2. POLINOMI 17-18 - Liceo Scientifico Guido Castelnuovo

1
CAPITOLO 2
POLINOMI
Definizione. Addizione e moltiplicazione tra polinomi
Si dicono polinomi in una variabile, espressioni del tipo
P (x) = a0 + a1x + ...+ an x n , dove i coefficienti appartengono ad un
determinato insieme numerico. In genere ci occuperemo di polinomi a
coefficienti interi, con qualche accenno ai casi in cui i coefficienti
appartengono all’insieme dei numeri reali.
Un polinomio è scritto nella forma canonica dopo che i monomi simili sono
stati tutti sommati tra loro, e si definisce grado del polinomio quello maggiore
dei monomi che lo costituiscono.
Principio di identità dei polinomi. Consideriamo identici due polinomi che hanno
lo stesso grado, e gli stessi coefficienti corrispondenti.
I polinomi possono essere sommati o moltiplicati tra loro. Riprendiamo la
regola in base alla quale queste operazioni possono essere eseguite. Siano
P (x) = a0 + a1x + ...+ an x n e Q (x) = b0 + b1x + ...+ bm x m due polinomi con, ad
esempio, n > m . Risulta:
• P (x) +Q (x) = a0 + b0 + (a1 + b1 )x + ...+ (am + bm )x m + am+1x m+1 + ...+ an x n ;
(
)
• P (x) ⋅Q (x) = anbm x n+m + (anbm−1 + an−1bm )x n+m−1 + ...+ a0b0 .
Esercizi
1. Si eseguano le addizioni P x +Q x e le moltiplicazioni
()
() ()
P ( x ) = x − 5x + 2
P ( x ) = 3x + x − 3
()
P x ⋅Q x per le seguenti coppie di polinomi: a)
2
4
Q x = x 3 + 5x − x 2 , b)
()
Q ( x ) = 2x
5
− 6x 3 +7x 2 +1 .
2. Determinare i coefficienti a e b in modo che i due polinomi
P x = x 3 + 2ax 2 + b − 2 x +1e Q x = x 3 + 1− b x 2 + a + 3 x +1 siano
()
(
)
()
( )
(
)
identici.
3. Scrivere 12345 come polinomio ordinato secondo le potenze
decrescenti di 10.
2
In queste ipotesi è chiaro il motivo per cui non viene assegnato il grado al
polinomio nullo P (x) ≡ 0 : se, per assurdo, fosse d il grado del polinomio nullo,
per la regola di moltiplicazione risulterebbe ad esempio
0 = 0 ⋅ x ⇒ d +1= d , e ciò non è possibile.
E’ possibile osservare un’interessante analogia tra l’insieme dei polinomi a
coefficienti interi, che denotiamo con Q !"x #$ , e quello dei numeri interi,
dove per ogni elemento esiste l’opposto rispetto all’addizione, ma non il
reciproco rispetto alla moltiplicazione. E’ quindi necessario approfondire la
questione legata alla divisibilità tra polinomi.
Divisibilità tra polinomi
Definizione. Si dice che il polinomio A(x) è divisibile per B(x) se esiste un
polinomio Q (x) , detto il quoziente, tale che A(x) = Q (x)B(x) .
Notiamo come questa definizione richiami quella analoga di divisibilità tra
numeri interi. L’analogia prosegue con la verifica delle seguenti proprietà:
• D(x)| A(x), B(x) ⇒ D(x)| A(x) + B(x) ;
(
•
)
D(x)| A(x) ⇒ D(x)| A(x)C(x) ;
• D(x)| A(x) A(x)|B(x) ⇒
D(x)|B(x) .
Questo “esame comparato” ci porta alla ricerca dell’analogo per i
polinomi dei numeri primi.
Riducibilità tra polinomi
Definizione. Un polinomio si dice riducibile se ammette divisori diversi dalle
costanti non nulle e da se stesso; in caso contrario si dice irriducibile.
I polinomi irriducibili costituiscono quindi l’analogo dei numeri primi.
E’ importante notare che la riducibilità di un polinomio è legata
all’insieme di appartenenza dei coefficienti. Ad esempio,
A(x) = x 2 − 2 = (x − 2)(x + 2) è riducibile come polinomio a coefficienti
reali, ma non lo è come polinomio a coefficienti interi.
Analogamente, A(x) = x 2 +1 non è riducibile come polinomio a coefficienti
reali. Infatti, per stabilire se, in generale, un polinomio di secondo grado è
riducibile, occorre vedere se questo può essere scritto come prodotto di due
polinomi di primo grado. Poniamo quindi x 2 +1= (x + a)(x + b) . Svolgendo il
prodotto al membro di destra, ed uguagliando i coefficienti dei polinomi ai
due membri dell’uguaglianza, otteniamo:
3
" 1=1
$
x 2 +1= x 2 + (a + b)x + ab ⇒ # 0 = a + b , chiaramente impossibile; il
$ 1= ab
%
polinomio A(x) = x 2 +1 non è riducibile nell’insieme dei reali.
Strumenti molto utili per risolvere questioni legate alla riducibilità dei
polinomi, sono rappresentati dai prodotti notevoli. Ne riportiamo alcuni,
espressi in modo “opportuno”.
(a x
2 2
) (
) (
) (
)(
)
− b2 = ax − b ax + b , a 3 x 3 − b3 = ax − b a 2 x 2 + abx + b2 ,
)(
! n $ k k n−k
ax + b = ∑#
&a x b .
k
"
%
k=0
Esercizi
1. Scrivere il polinomio x12 + x 6 +1 come prodotto di fattori (fattorizzare,
cioè, il polinomio).
2. Si determinino a, e b in modo tale che i polinomi x 3 − 2ax 2 + bx +1 e
x 3 + 2bx 2 + (a −1)x +1siano identici.
