Microeconomia, Esercitazione 9 1 Esercizi.

Microeconomia, Esercitazione 9
A cura di Giuseppe Gori ([email protected])
1
1.1
Esercizi.
Beni Pubblici/1
Le funzioni di utilitá dei consumatori A e B sono le seguenti:
UA = x1/2 y 1/2
UB = x1/3 y 2/3
definite sul bene privato y e sul bene pubblico x. Il prezzo del bene y é pari
a 3 euro e i consumatori hanno reddito pari rispettivamente a 36 euro e 21
euro. Il costo marginale di produzione del bene pubblico x é costante e pari
a 5 euro. Qual’é la quantitá di bene pubblico che deve essere prodotta in
equilibrio?
1.2
Beni Pubblici/2
La produzione di un determinato bene pubblico implica costi marginali del
tipo M C = 10 + 3q. Se l’economia è composta da 3 individui con funzione
di domanda per il bene pubblico pari a:
q1 = 13
1
p; q2 = 4
2
1
p; q3 = 6
10
1
p
3
Quale sarà la quantità ottimale di bene pubblico prodotta? Quanto dovrebbe
pagare ciascun consumatore?
1.3
Esternalità negative ambientali e monopolio
La curva di domanda di un bene è definta da
p = 16
q
e la tecnologia necessaria a produrlo è caratterizzata dalla seguente funzione
di costo marginale:
1
MC = 1 + q
2
La produzione di questo bene sono associate emissioni dannose per la salute
umana. Il danno marginale per la collettività associato alla produzione del
bene, è descritto dalla seguente funzione (di esternalità negativa):
D=
9
+ 3q
2
Si determinino:
1
(i) Le quantità di produzione di concorrenza perfetta, di monopolio e socialmente ottimale;
(ii) l’imposta (Pigouviana) che rende la produzione ottimale di concorrenza
perfetta uguale a quella socialmente ottimale;
(iii) l’imposta (Pigouviana) che rende la produzione ottimale di monopolio
uguale a quella socialmente ottimale;
Che conclusioni possiamo trarre dal confronto tra la (ii) e la (iii)?
Si ripeta l’esercizio nel caso in cui la funzione di danno marginale sia la
seguente:
1
D =2+ q
2
2
2.1
Domande a risposta multipla, Teoria
.
Conoscendo le curve di domanda di un bene pubblico da parte dei vari consumatori, come si misura il beneficio marginale sociale?
(a) Sommando orizzontalmente le curve di domanda individuali
(b) Sommando verticalmente le curve di domanda individuali
(c) Moltiplicando il prezzo per la quantità domandata
(d) Prendendo l’area sotto la più alta delle curve di domanda individuali
(e) Sommando le aree sotto le diverse curve di domanda individuali
2.2
.
Quale delle seguenti affermazioni è necessariamente vera nel caso di un bene
pubblico?
(a) La curva di beneficio marginale sociale sta sotto la curva di costo marginale
(b) La curva di beneficio marginale individuale è crescente
(c) La curva di beneficio marginale individuale sta sotto quella di beneficio
marginale sociale
(d) La curva di beneficio marginale individuale sta sopra quella di costo
marginale
(e) La curva di costo marginale non esiste
2
Soluzioni suggerite
1.1: Dobbiamo inannzitutto definire la domanda di bene pubblico per entrambi i consumatori. Questo implica risolvere il problema di massimizzazione della loro utilitá sotto il vincolo di bilancio. Il saggio marginale di
sostituzione per i due consumatori é (tralasciamo i calcoli, giá visti in piú di
un’occasione):
y
M RSA =
x
1y
M RSB =
2x
mentre il rapporto tra i prezzi dei due beni é:
px
3
Per il consumatore A varrá allora che:
(
(
y
M RSA = ppxy
= p3x
! x
px x + 3y = 36
px x + 3y = 36
e quindi:
pA
x =
!
(
y = p3x x
px x + 3( p3x x) = 36
18
x
allo stesso modo possiamo ricavare:
pB
x =
7
x
Dato che la domanda agggregata di bene pubblico é la somma verticale delle
domande dei singoli consumatori possiamo scrivere:
B
px = pA
x + px
ovvero
18 7
25
+ =
x
x
x
Dato che i costi marginali sono costanti allora la funzione di offerta aggregata
sará anch’essa costante e pari a 5. Domanda e offerta del bene pubblico si
incontrano allora per:
25
=5
x
e quindi per
x=5
px =
1.2: L’individuazione della quantità ottimale di bene pubblico, come nel
caso dell’esercizio precedente, richiede la somma verticale delle domande
3
individuali. E’ quindi necessario esprimere tutte le funzioni di domanda
in forma inversa ottenendo il valore attribuito da ciascun consumatore al
consumo di una stessa quantità di bene.
p1 = 26
2q; p2 = 40
10q; p3 = 18–3q
Si tratta di tre rette con inclinazione negativa rappresentate nel grafico
seguente:
p
40
6
C
C
C
a
C
C
b
c
C
26 Q C
18
QC
Q
C Q
\ C Q
Q
\ C
Q
\C
Q
Q
\C
Q
C
\
Q
Q
C\
Q
C \
Q
Q
Q
C \
4
6
13
- q
la domanda di bene pubblico sarà quindi una spezzata e coinciderà con la
somma di tutte le curve di domanda nell’area a (per q<4), con la somma
delle curve di domanda 1 e 3 nell’area b (per 4<q<6) e con la curva di
domanda 1 nell’area c (per q>6). In termini formali, avremo
8
>
<84 15q 8 q < 4
p = 44 5q
(1)
84<q<6
>
:
26 2q
8q>6
A questo punto dobbiamo considerare la curva di costo marginale. Per
trovare la quantità ottimale possiamo imporre la condizione p=MC, ma
definizione di p dobbiamo scegliere? Proviamo con la prima definizione in
(1):
M C = p ! 10 + 3q = 84
4
15q ! q =
37
9
può essere questa la quantità ottimale? Possiamo concludere di no, dato che
37
9 > 4 e quindi cade fuori dall’intervallo di q nel quale è valida la prima
definzione della curva di domanda. Proviamo con la seconda:
M C = p ! 10 + 3q = 44
5q ! q =
17
4
la soluzione è dunque questa, dato che 4 < 17
4 < 6. In effetti per la
terza definizione avremmo q = 16/5 < 6 e quindi anche in questo caso selezioneremmo una quantità che non è compresa nell’intervallo in cui è valida
la definizione della domanda che abbiamo utilizzato.
