Riassunto Statistica Aloni di Materia Oscura e Merging Trees
Campo di perturbazioni lineare: Gaussiano con varianza
S(M)= 2(M) M-a inversamente dipendente da scala di massa
e crescente col tempo su ogni scala di massa come D(t)
Collasso
crescita lineare delle perturbazione ad una livello
> c con c=1.68 corrispondente al valore che avrebbe una perturbazione
in regime lineare al tempo in cui l evoluzione non lineare completa
conduce ad un alone virializzato
Crescita perturbazioni soglia costante
campo di densita fissato e soglia che
cala nel tempo. Soglia decrescente con il tempo c(t) D(t)-1 corrisponde al collasso
di regioni via via piu estese del campo di densita primordiale
Il numero di Aloni di massa M che collassano al tempo si ricava dalla probabilita
P( > c(t)|S(M)).
Stessa probabilita che un Random Walk Browninano (M) raggiunga una barriera c(t).
Mapping
Divido S in step dS.
- Massa M
S(M)
Ad ogni step dS estraggo con una probabilita simmetrica
- tempo t
(t)
c
e tale che < 2>= dS.
Calcolo probabililta che il random walk attraversi la barriera c(t)
allo step S(M): N(M)
P( c(t),S(M))
siano M1<M2 e t1<t2
M2 t2
M1 t1
Probabilita che
DATA M2 a tempo t2, essa abbia avuto a t1 un progenitore di massa M1-M1+dM
probabilita che
DATO un random walk che attraversa la barriera (t1) a scala S(M)
esso attraversi la barriera tra S(M1) e S(M1)+dM
p(S1, 1|S2, 2)dS1
N(M1,t1|M2,t2) funzione di massa dei progenitori
Probabilita che
DATA M1 a tempo t1, essa sara inclusa a t2 in una massa M2-M2+dM
p(S2, 2|S1, 1)dS2
Nel limite 1
t2) fornisce il merging rate
2 (tempo t1
p(S1, 1) dS1 p(S2 , 2 | S1, 1) dS2 p(S2 , 2 ) dS2 p(S1, 1 | S2 , 2 ) dS1
Risultati
1) Funzione di massa N(M)
M -1.8 exp(M-0.2)
rispetto a funzione di luminosita delle galassie
piu ripida a masse piccole
piu estesa a masse grandi
Formazione di stelle deve essere inefficiente
in aloni massivi M>1013 M
e in aloni poco massivi M<1012 M
2) N(M,t) si estende nel tempo a masse via via piu grandi;
evoluzione nella abbondanza di aloni massivi
forte =1
lenta <1
Confronto con osservazioni favorisce =0.5-1
3) Merging rate aloni: favorite le inclusioni di piccoli progenitori in un
main progenitor, specialmente per le storie di merging che conducono
ad aloni massivi
4) Una parte degli aloni poco massivi M<1012 M permane per tempi >>
del tempo dinamico
Diversi tipi di merging
1) Inclusione di aloni collassati su scala M1 in un alone piu grande di massa MH
probabilita di inclusione p(SH , c (t) | S1, c (t dt))dS2
Questi aloni inclusi permangono como sottostrutture
possono fondersi tra loro in seguito a 2 processi
a) dynamical friction
perdita di energia orbitale e fusione
con oggetto centrale; galassia ellittica gigante
2
tempo scala
df
f( )
2 B (1) ln
d
rci
RH
MH
M
Il tempo scala si allunga all aumentare del rapporto MH/M1
a redshift alti aloni MH ancora piccoli
rapida fusione delle sottostrutture
in galassia centrale
a redshift bassi
MH/M1 crescente, accumulazione di sotto-aloni (galassie
in alone piu grande)
3 N
4 dyn
r
R
1
b) aggregazioni tra sotto-aloni (tra galassie); tempo scala agg
a redshift alti (z>2) ho tempi scala brevi perche
- maggiori probabilita di incontro (alta densita di galassie)
- velocita relative minori
2
vescape
Vrel
Processi barionici in aloni di materia oscura:
cooling, formazione stellare, feedback
Equilibrio di sistemi sferici
non collisionali
dati M, z , si ottengono
1/ 3
3M
rvir
4
DM
kT v ( M )
1.63 10
1 z
mp
2
M
h 1M
GM
rvir
180
DM
mp
1/ 3
1/ 3
0
(z)
mp
2
2
kpc
h
Raggio del Viriale
v c2 ( rvir )
d
dr
Dati e Tv, I profili di densita della DM e del gas
contenuto seguono da Teorema di Jeans
