Elettrotecnica
prof.G.M.Veca
Capitolo Introduttivo
Generalità
Sistemi e modelli
Matematico
Circuitale
Grafico
2
Modelli matematici
Legge di Faraday (o prima equazione di Maxwell)
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r
r r
∂B r
∫γ E ⋅ d l = − ∫S ∂t ⋅ d S
Legge di Ampere (o seconda equazione di Maxwell)
r
r r ∂D
rot H = J +
∂t
Legge di Gauss
r
r r
r ∂D r
∫γ H ⋅ d l = ∫S J + ∂t ⋅ dS
r
div B = 0
r
div D = δ
r r
∫ B ⋅ dS = 0
S
r r
∫ D ⋅ d S = ∫ δd τ
S
τ
3
Modelli matematici
Relazioni costitutive dei mezzi
r
r
D = εE
r
r
B = µH
Legge di Ohm fra grandezze specifiche
r
r
E = ρJ
Legge di continuità
r
∂δ
div J = −
∂t
r r
∂δ
∫S J ⋅ dS = − ∫τ ∂t dτ
4
Modelli circuitali
-
+
Sistema fisico
12 V
Schema funzionale
+
E0
Rg
Rl
Rl
T
U
Modello circuitale
5
Modelli circuitali
I modelli circuitali possono rappresentare oggetti reali le cui
dimensioni fisiche sono trascurabili:
più precisamente, gli oggetti la cui dimensione geometrica
maggiore, L, risulta significativamente minore della lunghezza
d'onda, λ, corrispondente alla massima frequenza, f, di
funzionamento del sistema
L < λ / 100
(con λ = c / f, dove c è la velocità della luce, i.e.
3 ⋅ 108 ms −1 )
PER I SISTEMI ELETTRICI DI POTENZA
f = 50 Hz
λ = 6000 km
L < 60 km
6
Modelli grafici
I
Icc
7
Unità di misura
Le unità di misura fondamentali del Sistema
Internazionale, SI, sono sette, una per ogni grandezza
fondamentale della fisica.
Grandezza
Nome
Simbolo
lunghezza
metro
m
massa
kilogrammo
kg
tempo
secondo
s
intensità di corrente elettrica
Ampere
A
temperatura
Kelvin
K
quantità di sostanza
mole
mol
intensità luminosa
candela
cd
8
Unità di misura
Le unità di misura derivate del SI (Sistema
internazionale)di
più
specifico
interesse
per
l’Elettrotecnica sono le seguenti.
9
Unità di misura
10
Carica elettrica
La quantità di elettricità (+ o -) di un corpo, è sempre un
multiplo intero della carica elementare (pari alla carica,
qe, di un elettrone). L'unità di misura della quantità di
carica elettrica è il coulomb, C. Nella materia sono
presenti gli elettroni(-), i protoni(+) e i neutroni(carica Ø)
qe = −1.60217733 ⋅ 10
me = 9.1093897 ⋅ 10
mp = 1.6726231 ⋅ 10
mn = 1.6749286 ⋅ 10
− 19
− 31
− 27
− 27
⋅C
⋅ kg
⋅ kg
⋅ kg
11
Intensità di corrente
E’ il rapporto tra la quantità di carica elettrica che attraversa la
sezione, S, di un conduttore ed il tempo impiegato per tale
attraversamento.
Valore
istantaneo
i ( t)
d
q ( t)
dt
Verso di riferimento
convenzionale [+q]
Valore
medio
I
∆Q
∆t
Moto “effettivo” delle
cariche elettriche [-q]
12
Potenziale, d.d.p. e tensione
Il potenziale elettrico in un punto, A (i.e. V(A)), è l’energia che
l’unità di carica positiva possiede quando si trova in A, ed
equivale al lavoro compiuto dalla forza campo elettrico per
spostare la carica positiva unitaria da A all’infinito (riferimento
per i potenziali, i.e. potenziale nullo). Si misura in volt, [V].
La d.d.p. fra due punti, A e B, è pari alla differenze dei valori dei
potenziali in A e in B. Si misura in volt, [V].
V(A)-V(B).
La tensione fra due punti, A e B (i.e. UAB), è il lavoro richiesto
per spostare una carica positiva unitaria da A a B. Se il campo
elettrico è conservativo coincide con la d.d.p. fra i due punti, i.e.
UAB=V(A)-V(B), Si misura in volt, [V].
