz
Si tratta di una espressione generica funzione Z(z) = f (γ , ZL, Z0 , z).
Quando una linea di trasmissione si richiude alla sua estremità su una
impedenza di carico ZL diversa dalla impedenza caratteristica Z0,
sono presenti nella linea sia l’onda incidente (dal generatore), che
l’onda riflessa (dal carico).
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
25
Linea terminata sull’impedenza arbitraria
Essendo:
IL
( Z L + Z 0 ) e γ ( l − z ) + ( Z L − Z 0 ) e − γ ( l − z ) 

2
I
I ( z ) = L ( Z L + Z 0 ) e γ ( l − z ) − ( Z L − Z 0 ) e − γ ( l − z ) 
2Z 0
V ( z) =
IL
γ z'
Mettendo in evidenza il termine:
Z
+
Z
e
( L 0)
2
e indicando con:
Γ=
( Z L − Z0 )
= Γ e − jθ
( Z L + Z0 )
Γ
si ottiene:
( Z L − Z 0 ) −2γ z ' 
IL
γ z' 
V ( z ) = ( Z L + Z 0 ) e 1 +
e

Z
Z
2
+
(
)
0
L


IL
= ( Z L + Z 0 ) e γ z ' 1 + Γ e −2γ z ' 
2
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
26
Il rapporto Γ delle ampiezze delle onde di tensione riflessa e incidente
nel carico (z’=0) è chiamato coefficiente di riflessione di tensione della
impedenza del carico ZL ( Γ ≤ 1) *.
Procedendo in maniera analoga per la corrente si ottiene:
IL
(Z L + Z 0 )e γ z ' 1 − Γ e − 2 γ z '
I ( z ') =
2Z 0
Per linee senza perdite le equazioni diventano:
[
IL
(Z L + R0 )e − jβ
2
I
I ( z ') = L (Z L + R0 )e jβ
2Z 0
V ( z ') =
z'
z'
[1 + Γ e
[1 − Γ e
− j 2β z '
− 2γ z '
] = I2 (Z
L
] = 2IZ
L
]
L
[
[1 − Γ e (θ
]
)
]
+ R0 )e jβ z ' 1 + Γ e j (θ Γ − 2 β z ')
(Z L + R0 )e jβ z '
j
Γ
− 2β z'
0
****************************************************************************************************
*Esso
ha la stessa forma del coefficiente di riflessione per un’onda piana
incidente normalmente su una interfaccia piana tra due dielettrici:
( η -η )
Γ= 2 1 = con η1 e η2 impedenze intrinseche dei due mezzi.
( η2 +η1 )
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
27
Ponendo VL=IL ZL e ricordando che cosh jθ = jcos θ e che
sinh jθ = jsin θ , si ottengono le equazioni semplificate:
V ( z' ) = VL cos β z' + jI L R0 sinβ z'
VL
I ( z' ) = I L cos β z' + j sinβ z'
R0
Se l’impedenza ZL=RL le ampiezza della corrente e della tensione
rispettivamente diventano:
 V ( z ') = V cos 2 β z '+ ( R /R ) sin 2 β z '
0
L
L



2
2
=
+
β
β z'
I
z
'
I
cos
z
'
R
/R
sin
(
)
(
)