3. Dato il polinomio A(x) = ax 2 + bx + c , determinare a, b, c affinché
A(x +1) − A(x) = x . Supponiamo inoltre che la variabile x possa
assumere soltanto i valori “naturali” 1, 2, 3,…Si dimostri che dalle
differenze A(n +1) − A(n) è possibile ottenere la formula della somma dei
primi N numeri naturali.
4. Si sfruttino le considerazioni dell’esercizio precedente per calcolare, a
partire dal polinomio A(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , la somma dei quadrati
dei primi N numeri naturali.
5. Si dica per quale valore di h il polinomio x 3 − 4x 2 + 4x + h è divisibile
per x +1 .
6. Si sviluppino i seguenti prodotti notevoli: ( a3 + b3 x 3 ) , ( x +1)7 .
(
)
n
n
7. Dati i polinomi A x = 8x 3 − 4x 2 + 2x −1 e B x = ax 3 + bx 2 + cx + d ,
()
()
determinare i coefficienti a,b,c,d in modo tale che
() () (
)
2
A x + B x = x −1 .
4
8. Trovare i divisori dei seguenti polinomi: a) x 4 −1, b) x 2 + x +1, c)
x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x +1 , d) x 3 − 8 .
9. Si dica per quale valore di k il polinomio 2x 3 − 5x 2 + 5x − k è divisibile
per x − 2 .
Soluzioni
2
1. x12 + x 6 +1= x 6 +1 − x 6 = "# x 6 +1 − x 3 $%"# x 6 +1 + x 3 $%
"& a =1 2
" −2a = 2b
⇒#
2. #
.
$ b = a −1
&$ b = −1 2
x = A(x +1) − A(x) = a(x +1)2 + b(x +1) + c − ax 2 − bx − c = 2ax + a + b
#
# 2a =1
3.
& a =1 2
⇒$
⇒$
% a+b = 0
&
% b = −1 2
(
)
(
)
(
)
Dalla somma delle A(n +1) − A(n) = n , otteniamo il valore della
somma dei primi n numeri
(n +1)2 n +1
1 1
n(n +1)
naturali: A(n +1) − A(1) =
.
−
+c− + −c =
2
2
2 2
2
x 2 = A(x +1) − A(x) = 3ax 2 + 3a + 2b x + a + b + c ⇒
(
)
#
3a =1 ⇒ a =1 3
4. %%
$ 3a + 2b = 0 ⇒ b = −1 2
%
%& a + b + c = 0 ⇒ c =1 6
. Da questo segue
(n +1)3 (n +1)2 n +1
1 1 1
n(n +1)(2n +1)
A(n +1) − A(1) =
−
+
+d − + − −d =
3
2
6
3 2 6
6
5. Posto x 3 − 4x 2 + 4x + h = (x +1)(ax 2 + bx + c) ⇒ h = 9 .
(
) (
)(
)
6. a 3 + b3 x 3 = a + bx a 2 − abx + b2 x 2 ,
(
!
$
x +1 = ∑# 7 &x k17−k =1+7x + 21x 2 + 35x 3 + 35x 4 + 21x 5 +7x 6 + x 7 .
k=0 " k %
7
7
)
7. B(x) = −8x 3 + 5x 2 − 4x + 2 .
5
(
)( )( )
8. a) x 4 −1= x 2 +1 x +1 x −1 , b) x 2 + x +1, c)
)(
)
x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x +1 , d) x 3 − 8 = x − 2 x 2 + 2x + 4 .
(
9. k = 6 .
Divisione con resto fra polinomi
Vediamo se le operazioni che hanno permesso, nel caso della divisione tra
numeri interi, di determinare quoziente e resto, si possono adattare
all’insieme dei polinomi. Ad esempio, abbiamo scritto “32 diviso 12 “ nella
forma 32 = 2⋅12 + 8 , dove 2 rappresentava il quoziente, e 8 il resto. Ora,
quanto scritto può essere interpretato come il risultato di 2 (quoziente)
sottrazioni successive:
32 −12 = 20
20 −12 = 8
.
32 + 20 − 2⋅12 = 20 + 8 ⇒ 32 = 2⋅12 + 8
Proviamo ad applicare questo metodo al caso dei polinomi. Siano
A(x) = 5x 4 − 3x 2 + 4x − 2 e B(x) = 5x 2 −1 . Se dividiamo il monomio di grado
massimo di A(x) per quello di B(x) otteniamo: 5x 4 5x 2 = x 2 e, quindi
A(x) − x 2 B(x) = −2x 2 + 4x − 2 := R1 (x) . Ripetiamo il procedimento dividendo
stavolta il monomio di grado massimo del resto venutosi a formare al
passaggio precedente, R1 (x) , sempre per quello di B(x) :
" 2%
12
R1 (x) − $ − ' B(x) := 4x − := R2 (x) . Il processo si arresta quando il grado
5
# 5&
del polinomio resto che si viene a formare è minore di quello del polinomio
divisore B(x) . Ricapitolando:
A(x) − x 2 B(x) = −2x 2 + 4x − 2 := R1 (x)
" 2%
12
R1 (x) − $ − ' B(x) = 4x − := R2 (x), deg () R2 (x)*+ < deg () B(x)*+
.
5
5
# &
"
2%
12
A(x) − $ x 2 − ' B(x) = 4x −
5&
5
#
Con questo procedimento sembra possibile determinare il resto senza
effettuare la divisione che, tuttavia, poteva essere eseguita con il metodo
usuale (che poggia su quanto appena visto):
6
5x 4 − 3x 2 + 4x − 2
−5x 4 + x 2
2
−2x + 4x − 2
5x 2 −1
.
2
x2 −
5
2
5
12
4x − := R(x)
5
Questo metodo di divisione può essere generalizzato, ed enunciato
formalmente come teorema.