13
Potenziale, d.d.p. e tensione
14
Potenza ed energia
L’energia,
w(t),
è
la
capacità di produrre un
lavoro.
Si
misura
in
joule,[J], o in watt ora,
[wh]
p(t)
d
w(t)
dt
d w(t) ⋅d q(t) v(t)⋅i(t)
dq(t) dt
La potenza p(t), è la
rapidità con cui l’energia
viene erogata o assorbita.
Si misura in watt, [W].
15
Strumenti di misura
a) Amperometro
si inserisce in serie
strumento di misura della corrente e
b) Voltmetro
strumento di misura della tensione si
inserisce in parallelo
c) Wattmetro
strumento di misura della potenza a
quattro morsetti, due in serie e due in parallelo.
16
Capitolo II
Reti Elettriche
Bipoli: definizione
Gli elementi discreti con
cui vengono modellati i
sistemi
elettrici
per
analizzare i fenomeni
energetici che in essi
avvengono sono detti
elementi bipolari, o più
semplicemente
bipoli,
componenti
cioè
che
hanno
due
poli
o
morsetti
od
estremi
accessibili, od anche una
porta.
18
Bipoli: relazione costitutiva
Il bipolo risulta completamente definito quando è nota la sua
relazione costitutiva, i.e., il legame funzionale fra la tensione e
la corrente ai morsetti di accesso (esprimendo la tensione in
funzione della corrente si ha u(t) = f(i(t)), ovvero, esprimendo
la corrente in funzione della tensione si ha i(t) = f(v(t)) ).
Quando la relazione costitutiva può essere tracciata su di un
piano volt-amperometrico prende nome di caratteristica esterna
del bipolo
Salvo diversa indicazione, lo studio sarà svolto per elementi
finiti, bilaterali, concentrati, tempo invarianti e lineari.
In questo caso, la rappresentazione del legame funzionale nel
piano cartesiano (V, I), quando esiste, non può che essere una
retta.
19
Multipoli e Multiporta
20
Reti elettriche: definizione
Definizione
comunque
bipolari
Interconnessione
complessa di elementi
21
Reti elettriche: regime
In relazione al tipo di variazione nel tempo delle trasformazioni di
energia che in essa avvengano, la rete si può trovare condizioni
transitorie oppure permanenti.
La rete è in regime transitorio quando variano nel tempo
l'energie associate ai campi di polarizzazione elettrica e
magnetica.
La rete è in regime permanente (e.g., continuo oppure
sinusoidale a bassa frequenza, i.e. in condizioni quasi
stazionarie) quando non si hanno variazioni nel tempo delle
energie associate ai campi di polarizzazione elettrica e magnetica.
In particolare il regime permanente continuo è caratterizzato
dall‘invarianza nel tempo delle tensioni e delle correnti. Ed è a
questo regime che si fa tradizionalmente riferimento per impostare
i concetti fondamentali dell'analisi delle reti elettriche.
22
Bipoli passivi: simboli
R (G)
L
C
Resistore
Induttore
Condensatore
23
Reti elettriche: elementi topologici
Definizione:
Interconnessione
complessa di elementi bipolari
comunque
Topologia
Nodo: Punto
Punto inin
cui convergono
convergo-no
almeno tre lati.
Lato: Tratto
Trattodi di
circuito compreso
compre-so
fra due nodi.
Maglia: Percorso chiuso
costituito da lati
consecutivi.
24
Leggi di Kirchhoff
Le Leggi di Kirchhoff impongono legami lineari
fra le correnti di lato e le tensioni di lato
e valgono
per ogni rete elettrica a parametri concentrati
indipendentemente dalla natura degli elementi
che la compongono
25
Prima legge di Kirchhoff (LKC)
In ogni rete elettrica a parametri concentrati e
per ogni istante di tempo la somma algebrica di
tutte le correnti dei lati che convergono entranti
ed uscunti, in un qualsiasi nodo è identicamente
nulla.
i
0
LKC - Legge di
l
Kirchhoff delle
Correnti
l
___________________________________
Somma Correnti entranti =
Somma Correnti uscenti
26
LKC: Esempio
LKC
al
nodo
e
i 3 ( t) + i 5 ( t) − i 8 ( t)
0
27
Seconda legge di Kirchhoff (LKT)
In ogni rete elettrica a parametri concentrati e
per ogni istante di tempo la somma algebrica di
tutte le tensioni dei lati che compongono una
qualsiasi maglia è identicamente nulla.
v
0
LKT - Legge di
l
Kirchhoff delle
Tensioni
l
___________________________________
La Somma delle f.e.m. = La Somma delle
c.d.t.
