17 moto circolare uniforme

Prof. A. Di Muro
Moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme M.C.U. è un particolare moto nel piano, circolare significa che avviene lungo
una circonferenza ed uniforme sta a significare che la velocità del punto in moto ha modulo costante.
Il vettore velocità, come visto, è tangente alla traiettoria,
ma non è costante perché cambia continuamente direzione,
quindi:
y
v
r
O
P
v  costante, ma v = costante.

Definiamo in questo moto alcune grandezze fisiche
importanti, innanzitutto osserviamo che il moto è
periodico, si ripete dopo un giro.
x
Il periodo T è il tempo impiegato dal corpo per fare un
giro e si misura in secondi.
Quindi 1 Hz = 1 s – 1.
La frequenza  è il numero di giri fatti al secondo ed è
definita come
1
  , la sua unità di misura è l’Hertz, simbolo Hz.
T
Cerchiamo di capire perché la frequenza è il numero di giri al secondo, se p. es. T = 0.2 s il corpo impiega
0.2 s per fare un giro e quindi in un secondo farà 5 giri, infatti  = 1 : 0.2 = 5 Hz.
La velocità angolare media  è definita come la variazione dell’angolo , espresso in radianti, nel

tempo:  
con unità di misura rad / s.
t
d
La velocità angolare istantanea o pulsazione sarà  
dt
dx
Esistono diversi tipi di velocità, la velocità spaziale v 
o semplicemente velocità, la velocità
dt
dS
d
angolare, la velocità areolare u 
dove S è un’area, ecc. in generale una variazione nel tempo
di
dt
dt
una grandezza fisica è la velocità di quella grandezza fisica.
La velocità angolare nel M.C.U. è costante, infatti essendo costante il modulo di v, il punto P percorrerà
archi uguali in tempi uguali, visto che ad un arco corrisponde un ben preciso angolo al centro, il punto P
descriverà anche angoli uguali in tempio uguali.
Determiniamo quindi il modulo della velocità angolare, basta prendere un angolo qualsiasi ed il

corrispondente tempo:
prendiamo p. es. un quarto di giro che corrisponde a
rad ed il tempo che
2

2
T
sarà
s, allora   2 
rad / s.
T
T
4
4
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Determiniamo ora la velocità, immaginiamo di tagliare la circonferenza e disporla su una retta
il punto P percorrerà la lunghezza della circonferenza di moto rettilineo uniforme nel tempo T per cui
2 r
v
T
P

A
2r
B
ricordando la velocità angolare si può anche scrivere v   r .
Definiamo ora il vettore velocità angolare, dall’ultima relazione, visto che v ed r sono moduli di vettori
possiamo aspettarci
v =  ? r,
a secondo membro abbiamo il prodotto di due vettori con risultato il vettore velocità, l’unico modo per
scrivere correttamente questa relazione è quello che fa intervenire il prodotto vettoriale, si può avere
quindi v =   r oppure v = r   , inoltre visto che non compare il seno dell’angolo deve essere

sen  = 1, cioè   , ciò significa che  ed r sono perpendicolari tra loro ed entrambi sono
2
perpendicolari alla velocità.
La velocità ed il raggio appartengono allo stesso piano, quello della circonferenza, quindi la velocità
angolare è un vettore perpendicolare al piano della circonferenza.
Dalla regola della mano sinistra si evince
che deve essere v =   r.
Vediamo ora se esiste un’accelerazione,
è vero che la velocità ha modulo
costante, ma è anche vero che il vettore
velocità cambia costantemente la
direzione, quindi una eventuale
accelerazione tiene proprio conto del
cambiamento di direzione del vettore velocità.
a

O
r

v
P
dv d
d
dr
   r  
 r  
  v
dt dt
dt
dt
Dove abbiamo applicato la derivata del prodotto osservando che  è costante.
Dalla regola della mano sinistra si
capisce che l’accelerazione è diretta
verso il centro della circonferenza ed è
detta accelerazione centripeta o anche
accelerazione normale a N il suo
modulo vale:
a   v che può essere scritto anche nei
seguenti due modi
v2
a  2 r oppure a 
r

O
a

P
v
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Esercizio:
un corpo si muove di M.C.U. su una circonferenza di raggio 2.0 m percorrendo 5 giri in 20 s, determinare
la frequenza, il periodo, la velocità, la velocità angolare, l’accelerazione centripeta.

5 giri
 0.25Hz ,
20 s
T
1
 4.0 s ,

v
2 r 4.0  m
m

 3.1 ,
T
4.0 s
s

2 6.28 rad
rad

 1.6
T
4.0 s
s
a  2 r  1.572  2.0  4.9
m
s2