Prof. A. Di Muro
Moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme M.C.U. è un particolare moto nel piano, circolare significa che avviene lungo
una circonferenza ed uniforme sta a significare che la velocità del punto in moto ha modulo costante.
Il vettore velocità, come visto, è tangente alla traiettoria,
ma non è costante perché cambia continuamente direzione,
quindi:
y
v
r
O
P
v costante, ma v = costante.
Definiamo in questo moto alcune grandezze fisiche
importanti, innanzitutto osserviamo che il moto è
periodico, si ripete dopo un giro.
x
Il periodo T è il tempo impiegato dal corpo per fare un
giro e si misura in secondi.
Quindi 1 Hz = 1 s – 1.
La frequenza è il numero di giri fatti al secondo ed è
definita come
1
, la sua unità di misura è l’Hertz, simbolo Hz.
T
Cerchiamo di capire perché la frequenza è il numero di giri al secondo, se p. es. T = 0.2 s il corpo impiega
0.2 s per fare un giro e quindi in un secondo farà 5 giri, infatti = 1 : 0.2 = 5 Hz.
La velocità angolare media è definita come la variazione dell’angolo , espresso in radianti, nel
tempo:
con unità di misura rad / s.
t
d
La velocità angolare istantanea o pulsazione sarà
dt
dx
Esistono diversi tipi di velocità, la velocità spaziale v
o semplicemente velocità, la velocità
dt
dS
d
angolare, la velocità areolare u
dove S è un’area, ecc. in generale una variazione nel tempo
di
dt
dt
una grandezza fisica è la velocità di quella grandezza fisica.
La velocità angolare nel M.C.U. è costante, infatti essendo costante il modulo di v, il punto P percorrerà
archi uguali in tempi uguali, visto che ad un arco corrisponde un ben preciso angolo al centro, il punto P
descriverà anche angoli uguali in tempio uguali.
Determiniamo quindi il modulo della velocità angolare, basta prendere un angolo qualsiasi ed il
corrispondente tempo:
prendiamo p. es. un quarto di giro che corrisponde a
rad ed il tempo che
2
2
T
sarà
s, allora 2
rad / s.
T
T
4
4
Prof. A. Di Muro
Determiniamo ora la velocità, immaginiamo di tagliare la circonferenza e disporla su una retta
il punto P percorrerà la lunghezza della circonferenza di moto rettilineo uniforme nel tempo T per cui
2 r
v
T
P
A
2r
B
ricordando la velocità angolare si può anche scrivere v r .
Definiamo ora il vettore velocità angolare, dall’ultima relazione, visto che v ed r sono moduli di vettori
possiamo aspettarci
v = ? r,
a secondo membro abbiamo il prodotto di due vettori con risultato il vettore velocità, l’unico modo per
scrivere correttamente questa relazione è quello che fa intervenire il prodotto vettoriale, si può avere
quindi v = r oppure v = r , inoltre visto che non compare il seno dell’angolo deve essere
sen = 1, cioè , ciò significa che ed r sono perpendicolari tra loro ed entrambi sono
2
perpendicolari alla velocità.
La velocità ed il raggio appartengono allo stesso piano, quello della circonferenza, quindi la velocità
angolare è un vettore perpendicolare al piano della circonferenza.
Dalla regola della mano sinistra si evince
che deve essere v = r.
Vediamo ora se esiste un’accelerazione,
è vero che la velocità ha modulo
costante, ma è anche vero che il vettore
velocità cambia costantemente la
direzione, quindi una eventuale
accelerazione tiene proprio conto del
cambiamento di direzione del vettore velocità.
a
O
r
v
P
dv d
d
dr
r
r
v
dt dt
dt
dt
Dove abbiamo applicato la derivata del prodotto osservando che è costante.
Dalla regola della mano sinistra si
capisce che l’accelerazione è diretta
verso il centro della circonferenza ed è
detta accelerazione centripeta o anche
accelerazione normale a N il suo
modulo vale:
a v che può essere scritto anche nei
seguenti due modi
v2
a 2 r oppure a
r
O
a
P
v
Prof. A. Di Muro
Esercizio:
un corpo si muove di M.C.U. su una circonferenza di raggio 2.0 m percorrendo 5 giri in 20 s, determinare
la frequenza, il periodo, la velocità, la velocità angolare, l’accelerazione centripeta.
5 giri
0.25Hz ,
20 s
T
1
4.0 s ,
v
2 r 4.0 m
m
3.1 ,
T
4.0 s
s
2 6.28 rad
rad
1.6
T
4.0 s
s
a 2 r 1.572 2.0 4.9
m
s2
