1. RETI ELETTRICHE: REGIMI DI FUNZIONAMENTO Una rete

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1. RETI ELETTRICHE: REGIMI DI FUNZIONAMENTO
Una rete elettrica presenta un insieme di correnti ed un insieme di tensioni elettriche.
Il regime stazionario si verifica quando tutte le tensioni e tutte le correnti sono costanti
nel tempo. Ai morsetti dei componenti le correnti I sono solenoidali e le tensioni V sono
conservative.
Il regime variabile quasi-stazionario si verifica quando in generale le correnti i(t) e le
tensioni v(t) sono funzioni del tempo e si può ammettere che ai morsetti dei componenti tutte
le tensioni siano conservative e tutte le correnti siano solenoidali ed inoltre esse siano funzioni
del tempo indipendenti dalle dimensioni geometriche dei componenti e dalle distanze fra i
nodi (punti di collegamento tra i componenti). Ciò equivale a supporre trascurabile la
radiazione elettromagnetica ed infinita la velocità di propagazione delle variazioni di tensione
e di corrente lungo la rete. Si ha così lo sviluppo delle reti elettriche a parametri concentrati
(o a costanti concentrate). Le reti a parametri concentrati sono costituite dagli n-poli, che
descrivono i diversi componenti elettrici.
Lo studio delle reti elettriche sviluppato in questo insegnamento è limitato alle reti di npoli. Con regime variabile si intenderà regime variabile per una rete a parametri concentrati,
cioè regime variabile quasi-stazionario.
Si accenna soltanto al fatto che nel caso variabile non quasi-stazionario, si ha lo
studio delle reti elettriche a parametri distribuiti (o a costanti distribuite), che permettono di
tenere conto dei tempi finiti di propagazione.
2. M-BIPOLI PASSIVI E ATTIVI
Relativamente all’attitudine ad erogare o assorbire lavoro elettrico, gli M-bipoli e quindi in
particolare i bipoli possono essere distinti in m-bipoli passivi e m-bipoli attivi.
Passivi
Un bipolo o un m-bipolo è passivo se non può erogare lavoro elettrico convertendolo da
altre forme energetiche (ad esempio di tipo chimico). Ne consegue che o assorbe potenza,
comprendendo il caso limite di potenza nulla, o ne eroga a spese dell’energia elettrica
immagazzinata.
In particolare a regime stazionario, dove tutte le grandezze devono essere costanti nel
tempo, ne consegue che una eventuale energia elettrica immagazzinata non può variare e
quindi un bipolo o un m-bipolo passivo non può mai erogare potenza: cioè Puscente 0 ovvero
Pentrante 0. Nel caso del bipolo passivo quindi a regime stazionario la caratteristica statica
esterna è tutta nel primo e/o terzo quadrante (assi delle ascisse e delle ordinate inclusi),
adottando la convenzione degli utilizzatori; è tutta nel secondo e/o quarto quadrante (assi delle
ascisse e delle ordinate inclusi), adottando la convenzione dei generatori.
Si specifica inoltre che in regime variabile un bipolo o un m-bipolo che non può
immagazzinare energia elettrica è passivo se non può mai erogare potenza, cioè p(t)entrante 0
per qualunque istante t.
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Bipoli passivi sono il resistore ideale passivo (R 0), il cortocircuito ideale, il circuito
ideale aperto, il diodo ideale.
Attivi
E’ attivo un bipolo o un m-bipolo che può erogare lavoro elettrico da altre forme
energetiche (e quindi non è passivo).
Bipoli attivi sono il generatore ideale di tensione (tranne il caso limite di e(t)=0, cioè il
cortocircuito ideale); il generatore ideale di corrente (tranne il caso limite di j(t)=0, cioè il
circuito ideale aperto); il resistore ideale attivo (R<0).
3. ELEMENTI DI TEORIA DEI GRAFI
Grafo orientato
Un grafo si dice orientato se ad ogni lato è associato un verso di percorrenza che specifica
quale fra i suoi nodi estremi è assunto come origine (e da esso il lato “esce”) e quale come
fine (e in esso il lato “entra”). Se su di una rete si sono fissati i riferimenti di corrente per tutti
i bipoli, è usuale scegliere tali riferimenti anche per i lati del grafo.
