Testo con soluzioni

Facoltà di Farmacia e Medicina - A.A. 2015-2016
25 Gennaio 2016 – Scritto di Fisica
Corso di Laurea: Laurea Magistrale in CTF
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Riportare sul presente foglio i risultati numerici trovati per ciascun esercizio.
Esercizio 1. Cinematica
Un corpo viene lanciato da 20 cm di altezza con velocità |~v | = 1 m/s ed un angolo di -π/6 rispetto
all’orizzontale. Qual è il modulo della velocità quando tocca terra?
v=
2.22 m/s
Esercizio 2. Dinamica
Una pallina viene lanciata con una certa velocità v lungo guida circolare di raggio R = 0.4 m disposta
verticalmente. Determinare la velocità minima della pallina nel punto più alto della guida affinché
non cada per effetto della gravità.
v=
1.98 m/s
Esercizio 3. Urti e Conservazione Energia
Un proiettile di massa m = 3 g viene scagliato orizzontalmente con velocità v=200 m/s contro un
blocchetto di legno di massa M = 1 kg, e vi rimane conficcato. Il blocchetto di legno è vincolato da
un filo al soffitto, in modo da formare un pendolo semplice. Calcolare la quota massima h raggiunta
del sistema proiettile-blocchetto dopo l’urto.
h=
1.8 cm
Esercizio 4. Fluidi e gas perfetti
Una lanterna cinese con struttura di massa trascurabile, in fase di decollo ha un’accelerazione verso
l’alto a = 35 cm/s2 . Sapendo che la pressione all’esterno (ed all’interno) della lanterna è di 1 atm,
e che l’aria è descrivibile come un gas perfetto e la temperatura esterna è di 10 ◦ C, determinare la
temperatura dell’aria all’interno.
T=
293 K
Esercizio 5. Primo principio termodinamica
Un gas perfetto monoatomico a temperatura T1 = 300 K, pressione p1 = 2 atm e volume V1 = 2 litri,
effettua un’espansione adiabatica reversibile fino al volume V2 = 2V1 e alla pressione p2 = 0.3 ∗ p1 . Da
questa condizione, attraverso una trasformazione isocora, viene portato nuovamente alla temperatura
T1 , quindi con una compressione isoterma ritorna nello stato iniziale. Fare il grafico del ciclo e calcolare
il lavoro fatto dal gas in modulo e segno.
L=
-59 J
Esercizio 6. Campo elettrico
Una sfera conduttrice di capacità C = 2 pF, viene caricata positivamente fino ad immagazzinare
un’energia di 1 J. Calcolare il campo ed il potenziale elettrostatico nel centro ed in un punto esterno
a distanza 3 m dal centro.
Ei , Ee , Vi , Ve =
0, 2 103 V/m, 106 V, 6 103 V
Esercizio 7. Campo magnetico
In uno spettrometro di massa uno ione di deuterio viene accelerato da una differenza di potenziale di 1
kV, entra in una regione dove è presente un campo magetico B dove compie una semi-circonferenza di
raggio R e coplisce un sistema di rilevamento. Determinare il modulo, la direzione ed il verso (rispetto
a v ed R) del campo magnetico B affinché sia R = 20 cm. B =
0.032 T, B||z, v||y, F ||x
Esercizio 8. Ottica
Della luce si propaga con un angolo di π/3 rispetto all’asse di un lungo cilindro, internamente ad esso.
Il cilindro è costituito da un materiale con indice di rifrazione n ed è immerso in aria. Determinare n
affinché ci sia riflessione totale sulle pareti interne del cilindro.
n=
2
Soluzioni Il corpo viene lanciato da un’altezza h verso il basso con un angolo di −π/6 rispetto
all’orizionatale, si scompone il moto nelle due componenti orizzontale e verticale, rispettivamente x
ed y. Il moto lungo l’asse x è uniforme, quello lungo l’asse y è uniformente accelerato. Ricordando la
2 + 2gh,
relazione che esprime la velocità in funzione dell’accelerazione e dello spazio percorso, vy2 = v0y
si ha:
Esercizio 1
v0x = cos(−π/6) =
√
3/2
v0y = sin(−π/6) = −1/2
2
2
v 2 = vy2 + vx2 = v0y
+ 2gh + v0x
= 1 + 2gh = 4.92 m/s
v = 2.2 m/s
Esercizio 2
Scegliamo il sistema di riferimento solidale con il corpo con l’asse x orientato secondo la velocità e
l’asse y secondo il raggio e puntante verso il centro della guida. Perché il corpo non caschi si deve
~ = F~g + F~c ≥ 0, ovvero la reazione vincolare deve essere orientata verso il centro della guida
avere: R
ed al più nulla.
