ALGEBRA I: SETTIMO FOGLIO DI ESERCIZI (1) Trovare un

ALGEBRA I: SETTIMO FOGLIO DI ESERCIZI
(1) Trovare un polinomio non nullo di Z/(5)[x] che induca una funzione polinomiale nulla. Che
grado può avere un tale polinomio?
(2) Calcolare in Q[x] il massimo comun divisore d(x) dei polinomi f (x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 3x2 + x + 2
e g(x) = x4 + 3x2 + 4; determinare h(x) e k(x) in modo che risulti h(x)f (x) + k(x)g(x) = d(x).
(3) Si calcoli il massimo comun divisore e la fattorizzazione in irriducibili in Q[x] dei polinomi
x5 − x4 + 3x3 − 3x2 + 2x − 2,
x6 − x5 + 3x4 − 2x3 + x2 − 2.
(4) Siano f (x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1, g(x) = x2 − 1. Si calcoli il massimo comun divisore
in Q[x] di f (x) e g(x) e si determinino, se è possibile, due polinomi h(x), k(x) ∈ Q[x] tali che
h(x)f (x) + k(x)g(x) = x5 + 1.
(5) Quali dei seguenti polinomi sono irriducibili? (Ricordate che l’irriducibilità può dipendere dall’anello al quale appartiene il polinomio)
• 3x7 − 5x4 + 12x − 1 ∈ R[x]
• x2 − 3x + 3 ∈ R[x]
• 6x7 − 5x2 + 4x − 3 ∈ C[x]
• 7x2 + 21 ∈ Z[x], Q[x]
• 3x3 − x2 + 6x − 2 ∈ Q[x]
• 2x4 − 3x2 + 9x − 6 ∈ Q[x]
• x6 + x3 + 1 ∈ Q[x]
(6) Quanti sono i polinomi irriducibili a coefficienti in Z/(p)?
[Pensate alla dimostrazione dell’esistenza di infiniti numeri primi]
(7) Dare la fattorizzazione in primi dei polinomi
5
4
1
x4 − 3,
2x3 − x2 − x + ,
3
3
6
negli anelli Q[x], R[x], C[x].
(8) Calcolare, utilizzando l’algoritmo euclideo, il massimo comun divisore dei polinomi di Z/(7)[x]
x4 − x3 + 3x2 − 2x + 2,
2x3 − 5x2 − x + 6,
e determinare esplicitamente la relativa identità di Bézout.
• Mostrare che il polinomio x5 − 5x4 − 6x − 1 è irriducibile in Z[x], osservando che la sua
riduzione modulo un opportuno primo p è irriducibile in Z/(p)[x].
• Mostrare che il polinomio x4 − 10x2 + 1 è irriducibile in Z[x], nonostante la sua riduzione
modulo p possieda fattorizzazioni non banali in Z/(p)[x] per ogni p primo.
(10) Calcolare il massimo comun divisore dei polinomi in Z/(5)[x]
(9)
x5 + 3x3 + x2 + 2x + 2,
x4 + 3x3 + 3x2 + x + 2,
e fattorizzarli in prodotto di irriducibili.
(11) Trovare un elemento di Z/(6)[x] che abbia in Z/(6) più radici del suo grado.
(12) Sia f (x) = x4 − 3x3 − x + 3.
• Decomporre f (x) in fattori irriducibili negli anelli Z[x], Q[x], R[x], C[x].
• Stabilire se in R[x]/(f (x)) l’elemento [x4 − 2x3 − x + 2] sia o meno un divisore dello zero.
(13) Sia A l’anello Z/(5)[x]/(x2 + x + 3).
• Quanti elementi possiede A?
• Trovare rappresentanti canonici (cioè di grado minore di 2) dei seguenti elementi di A: [x3 +
4x + 3], [x3 + 2x2 + 2x + 4], [x2 + 2x + 4], [(x2 + x + 3)2 ].
• Calcolare, quando esistono, gli inversi degli elementi precedenti.
(14)
• Stabilire per quali valori di a ∈ Z/(7), il quoziente Z/(7)[x]/(x2 − a) sia un campo.
• Dire per quali valori di a ∈ Z/(7) l’elemento [x5 + x4 ] sia invertibile in Z/(7)[x]/(x2 − a) e
trovare esplicitamente l’inverso almeno in un caso.
(15)
• Fattorizzare il polinomio f (x) = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 2 nel prodotto di irriducibili di Q[x].
• Determinare un polinomio irriducibile g(t) ∈ Q[t] tale che f (x) possieda quattro radici nel
campo Q[t]/(g(t)).
[Gli esercizi sono presi dai fogli distribuiti dalla Prof. Barucci]
D IPARTIMENTO DI M ATEMATICA , U NIVERSITÀ
DEGLI STUDI DI
R OMA – “L A S APIENZA”