0
L
L
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
con R0 = L / C
28
Si definisce lo standing wave ratio S (SWR), rapporto d’onda
stazionaria, ossia il rapporto tra la tensione massima e la tensione
minima lungo una linea finita:
S −1
Vmax 1 + Γ
Γ
==
S=
=
⇒
S+1
Vmin 1 − Γ
Si ha che:
Γ= 0 S=1
quando ZL=Z0 ( carico adattato)
Γ= -1 S→∞
quando ZL=0 ( corto circuito)
Γ= +1 S →∞ quando ZL →∞ ( circuito aperto)
S viene espresso in dB, poiché ha un campo di definizione molto
grande.
Un valore di S elevato indica una potenza persa elevata.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
29
Le condizioni |Vmax| e |Imin| si verificano insieme per:
θΓ − 2 β z = − 2 nπ
'
M
n = 0, 1, 2,...
(1)
e le condizioni |Vmin| e |Imax| si verificano insieme per:
θΓ − 2 β z'M = −(2 n + 1)π
M. Usai
n = 0, 1, 2,...
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6f
(2)
30
Se la linea con impedenza di carico è resistiva e priva di perdite:
ZL=RL e Z0=R0
il coefficiente di riflessione risulta reale puro: Γ =
RL − R0
RL + R0
e si hanno due casi:
•
RL > R0 → Γ > 0 positivo e θ Γ = 0
alla estremità della linea z’=0 la condizione (1) è verificata per n=0,
ossia |Vmax| e |Imin| si verificano anche per:
2 β z'M = 2 nπ
o z' = nλ/2 per n = 0, 1, 2,...
•
RL < R0 → Γ < 0 negativo e θ Γ = -π
alla estremità della linea z’=0 la condizione (2) è verificata per n=0
ossia |Vmin| e |Imax| si verificano anche per:
z' = nλ/2 per n = 0, 1, 2,...
M. Usai
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31
•
' = 2nπ
Per RL > R0 ⇒ |Vmax| e |Imin| si verificano per: 2 β zM
•
Per RL < R0 ⇒ |Vmin| e |Imax| si verificano per:
o z' = nλ /2
per n = 0, 1, 2,...
z' = nλ /2 per n = 0, 1, 2,...
z’
M. Usai
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32
Carta di Smith
Z i = ( Z )z = 0 z' = l
Z L + Z 0 tanh γz
Z L + jR0 tanh βz
= Z0
= R0
Z 0 + Z L tanh γz
R0 + jZ L tanh βz
(
Z L − Z0 )
Γ =
= Γ e − jθ
(Z L + Z0 )
Γ
Il calcolo delle linee di trasmissione, la determinazione della
impedenza di input, l’impedenza di carico o il coefficiente di
riflessione spesso richiedono dei calcoli tediosi con i numeri
complessi, si può ovviare a ciò usando un metodo grafico di
soluzione. Il più conosciuto e largamente usato è la carta
grafica di P.H Smith.
M. Usai
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33
La carta si Smith è una rappresentazione grafica delle
funzioni resistenza e reattanza del carico ZL, normalizzate
nel piano del coefficiente di riflessione.
Per comprendere come la carta di Smith sia stata
strutturata per le linee di trasmissione prive di perdite, si
esamini il coefficiente di riflessione di tensione della
impedenza del carico:
(
Z L − Z0 )
Γ=
=
( Z L + Z0 )
Γ e − jθ Γ
Si consideri l’impedenza del carico ZL normalizzata rispetto
all’impedenza caratteristica R0 della linea.
Z L RL
XL
zL =
=
+ j
= r + jx
R0 R0
R0
Dove r e x sono la resistenza e la reattanza normalizzate
rispettivamente.
M. Usai
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34
L’equazione precedente può essere così scritta:
zL − 1
Γ = Γ r + jΓ i =
zL + 1
dove Γr e Γi sono rispettivamente le parti reale e immaginaria
del coefficiente di riflessione Γ. La relazione inversa è:
jθ Γ
1
+
Γ
e
1+ Γ
zL =
=
1 − Γ 1 − Γ e jθ Γ
r + jx =
o
(1 + Γ r ) +
(1 − Γ r ) −
jΓ i
jΓ i
Moltiplicando sia il numeratore che il denominatore per il
complesso coniugato del denominatore e separando le parti
reale e immaginaria si ottiene:
r=
M. Usai
1 − Γ r2 − Γ i2
(1 − Γ r )
2
+ Γi
2
e
x=
2 Γ i2
(1 − Γ r )2 + Γ 2
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i
35
Se si riporta la prima di queste funzioni nel piano Γr - Γi per un
dato valore di r, il grafico risultante è il luogo per questo valore
di r. Il luogo può essere ottenuto esprimendo l’equazione come:
2
  r 
2  1 
 Γ r -  1+r   +Γi =  1+r 
2
Questa è l’equazione di un cerchio avente un raggio pari a
R=1/(1+r) e centrato in Γr =a= (r/(1+r) e Γi = 0:
[ Γr -a ]
2
+Γi2 =R 2
Per diversi valori di r si ottengono cerchi con raggio diverso
centrati in posizioni diverse sull’asse Γr.
La famiglia di cerchi r è mostrata nelle figure con linee a
tratto continuo riportate di seguito.
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36
Carta di Smith in coordinate rettangolari
M. Usai
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37
Carta di Smith in coordinate polari
M. Usai
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38
Poichè Γ =
Z L − R0
≤ 1 per le linee prive di perdite solo la
Z L + R0
parte del grafico all’interno del cerchio unitario nel piano (Γr, Γi)
è significativa la parte esterna può non essere considerata.
Si possono notare diverse proprietà salienti dei cerchi r:
1) I centri dei cerchi r giacciono sull’asse Γr .
2) Il cerchio r = 0 con raggio unitario centrato sull’origine è il più
grande.
3) I cerchi r diventano progressivamente più piccoli come r
aumenta da 0 a ∞ fino al punto (Γr=1, Γi=0) per circuito aperto.
4) Tutti i cerchi r passano per il punto (Γr=1, Γi=0)
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39
Analogamente la seconda equazione può essere espressa come:
 2 1 1
( Γ r − 1) +  Γi −  =  
x  x