Matrice di incidenza
Le informazioni contenute in un grafo orientato possono essere descritte mediante una matrice
nxl detta matrice di incidenza. In essa ogni riga “corrisponde” ad un nodo e ogni colonna
“corrisponde” ad un lato. Il generico elemento (i,k) della matrice indica il “legame” fra il nodo
Ni ed il lato ak. L’elemento (i,k) vale 0 se il lato ak non ha Ni come uno dei due nodi a cui si
appoggia; vale 1 se il il lato ak esce da Ni; vale –1 se il il lato ak entra in Ni. Pertanto in ogni
colonna tutti gli elementi sono nulli tranne due, che valgono rispettivamente 1 e –1.
C’è una corrispondenza biunivoca tra il grafo orientato e la matrice di incidenza: sono solo
una diversa rappresentazione della stessa proprietà topologica. La matrice di incidenza è
importante per il calcolo automatico dell’analisi delle reti.
Grafo connesso
Un grafo si dice connesso quando, dati due nodi, si può sempre passare dall'
uno all'
altro
muovendosi lungo i suoi lati. Un grafo non connesso consta di più parti separate.
Grafo piano (o planare)
Un grafo si dice piano se può essere disteso su un piano senza che i lati si intersechino. Solo
per un grafo piano è definibile il concetto di anello.
Sottografo
Sottografo di un grafo è un sottoinsieme di lati e nodi.
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4. TEOREMA DI TELLEGEN
Vale per una generica rete in regime stazionario o variabile quasi-stazionario. Dipende solo
dalla topologia della rete, indipendentemente dalle caratteristiche degli n-poli che la formano.
Si consideri una rete elettrica di n-poli. Gli n-poli si possono considerare m-bipoli. E’
quindi una rete di porte ed n nodi.
Si fissi la stessa convenzione per tutte le porte (ad esempio la convenzione degli
utilizzatori).
Sia {vh}h=1, …, un insieme di valori istantanei di tensioni alle porte tali da soddisfare le
LKT e con{ih}h=1, …, un insieme di valori istantanei di correnti alle porte tali da soddisfare le
LKC.
Il Teorema di Tellegen afferma che vale la relazione:
vh ih = 0 .
h =1
Dimostrazione
Si consideri il lato h-esimo che ha come estremi i nodi r e s. Con la convenzione degli
utilizzatori ed esprimendo la tensione di tale lato come differenza fra i potenziali dei nodi r e
s, si ha che:
vh ih = vrs irs = (Vr – Vs) irs
La somma su tutti i lati del grafo si ottiene sommando l’ultima espressione scritta su
tutti i nodi della rete (e dividendo per due, per non considerare due volte ciascun bipolo). Si
ottiene così:
v h ih =
h =1
1 n n
(Vr − V s )irs
2 r =1 s =1
Operando sulla sommatoria doppia, si ottiene:
v h ih =
h =1
n
n
1 n n
1 n
1 n
(Vr − Vs )irs =
Vr ( i rs ) −
V s ( i rs )
2 r =1 s =1
2 r =1 s =1
2 s =1 r =1
Nell’ultima relazione, le due sommatorie fra parentesi tonde sono pari rispettivamente
alla totale corrente uscente dal nodo r ed alla totale corrente entrante nel nodo s. Entrambe tali
sommatorie sono nulle per la LKC e quindi si ottiene:
vh ih = 0 .
h =1
Si osservi che il risultato è stato ottenuto basandosi solo sulle LKC e le LKT: è un
risultato cioè legato alla sola topologia della rete (e non alle proprietà degli m-bipoli) ed è
quindi di validità generale.
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Le tensioni possono essere ad un certo istante t* e le correnti ad un altro istante t**:
basta che soddisfino rispettivamente le LKT e le LKC.
Le tensioni possono addirittura appartenere ad una rete e le correnti ad un'
altra, purché
le due reti abbiano la stessa topologia (e quindi lo stesso grafo) e si moltiplichino tensioni e
correnti di porte corrispondenti nelle due reti, convenzionate allo stesso modo.
Corollario: conservazione delle potenze elettriche
Nel caso particolare di tensioni e correnti della stessa rete e nello stesso istante si ottiene
la conservazione delle potenze elettriche.
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5. TEOREMI DI NON AMPLIFICAZIONE
Si tratta di due teoremi che riguardano il comportamento di una rete di bipoli in un istante
generico t nell’ipotesi che in tale istante un solo bipolo stia erogando potenza e tutti gli altri ne
stiano assorbendo.