(equilibrio di sistemi non collisionali)
9
r0
2
4 G
9kTvir /
4 G
0
(0)
DM (r )
1 (r / r0 )2
(r )
dp
dr
mp
0
M
DM
3/ 2
GM
r2
GM
r2
2 3 /2
( r ) r 2 dr
0
gas (0)
1 (r / r0 )
2
rvir
DM
gas
Temperatura del Viriale
rvir
bar
M
gas
0
( r ) r 2 dr
mp
kT
2
Gas caldo a T temp. viriale in ammassi di galassie
kT v
LX
vc
10 K
10 3 km/s
8
2
ngas
T 1/ 2 R 3
1 (r / rc )
gas
2 3/ 2
gas 0
2
c
1 (r / r )
3 /2
Ottimo accordo con profili
di brillanza superficiale del
gas osservato in raggi X
2
Radiative Cooling: I Collisional Excitation
v
T ~ 105 - 108 K
u
l
v
hv=Elu
Condizione: En. degli Elettroni
Collision rate
E
KT >
Elu
# ellettr. con vel. v
2
1
coll
nl ne
lu
v
1
coll
Numero di elettroni
al livello basso (l)
Dove:
wi=peso statistico livello i-esimo
3/ 2
mv 2
4
m
f (v )
v 2 e 2 kT
2kT
E (v)
1
dv f (v) ne ni 2 2
m v wl
Elu
2~
lu
1/v 2 ( Coulomb focussing)
x Quantum factors
v
Coulomb Focussing
Approccio semplificato: la collisione avviene quando
conservazione energia
e mom. angolare
b
rmin
vmax
v
2
2
rmin
2
min
(v)
b
r
(v)
2Z 2
W 2 2
mv
Ze 2
1
rmin mv 2
1/ 2
2
rmin
Ze2 2
1
rmin mv2
2
m 2v 2
Coluomb focussing:
Approssimo rmin con
raggio di Bohr X correzioni
quantistiche
W
me 2
2Ze2
rmin
mv2
(l,u)
wl
1/v2
Includo tutte le correzioni
quantistiche in
(i,j) / wi
Eij
2
1
m2 wl
qlu
lu
E (v)
KT
e
8.63 10 6 1/ 2 lu cm3s 1
T
wl
1
dv f (v)
v
Elu
In equilibrio (per basse densita dove posso trascurare de-eccitazione collisionale)
il tasso di collisioni e dirattamente legato al tasso di de-eccitazione radiativa Aij
1
coll
ne nl qlu
nu Aul
nu
ne nl qlu
Aul
Log
exp(- E/T)
Energia radiata/(tempo Volume)
L nu Aul h
ne nl qlu h
ul
Se considero piu livelli ho
L
lu
ne nl
e
kT
ni
i
1/2
T
Log T
E / kT
Aij h
ij
j i
dove la popolazione dei livello eccitati i soddisfa
ne n j qij
j i
n j A ji
j i
ni Aij
j i
per ogni livello i con la condizione
nj
n
Radiative Cooling II: Emissione Free-Free
A temperature T>106 K (aloni DM con M>1013 M ) il gas e
completamente ionizzato. L emissione e bremsstrahlung da elettroni liberi
L
Energia Emessa
tempo Volume
Ld
NeNi
e
h
kT
kT
Ne Ni T
Log
T1/2
6
Log T
E per H
E per He
exp(- E/T)
Log
exp(- E/T)
T1/2
T1/2
Log T
T1/2
Log T
6
Log T
Definisco la funzione di cooling
Cooling Function
L
Ne Ni
Energia Emessa
tempo Volume
Per gas di H e He (composizione
primordiale, 76% H e 24% He)
In un gas arricchito di metalli il cooling e piu efficace (soprattutto per O e Fe)
L
ne ni
Energia Emessa
tempo Volume
La dissipazione di energia e
proporzionale a n2.
In zone interne dell alone
(dove la densita del gas e
maggiore) la dissipazione
e molto forte
Raggio di Cooling
Energia Termica
cool
3
2
gas
(r)
kT
ne2 (r ) (T )
mp
Tasso
di irradiazione
di energia
Tempo necessario per dissipare l energia
termica del gas. Da confrontarso con il tempo
di Hubble
H
a
a
9.8 109 yrs
In regioni interne con alta densita il tempo di
cooling e piu breve del tempo di sopravvivenza
dell alone
rcool = raggio che delimita la regione dove
Una frazione
mcool del gas
cool
H
bar M e in grado di raffreddarsi radiativamente
rcool
mcool ( M )
2
(
r
)
r
dr
gas
4
0
Notare che:
1) Per una fissata massa dell alone (e quindi temperatura del gas),
ci aspettiamo che il cooling sia maggiormente importante ad alto redshift
cool
H
3
2
a
a
gas
(r)
mp
kT
ne2 (r ) (T )
ne 1
(1 z ) 3
(1 z ) 3 / 2
2) Per un fissato redshift il cooling e inefficace a masse piccole (corrispondente
a temperature del gas T<104 K e a velocita circolare v<20 km/s) e a
masse grandi (T>106 K corrispondente a velocita circolari v>200 km/s,
dove la bremsstrahlung e meno efficiente dei processi atomici).
Cooling efficiente su scale di massa intermedie 104
K < T <106 K.