2x 2 −
Teorema 1. Siano A(x) e B(x) due polinomi tali che deg [ A(x)] = n ≥ deg [ B(x)] = m . Allora
è possibile sottrarre ad A(x) un multiplo di B(x) , detto Q(x) , in modo da ottenere un
polinomio R(x) di grado inferiore a quello di A(x) .
Dimostrazione. Si tratta di compiere il procedimento visto sopra:
a
A(x) − n x n−m B(x) := R(x) , e di iterarlo sostituendo ad ogni passo il
bm
dividendo con il resto che si viene così a formare, finché non si ottiene un
resto di grado minore di quello del divisore.
Esercizi
10. Determinare il resto, senza eseguire la divisione, tra i polinomi
A(x) = 3x 3 + 5x 2 − x + 2 e B(x) = x + 2 .
11. Determinare a, b in modo tale che il polinomio 2x 4 + ax 3 + x 2 + 4x + b
sia divisibile per x 2 + x .
7
12. Eseguire la divisione con resto tra i seguenti polinomi:
A x = x 5 − 3x 2 + 5x + 4
()
B x = x3 + 3
()
A ( x ) = x +1
B ( x ) = x +1
A ( x ) = 3x + 4x − 5x − 6 B ( x ) = 2x +1
A ( x ) = 5x −7x + 4x − 2
B (x) = x − 2
A ( x ) = 3x + 5x − x + 2
B (x) = x + 2
A ( x ) = x + x − 3x − x − 5 B ( x ) = x + 3
A ( x ) = x + x + x + x + x +1 B ( x ) = x +1
3
4
3
3
2
2
3
5
5
2
2
4
4
.
3
3
2
2
Soluzioni
10. Si ha
3x 3
= 3x 2 ⇒ A(x) − 3x 2 B(x) = −x 2 − x + 2 := R1 (x);
x
−x 2
.
= −x ⇒ R1 (x) − (−x)B(x) = x + 2 := R2 (x);
x
x
=1 ⇒ R2 (x) − (1)B(x) = 0 ⇒ A(x) = (3x 2 − x +1)(x + 2) ⇒ R(x) = 0
x
$ a = −1
11. Si determina il resto: R3 (x) = (a +1)x + b ⇒ R3 (x) = 0 ⇔ %
.
b
=
0
&
8
A x = x 2 B x − 6x 2 + 5x + 4
()
()
A ( x ) = ( x − x +1) B ( x )
2
⎛ 3x 2
13 ⎞
5x
A x =⎜
+ 2x − ⎟ B x + − 6
4⎠
4
⎝ 2
()
12.
()
() (
A ( x ) = (3x
) ()
− x +1) B ( x )
A ( x ) = ( x − 2x + 3x −10x + 30) B ( x ) − 95
A ( x ) = ( x + x +1) B ( x )
A x = 5x 2 + 3x +10 B x +18
4
3
.
2
2
4
2
A questo punto è possibile enunciare un risultato che ricorda molto uno
analogo relativo alla divisione tra interi.
Teorema 2. Siano A(x) e B(x) due polinomi tali che B(x) ≠ 0 . Esiste un’unica coppia di
polinomi Q(x), R(x) tali che A(x) = B(x)⋅ Q(x) + R(x) , dove
deg [ R(x)] < deg [ B(x)] ∨ deg [ B(x)] = 0 .
Dimostrazione. L’esistenza è una diretta applicazione del metodo visto nel
teorema 1. Si dimostra quindi l’unicità, supponendo per assurdo l’esistenza
A(x) = B(x) ⋅Q 1 (x) + R1 (x)
di due coppie tali che
. Sottraendo membro a
A(x) = B(x) ⋅Q 2 (x) + R2 (x)
membro si ottiene l’uguaglianza 0 = B(x)"#Q 1 (x) −Q 2 (x)$% + "# R1 (x) − R2 (x)$% . Se
"Q (x) −Q (x)$ fosse diverso da zero, sarebbe un polinomio di grado k,
# 1
%
2
quindi B(x)"#Q 1 (x) −Q 2 (x)$% avrebbe grado m + k . Ora, per ipotesi,
" R (x) − R (x)$ ha grado minore di m, quindi il membro di destra
# 1
%
2
dell’uguaglianza 0 = B(x)"#Q 1 (x) −Q 2 (x)$% + "# R1 (x) − R2 (x)$% avrebbe grado
m + k , e non potrebbe quindi essere uguale al polinomio nullo, membro di
sinistra.
9
Massimo comun divisore
() ()
MCD !" A ( x ) , B ( x )#$ un polinomio D ( x ) divisore comune di A ( x ) , B ( x ) ,
multiplo di ogni divisore di A ( x ) , B ( x ) .
Definizione. Dati due polinomi A x , B x si dice loro massimo comun divisore
L’esistenza, così come il calcolo, del massimo comun divisore si dimostra
adattando ai polinomi l’algoritmo euclideo.
Esempio. Calcoliamo il massimo comun divisore tra i polinomi
A x = x 5 − 4x e B x = x 4 − 4x 2 + 4 .
()
()
Estendiamo quindi ai polinomi l’algoritmo euclideo, riportando i vari passi
nella seguente tabella.
A x
B x
Q x
R x
()
()
()
x 5 − 4x
x 4 − 4x 2 + 4
x 4 − 4x 2 + 4
4x 3 − 8x
4x 3 − 8x
−2x 2 + 4
()
x
1
x
4
−2x
4x 3 − 8x
−2x 2 + 4
0
Il massimo comun divisore è quindi il polinomio −2x 2 + 4 , equivalente a
−2x 2 + 4 = −2 x 2 − 2 .
(
)
Esiste anche un analogo del teorema di Bézout per i polinomi: il massimo
comun divisore tra i polinomi A x = x 5 − 4x e B x = x 4 − 4x 2 + 4 , può
()
()
essere scritto come un’opportuna combinazione di questi; ad ogni passo si
esprime il resto come combinazione del dividendo e del divisore, e con un
procedimento “a cascata” come quello seguito nel caso dei numeri interi si
giunge alla soluzione.
