Università degli studi di Milano
Dip. di Matematica «F. Enriques»
Silsis-Mi 49a, ix ciclo
Met. inf. ins. mat. 1
Esame del febbraio
L’esame è diviso in due parti: ogni parte vale 16 punti ed ogni esercizio vale 16 punti. Perché l’esame venga
superato è necessario ottenere almeno 18 punti totali e almeno 7 per ogni parte.
Ogni esercizio deve riportare in evidenza il nome ed il numero di matricola; va salvato come Cognome.ggb
oppure Cognome.ods; dev’essere sufficientemente pulito per poter comprendere quello che state facendo
(ad esempio: gli oggetti di costruzione vanno nascosti o segnati diversamente; le colonne di dati vanno
intestate). Dei 16 punti per esercizio, 2 sono attribuiti alla forma: 0 se accettabile, 2 se ottima.
Non è vietato svolgere i due esercizi di ogni parte, ma il secondo verrà penalizzato riscalandolo opportunamente (per chi ha tempo da perdere: se del primo esercizio vengono svolti n1 punti con un voto v1 ≤ n1 ,
allora il voto v2 del secondo vale v2 (16 − n1 )/16).
GeoGebra
. Il primo criterio di congruenza dei triangoli
Ricordiamo che: Due triangoli con due lati e l’angolo compreso ordinatamente congruenti sono congruenti.
Com’è noto il criterio non vale se l’angolo non è quello compreso fra i due lati.
• Dati un segmento AB, una semiretta r uscente da A ed un segmento H, mostrare che si può costruire
un unico triangolo ABC con C ∈ r e AC ≡ H.
• Dati un segmento DE ed una semiretta s uscente da D, mostrare che il triangolo DEF con F ∈ s ed
EF ≡ H non è in generale univocamente determinato.
• Dare delle condizioni sufficienti affinché il triangolo DEF del punto precedente sia unico.
. Spirale di Archimede
La spirale di Archimede è la curva descritta da un punto che si muove a velocità uniforme, a partire da un
certo punto O, su una retta che ruota a velocità uniforme intorno ad O.
• Sia c una circonferenza di centro O passante per un punto B. Sia C un punto su c e sia a la semiretta
da O per C.
• Sia P ∈ a tale che OP sia equivalente all’arco BC.
• Allora la spirale è il luogo di P al variare di C.
• Generalizzare la costruzione in modo che OP sia un certo multiplo λ dell’arco BC.
Silsis-Mi 49a, ix ciclo
Met. inf. ins. mat. 1
OpenOffice.org Calc
. Regola di Ruffini
Ricordiamo che la regola di Ruffini è l’algoritmo che permette di dividere un polinomio P(x) per un binomio
x − a. Ad esempio, posto P(x) = x 4 + x 2 − x + 12, allora P(x) diviso x + 2 dà Q(x) = x 3 − 2x 2 + 5x − 11 con
resto 34, cioè P(x) = Q(x) ⋅ (x + 2) + 34:
1
−2
0 1 −1 12
−2 4 −10 22
1 −2 5 −11 34
In particolare, se il resto è 0, allora il monomio divide P, cioè a è una radice di P.
Ricordiamo anche che se P(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + ⋅⋅⋅ + a1 x + a0 è un polinomio con coefficienti in Z e se
m/n è una radice razionale di P con m ed n relativamente primi, allora m divide a0 mentre n divide a n .
• Determinare, tramite applicazione ripetuta della regola di Ruffini, le radici del polinomio x 4 − x 3 −
7x 2 + 13x − 6. (Suggerimento: se si usano con accortezza i riferimenti assoluti e relativi, basterà fare
copia e incolla per ripetere l’applicazione della regola).
• Determinare, tramite applicazione ripetuta della regola di Ruffini, le radici del polinomio 12x 4 +28x 3 −
25x 2 − 2x + 3
• Mostrare che il polinomio x 4 + x 2 − x + 12 non ha radici razionali.
. Gioco in borsa
Da una singolarità spazio-temporale vi cade in mano una copia del Papersera del mese prossimo. Lì trovate
l’andamento alla borsa di Paperopoli delle principali azioni:
Nome
Codice
01/04/08
02/04/08
03/04/08
04/04/08
05/04/08
Imprese Rockerduck
De Paperoni & no soci
Banda Bassotti anonima
Miniere Famedoro
Laboratori Pitagorici
Doremì alberghi & saloon
McBridge & Sganga
RCKR
GOLD
BABA
FAME
PILA
DODO
PAPE
€ 500
€ 20
€ 125
€ 35
€ 103
€ 30
€ 40
€ 520
€ 22
€ 100
€ 22
€ 101
€ 32
€ 36
€ 480
€ 23
€ 80
€ 25
€ 110
€ 33
€ 34
€ 570
€ 21
€ 95
€ 26
€ 105
€ 31
€ 38
€ 600
€ 21
€ 104
€ 30
€ 106
€ 33
€ 38
• Fare un grafico dell’andamento di ciascuna azione (riscalata opportunamente).
• L’indice della borsa di Paperopoli è così determinato: supponiamo di avere investito € 10 in ciascuna
azione (ma € 20 in RCKR e € 30 in GOLD) al primo aprile, l’indice è dato dal valore dell’investimento
nel giorno dato.
Determinare il valore dell’indice per ogni giorno, la sua variazione percentuale rispetto al giorno
precedente, e aggiungere l’indice al grafico degli andamenti azionari.
• Supponendo di avere a disposizione € 1000, pianificare acquisti e vendite in base alla vostra conoscenza
del futuro.
L’obiettivo è di avere alla fine della settimana più di € 1200; è possibile comprare solo un numero
intero di azioni; non è possibile andare a debito.
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