2
2
Questa è l’equazione di un cerchio avente un raggio R=1/|x| e
centrato in Γr=a=1, Γi=b=1/x:
( Γ r − a )2 + ( Γi2 − b ) = R 2
Per diversi valori di x si ottengono cerchi con raggio diverso
centrati in punti diversi della retta Γr=1.
La famiglia dei cerchi x, giacente all’intero del contorno | Γ|=1, è
mostrata con linee tratteggiate.
M. Usai
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40
Questi luoghi hanno le seguenti proprietà:
1) I centri di tutti i cerchi x giacciono sulla retta Γr=1;
• quelli per x>0 (reattanza induttiva) giacciono al di sopra
dell’asse Γr , e
• quelli per x <0 (reattanza capacitiva) giacciono al di sotto
dell’asse Γr.
2) Per x = 0 il luogo diventa l’asse Γr .
3) Il cerchio x diventa progressivamente più piccolo come |x|
aumenta da 0 verso ∞, sino al punto (Γr=1, Γi=0), di corto
circuito.
4) Tutti i cerchi x passano per il punto (Γr=1, Γi=0) .
La carta di Smith è una carta di cerchi r e di cerchi x nel piano
Γr- Γi per | Γ|≤1 . Si può provare che i cerchi r e i cerchi x
sono ovunque ortogonali tra di loro.
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41
L’intersezione di un cerchio r e di un cerchio x definisce un
punto che rappresenta l’impedenza di carico normalizzata
zL= r + jx. L’impedenza del carico reale è ZL=R0(r+jx).
La stessa carta può essere utilizzata in coordinate polari così che
ogni punto del piano z sia specificato dal modulo di | Γ| e
dall’angolo di fase θ Γ. Ciò è illustrato nella figura precedente dove
diversi cerchi | Γ| sono riportati con linee tratteggiate e diversi
angoli θ Γ sono riportati intorno al cerchio Γ=1 .
I cerchi | Γ| non sono normalmente riportati nelle carte di Smith
commerciali, ma una volta che viene rappresentata una certa
zL=r+jx in un punto P, diventa semplice disegnare un cerchio
centrato nell’origine O con raggio OP.
• La distanza dal centro al punto è pari al modulo | Γ| del
coefficiente di riflessione e
• la fase θ Γ é l’angolo che la linea passante per OP forma con
l’asse reale.
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42
Questa determinazione grafica consente di evitare il calcolo di
Γ utilizzando equazioni tediose.
Riassumendo:
1) Tutti i cerchi | Γ| sono centrati nell’origine e i loro raggi
variano uniformemente da 0 a 1
2) l’angolo misurato rispetto all’asse positivo delle x, della
linea passante per l’origine e il punto rappresentativo di zL é
uguale a θΓ.
3) il valore nel cerchio r passante per l’intersezione del cerchio
| Γ| e l’asse reale positivo (punto PM), é uguale al rapporto
d’onda stazionaria S (*)
Vmax 1 + Γ
S=
=
Vmin 1 − Γ
⇒
S=
RL − R0
per carichi resistivi
RL + R0
(*) vedi pagina successiva
M. Usai
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43
(*) Infatti il cerchio |Γ| interseca l’asse reale in due punti PM sull’asse
reale negativo e Pm sull’asse reale negativo.
Questi punti rappresentano condizioni di carico puramente resistivo
essendo per sull’asse reale x=0 e ZL=RL.
In particolare:
in PM r>1 e RL > R0 e
in Pm r<1 e RL < R0.
poiché per carichi puramente ohmici RL=SR0 ⇒
M. Usai
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S=
RL
=r
R0
44
Inoltre poiché l’ammettenza di linea normalizzata:
essendo:
Y Z0 1 1 − Γ
y= =
= =
Y0 Z z 1 + Γ
I−
Γi = + = −Γ
I
⇒
1 + Γi
y=
1 - Γi
espressione perfettamente uguale alla espressione di z.
Per cui nella carta di Smith
i cerchi a r= cost sono pure quelli a g= cost e
i cerchi a x= cost sono pure quelli a b= cost.
La stessa sezione di linea é rappresentata allora da due punti sul
diagramma di Smith a seconda che questo si intenda letta in impedenze o
in ammettenze.
Tali punti sono sullo stesso cerchio e diametralmente opposti.
M. Usai
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45
Inoltre essendo:
λ
λ
1