" 1 %
" 1 2%
2
Nel caso esaminato sopra risulta −2x + 4 = $− x ' A x + $1+ x ' B x .
# 4 &
# 4 &
Esercizi
Si calcoli il massimo comun divisore tra le seguenti coppie di polinomi, e si
esprima il risultato come combinazione dei polinomi stessi.
()
13. A x = x 2 + 3x + 2; B x = 7x 2 + x − 6
()
()
()
10
14. A x = x 3 + 2x 2 + x + 2; B x = x 2 + x + 2
15.
16.
()
A ( x ) = x − 4x
A ( x ) = −x + x
4
3
()
3
+ 6x 2 − 5x + 2; B x = x 3 − 5x 2 + 5x − 4
2
+ 3x +1; B x = −2x 2 + 3x +1 .
()
()
Soluzioni
13.
D x = −6(x +1) ⇒ x +1
14.
15.
16.
()
D (x) = x + 2
D ( x ) = x − x +1
D ( x ) = 4 ⇒1
2
Il teorema di Ruffini
Analogamente al caso dei numeri interi, il polinomio A(x) è divisibile per
B(x) se e soltanto se il resto R(x) è uguale a zero. Sussiste al riguardo il
seguente risultato.
Teorema 3. (Ruffini) Il polinomio A(x) è divisibile per (x − α ) quando il resto R(x) è
uguale a zero, quindi se e solo se A(α ) = 0 . In questo caso si dice che α è una
radice del polinomio.
Dimostrazione. (⇒) A(x) è divisibile per (x − α ) , allora
A(x) = (x − α )Q(x) ⇒ A(α ) = (α − α )Q(α ) = 0 .
(⇐) Viceversa, posto A(x) = (x − α )Q(x) + R(x) , segue che deg [ R(x)] < deg [ x − α ] = 1 ,
quindi il resto è una costante, per cui A(x) = (x − α )Q(x) + h . Si giunge alla tesi
facendo vedere che questa costante è 0: per ipotesi A(α ) = 0 , allora
0 = A(α ) = (α − α )Q (α ) + h ⇒ h = 0 .
Tra le conseguenze del teorema di Ruffini consideriamo le seguenti.
Proposizione 1. Un polinomio di terzo grado è riducibile se e solo se
ammette una radice.
Dimostrazione. (⇒) Un polinomio di terzo grado riducibile può essere scritto
nel prodotto di un polinomio di grado uno per un polinomio di grado due.
La tesi segue dal fatto che un polinomio di grado uno ammette sempre una
radice.
11
Viceversa, se il polinomio A(x) ammette una radice α , può essere
scritto nella forma A(x) = (x − α )Q(x) , dove il quoziente è un polinomio di
grado due.
(⇐)
Proposizione 2. Se α è una radice di un polinomio a coefficienti interi, allora
α divide il termine noto.
Dimostrazione.
P (x) = a0 + a1x + ...+ an x n ⇒ 0 = P (α ) ⇒ −a0 = α (a1 + a2α + ...+ anα n−1 ) ⇒ α |a0 .
Esercizi
17.
Trovare tutte le radici, intere o razionali, del polinomio
4
x − 3x 3 − 2x 2 − 32 .
18. Tra i polinomi di secondo grado che divisi per (x −1), (x − 2) danno
per resto 4, determinare quello che ha come radice α = 0 .
19. E’ dato il polinomio Pn (x) = x n +1 sull’insieme degli interi. Per quali
valori di n è riducibile? In tal caso, si dica quant’è il valore dei
coefficienti del polinomio di grado massimo che si viene a
determinare nella divisione.
20. Dividere il polinomio x16 −1 per x −1 , e determinare i coefficienti del
polinomio quoziente.
21. Si trovino le intersezioni tra la parabola di vertice V (2, 2) passante
per l’origine, e l’iperbole xy = 12 .
22. Per quali valori di k la parabola di equazione y = x 2 − 2x −1 interseca
l’iperbole xy = k in punti ad ascissa intera?
23. Sia P(x) un polinomio e Q(x) = P(x) +1 . Dimostrare che
P(x)2n + Q(x)n −1 è divisibile per il prodotto P(x)⋅ Q(x) .
24. Dimostrare che un polinomio è divisibile per (x −1) se la somma dei
suoi coefficienti è zero.
Soluzioni
17. Si osserva che x = 4 e x = −2 sono radici del polinomio, quindi questo
può essere scritto nella forma x 4 − 3x 3 − 2x 2 − 32 = (x − 4)(x + 2)(x 2 − x + 4) , con
l’ultimo fattore irriducibile in R.
18.
ax 2 + bx + c = (ax + a + b)(x −1) + a + b + c
ax 2 + bx + c = (ax + 2a + b) + 4a + 2b + c
# a+b+c = 4
# b = −3a
⇒$
⇒$
% 4a + 2b + c = 4
% c = 4 + 2a
polinomio può quindi essere scritto nella forma
. Il
P(x) = ax 2 − 3ax + 4 + 2a .
12
Imponendo P(0) = 0 otteniamo il
polinomio: P(0) = 0 ⇒ 4 + 2a = 0 ⇒ a = −2 ⇒ P(x) = −2x 2 + 6x .
