Impulsi longitudinali in una molla a spirale
In questa scheda ricaveremo la velocità di propagazione di un impulso longitudinale generato in una
molla a spirale posizionata in direzione orizzontale, usando la II legge della dinamica nella sua
formulazione nota come “teorema dell’impulso”.1
La molla ha una lunghezza iniziale “a riposo” l e il suo
estremo inizialmente nella posizione x=0 viene spinto con la
mano in direzione orizzontale, con una forza F per un
intervallo di tempo t, l’impulso della forza che agisce è
dunque F∆t. 2 Se la molla si comportasse come un corpo
rigido l’impulso determinerebbe un movimento con una
velocità inversamente proporzionale alla massa totale della
molla: Fx∆t= ∆px=m∆v, se la molla avesse lunghezza infinita
la velocità sarebbe nulla. Nella realtà la molla ha una
lunghezza finita e la forza mette in moto solo una porzione di
essa. Il teorema dell’impulso diventa: Fx∆t= ∆px= v∆m3, il
movimento si trasmette alle porzioni adiacenti e il disturbo si
propaga in tutta la corda come un’onda.
Figura 1 la molla viene compressa da una
forza F per un tempo t
Nella figura 9 viene mostrata la molla
in diversi istanti: detta u la velocità
con cui l’estremo sinistro della molla
viene messo in moto, e cl la velocità
con cui il disturbo si propaga lungo la
molla si può osservare come,
trascorso l’intervallo t, la molla
risulti accorciata di un ut e la
porzione di essa
che partecipa al
moto è quella che in figura vediamo
compressa (la porzione in moto
resterà la stessa in termini di Figura 2 schematizzazione di quanto avviene nella molla quando un estremo
viene spinto in direzione x per un intervallo di tempo t.
lunghezza e massa, ma istante per
istante il moto si trasmetterà alle maglie successive della molla, in figura la porzione in moto è
evidenziata dai cinque pallini). Detta ε la massa per unità di lunghezza quando la molla è a riposo,
la porzione di molla in moto da t3 in poi ha massa: m cl t . Ogni maglia della porzione in moto
ha velocità u, quindi px cl ut . Questa quantità di moto è fornita alla molla dall’impulso Ft e
possiamo scrivere F px cl ut da cui otteniamo per la forza
F cl u
Il teorema dell’impulso enuncia che la variazione della quantità di moto di una massa in un intervallo finito di tempo
è uguale all’impulso, cioè alla forza per l’intervallo di tempo durante il quale ha agito: Ft=p
2
Se una sollecitazione simile venisse data ad un corpo rigido, ad esempio una sbarra di ferro, questo si muoverebbe
tutto, nel caso in esame, invece solo una porzione della molla viene coinvolta nel movimento
3
Siamo in presenza di un sistema a massa variabile, per cui la corretta formulazione del teorema dell’impulso è:
dp
du
dm , poiché la velocità u della parte di molla in movimento è costante du
m
u
m
0.
1
dt
dt
dt
dt
Una volta trascorso il tempo t, da chi è fornita la forza che permette al disturbo di propagarsi? E’
chiaro che entra in gioco l’elasticità della molla, occorre fare un piccolo passo indietro ed esaminare
il comportamento di una molla elastica. Quando una molla viene compressa con una forza F la sua
lunghezza diminuisce di una quantità proporzionale alla forza che comprime la molla, secondo la
nota legge di Hooke espressa dalla formula F Kx , dove K è la costante della molla. La costante
della molla dipende non solo dal materiale di costruzione, ma anche dalla lunghezza a riposo della
molla. In questa sede ci è utile esprimere le proprietà elastiche della molla in termini di una quantità
che dipenda solo dal materiale e non dalla lunghezza della molla 4. Per un dato materiale di
costruzione di una molla notiamo che la variazione di lunghezza l (positiva quando l aumenta)
risulta proporzionale sia alla forza applicata F che alla lunghezza l della molla a riposo:
l kFl ,
dove la costante k è detta compressibilità lineare della molla. Da questa relazione si può
dedurre facilmente5 che la compressibilità lineare k in termini della costante K della molla è
k
1
.
Kl
Torniamo alla propagazione dell’impulso fornito alla molla dalla forza F, analizzando cosa succede
nel punto A in figura 10. Come abbiamo già visto, durante l’intervallo t, la molla si è accorciata di
un tratto l ut ed il fronte del
disturbo che si trova nel punto A si sarà
mosso avanti di una distanza cl∆t.
Consideriamo la parte di molla che è
stata coinvolta nel moto nell’intervallo
di tempo t: riportando la posizione del
fronte d’onda alla molla a riposo (t=0),
la lunghezza è l. Il rapporto fra Figura 3 Nell’intervallo t la porzione l della molla è compresa di un l
l’accorciamento della molla e la sua
lunghezza a riposo è:
l u t u
,
l
cl t cl
riprendendo la relazione della compressibilità lineare della molla,
forza è F cl u , otterremo
Le due espressioni
l
k cl u .
l
l
kF , ricordando che la
l
l
l u t u
u
k cl u ci portano a k cl u .
e
l
l
cl t cl
cl
Nel paragrafo precedente ci siamo occupati della velocità di trasmissione dell’impulso trasversale su una corda tesa,
esprimendola in termini di tensione e di densità lineare della corda, qui cerchiamo per la velocità di propagazione della
velocità dell’impulso longitudinale nella molla un’espressione che dipenda dalla densità lineare della molla.
4
5
F
l
k
l 1 l , F Kx k 1
Kl
kl
Da questa relazione possiamo trovare la velocità di propagazione dell’onda longitudinale
cl
1
k
.
La velocità è indipendente da u e dipende dal coefficiente di compressibilità lineare della molla e
dalla sua densità lineare.6
La trattazione precedente è valida assumendo che l’accorciamento della molla sia proporzionale alla
lunghezza della molla ed alla forza F, ciò è vero solo quando Δl è piccolo confrontato con l e la
compressibilità lineare è costante. La restrizione l l è equivalente a u cl che è un’assunzione
comune nello studio del moto delle onde.
6
la velocità di propagazione dell’impulso, espressa con al costante elastica della molla K diventa
dipendente dalla lunghezza della molla e dalla sua massa.
cl
1
K
l
k
m