28
LKT: Esempio
LKT maglia
3
2761
−v2 (t) − v7 (t) + v6 (t) + v1 (t) = 0
29
Bipoli attivi
I bipoli attivi, o generatori di energia, si classificano in
generatori ideali di tensione e di corrente, e rappresentano le
trasformazioni di energia, di altra forma, in energia elettrica (ad
es. la batteria di accumulatori delle autovetture trasforma
energia chimica in energia elettrica).
Gene rato re ideale di
co rrente
I
-
+
U
+
Gene rato re ideale di
tensione
U
30
Generatore di tensione
Il generatore ideale di tensione è un dispositivo capace di
mantenere tra i suoi morsetti una tensione pari alla sua f.e.m.
indipendente dalla corrente erogata.
B
+
I
I
E
-
Generatore
A
U
B
+
Utilizzatore
E
I
E
A
31
Generatore di corrente
I
Utilizzatore
Generatore
IS
B
U
+
A
U
B
+
IS
U
Il generatore ideale
di
corrente
è
invece
un
dispositivo capace
di produrre una
corrente invariante
qualunque sia il
valore
della
tensione tra i suoi
morsetti.
IS
A
32
Generatori ideali: valori limite
33
Bipoli passivi: definizione
I bipoli passivi sono modellati mediante:
i resistori, gli induttori e i condensatori.
Resistori rappresentano le trasformazioni di energia elettrica in
energia di altra forma (un termo-ventilatore trasforma ad esempio
energia elettrica in calore - utilizzatore).
Induttori rappresentano le trasformazioni di energia elettrica in
energia di polarizzazione magnetica dei materiali e dello spazio
vuoto, e la trasformazione inversa.
Condensatori rappresentano le trasformazioni di energia elettrica
in energia di polarizzazione elettrica dei materiali e dello spazio
vuoto, e la trasformazione inversa.
34
Legge di Ohm
Applicando agli estremi di un bipolo resistivo R
una f.e.m. V, il bipolo è attraversato da una corrente
I correlata alla tensione V dalla seguente relazione:
V=RI V=causa, I= effetto
ovvero se un bipolo resistivo è percorso da una
corrente I, ai suoi estremi (nodi) si stabilisce una
d.d.p. pari a:
V=RI V=effetto, I=causa
35
Resistore
Nella tabella sono riportate le
caratteristiche di alcuni materiali a
0°C.
Materiale
ρ : *mm2/m
α : °C-1*10-3
Rame
0,017
4,3
Alluminio
0,027
4,5
Oro
0,021
4
Argento
0,015
4,1
0,13
6,5
Tungsteno
0,051
4,8
Nichel-Cr
1,06
0,1
Manganina
0,4
0,01
Carbone
50
-0,4
2,5*109
negativo
Ferro
Silicio
36
Resistore
R
ρ⋅
R
=
R=∞
l
A
0
c.to c.to
c.to aperto
37
Legge di Joule
Se un resistore R è percorso da una corrente I nel resistore
si dissipa una potenza, sottoforma di calore, pari a:
PJ=RI2= ∆V2/R [W]
con ∆V d.d.p. ai capi del bipolo R
In generale si ha:
p ( t)
u AB ( t ) ⋅ i( t )
u AB ( t )
R
2
R ⋅ i( t )
2
38
Induttore
Premesso che una corrente I crea un campo magnetico il
cui flusso concatenato φ è correlato alla corrente dalla
relazione:
φ =LI
(1)
L coefficiente di autoinduzione o induttanza o induttore.
Premesso inoltre che per qualsiasi variazione di flusso nel
tempo si ha la nascita di una f.e.m. la cui intensità e verso
sono definiti dalla legge di Lenz:
e(t)=-d φ(t)/dt
(2)
39
Induttore
Se L è costante ed indipendente dalla corrente i(t) la
relazione (2) si può scrivere:
e(t)=-Ldi(t)/dt
Tutto ciò premesso la legge di Ohm per un bipolo
induttivo si può scrivere:
V(t)=Ldi(t)/dt
nota:
nota se la corrente è costante, la d.d.p.è identicamente
nulla e l’induttanza in corrente continua è un corto
circuito.