Γ ( x ) = Γ i  x ±  ⇒ z ( x ) = y x ±  =
λ
4
4



z x ± 
4

risulta che spostandosi di
λ
2
in avanti o indietro lungo una linea
l’impedenza si trasforma nella sua inversa.
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46
Esistono dei grafici utili per estendere l’uso del diagramma di Smith alle
linee leggermente dissipative.
1 + Γe− j 2 β z ' 
zi ( z ) = 

Infatti per linee prive di perdite:
2
'
j
β
z
−
1 − Γe



Per una linea con perdite, l’impedenza normalizzata ha una espressione
analoga a quella trovata per un impedenza senza perdite:
Z i 1 + Γe −2α z ' e− j 2 βz' 1 + Γ e −2α z ' e− jΦ
zi ( z ) =
=
=
−2α z ' − j 2 βz'
Z 0 1 − Γe
1 − Γ e −2α z ' e − jΦ
e
con Φ = θ Γ − 2 βz'
Il modulo di Γ e quindi S non cambiano con z’, quindi si può usare la carta
di Smith per determinare Γ e θΓ per una data zLdel carico , mantenendo Γ
costante e ruotando in senso orario da θΓ di un angolo uguale a
2βz’=4 πz’/λ.
In questo modo si localizza il punto per | Γ |ejΦ, che determina zi, che
normalizza l’impedenza di ingresso zi dall’esame di una linea senza perdite
di impedenza caratteristica R0, lunghezza z’ e impedenza di carico
normalizzata zL.
M. Usai
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47
Generalmente sono riportate due scale addizionali in ∆z’/λ lungo il
perimetro del cerchio | Γ |=1 per facilitare la lettura del variazione di
fase 2β(∆z) dovuta alla variazione della lunghezza della linea ∆z:
•la scala esterna in senso orario (incremento di di z’) è chiamata
“wavelengths toward generator” e
•la scala più interna in senso antiorario (decremento di z’) é
chiamata “wavelengths toward load”
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48
Adattamento di impedenza per circuiti a costanti distribuite
Quando una linea è chiusa su un’impedenza diversa da quella
caratteristica si ha disadattamento, nascono cioè riflessioni e
stazionarietà (onde stazionarie) con:
• distorsioni dovute al fatto che il carico assorbe una potenza
funzione della frequenza di lavoro,
• disuniformità nella distribuzione del campo elettromagnetico,
l’aumento della forza elettrica in alcune sezioni può causare
scariche; la disuniformità del campo magnetico e quindi delle
correnti, provocando maggiori perdite per effetto Joule,
• variazioni della frequenza del generatore quando questa dipende
dall’impedenza su cui esso è chiuso,
• danneggiamento del generatore a causa della potenza regressiva.
M. Usai
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49
Allo scopo di evitare questi inconvenienti si dispone nella sezione
più vicina al carico una struttura adattante tale che, col carico
assegnato, presenti alla linea la sua impedenza caratteristica.
Nei sistemi di trasmissione l’adattamento di impedenza dovrà essere
realizzato per tutte le frequenze della banda del segnale.
Poiché l’adattamento su tutta la banda è in pratica irrealizzabile, esso
si attua per la frequenza di massima distorsione, e lasciando poi che
per frequenze diverse il rapporto d’onda stazionario si scosti più o
meno rapidamente da 1.
I principali sistemi di adattamento di questo tipo realizzati con
strutture puramente reattive sono:
a) linea in quarto d’onda
b) transizione linea bilanciata- linea sbilanciata (balun)
c) semplice tronco di linea in derivazione (stub)
d) doppio tronco di linea in derivazione (doppio stub).
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50
Impedenza di adattamento nelle linee di trasmissione
Le linee di trasmissione sono usate per la trasmissione di potenza e di
informazione.
Per la trasmissione di potenza in radiofrequenza si vuole che la
trasmissione dal generatore al carico avvenga con la minor perdita di
potenza possibile.
Ciò richiede che il carico sia adattato alla impedenza caratteristica
della linea in modo che il rapporto d’onda stazionaria sulla linea sia
più vicino possibile alla unità.
Per la trasmissione di informazione è essenziale che la linea sia
adattata, perché le riflessioni dai carichi non adattati alle giunzioni
distorcono il segnale che contiene l’informazione.
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51
Linea in quarto d’onda
Un tratto di linea lungo λ/4 presenta un’impedenza d’ingresso pari
all’inverso dell’impedenza d’uscita: zi=1/zu.
Z0
zi= Zi/Z0
zu= Zu/Z0
λ/4
Passando dai valori normalizzati ai valori reali si ha:
zi =