19. Il polinomio è riducibile se n è dispari. In tal caso x = −1 è una radice,
quindi può essere diviso per il polinomio x +1 ; di conseguenza
Pn (x) = x n +1 = ( a0 + a1 x +... + an−1 x n−1 ) ( x +1) . I coefficienti del polinomio
quoziente di grado n −1 si determinano eseguendo la moltiplicazione
dei fattori presenti al membro di destra, ed imponendo l’unicità della
forma canonica: x n +1 = a0 + (a0 + a1 )x + (a1 + a2 )x 2 +... + (an−2 + an−1 )x n−1 + an−1 x n da
cui seguono le uguaglianze
a0 = 1, an−1 = 1 ⇒ an−2 = −1 ⇒ an−3 = 1 ⇒ ... ⇒ a1 = −1 , ottenute ponendo uguale
a zero tutte le somme tra parentesi. Il quoziente è quindi
n−1
Qn−1 (x) = ∑ (−1)k x k .
k=0
20.
x −1 = ( x −1) ( x +1) ( x 2 +1) ( x 4 +1) ( x 8 +1) .
Poiché x = 1 è una radice del
polinomio, non c’è in realtà bisogno di fare grandi calcoli: si procede,
con qualche adattamento, come nell’esercizio precedente:
x16 −1 = ( a0 + a1 x +... + an−1 x n−1 ) ( x −1) = −a0 + ( a0 − a1 ) x + ( a1 − a2 ) x 2 +... ( an−2 − an−1 ) x n−1 + an−1 x n
16
a0 = 1 ⇒ a1 = a2 = ... = an−1 = 1
21. Si mette a sistema l’equazione della parabola
1
x2
2
( x − 2) ⇒ y = − + 2x , con quella dell’iperbole, ottenendo
2
2
l’equazione risolvente x 3 − 4x 2 + 24 = 0 . Le soluzioni dell’equazione sono
radici del polinomio P(x) = x 3 − 4x 2 + 24 ; poiché una di queste è x = −2 , il
y−2 =−
polinomio può essere fattorizzato nel prodotto
x 3 − 4x 2 + 24 = ( x + 2 ) ( x 2 − 6x +12 ) . Essendo il polinomio di secondo grado
irriducibile nell’insieme dei numeri reali, l’unica intersezione tra la
parabola e l’iperbole è rappresentata dal punto (−2;−6) .
22.
Dall’equazione risolvente x 3 − 2x 2 − x − k = 0 e dalla divisibilità per
x = n ∈ Z otteniamo la fattorizzazione
x 3 − 2x 2 − x − k = ( x − n ) ( x 2 + ( n − 2 ) x + n 2 − 2n −1) , con resto zero
n "#n ( n − 2 ) −1$% − k = 0 ⇒ k = n "#n ( n − 2 ) −1$% . Il valore (o i valori) di k dipendono
da quelli di n che forniscono radici intere del polinomio di secondo
grado nella fattorizzazione. Questi valori si ottengono imponendo
che il discriminante dell’equazione associata al fattore di secondo
grado sia non negativo:
−3n 2 + 4n + 8 ≥ 0 ⇒
2−2 7
2+ 7
≤n≤
⇒ n = 0,1 .
3
3
Per
13
otteniamo k = −2 e x 3 − 2x 2 − x + 2 = ( x −1) ( x 2 − x − 2) = ( x −1) ( x +1) ( x − 2) .
Per n = 0 otteniamo k = 0 e l’iperbole non esiste.
23. Posto P(x) = Q(x) −1 , poiché Q(x)n −1 è divisibile per Q(x) −1 si ha
P(x)2n + Q(x)n −1 = P(x)2n + Q(x)n + P(x) − Q(x) = P(x)(P(x)2n−1 +1) + Q(x)(Q(x)n−1 −1) .
Ora, poiché nel caso in cui n è dispari x n +1 è divisibile per x +1 ,
essendo 2n −1 dispari, allora P(x)2n−1 +1 è divisibile per P(x) +1 , ovvero
n =1
per
Q(x) .
In definitiva,
P(x)2n + Q(x)n −1 = P(x)(P(x)2n−1 +1) + Q(x)(Q(x)n−1 −1) =
.
P(x)A(x)Q(x) + Q(x)B(x)P(x) = Q(x)P(x)(A(x) + B(x))
24. Per il teorema di Ruffini, la divisibilità per (x −1) equivale a dire che
x = 1 è una radice del polinomio, quindi 0 = P(1) = a0 + a1 +... + an .
“Liceo Scientifico Statale “Guido Castelnuovo”
COMPITO DI MATEMATICA
Classe III sezione E
10/12/2015
Quesiti
1. Si calcolino le radici dei polinomi A x = x 5 + x 3 + x 2 +1 e
()
B ( x ) = x − 3x + x − 3 . Si determini D ( x ) = MCD ⎡⎣ A ( x ) , B ( x )⎤⎦ .
+ x + x +1= x ( x +1) + ( x +1) = ( x +1) ( x +1) = ( x +1) ( x − x +1) ( x +1)
3
• A x = x5
()
3
2
2
3
2
2
3
) (
2
)(
2
2
• B x = x 3 − 3x 2 + x − 3 = x 2 x − 3 + x − 3 = x 2 +1 x − 3 .
()
(
) (
)
()
()
massimo comun divisore è D ( x ) = MCD ⎡⎣ A ( x ) , B ( x )⎤⎦ = x +1.
Le radici dei polinomi sono x = −1 per A x e x = 3 per B x . Il
2
2. Sono dati i polinomi A x = x 2 +1 e B x = x 2 −1. Dopo averne
()
()
calcolato il massimo comun divisore D ( x ) , si trovino due polinomi
M ( x ) , N ( x ) tali che D ( x ) = M ( x ) ⋅ A ( x ) + N ( x ) ⋅ B ( x ) .
• Poiché A ( x ) = x +1 non è riducibile, il massimo comun divisore è
D ( x ) =1. Di conseguenza,
2
14
x +1) − ( x −1)
(
, da
−1+ 2 ⇒ 2 = ( x +1) − ( x −1) ⇒ D ( x ) =1=
2
2
x 2 +1= x 2
2
2
2
1
1
cui segue 1= D x = ⋅ A x + ⋅ B x .
