Università degli studi della Tuscia – DIBAF Corso di Matematica – Dr. L.Secondi – a.a. 2014/15 SIMULAZIONE PROVA DI COMPLETAMENTO [B] ESERCIZIO 1 Supponiamo che la domenica sera fra le 21.00 e le 23.00, le persone adulte che, a casa, guardano la televisione seguono per il 28% “Io canto” su Canale 5, per il 25% “Don Matteo” su Rai 1, per il 10% un film su Rete 4 e infine per il restante 37% un altro programma su una qualsiasi delle altre reti televisive. Ipotizziamo di sapere che il 70% dei telespettatori di “Don Matteo” siano femmine, il 60% di “Io canto” sono maschi, il 60% di quelli che seguono il film su Rete 4 sono femmine e 50% di quelli che guardano un’altra rete qualsiasi sono maschi. Si ipotizzi di svolgere un’indagine campionaria alle ore 22 di una domenica mediante la realizzazione di interviste telefoniche: a) Determinare la probabilità di selezionare una telespettatrice donna b) Si ipotizzi che, avendo selezionato la famiglia Rossi, abbia risposto una donna: qual è la probabilità che la signora stesse guardando “Io canto”? ESERCIZIO 2 Si ipotizzi di aver rilevato su un collettivo di 200 individui il reddito percepito nell’anno 2012 (in classi ed espresso in migliaia di Euro) e la macro-area di residenza: Residenza/Reddito Nord Centro Sud 10-30 10 15 20 30-50 15 40 30 50-100 30 20 20 a) Considerando la sola distribuzione del reddito, determinare la media, la mediana e la moda della distribuzione; b) Sempre considerando la distribuzione del reddito, calcolare la varianza e la deviazione standard. c) Determinare la probabilità di selezionare, all’interno del collettivo analizzato, un individuo che risiede al centro e con un reddito compreso tra 30 e 50 mila Euro. d) E’ possibile affermare che gli eventi “macro-area di residenza: Nord” e “reddito compreso tra 30 e 50 mila Euro” sono eventi indipendenti? [Esercizio aggiuntivo: svolgere i punti a) e b) considerando di volta in volta la distribuzione dei redditi dei residenti al Nord, al Centro e al Sud] ESERCIZIO 3 Verificare la compatibilità del seguente sistema e, in caso affermativo, risolverlo applicando la regola di Cramer o ricorrendo al teorema di Rouché-Capelli: 2 x − y + 2 z = 2 x + 3y − z = 8 − x + 4 y − 3z = 6 Domanda teorica: 1. Illustrare a livello teorico (senza fare calcoli) la procedura di costruzione di un istogramma per la distribuzione di un carattere quantitativo in classi. Università degli studi della Tuscia – DIBAF Corso di Matematica – Dr. L.Secondi – a.a. 2014/15 SOLUZIONE SINTETICA SIMULAZIONE PROVA DI COMPLETAMENTO 7 GENNAIO 2014 ESERCIZIO 1 Identifichiamo gli eventi nel modo seguente: R1=guarda Rai 1 C5=guarda Canale 5 R4=guarda Rete 4 AC= altro canale M= maschio F= femmina P ( R1 ) = 0,25 P (C5 ) = 0,28 P ( F / R1 ) = 0,70 P (R4 ) = 0,10 P (M / C5 ) = 0,60 P( AC ) = 0,37 P (F / R4 ) = 0,60 P(F / AC ) = 0,50 a) La probabilità di selezionare una donna si ottiene come: P ( F ) = P ( F / R1 ) P ( R1 ) + P ( F / R4 ) P ( R4 ) + P ( F / AC ) P ( AC ) + P ( F / C5 ) P ( C5 ) = 0.70 × 0.25 + 0.60 × 0.10 + 0.50 × 0.37 + 0.40 × 0.28 = 0.532 b) La probabilità cercata è P (C5 / F ) = ? P(C5 / F ) = P(C5 ∩ F ) P(C5 ∩ F ) = P( F ) P( F ∩ R1 ) + P( F ∩ R4 ) + P(F ∩ AC ) + P( F ∩ C5 ) P(C5 / F ) = P(F / C5 )P(C5 ) P( F / R1 )P(R1 ) + P(F / R4 )P(R4 ) + P(F / AC )P( AC ) + P(F / C5 )P(C5 ) P(C5 / F ) = 0,40 × 0,28 = 0,21 0,70 × 0,25 + 0,60 × 0,10 + 0,50 × 0,37 + 0,40 × 0,28 ESERCIZIO 2 nj 10-30 30-50 50-100 cj 45 85 70 200 20 40 75 cj*nj 900 3400 5250 fj 0.225 0.425 0.35 Fj 0.225 0.65 1 dj a) x = 47.75 Me = 42.94 Moda= classe 30-50 (classe a cui è associata la più elevata densità di frequenza) b) σ 2 = 458.69 σ = 21.42 c) P ( Centro ∩ Reddito 30-50 ) = 40 = 0.2 200 d) due eventi A e B si definiscono indipendenti se: P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) Nell’esercizio proposto: P(Nord)=55/200=0.275 P(Reddito 30-50)=85/200=0.425 P(Nord ∩ Reddito 30-50)=15/200=0.075 Pertanto: P ( Nord ∩ Reddito 30 − 50 ) ≠ P ( Nord ) ⋅ P ( Reddito 30 − 50 ) 0.075≠ 0.116875 20 20 50 hj=nj/dj 2.25 4.25 1.4 ESERCIZIO 3 Il rango della matrice incompleta ed il rango della matrice completa sono entrambi pari a 2. Il sistema è compatibile e ammette ∞q-r=3-2=1 soluzioni 2 x − y = 2 − 2h x + 3y = 8 + h z = h 2 − 2 h −1 8+h 3 ( 6 − 6h + 8 + h ) = 2 − 5 h = x= 7 7 7 2 2 − 2h 1 8+h (16 + 2h − 2 + 2h ) = 2 + 4 h x= = 7 7 7