Si considerano reti in regime variabile quasi-stazionario, per le quali quindi valgono tanto le
leggi di Kirchhoff quanto il teorema di Tellegen.
Si considerano bipoli generici e quindi non soltanto bipoli ideali.
Teorema di non amplificazione delle tensioni
Sia data una rete di bipoli in regime variabile quasi-stazionario. In un istante generico t un
solo bipolo sta erogando potenza e tutti gli altri ne assorbono; nessun bipolo scambia potenza
nulla. In quell’istante il modulo della tensione del bipolo erogante non è superato dal modulo
della tensione di alcun altro bipolo.
Dimostrazione
Siano A e B i nodi ai quali si appoggia il bipolo erogante ed R e S due generici nodi ai quali si
appoggia un altro bipolo della rete (che assorbe potenza nell’istante t).
Si utilizzi per tutti i bipoli la stessa convenzione: per fissare le idee, si utilizzi la convenzione
degli utilizzatori.
Si ha allora che la potenza entrante nel bipolo erogante è minore di zero:
pAB(t) = vAB(t) iAB(t) < 0 .
Invece la potenza entrante nel generico bipolo che assorbe potenza è maggiore di zero:
pRS(t) = vRS(t) iRS(t) > 0 .
Siccome tutti i bipoli scambiano potenza non nulla, tutte le tensioni e tutte le correnti di tutti i
bipoli della rete sono non nulle.
Si considerino ora il generico nodo M della rete (nodo diverso dai nodi A e B) ed i bipoli che
hanno in M uno dei due morsetti. Si prendano, come mostrato in figura 1, le correnti uscenti
da M (iMNi(t) con i = 1, 2, 3, …., h) e i riferimenti per le tensioni legati ai riferimenti delle
correnti dalla convenzione degli utilizzatori. Si hanno così le tensioni vMNi(t) e le correnti
iMNi(t) (con i = 1, 2, 3, …., h). Si osserva che i nodi A e B sono diversi dal nodo M, ma
possono essere fra i nodi indicati con N1, N2, …, Nh.
Dalla Legge di Kirchhoff alle correnti per il nodo M si ottiene:
iMN1(t) + iMN2(t) + … + iMNh(t) = 0
ed essendo tutte le correnti non nulle, vuol dire che almeno una corrente è positiva ed almeno
una è negativa.
Siano ad esempio iMNP(t) > 0 e iMNQ(t) < 0. Allora, essendo M diverso da A e da B, i
bipoli considerati in figura 1 assorbono tutti potenza e quindi il prodotto tensione per corrente
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è positivo, con la convenzione degli utilizzatori. Da iMNP(t) > 0 ne consegue che vMNP(t) > 0,
mentre da iMNQ(t) < 0 ne consegue che vMNQ(t) < 0.
Scrivendo la tensione come differenza di potenziali ai nodi, si ha:
vMNP(t) = VM(t) - VNP(t) > 0 e quindi VM(t) > VNP(t);
vMNQ(t) = VM(t) - VNQ(t) < 0 e quindi VM(t) < VNQ(t).
Tali relazioni mostrano che il nodo M non ha né potenziale massimo né potenziale
minimo, essendo maggiore di quello del nodo P e minore di quello del nodo Q. Essendo M un
nodo generico della rete, diverso da A e da B, ne consegue che i nodi ai potenziali minimo e
massimo risultano così A e B, nodi su cui appoggia il bipolo erogante. Si ha quindi la
dimostrazione della relazione:
| vbipolo erogante(t) |
| vbipolo che assorbe potenza(t) |.
Nella relazione finale è necessario inserire anche il segno di uguaglianza in quanto un
bipolo che assorbe può anche appoggiarsi ai nodi A e B.
N2
N1
+
M
+
+
+
N3
Nh
Figura 1
Teorema di non amplificazione delle correnti
Sia data una rete di bipoli in regime variabile quasi stazionario. In un istante generico t un
solo bipolo sta erogando potenza e tutti gli altri ne assorbono; nessun bipolo scambia potenza
nulla. In quell’istante il modulo della corrente del bipolo erogante non è superato dal modulo
della corrente di alcun altro bipolo.