40
Condensatore
La capacità di un condensatore è definita dal seguente
rapporto:
C=Q/V
Ove Q è la carica elettrica e V è la d.d.p. ai capi delle
armature.
t
Pertanto ricordando che
t
1
V = ∫ idt
C0
Q = ∫ idt
0
41
Condensatore
La legge di Ohm del bipolo capacitivo
dV (t )
i (t ) = C
dt
nota: se la tensione V è costante nel tempo, la corrente
che attraversa il bipolo capacitivo è identicamente nulla;
in altri termini, in corrente continua (cc) la capacità
equivale ad un circuito aperto!
42
Condensatore
ε0
−1
8.854⋅ F⋅ m
d
p(t) u AB(t)⋅i(t) u AB(t)⋅C⋅ u AB(t)
dt
w( t)
W
1
⋅ C⋅ u AB( t )
2
2
1
2
⋅ C⋅ U AB
2
UAB = cost.
I=0
t
u AB( t)
1 ⌠
⋅ i( t ) dt + u AB( 0)
C ⌡
0
43
Elementi circuitali e scambi energetici
44
Trasformazioni delle reti
EQUIVALENZA ELETTRICA
Due bipoli A e B che hanno la stessa relazione costitutiva, i.e. ,
sono elettricamente equivalenti (da un punto esterno),
possono cioè essere scambiati senza alterare le tensioni (vA(t) e
vB(t)) e le correnti (iA(t) e iB(t)) presenti ai morsetti di
collegamento con la rete.
iA (t ) = iB (t )
e
VA (t ) = VB (t )
45
Bipoli: “equivalenza energetica”
L'equivalenza elettrica fra due bipoli non comporta necessariamente anche
una loro equivalenza energetica interna. Infatti, l'identità delle relazioni
costitutive impone che sia uguale la potenza scambiata dalla rete con in due
bipoli, ovvero il saldo fra la potenza generata e quella assorbita al loro
interno, ma non vincola in alcun modo i valori assunti da queste potenze; da
ciò segue che, in generale, le potenze interne di un bipolo (erogate e/o
assorbite) non coincideranno con le analoghe potenze del bipolo
elettricamente equivalente.
P’B≡PB
La potenza trasferita dalla rete originaria è
coincidente con quella trasferita dalla rete
equivalente.
P (rete) ‡P (rete’)
La potenza dissipata o erogata all’interno
della rete originaria è diversa da quella della
rete equivalente (rete’).
46
Trasformazioni di reti passive
A
C
D
R2
R1
B
A
B
R'
R3
Resistenza equivalente serie per si ha R ' = R 1 + R 2 + R 3
R1
R2
R3
B
−1
A
A
R1 = R 2 = R 3
R ' = nR
R'
1 1 1
R1 ⋅ R2 ⋅ R3
R' = + + =
R1 R2 R3 R2 ⋅ R3 + R1 ⋅ R3 + R1 ⋅ R2
B
47
Trasformazioni
R ab ( R ac + R bc )
Ra + Rb =
R ab + R ac + R bc
R ca ( R ab + R bc )
Rc + Ra =
R ab + R ac + R bc
R bc ( R ac + R ab )
Rb + Rc =
R ab + R ac + R bc
Nel caso in cui
e se
Rab = Rbc = Rac = RT
Ra = Rb = Rc = RS
RT =3RS
RT
RS =
3
48
Trasformazione Triangolo-Stella
R ab R ac
Ra =
R ab + R ac + R bc
R ab R bc
Rb =
R ab + R ac + R bc
R bc R ac
Rc =
R ab + R ac + R bc
49
Trasformazione Stella-Triangolo
R a Rb + Rb R c + R c R a
R ab =
Rc
R a Rb + Rb R c + R c R a
R bc =
Ra
R a Rb + Rb R c + R c R a
R ac =
Rb
50
Metodi generali di analisi delle reti
Metodo dei nodi
Si basa sulla legge di Ohm generalizzata e la prima legge di
Kirchhoff, comporta la soluzione di un sistema di p=n-1
equazioni. Da questo sistema si ottengono i potenziali dei p nodi
rispetto all’ n-esimo fissato arbitrariamente(di solito =0). I
potenziali che si ottengono sono legati da semplici relazioni alle
differenze di potenziale tra gli estremi dei lati e quindi alle
correnti nei lati. Si procede come segue:
•Si trasformano tutti i generatori reali di tensione in generatori
reali di corrente.
•Si fissa in maniera arbitraria uno dei nodi della rete come
punto di riferimento dei potenziali.
•Si risolve il sistema di n-1 equazioni lineari.