Fc = −mv 2 /R
Fg = mg
→
v 2 /R = g
→
v = 1.98 m/s
Esercizio 3
Nell’urto completamente anelastico si conserva la quantità di moto, da cui:
mv
m v = (m + M )vf
→
vf =
m+M
imponendo la conservazione dell’energia meccanica, tra l’istante successivo all’urto, e il punto di
massima quota si ottiene:
h=
vf2
2g
=
m2 v 2
= 1.8 cm
2(m + M )2 g
Esercizio 4
Scegliamo l’asse y verticale e diretto verso l’alto. Siano mint e mext le masse d’aria rispettivamente
alla temperatura esterna Text ed interna Tint contenute nel volume del pallone. Ricordando che la
spinta di Archimede è pari al peso della massa spostata, la seconda legge della dinamica è:
g
−mint g + mext g = mint a
mint = mext
g+a
(1)
La massa del gas è data da m = nP.M./V , ed usando l’equazione dei gas perfetti n = P V /RT , si ha:
mext =
pV P.M.
R Text
Tint =
Tint =
pV P.M.
R mint
g+a
Text = 293 K
g
Esercizio 5
Il lavoro del ciclo è uguale alla somma dei lavori nelle singole trasformazioni. Nell’adiabatica reversibile
il calore scambiato è nullo, dunque il lavoro coincide con la variazione dell’energia interna cambiata
di segno. Utilizzando l’equazione dei gas perfetti è possibile esprimere il numero di moli per la
temperatura in funzione di p V , ovvero:
Ladiabatica = −n cV (T2 − T1 ) = n
3
3
3
R (T1 − T2 ) = (p1 V1 − p2 V2 ) = (1 − 0.63) p1 V1
2
2
2
(2)
Il lavoro di una trasformazione isoterma reversibile è dato da:
Lisoterma = n R T1 ln
V1
= −p1 V1 ln 2
V2
⇒
Ltot = Ladiabatica + Lisoterma = −59J
Esercizio 6
Una sfera conduttrice di carica Q ha accumulato un’energia elettrostatica U =
1 Q2
2 C .
Da cui:
√
2U C
Q=
Ricordando che in elettrostatica, all’interno di un conduttore il campo elettrico è nullo, e dunque il
conduttore equipotenziale, abbiamo:
E(R = 0) = 0
Vint =
Q
= 106 V
C
Per una distribuzione di carica a simmetria sferica, il campo ed il potenziale elettrostatico è equivalente
a quello generato dalla carica totale localizzata nell’origine (teorema di Gauss), da cui:
E(R = 3m) =
1 Q
V
= 2 103
2
4π0 R
m
V =
1 Q
= 6 103 V
4π0 R
(3)
Esercizio 7
Uno ione di deuterio ha carica +e e massa 2 mp . La velocità acquistata dall’ione si ottiene dalla
conservazione dell’energia:
r
1
2e∆V
2
m v = e ∆V
v=
= 3.1 105
2
m
Il campo magnetico sarà dato dalla forza di Lorentz:
m
s
evB = m
v2
R
B=
mv
= 0.032T
eR
Scegliendo v diretta lungo l’asse y e F (la forza di Lorentz) diretta lungo l’asse x si ha che B deve
essere diretto lungo l’asse z. B||z, v||y, F ||x
Esercizio 8
L’angolo di riflessione totale corrisponde ad un angolo di rifrazione di π/3 rispetto alla normale alla
superficie su cui avviene la rifrazione. Nel problema in questione la rifrazione avviene sulla superficie
laterale del cilindo. Sia θ l’angolo di propagazione del raggio rispetto all’asse del cilindo, allora l’angolo
rispetto alla normale alla superficie laterale è α = π/2 − θ, da cui applicando la legge di Snell:
n sin α = 1
⇒
sin α = cos θ =
1
2
⇒
n=2