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6. RETI DI BIPOLI NORMALI IN REGIME STAZIONARIO
In regime stazionario si definisce bipolo normale (o lineare o affine) un bipolo avente
caratteristica statica rettilinea.
Un generico bipolo normale può essere schematizzato con un generatore normale di tensione
o con un generatore normale di corrente, compresi anche i casi particolari e i casi limite di
seguito indicati: generatore ideale di tensione, generatore ideale di corrente, resistore ideale
(passivo o attivo), circuito ideale aperto, cortocircuito ideale. Una rete di bipoli normali si
riconduce quindi ad una rete di generatori ideali di tensione, generatori ideali di corrente,
resistori ideali e loro combinazioni e casi limite.
Il sistema di relazioni di una rete di bipoli normali in regime stazionario è un sistema di
equazioni lineari a coefficienti costanti. Tale rete è detta rete lineare o rete normale o rete di
bipoli normali in regime stazionario.
7. COEFFICIENTI DI RETE E TEOREMA DI RECIPROCITA’
Coefficienti di rete
Il teorema di sovrapposizione degli effetti per una rete costituita da resistori ideali, generatori
ideali di tensione e generatori ideali di corrente (in cui sono presenti r generatori ideali di
tensione ed s generatori ideali di corrente), a regime stazionario, porta ad esprimere la
tensione e la corrente del generico lato h come:
Vh =
Ih =
r
VhEk +
k =1
r
I hEk +
k =1
r+s
VhJ k ,
k = r +1
r+s
I hJ k .
k = r +1
in cui ogni effetto ( VhEk ,VhJ k , I hEk , I hJ k ) è proporzionale alla causa che lo produce (Ek, Jk). Si
ha cioè che:
Vh =
Ih =
r
VhEk +
k =1
r
k =1
I hEk +
r +s
VhJ k = α h1 E1 + ... + α hr E r + Rh( r +1) J r +1 + Rh ( r + s ) J r + s
k = r +1
r +s
I hJ k = G h1 E1 + ... + Ghr E r + β h ( r +1) J r +1 + β h ( r + s ) J r + s
k = r +1
I termini hk, hk, Rhk e Ghk sono detti coefficienti di rete. I coefficienti di rete hanno
significato di rapporti fra effetti (tensione o corrente sul lato h) e le loro cause (tensioni
impresse o correnti impresse sul lato k) e pertanto sono casi particolari di funzioni di
trasferimento. Essi dipendono dai valori delle resistenze (o conduttanze) della rete e da come
la rete è interconnessa. I coefficienti di rete sono delle costanti, indipendenti dalle tensioni e
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dalle correnti impresse. Si tratta cioè di parametri propri della rete inerte, cioè della rete dopo
aver annullato i generatori ideali di tensione e di corrente.
Teorema di reciprocità
Data una rete costituita da resistori ideali, generatori ideali di tensione e generatori ideali di
corrente, a regime stazionario, convenzionati tutti i bipoli con la stessa convenzione, valgono
le seguenti relazioni fra i coefficienti di rete:
Rhk = Rkh ;
Ghk = Gkh ;
hk
=-
kh
.
Queste relazioni specificano che la rete inerte è reciproca.
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8. CONDIZIONI DI PASSIVITA’ DI UN DOPPIO BIPOLO IDEALE INERTE DI
ORDINE ZERO
Un doppio bipolo ideale inerte di ordine zero è un doppio bipolo avente relazioni
tipologiche algebriche e lineari a coefficienti costanti e tali che con le due grandezze
dipendenti nulle sono nulle le due grandezze indipendenti. Un doppio bipolo di questo tipo
non può immagazzinare energia elettrica.
Con la convenzione degli utilizzatori alle due porte, la potenza entrante è:
p(t)entrante = v1(t)i1(t)+ v2(t)i2(t)
ed è non negativa se il doppio bipolo è passivo.
Supponendo che sia lecita per tale doppio bipolo ideale inerte la rappresentazione controllata
in corrente, valgono le relazioni:
v1(t)= R11 i1(t)+ R12 i2(t)
v2(t)= R21 i1(t)+ R22 i2(t)
da cui si ottiene:
p(t)entrante = v1(t)i1(t)+ v2(t)i2(t) = [R11 i1(t)+ R12 i2(t)] i1(t) + [R21 i1(t)+ R22 i2(t)] i2(t) =
= R11 i12(t)+ (R12 + R21 ) i1(t) i2(t) + R22 i22 (t)
0,
che è una forma quadratica semidefinita positiva.