2
2
()
3.
()
()
Si determini il più piccolo intero positivo multiplo di 3 tale che, diviso
per 5 dà resto 2, e diviso per 7 dà resto 1.
• Poiché 7,5,3 sono primi tra loro, per il teorema cinese del resto il
sistema che scaturisce dal problema ammette soluzione:
⎧
⎧⎪ N = 2 + 5x
⎪ N ≡ 2mod 5
⇒⎨
⇒ 5x + 2 = 7 y +1 ⇒ 7 y − 5x =1.
⎨
N
=1+7
y
⎪
N
≡1mod
7
⎪
⎩
⎩
()
()
Risulta
y = −2 + 5n
⇒ N = 2 −15 + 35n = 35n −13 . Si ha la tesi per
x = −3 +7n
n = 2 dal momento che N = 57 risponde a tutte le richieste.
Approfondimento: IL TERZO GRADO
Polinomi, equazioni, funzioni. Presentiamo un percorso limitato allo studio
delle principali proprietà, e delle loro implicazioni, degli “oggetti di terzo
grado”.
Definizione. Un polinomio di terzo grado è un’espressione del tipo
P3 x = ax 3 + bx 2 + cx + d .
()
E’ noto che, in generale, più grande è il grado, più difficile da trattare è il
polinomio. Ma cosa significa trattare un polinomio? E’ qui che entrano in
scena le equazioni e le funzioni.
Definizione. Una funzione polinomiale di terzo grado è una legge che associa ad
ogni numero reale x, un numero reale, che indichiamo con f ( x ) .
In simboli:
x → f x = ax 3 + bx 2 + cx + d .
()
Ci occuperemo in seguito della rappresentazione grafica di una funzione di
polinomiale di terzo grado (d’ora in poi cubica), per il momento ci limitiamo
alla questione della determinazione degli zeri della funzione, cioè dei punti
del piano in cui questa taglia l’asse delle ascisse.
15
Gli zeri si determinano annullando il valore dell’immagine di una
funzione: f ( x ) = 0 . Nel nostro caso si tratta di risolvere un’equazione di
terzo grado (d’ora in poi un’equazione cubica).
Definizione. Un’equazione (algebrica) di terzo grado è un’uguaglianza del tipo
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 .
Termina qui questa breve introduzione, con la quale sono stati presentati
in forma coesa i concetti di polinomio, equazione e funzione di terzo
grado.
Per iniziare a comprendere quanto possono essere legate tra loro le
funzioni e le equazioni cubiche, presentiamo qualche risultato preliminare
sui polinomi di terzo grado. Osserviamo innanzitutto che un polinomio di
terzo grado può essere scritto privandolo del termine di secondo grado.
Proposizione. Ogni polinomio cubico del tipo p3 ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c 1può essere
scritto nella forma p3! ( x ) = x 3 + px + q .
Dimostrazione. Consideriamo la sostituzione x − α :
3
2
p3 ( x − α ) = ( x − α ) + a ( x − α ) + b ( x − α ) + c . Scriviamo il polinomio in forma
canonica: p3 ( x ) = x 3 + (3α + a ) x 2 + (3α 2 + 2aα + b) x + α 3 + aα 2 + bα + c . Si giunge
a
3
alla tesi ponendo 3α + a = 0 ⇒ α = − , da cui segue p3! ( x ) = x 3 + px + q avendo
"
a2
$
b − := p
$
posto # 3 3
.
2a
ba
$
$% 27 − 3 + c := q
Osservazione. La sostituzione utilizzata nella dimostrazione precedente ha
un’interessante interpretazione geometrica: si tratta di una traslazione del
grafico della funzione f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c verso destra di fattore
a
.
3
Il metodo di Lagrange
Più che un metodo, per la risoluzione di equazioni di terzo grado
particolari, del tipo x 3 + px + q = 0 , si tratta di una semplice sostituzione:
1I polinomi in cui il coefficiente del termine di grado massimo è 1 si dicono monici.
16
x =z−
p
.
3z
p3
In questo modo si ottiene l’equazione ausiliaria (trinomia) z + qz − = 0 .
27
6
3
Esercizio. Verificare il risultato precedente, e scrivere una formula risolutiva
per equazioni di terzo grado del tipo x 3 + px + q = 0 .
I polinomi di terzo grado e la loro riducibilità
Consideriamo identici due polinomi che hanno lo stesso grado, e gli stessi
coefficienti corrispondenti.
Esercizio. Si dica per quale valore di h il polinomio x 3 − 4x 2 + 4x + h è
divisibile per x +1 .
• Posto x 3 − 4x 2 + 4x + h = (x +1)(ax 2 + bx + c) ⇒ h = 9 .
Abbiamo avuto modo di osservare che un polinomio di terzo grado è
riducibile se e solo se ammette una radice.
In generale, la riducibilità di un polinomio è strettamente connessa
all’equazione ad esso associata. Nel caso di un polinomio di terzo grado, si
possono presentare i seguenti casi:
a) 3 soluzioni distinte: x 3 + ax 2 + bx + c = ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) .
2
b) 2 soluzioni distinte: x 3 + ax 2 + bx + c = ( x − x1 ) ( x − x2 ) .
c) 1 soluzione: x 3 + ax 2 + bx + c = ( x − x1 ) ( x 2 + px + q) , con p 2 − 4q < 0 ,
3
oppure x 3 + ax 2 + bx + c = ( x − x1 ) (tre soluzioni coincidenti)
Dallo schema sopra emerge un fatto notevole: a differenza delle equazioni
di secondo grado, quelle di terzo ammettono sempre almeno una soluzione.
Tra le varie dimostrazioni che si possono dare, segnaliamo questa
giustificazione di tipo geometrico, che poggia sulla conoscenza dei metodi
analitici con cui si trattano la parabola e l’iperbole.