1
zu
⇒
Zi = Z02
1
Zu
⇒
Z0 =
Zi Zu
Questa proprietà può essere usata per adattare un’impedenza Zu reale ad
una linea d’impedenza caratteristica Zi (supposta normalmente reale).
Basterà infatti realizzare un tratto di linea lungo λ/4 con impedenza Z0
pari alla media geometrica fra l’impedenza caratteristica della linea e
l’impedenza del carico.
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52
Transizione linea bilanciata linea sbilanciata
Una linea a due conduttori si dice bilanciata rispetto a un terzo
conduttore (di massa o di terra) quando in ogni sezione della linea,
l’impedenza di ciascuno dei due conduttori rispetto a massa è la
stessa.
+
+
Z/2
V
V
Z/2
Se la linea è alimentata da un generatore di tensione bilanciato le
tensioni risulteranno in ogni sezione bilanciate;
le correnti nei due conduttori saranno uguali e opposte e nel terzo
conduttore la corrente risulterà nulla.
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53
Se tali condizioni non sono verificate la linea si dice sbilanciata ( esempi :
linea bifilare con un conduttore a massa, cavo coassiale con un conduttore
esterno a massa).Si voglia risolvere il seguente problema:
trasferire potenza da una linea bilanciata con impedenza caratteristica Za a
una linea sbilanciata con impedenza caratteristica Zb
Connettendo le due linee si ha adattamento solo se l’impedenza della linea
sbilanciata è 1/4 di quella della linea bilanciata Zb=1/4 Za.
Ma in queste condizioni la linea bilanciata non sarebbe alimentata da un
generatore bilanciato in quanto le tensioni verso massa risulterebbero
uguali in modulo ma in fase tra loro.
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54
Per ottenere il bilanciamento è necessario prolungare di λ/2 un
tratto della linea bilanciata , ottenendo tensioni sfasate di 180 gradi.
Questo é il metodo di adattamento chiamato stub semplice
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55
Semplice tronco di linea in derivazione
Per adattare un’impedenza di carico Zl ad una linea senza perdite che
ha un’impedenza caratteristica R0 si può collegare un singolo stub
in parallelo con la linea come in figura. Occorre determinare la
lunghezza dello stub l e la distanza dal carico d tale che
l’impedenza equivalente in parallelo sia uguale a R0 . La
condizione richiesta è che YI=YB+YS=Y0=1/R0 .
In termini di ammettenze normalizzate si ha 1=yB+yS dove
• yB=R0YB per la sezione del carico e
• yS=R0YS e per lo stub di corto circuito.
Poiché l’impedenza di ingresso dello stub di corto circuito yS è
puramente suscettiva (puramente immaginaria), si può definire la yS
utilizzando la carta di Smith.
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Singolo stub
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57
Doppio tronco di linea in derivazione (doppio stub)
Poiché il metodo del singolo stub richiede che lo stub sia
collegato alla linea principale in un punto specifico, che varia con
l’impedenza di carico e con la frequenza di funzionamento, ciò
comporta difficoltà pratiche per spostare le giunzioni nella
locazione desiderata con un metodo meccanico.
In questi casi un metodo alternativo per l’adattamento
dell’impedenza è quello di utilizzare due stub in corto circuito
collegati alla linea principale in posizioni fisse.
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58
Doppio stub
M. Usai
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59
In questo caso la distanza d0 viene scelta arbitrariamente e mantenuta
costante, mentre le lunghezze delle due stub vengono modificate per
adattarle all’impedenza del carico, data la ZL della linea principale.
Per ottenere l’adattamento dell’impedenza, la ammettenza totale
d’ingresso ai terminali B-B1 , vista dal carico, deve essere uguale alla
conduttanza caratteristica della linea, cioè: YI=YB+YSB=Y0=1/R0 .
In termini di ammettenza normalizzata si ha: 1=yB+ySB.
Le impedenze del doppio stub possono essere determinate con la
carta di Smith.
Inoltre l’impedenza di adattamento con il doppio stub può essere
collegata con una sezione di linea di carico aggiuntiva come
mostrato in figura. Ciò aumentare le possibilità di adattamento della
linea
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60
Doppio stub con settore di linea addizionale al carico
M. Usai
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