51
Metodi generali di analisi delle reti
Metodo delle maglie
Si basa sulla legge di Ohm generalizzata e la seconda legge di
Kirchhoff, comporta la soluzione di un sistema di
m=l-(n1)=l-p equazioni. Da questo sistema si ottengono delle correnti
fittizie associate alle m maglie indipendenti della rete. Si procede
come segue:
•Si fissa arbitrariamente il verso delle correnti incognite in
ciascun lato della rete.
•Si determinano le correnti fittizie di ciascuna maglia che
insieme alle correnti delle sorgenti (di corrente)
permettono di ricavare le correnti incognite di ciascun
lato.
•Si risolve il sistema delle m equazioni risultanti.
52
Metodi generali di analisi delle reti
Principio di sovrapposizione degli effetti
Il metodo della sovrapposizione degli effetti afferma che in una
rete lineare:
•Ogni tensione di lato è pari alla somma delle tensioni che
ciascun generatore di tensione ideale produce nel lato quando
sono annullate le grandezze impresse da tutti gli altri generatori
ideali.
•Ogni corrente di lato è pari alla somma delle correnti che
ciascun generatore ideale produce nel lato quando sono annullate
le grandezze impresse da tutti gli altri generatori ideali.
53
Teorema di Thévenin
Una qualsiasi porzione di rete elettrica (sistema Sa)accessibile
attraverso due morsetti può essere sostituita da un bipolo
equivalente generalizzato (sistema Sb)senza che ciò alteri il
funzionamento della restante parte della rete elettrica.
La forza elettromotrice da attribuire a tale bipolo coincide con la
tensione a vuoto della porzione di rete in questione; la sua
resistenza è data invece dal rapporto fra la tensione a vuoto
(determinata in precedenza) e la corrente di corto circuito tra i
due morsetti considerati (ciò equivale alla resistenza della rete
quando quest’ultima è resa passiva, cortocircuitando tutti i
generatori di tensione ed aprendo tutti i generatori di corrente).
A vuoto:
In corto circuito:
ee(t) = V0(t)
ee(t)
ee(t) V0(t)
⇒ Re =
=
icc(t) =
Re
icc(t) icc(t)
54
Teorema di Norton
Il teorema di Norton è il duale del teorema di Thevenin in
quanto rappresenta la porzione di rete Sa con un bipolo
generalizzato ottenuto con un collegamento in parallelo di un
generatore ideale di corrente e di un resistore. I valori da
attribuire
ai
due
componenti
si
deducono
come
precedentemente visto.
A vuoto:
V 0 (t ) = R e ie (t )
In corto circuito:
V 0 (t ) V 0 (t )
icc (t ) = ie (t ) ⇒ R e =
=
ie (t )
icc (t )
55
Teorema del massimo trasferimento di potenza
Concetto di: rendimento e adattamento
Sia data la rete di figura schematizzabile con il suo equivalente
di Thevenin
E
I=
Ri + Ru
Ru
U = Ru I
E
Ri + Ru
E 2 Ru
Ru
E
PAB = UI =
E⋅
=
Ri + Ru (Ri + Ru )2
Ri + Ru
E2
[W ]
Pg = EI =
Ri + Ru
2
E
[W ]
Pd = Ri I 2 = Ri
2
(Ri + Ru )
E2
Pu = Ru I = Ru
(Ri + Ru )2
2
potenza scambiata alla porta AB
potenza erogata dal generatore
potenza dissipata nella rete
potenza assorbita dal carico
56
Teorema del massimo trasferimento di potenza
Ovviamente sussiste la relazione:
P g − Pd = Pu
Si definisce rendimento ( η ) del generatore il rapporto tra la
potenza erogata sul carico e quella generata:
( Ri + Ru )
Pu Pg − Pd
Pd
E 2 Ri
= 1− = 1−
⋅
=
η= =
2
2
( Ri + Ru )
Pg
Pg
Pg
E
Ri + Ru − Ri
Ru
1
=
=
=
Ri + Ru
Ri + Ru 1 + Ri
Ru
57
Teorema del massimo trasferimento di potenza
A tensione costante E e resistenza interna Ri la potenza trasferita sul
carico è funzione del valore di Ru:
2
E
Pu = Ru I 2 = Ru
(Ri + Ru )2
Il massimo trasferimento si ottiene per Ru = Ri. In tal caso la
potenza erogata dal generatore andrà metà al carico e metà sarà
dissipata all’interno della rete.
La condizione Ru = Ri è detta adattamento del carico.
58