Studiamo l’intersezione tra una parabola di equazione y = x 2 + ax + b ed
un’iperbole di equazione xy + c = 0 . Risulta, sostituendo l’ordinata della
parabola nell’equazione dell’iperbole: x 3 + ax 2 + bx + c = 0 . La risoluzione di
un’equazione di terzo grado è quindi connessa ad un problema
geometrico, quello dell’intersezione di una parabola con un’iperbole.
17
Esempio. Vogliamo studiare l’intersezione della parabola di equazione
y = x 2 + x +1 con l’iperbole xy =1 .
Dal grafico (realizzato con il software dinamico geogebra) possiamo dare
una risposta qualitativa al problema: esiste una sola intersezione, con ascissa
compresa tra 0 e 1. Il problema algebrico equivalente sarebbe stato quello
in cui si chiede di risolvere l’equazione di terzo grado x 3 + x 2 + x −1= 0 .
Volendo seguire la via geometrica, si pone la questione di “smontare”
l’equazione di terzo grado in modo da tirar fuori la parabola e l’iperbole.
Per questo è sufficiente seguire a ritroso la strada
"$
y = x 2 + ax + b
. Nel nostro caso a =1 , b =1e c =1 .
x + ax + bx + c = 0 ⇒ #
xy
+
c
=
0
%$
3
2
Esempio. Stavolta consideriamo l’equazione di terzo grado x 3 − x 2 − x +1= 0 .
In questo caso, è possibile scrivere l’equazione in forma tale da rendere
immediate le sue soluzioni:
) (
(
) (
2
) ( ) ( ) (x +1) . Le soluzioni
0 = x 3 − x 2 − x +1= x 2 x −1 − x −1 = x 2 −1 x −1 = x −1
distinte sono x =1 e x = −1. Vale la pena spendere due parole sulla soluzione
2
x =1. E’ radice doppia del polinomio ( x −1) , ed ascissa del vertice della
2
parabola y = ( x −1) : poiché l’ordinata del vertice è 0, l’asse delle ascisse è
tangente alla parabola nel vertice.
S’intuisce un’altra chiave interpretativa in senso geometrico: in
corrispondenza della radice doppia, la parabola y = x 2 − x −1 e l’iperbole
18
xy = −1 sono tangenti nel punto 1,−1 , nel senso che in quel punto
( )
condividono la stessa retta tangente di equazione y = x − 2 .
Esempio. Risolviamo infine l’equazione x 3 + 2x 2 − x − 2 = 0 .
Anche in questo caso è immediato porre l’equazione nella forma di
prodotto di binomi: 0 = x 3 + 2x 2 − x − 2 = ( x −1) ( x +1) ( x + 2) . Le tre soluzioni
distinte corrispondono al caso in cui la parabola e l’iperbole s’intersecano
in tre punti distinti.
19
Un’applicazione all’idrostatica delle equazioni di terzo grado
Concludiamo questa panoramica iniziale sulle equazioni di terzo grado
con la seguente applicazione ad un problema di idrostatica, suggerita
dall’ingegnere belga A. Demanet nel 1898.
Si hanno un cilindro di superficie di base S, e un cono di raggio di base r ed
altezza a. I due recipienti sono collegati attraverso un tubicino sottile, di
volume trascurabile rispetto a quello dei due recipienti. Si versa del liquido
di volume V in uno dei due recipienti e, per il principio dei vasi comunicanti, il
livello raggiunge una quota h.
Vogliamo calcolare il valore della quota h raggiunta dal liquido nei due
recipienti.
π 2
π r2 3
!
x
r
+
Sx
=V
⇒
x + Sx =V . Si
Il volume totale V è dato dalla relazione
3
3 a2
tratta di un’equazione di terzo grado che può essere scritta nella forma,
ormai familiare, seguente:
3a 2S
x + 2 x −V = 0 ,
πr
3
e risolta con i metodi introdotti.
Esercizio. Risolvere l’equazione sopra nel caso particolare in cui
S =1cm2 . Interpretare fisicamente le soluzioni trovate.
Problema
E’ dato il polinomio di terzo grado p(x) = x 3 − 4x 2 + x + 6 .
r
3
,e
=
a
π
20
a) Si discuta la riducibilità e si risolva l’equazione associata
x 3 − 4x 2 + x + 6 = 0 .
b) Si determinino le equazioni della parabola e dell’iperbole, di cui
l’equazione x 3 − 4x 2 + x + 6 = 0 ne caratterizza le intersezioni, e si tracci
un grafico delle curve ottenute.
c) Si scriva il polinomio p(x) = x 3 − 4x 2 + x + 6 nella forma p! ( x ) = x 3 + px + q .
d) Si dica se l’equazione associata al polinomio ottenuto al punto
precedente si presta all’interpretazione idrostatica.
Soluzione
a) E’ immediato verificare che x = 2 è una radice del polinomio che,
per il teorema di Ruffini, può essere scritto nella forma
p(x) = x 3 − 4x 2 + x + 6 = (ax 2 + bx + c ) ( x − 2) . Il polinomio di secondo
grado si può determinare applicando il principio d’identità dei
polinomi:
(
)(
x 3 − 4x 2 + x + 6 = ax 2 + bx + c x − 2 = ax 3 + b − 2a x 2 + c − 2b x − 2c
)
(
)
(
)
#
# a =1
a =1
%
%
. Il
% b − 2a = −4
%
⇒$
⇒ $ b = −2 ⇒ x 3 − 4x 2 + x + 6 = x 2 − 2x − 3 x − 2
% c − 2b =1
% c = −3
%& −2c = 6
%& c = −3
(
)(
)
polinomio di secondo grado è a sua volta riducibile nel prodotto
x 2 − 2x − 3 = ( x +1) ( x − 3) .Di conseguenza,
x 3 − 4x 2 + x + 6 = x +1 x − 3 x − 2 , e le soluzioni dell’equazione
(
)(
)(
)
x 3 − 4x 2 + x + 6 = 0 sono x1 = −1, x2 = 2, x3 = 3 .
b) Un metodo rapido ed efficace per determinare le equazioni della parabola
e dell’iperbole può essere il seguente: dopo aver posto la condizione
algebrica x ≠ 0 , si sposta il termine noto (+6) a destra del simbolo di
uguaglianza, e si dividono ambo i membri per x. Otteniamo così le
equazioni cercate:
#
parabola :
6 %
3
2
2
x − 4x + x = −6 ⇒ x − 4x +1= − ⇒ $
x % iperbole :
&
y = x 2 − 4x +1
y=−
6
x
.
