testo e svolgimento sintetico prova A

Università degli studi della Tuscia – DIBAF
Corso di Matematica – Dr. L.Secondi – a.a. 2014/15
SIMULAZIONE PROVA DI COMPLETAMENTO [A]
ESERCIZIO 1
Il direttore di un ristorante di New York classifica i clienti in base a come si vestono in “eleganti”, “casual” e
“trasandati” e rileva che, tra la sua clientela, le proporzioni di ogni categoria sono rispettivamente il 50%, il
40% e il 10%. Il direttore ha riscontrato inoltre che il 70% degli “eleganti” ordina il vino, così come il 50%
dei “casual” e il 30% dei “trasandati”.
a) Qual è la probabilità che un cliente scelto a caso ordini il vino?
b) Se viene ordinato il vino, qual è la probabilità che chi lo ordina sia vestito in modo elegante?
c) Se viene ordinato il vino, qual è la probabilità che chi lo ordina non sia vestito in modo elegante?
ESERCIZIO 2
La tabella seguente riporta la distribuzione di 150 studenti universitari secondo i caratteri “ore di studio
dedicate alla preparazione di un esame universitario” e “svolgimento di un’attività sportiva”:
Studio/Attività
sportiva
0-10
10-20
20-40
Si, tutti i giorni
15
20
5
Si, qualche volta
a settimana
5
10
20
No
20
30
25
a) Considerando la distribuzione (marginale) delle ore di studio, determinare la media, la mediana e la
moda della distribuzione;
b) Si ipotizzi di aver rilevato sugli stessi studenti anche il voto conseguito all’esame e di aver ottenuto
un valore medio pari a 24 e una deviazione standard pari a 4. Comparare, mediante il calcolo di un
indice opportuno, la variabilità della distribuzione del voto con quella delle ore di studio indicando
quale delle due distribuzioni presenta minore variabilità.
c) E’ possibile affermare che oltre il 50% degli studenti intervistati studia meno di 20 ore per la
preparazione dell’esame in questione?
d) Interpretando la probabilità secondo l’approccio frequentista, determinare la probabilità di
selezionare uno studente che svolge un’attività sportiva tutti i giorni avendo già rilevato che dedica
alla preparazione dell’esame tra 20 e 40 ore.
e) E’ possibile affermare che gli eventi “Ore dedicate alla preparazione dell’esame tra 20 e 40” e “non
svolgere attività sportiva” sono statisticamente indipendenti?
ESERCIZIO 3
Verificare la compatibilità del seguente sistema e, in caso affermativo, risolverlo applicando la regola di
Cramer o ricorrendo al teorema di Rouché-Capelli:
 x − y + 3 z = 11

2 x + 3 y − z = 6
4 x + y + 5 z = 28

Domanda teorica:
1. Descrivere cosa si intende per determinante di una matrice quadrata e, successivamente, illustrare la
regola di Sarrus chiarendo in quali circostanze può essere applicata.
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SIMULAZIONE PROVA DI COMPLETAMENTO [A]
SOLUZIONE SINTETICA
SIMULAZIONE PROVA DI COMPLETAMENTO [A]
ESERCIZIO 1
Identifichiamo gli eventi nel modo seguente:
E=cliente elegante
C= cliente casual
T= cliente trasandato
P ( E ) = 0.50 P ( C ) = 0.40
P ( V/ E ) = 0.70
P (T ) = 0.10
P ( V/ C ) = 0.50
P ( V/ T ) = 0.30
a) la probabilità che un cliente scelto a caso ordini il vino si ottiene come:
P (V ) = P ( V/ E ) P ( E ) + P ( V/ C ) P ( C ) + P ( V/ T ) P (T ) =
(0.70 × 0.50) + (0.50 × 0.40) + (0.30 × 0.10) = 0.35 + 0.2 + 0.03 = 0.58
b) Se viene ordinato il vino, qual è la probabilità che chi lo ordina sia vestito in modo
elegante.
La probabilità cercata è
P ( E/ V ) =
P ( E ∩ V ) P ( E ) ⋅ P(V/ E)
=
P (V )
P(V )
P ( E/ V ) =
0.50 ⋅ 0.70
= 0.603
0.58
c) Se viene ordinato il vino, qual è la probabilità che chi lo ordina non sia vestito in
modo elegante
(
)
(
)
P E / V = 1 − P(E/ V ) = P (C / V ) + P (T / V )
P E / V = 1 − 0.603 = 0.397
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SIMULAZIONE PROVA DI COMPLETAMENTO [A]
ESERCIZIO 2
Ore studio
0-10
10-20
20-40
nj
cj
40
60
50
cj*nj
5
15
30
200
900
1500
fj
0.267
0.400
0.333
Fj
0.267
0.667
1.000
dj
hj=nj/dj
10
10
20
4
6
2.5
a)
x = 17.33
Classe mediana 10-20 Me = 15.83
Moda= classe 10-20 (classe a cui è associata la più elevata densità di frequenza)
b)
µvoto = 24
σ voto = 4
Avendo già determinato il valore medio delle ore di studio (pari a 17.33) occorre
determinare la varianza e quindi lo scostamento quadratico medio (deviazione standard)
ricordando che stiamo lavorando con una distribuzione di frequenza in classi.
Si avrà quindi:
Voto conseguito all’esame:
k
∑ (c
σ2 =
2
− x ) ⋅ nj
j
j =1
=
N
14433.33
= 96.22
150
da cui:
k
∑ (c
σ=
2
j
− x ) ⋅ nj
j =1
N
= 96.22 = 9.81
Per poter confrontare correttamente la variabilità delle due distribuzioni (ore di studio e voto
conseguito) si deve procedere al calcolo del coefficiente di variazione (CV):
σ 4
σ 9.81
=
= 0.167 CVore = =
= 0.566
µ 24
µ 17.33
E’ possibile concludere che la distribuzione del voto all’esame presenta minore variabilità.
CVvoto =
c)
Calcolando le frequenze relative cumulate (e quindi le frequenze percentuali cumulate) si
ottiene che circa il 66.7% degli studenti studia meno di 20 ore per la preparazione
dell’esame. Pertanto l’affermazione è corretta.
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SIMULAZIONE PROVA DI COMPLETAMENTO [A]
d)
P ( sport tutti i giorni ore studio 20-40 ) =
5
= 0.1
50
e)
due eventi A e B si definiscono indipendenti se:
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
Nell’esercizio proposto definiamo gli eventi:
A: “Ore dedicate alla preparazione dell’esame tra 20 e 40”
e
B: “non svolgere attività sportiva” sono statisticamente indipendenti
da cui si ha:
P(A)=50/150=0.333
P(B)=75/150=0.5
P(A ∩ B)=25/150=0.167
Pertanto in caso di indipendenza si dovrà avere:
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
0.167
=
0.167
Possiamo quindi concludere che i due eventi sono indipendenti.
ESERCIZIO 3
Il rango della matrice incompleta ed il rango della matrice completa sono entrambi pari a 2.
Il sistema è compatibile e ammette ∞q-r=3-2=1 soluzioni
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SIMULAZIONE PROVA DI COMPLETAMENTO [A]
 x − y + 3 z = 11

2 x + 3 y − z = 6
4 x + y + 5 z = 28

x=
y=
( 39 − 8h )
5
7 h − 16
5
z=h