Moto Circolare uniforme

Moto Circolare uniforme
Il moto circolare uniforme, è un moto che avviene su traiettoria circolare e con velocità in modulo
costante.
G G JG
Δv = v 2 − v1 e se facciamo coincidere le due code dei vettori, il vettore differenza corrisponde in
direzione al segmento DE e avente verso, verso il centro.
AB CB
Δs R
Sia data una circonferenza di Raggio R Allora per similitudine
da cui
=
=
DE DB
Δv v
Δs
R
v2
Δs R
v R
abbiamo che
da cui a =
= dividendo per delta t Δt =
=
Δv v
R
Δv v
a v
Δt
JG
G
G
Per alfa che tende a zero v 2 tende a coincidere con v1 e Δv tende come direzione ad essere
perpendicolare al vettore velocità. Infatti se alfa tende a zero, alfa mezzi tende a zero e quindi 90 –
alfa mezzi tende a 90. Allora il vettore accelerazione ha direzione del raggio, e il suo verso è verso
il centro della circonferenza.
Velocità angolare: Si definisce velocità angolare (media) il rapporto tra la variazione di angolo
Δα
.
(misurato in radianti) percorso in un tempo delta t: ω =
Δt
(Per passare da un angolo misurato in gradi α e un angolo misurato in radianti x uso la seguente
α° x
α°
x
proporzione
da cui x =
=
π e α ° = 180 )
180 π
180
π
Si definisce periodo, T, il tempo impiegato dal punto materiale per percorrere l’intera
circonferenza.
Si definisce frequenza, f, il numero di giri percorsi nell’unità di tempo. Ora dato che il numero di
1
t
giri percorsi in un tempo t mi è dato da Numumero _ giri = , se t=1 ho che f =
T
T
Se indico con Δs un arco di circonferenza, di raggio R, e con θ l’angolo corrispondente ho che
Δs θ
Δs = θ ⋅ R . Allora se divido tutto per delta t ho che
= ⋅ R da cui v = ω ⋅ R
Δt Δ t
2π
Se la velocità angolare è costante allora ω =
T
2
v =ω⋅R
2π
1
v
f =
ω=
a = = ω2R
T
T
R
Moto Armonico. Se consideriamo un sistema di assi cartesiani con al centro la circonferenza e se
proiettiamo il punto materiale mentre percorre la circonferenza sull’asse x. Otteniamo un moto detto
Armonico.
Considerando le le similitudini tra il triangolo OQP e i triangoli
individuati dall’accelerazione e velocità abbiamo che:
vx
a
ω2R
v
ax
a
OP = ω 2 s .
=
dove
da cui ax = OP =
da cui
=
R
R
QP R
OP R
v
ωR
vx = OQ =
OQ = ±ω R 2 − s 2 , dove s è lo spazio OP.
R
R
considerando che il moto è centrale e che il verso è sempre contrario al
segno dell’ascissa abbiamo che ax = −ω 2 s
Ricordiamo che la forza elastica è quella forza tale che in modulo abbiamo che F = −kx e che
F
k
a = = − x confrontando i due risultati otteniamo che la forza elastica genera un moto armonico
m
m
k
di pulsazione ω =
. Considerando il periodo i un moto armonico come il tempo per compiere
m
un’oscillazione completa abbiamo che T =
2π
ω
= 2π
oscillazione nell’unità di tempo vale sempre f =
m
. E la frequenza come numero di
k
1
.
T
Dato che il moto armonico è la proiezione di un moto circolare uniforme abbiamo La legge oraria
e le leggi della velocità e dell’accelerazione diventano :
sostituendo a OP = x = R cos α e a OQ = y = R sin α
x = R cos α = R cos ωt
v = − Rω sin α = − Rω sin ωt
a = − Rω 2 cos ωt