21
"
a2
$
b − := p
$
c) Si sfruttano le relazioni # 3 3
da cui segue
$ 2a ba
$% 27 − 3 + c := q
16
13
=−
13 70
3
3
⇒ p# x = x 3 − x + .
3
27
−128 −4
70
q=
− +6 =
27
3
27
p =1−
()
d) Affinché l’equazione si presti ad un’interpretazione idrostatica, occorre
3a 2S
che p = 2 > 0 e q = −V < 0 . Poiché queste condizioni non sono
πr
soddisfatte, l’equazione non si presta ad un’interpretazione idrostatica.
COMPITO DI MATEMATICA
Classe III sezione E
10/10/2014
PROBLEMA
E’ dato il polinomio di terzo grado p ( x ) = x 3 − 6x 2 + 9x − 4 :
a) Se ne discuta la riducibilità;
2
• p (1) = 0 ⇒ x 3 − 6x 2 + 9x − 4 = ( x 2 − 5x + 4) ( x −1) = ( x −1) ( x − 4) .
b) Si risolva l’equazione di terzo grado associata;
2
• x 3 − 6x 2 + 9x − 4 = 0 ⇒ ( x −1) ( x − 4) = 0 ⇒ x1 ≡ x2 =1, x3 = 4
c) Si interpreti l’equazione x 3 − 6x 2 + 9x − 4 = 0 come risolvente il
problema dell’intersezione di una parabola e di un ramo d’iperbole, e
22
si tracci il grafico di queste due curve, evidenziando le coordinate dei
punti d’intersezione;
$
2
&& y = x − 6x + 9 = x − 3
• x 3 − 6x 2 + 9x − 4 = 0 ⇒ x ≠ 0 ⇒ x 3 − 6x 2 + 9x − 4 = 0 ⇒ %
4
&
y=
&'
x
(
(
)
d) Si trasformi il polinomio dato in uno della forma q ( x ) = x 3 + px + q .
#
a&
3'
• Con la sostituzione (traslazione) x = % x! − ( = ( x! + 2) otteniamo
$
3
2
p!( x!) = x! + 2 − 6 x! + 2 + 9 x! + 2 − 4 = x!3 − 3x! − 2 ⇒ p = −3, q = −2 .
(
)
(
)
(
)
L’equazione associata a questo polinomio, si presta per un’opportuna
interpretazione “idrostatica”?
• No, poiché risulta p = −3 , ed un recipiente cilindrico non può
avere una sezione “negativa”.
QUESITI
1. Si dimostri che, nel caso in cui p > 0,q < 0 , l’equazione x 3 + px + q = 0
ammette un’unica soluzione ( x = h...) .
)
2
23
• Se x = h è soluzione di x 3 + px + q = 0 , allora
Il polinomio di secondo grado non è riducibile, quindi l’equazione
ammette l’unica soluzione x = h . Oppure, nelle condizioni date
p > 0,q < 0 l’equazione può essere interpretata idrostaticamente, quindi
l’unicità della soluzione è giustificata dal significato fisico
dell’equazione.
2. Un dispositivo utilizzato per l’interpretazione idrostatica di
un’equazione di terzo grado è costituito da un imbuto avente il
raggio di base uguale all’altezza, collegato tramite un tubicino molto
sottile ad un cilindro di sezione S = 2cm2 . Nell’imbuto vengono versati
V =12cm3 di acqua. Quale sarà il livello raggiunto nei due recipienti
π
≈1)
3
x 3 + Sx −V = 0 ⇒ x 3 + 2cm2 x −12cm3 = 0 ⇒ x = 2cm . Notiamo inoltre che
all’equilibrio? (Si assuma
•
x3
( )
+ 2x −12 = ( x + 2x + 6) ( x − 2) , ed il polinomio ( x
2
2
+ 2x + 6 non è
)
ulteriormente riducibile; la soluzione trovata è quindi unica (come deve
essere, vista la provenienza fisica del problema!)
3. Si dica per quale valore di α il polinomio
p ( x ) = x 3 − (2 + α ) x 2 + (2α +1) x − α ammette tre radici reali coincidenti.
•
Il polinomio ammette tre radici reali coincidenti se è lo sviluppo di
un cubo di un trinomio. In tal caso deve risultare, ad esempio,
24
− 2 + α = ±3 ⇒ −2 − α = +3 ⇒ α = −5 . Se α = −5 allora
−2 − α = −3 ⇒ α =1
(
)
p x = x 3 − 2 + α x 2 + 2α +1 x − α = x 3 + 3x 2 − 9x + 5 che NON è lo sviluppo di
()
(
)
(
)
un cubo di un binomio, mentre se α =1 ,
3
p x = x 3 − 2 + α x 2 + 2α +1 x − α = x 3 − 3x 2 + 3x + −1= x −1 si ha la soluzione
()
(
)
(
)
(
)
del problema. Il ragionamento poteva essere condotto anche in
riferimento al coefficiente (2α +1) = ±3 ⇒ 2α +1= +3 ⇒ α =1 , e
2α +1= −3 ⇒ α = −2
saremmo giunti alle stesse conclusioni.