Dovendo valere in particolare per i2 = 0, si ottiene la condizione: R11
particolare per i1 = 0, si ottiene la condizione: R22 0. Inoltre, per i2
ponendo x = i1/ i2 si ottiene:
R11 x2 + (R12 + R21 ) x + R22
0. Dovendo valere in
0, dividendo per i22 e
0.
E’ una parabola che, avendo R11
0, ha la concavità rivolta verso l’alto e quindi la
disuguaglianza è soddisfatta se il discriminante è 0. Si ha così anche la condizione:
R + R21
R11 R22 ≥ 12
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Si sono così trovate le condizioni di passività di un doppio bipolo ideale inerte di ordine zero
avente rappresentazione controllata in tensione espresse sui parametri della matrice di
resistenza:
R11
0;
R22
0;
R11 R22 ≥
R12 + R21
2
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Condizioni equivalenti possono essere espresse sui parametri delle altre matrici di
rappresentazione. Ad esempio, sui parametri della matrice di conduttanza, si hanno:
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G11
0 ; G22
0 ; G11G22 ≥
G12 + G21
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.
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9. RETI DI N-POLI IN REGIME STAZIONARIO O VARIABILE QUASI
STAZIONARIO
9.1 Reti di n-poli in regime variabile quasi stazionario
Sia data una rete di n-poli in regime stazionario o variabile quasi-stazionario. Tale rete
abbia porte. Si passi al corrispondente grafo, associando un lato ad ogni porta. Utilizzando le
LKC e le LKT si ottengono così equazioni. Si aggiungano ora le equazioni tipologiche. Si
ottiene un sistema di 2 equazioni nelle 2 incognite. Si ipotizza l’esistenza ed unicità della
soluzione. Vale il teorema di Tellegen (e quindi la conservazione delle potenze elettriche) che
si applica alle reti di n-poli in regime stazionario o variabile quasi-stazionario.
Teorema di sostituzione
Si consideri ora una rete di n-poli in regime stazionario o variabile quasi stazionario
costituita da due parti (N1 ed N2) che interagiscono attraverso una porta, come illustrato in
figura. Si supponga che non esista alcuna altra interazione fra le due parti, oltre alla porta. Sia
valida l'
ipotesi che la rete abbia soluzione unica.
i(t)
N1
+
v(t)
-
N2
Si sostituisca ora una delle due parti, ad esempio N2 con un generatore ideale
indipendente di tensione o con un generatore ideale indipendente di corrente, di valore
rispettivamente pari alla tensione v(t) o alla corrente i(t), con il corrispondente riferimento,
presente alla porta. Se la rete così modificata ammette ancora soluzione unica, questa coincide
con la soluzione della rete di partenza, nel senso che tutte le tensioni e le correnti di N1 non
sono influenzate dalla sostituzione.
9.2 Reti di bipoli e doppi bipoli in regime stazionario
Una rete in regime stazionario contenente bipoli e doppi bipoli è un caso particolare di
una rete di n-poli e quindi si possono scrivere su di essa le LKC, le LKT e le equazioni
tipologiche.
Vale ancora il teorema di sostituzione, sopra indicato.
Si consideri una rete a regime stazionario costituita da bipoli normali e doppi bipoli
ideali inerti di ordine zero. Si schematizzi ciascun bipolo normale con il corrispondente
generatore normale di tensione o generatore normale di corrente (casi particolari o casi limite
inclusi). Il sistema che si ottiene dalle LKC, LKT ed equazioni tipologiche è un sistema
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lineare (la rete è una rete lineare), dove i termini noti del sistema sono costituiti dalle tensioni
impresse e dalle correnti impresse dai generatori ideali di tensione e di corrente. Vale la
sovrapposizione degli effetti: la soluzione si può ottenere facendo agire uno alla volta
(oppure a blocchi, purché alla fine tutti abbiano agito una ed una sola volta) i generatori ideali
di tensione e di corrente (i doppi bipoli sono sempre agenti).
Alle porte con le caratteristiche sopra indicate per il teorema di sostituzione si applicano
i teoremi dei generatori equivalenti (Thévenin e Norton).