testo e svolgimento sintetico prova B

Università degli studi della Tuscia – DIBAF
Corso di Matematica – Dr. L.Secondi – a.a. 2014/15
SIMULAZIONE PROVA DI COMPLETAMENTO [B]
ESERCIZIO 1
Supponiamo che la domenica sera fra le 21.00 e le 23.00, le persone adulte che, a casa,
guardano la televisione seguono per il 28% “Io canto” su Canale 5, per il 25% “Don
Matteo” su Rai 1, per il 10% un film su Rete 4 e infine per il restante 37% un altro
programma su una qualsiasi delle altre reti televisive. Ipotizziamo di sapere che il 70% dei
telespettatori di “Don Matteo” siano femmine, il 60% di “Io canto” sono maschi, il 60% di
quelli che seguono il film su Rete 4 sono femmine e 50% di quelli che guardano un’altra
rete qualsiasi sono maschi.
Si ipotizzi di svolgere un’indagine campionaria alle ore 22 di una domenica mediante la
realizzazione di interviste telefoniche:
a) Determinare la probabilità di selezionare una telespettatrice donna
b) Si ipotizzi che, avendo selezionato la famiglia Rossi, abbia risposto una donna: qual è la
probabilità che la signora stesse guardando “Io canto”?
ESERCIZIO 2
Si ipotizzi di aver rilevato su un collettivo di 200 individui il reddito percepito nell’anno
2012 (in classi ed espresso in migliaia di Euro) e la macro-area di residenza:
Residenza/Reddito
Nord
Centro
Sud
10-30
10
15
20
30-50
15
40
30
50-100
30
20
20
a) Considerando la sola distribuzione del reddito, determinare la media, la mediana e la
moda della distribuzione;
b) Sempre considerando la distribuzione del reddito, calcolare la varianza e la deviazione
standard.
c) Determinare la probabilità di selezionare, all’interno del collettivo analizzato, un
individuo che risiede al centro e con un reddito compreso tra 30 e 50 mila Euro.
d) E’ possibile affermare che gli eventi “macro-area di residenza: Nord” e “reddito
compreso tra 30 e 50 mila Euro” sono eventi indipendenti?
[Esercizio aggiuntivo: svolgere i punti a) e b) considerando di volta in volta la distribuzione dei redditi dei residenti al
Nord, al Centro e al Sud]
ESERCIZIO 3
Verificare la compatibilità del seguente sistema e, in caso affermativo, risolverlo applicando
la regola di Cramer o ricorrendo al teorema di Rouché-Capelli:
2 x − y + 2 z = 2

x + 3y − z = 8
− x + 4 y − 3z = 6

Domanda teorica:
1. Illustrare a livello teorico (senza fare calcoli) la procedura di costruzione di un
istogramma per la distribuzione di un carattere quantitativo in classi.
Università degli studi della Tuscia – DIBAF
Corso di Matematica – Dr. L.Secondi – a.a. 2014/15
SOLUZIONE SINTETICA
SIMULAZIONE PROVA DI COMPLETAMENTO 7 GENNAIO 2014
ESERCIZIO 1
Identifichiamo gli eventi nel modo seguente:
R1=guarda Rai 1
C5=guarda Canale 5
R4=guarda Rete 4
AC= altro canale
M= maschio
F= femmina
P ( R1 ) = 0,25 P (C5 ) = 0,28
P ( F / R1 ) = 0,70
P (R4 ) = 0,10
P (M / C5 ) = 0,60
P( AC ) = 0,37
P (F / R4 ) = 0,60 P(F / AC ) = 0,50
a) La probabilità di selezionare una donna si ottiene come:
P ( F ) = P ( F / R1 ) P ( R1 ) + P ( F / R4 ) P ( R4 ) + P ( F / AC ) P ( AC ) + P ( F / C5 ) P ( C5 ) =
0.70 × 0.25 + 0.60 × 0.10 + 0.50 × 0.37 + 0.40 × 0.28 = 0.532
b) La probabilità cercata è P (C5 / F ) = ?
P(C5 / F ) =
P(C5 ∩ F )
P(C5 ∩ F )
=
P( F )
P( F ∩ R1 ) + P( F ∩ R4 ) + P(F ∩ AC ) + P( F ∩ C5 )
P(C5 / F ) =
P(F / C5 )P(C5 )
P( F / R1 )P(R1 ) + P(F / R4 )P(R4 ) + P(F / AC )P( AC ) + P(F / C5 )P(C5 )
P(C5 / F ) =
0,40 × 0,28
= 0,21
0,70 × 0,25 + 0,60 × 0,10 + 0,50 × 0,37 + 0,40 × 0,28
ESERCIZIO 2
nj
10-30
30-50
50-100
cj
45
85
70
200
20
40
75
cj*nj
900
3400
5250
fj
0.225
0.425
0.35
Fj
0.225
0.65
1
dj
a)
x = 47.75
Me = 42.94
Moda= classe 30-50 (classe a cui è associata la più elevata densità di frequenza)
b)
σ 2 = 458.69
σ = 21.42
c)
P ( Centro ∩ Reddito 30-50 ) =
40
= 0.2
200
d)
due eventi A e B si definiscono indipendenti se:
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
Nell’esercizio proposto:
P(Nord)=55/200=0.275
P(Reddito 30-50)=85/200=0.425
P(Nord ∩ Reddito 30-50)=15/200=0.075
Pertanto:
P ( Nord ∩ Reddito 30 − 50 ) ≠ P ( Nord ) ⋅ P ( Reddito 30 − 50 )
0.075≠
0.116875
20
20
50
hj=nj/dj
2.25
4.25
1.4
ESERCIZIO 3
Il rango della matrice incompleta ed il rango della matrice completa sono entrambi pari a 2.
Il sistema è compatibile e ammette ∞q-r=3-2=1 soluzioni
 2 x − y = 2 − 2h

x + 3y = 8 + h
z = h

2 − 2 h −1
8+h 3
( 6 − 6h + 8 + h ) = 2 − 5 h
=
x=
7
7
7
2 2 − 2h
1 8+h
(16 + 2h − 2 + 2h ) = 2 + 4 h
x=
=
7
7
7