Dobbiamo adesso calcolare il contributo ottimale di ciascun individuo.
Basterà sostituire la quantità ottimale nelle tre curve di domanda. Per il
primo avremmo ad esempio:
17
52 17
=
= 17, 5
4
2
il contributo del primo individuo sarà dunque pari a 17, 5 euro, ovvero pari
alla sua disponibilità a pagare per quella quantità di bene pubblico. Per il
secondo e il terzo avremo, rispettivamente, p2 = 2, 5 e p3 = 3, 25. Come si
può notare, il secondo consumatore ha una disponibilità a pagare negativa
in corrispondenza della quantità ottimale di bene pubblico. In questo caso
infatti egli non dovrà contribuire alla sua produzione (dato che la domanda
è definita solo per prezzi negativi avremo che p2 = 0). Si tratta di un caso di
free-riding? No, in questo caso egli non paga semplicemente perchè se stesse
a lui, ovvero se lui fosse l’unico consumatore, non acconsentirebbe mai alla
produzione di quella quantità del bene dovendo pagarne il costo. Questo non
significa che il consumatore in realtà non tragga un’utilità positiva dal consumo delle prime 4 unità del bene pubblico, per le quali la sua disponibilità
a pagare è positiva.
p = 26
2
1.3: Punto (i). La quantità ottimale di concorrenza perfetta si ottiene
uguagliando prezzo (ovvero curva di domanda) al costo marginale, avremo
quindi che:
1
M C = p ! 1 + q = 16 q ! q P C = 10
2
mentre quella di monopolio si ottiene uguagliando ricavo marginale a costo
marginale. Il ricavo marginale, come sappiamo, ha pendenza doppia rispetto
alla curva di domanda, avremo quindi che:
1
M C = M R ! 1 + q = 16
2
2q ! q M = 6
Per calcolare la quantità socialmente ottimale dobbiamo invece prendere
in considerazione il costo marginale sociale, che è dato dalla somma del
costo marginale privato (ovvero quello di produzioe) e del danno marginale
5
(ovvero l’esternalità negativa). Il costo marginale sociale dovrà essere uguale
al prezzo in corrispondenza della quantità socialmente ottimale:
1
9
M C + D = p ! 1 + q + ( + 3q) = 16
2
2
q !
11 7
+ q
2
2
21
s 2, 3
9
Punto (ii). Nel caso in cui il governo voglia che la quantità prodotta in
equilibrio sia quella socialmente ottimale, potrà adottare una tassa t per
unità di bene prodotto, che ricada sul produttore/i. Nel caso in cui ci si
trovi in concorrenza perfetta sarà sufficiente imporre una tassa pari al livello dell’esternalità negativa in corrispondenza della quantità socialmente
ottimale. In questo caso infatti la nuova curva di costo marginale sarà euivalente alla vecchia spostata verso l’alto parallelamente a se stessa di un
ammontare pari alla tassa:
q⇤ =
M C + D(q ⇤ ) = M C
0
Nel nostro caso abbiamo che:
D(q ⇤ ) =
9
21
+ 3 = 4, 5 + 7 = 11, 5
2
9
la tassa dovrà quindi essere pari a tP C = 11, 5. Verifichiamo che l’imposizione
della tassa riesca a portare la produzione al livello efficiente. Adesso l’impresa
sceglierà la quantità in corrispondenza della quale:
0
MC = p
quindi:
1
1 + q + 11, 5 = 16
2
3
q ! q = 16
2
12, 5 ! q = 2, 3
Punto (ii). Nel caso del monopolio dobbiamo invece imporre la seguente
condizione:
M C(q ⇤ ) + tM = M R(q ⇤ )
ovvero dobbiamo individuare la tassa che sommata al costo marginale privato
calcolato in corrispondenza della quantità socialmente ottimale lo uguaglia al
ricavo marginale calcolato in corrispondenza della stessa quantità. Abbiamo
dunque che
1+
1 21
+ tM = 16
2 9
2
21
! tM = 15
9
5 21
! tM = 9, 1
2 9
Si noti che la tassa di monopolio è minore di quella di concorrenza perfetta.
Perchè? In generale varrà sempre che tP C > tM dato che la quantità che
6
massimizza i profitti dell’impresa monopolista è necessariamente inferiore a
quella di monopolio, è quindi necessario un’intervento minore da parte del
governo per indurre l’impresa a compiere la scelta socialmente efficiente.
Inoltre, per curve di costo marginale sociale molto piatte potremmo avere
addirittura che tM < 0, ovvero che il governo, per ottenere in equilibrio la
quantità socialmente efficiente dovrà fornire all’impresa monopolista un sussidio anziche tassarla. Infatti, ripetendo l’esercizio nel caso in cui la funzione
di danno sia D = 2 + 12 q avremo che q ⇤ = 6, 5, ovvero maggiore di quella di
monopolio. Di conseguenza, tM = 1, 25.
Domande a risposta multipla: (b), (c).
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