Recenti sviluppi (Dekel & Birnobim 2003):
Si confronti il tempo scalqa di collasso gravitazione con il tempo di cooling:
dyn
1
G gas
ne
1/ 2
cool
T
n (T )
Definisce una scala di massa M 1012 M al di sotto dela quale il cooling e cosi
efficiente da essere piu rapido del collasso; in tal caso il gas non riesce ad arrivare
alla temperatura di equilibrio del viriale; il gas si raffredda direttamente mentre collassa
lungo i filamenti.
Su scale di massa maggiori, invece, il cooling avviene attraverso i meccanismi sopra
descritti; il gas raggiunge prima un equilibrio termico con il potenziale e
successivamente si raffredda gradualmente.
350kpc
Z=2.5
Risoluzione 40pc. Mvir(z=0)=1012M .
Credits: Kravtsov
350kpc
Z=2.5
115kpc
7kpc
7kpc
Rees & Ostriker 1977
Cores of galaxy Clusters
Clusters
Galaxies
LX
2
ngas
T 1/ 2 R 3
Clusters
Galaxies
La densita centrale negli ammassi puo permettere il formarsi di cooling flow
L inefficacia dei processi di cooling in aloni massivi e all origine della inefficienza
della formazione stellare in questi aloni
L effetto della dissipazione: la formazione dei dischi
DM
-Gli aloni di DM possiedono un momento
angolare J dovuto all effetto delle perturbazioni
vicine.
gas
Jgas = Mom. Angol. Gas
J = Mom. Angol. DM
-Finche il gas rimane alla temperatura del viriale
esso e in equilibrio idrostatico nel potenziale
dell alone; Il gas che si e raffreddato (mcold)
non rimane in equilibrio e cade verso il centro
- Assumiamo che il momento angolare specifico
del gas Jd si mantenga proporzionale a quello
della
I DM durante il collasso
-La conservazione del momento angolare implica
un aumento della rotazione del gas finche esso
raggiunge un raggio rd dove la forza centrifuga
bilancia la forza gravitazionale
Disco sostenuto dalla rotazione
Parametro di rotazione
J
MR 2
GM
2
R rot
R2
Velocita angolare in funzione del mom. angolare
Velocita angolare necessaria per disco
sostenuto interamente da rotazione
3/ 2
rot
J
R
MR 2 G1/ 2 M 1/ 2
JE
GM
1/ 2
5/ 2
esprime il rapporto tra la rotazione del sistema e
quella corrispondente ad un sistema sostenuto dalla
rotazione:
=0 sistema sostenuto da moto disordinato (pressione)
=1 sistema sostenuto da moto di rotazione ordjnato
E
GM 2
R
Energia di legame
Il parametro di spin per la materia oscura
Momento angolare della DM acquisito attraverso
il momento torcente dovuto alle perturbazioni
circostanti
Distribuzione di da simulazioni
approssimativamente log-normale
Stime analitiche e simulazioni danno che
gli aloni di DM hanno
0.05 molto basso;
sostenuti da moto disordinato
>=0.04
=0.53
Warren et al.92
Il momento angolare indotto dalle perturbazioni
puo essere stimato analiticamente in regime
debolmente non-lineare
L (t )
d 3 r ( r , t ) r (t ) Rcm (t )
L (t )
(t ) a 3 (t ) 1
L (t )
a3
x
v (t )
( x , t ) x (t )
D (t )
X cm
xd 3 x
(q )
a (t ) D (t )
(0)
qi
2
qi
q 0
qi q j
Li (t) a (t)D(t) ijkDjlIlk
qi q j q
q 0
I lk
ijk
qi q j
Tensore deformazione
q 0
3
3
0 a 0 ql q k d q
x
x
Momento di inerzia
Tensore antisimmetrico
x
v /a
r /a x v /a
q S ( q, t )
d 3x
d 3q
Sviluppo potenziale attorno a
centro di massa q
.
Cresce col tempo come a2(t)D(t)
2
D jl
q q
r /a
Approccio di Zeldovich
1
2
2
(q)
Passo a coord. comoventi
3
3
a
(
q
q
)
(
S
(
q
,
t
)
S
)
S
(
q
,
t
)
d
q
0 0
S (q, t )
L (t )
Rcm=posiz. centro di massa
t
Il momento angolare cresce
per accopiamento tra campo
mareale esterno e momento
di quadrupolo.
Raggio del disco per dato parametro di spin dell alone di DM:
J gas
J gas
V c ( M ) ( R ) R 2 dR
2
2 M cool rd Vc
Jgas = Momento angolare del gas
J = momento angolare della DM
(R) 0 exp( R / Rd )
Mcool 2
J gas
j gas J
esprimendo J in termini di
Assumo che il rapporto j = Jgas /
si conservi durante il collasso
JE
1/ 2
GM 5 / 2
e ricordando che (nel caso isotermo) E
rd
1
2
j gas
m cool
rvir ( M )
J
MVc2
2
m cool
M cool / M
Per
0.05 ho rd
10-2 rvir
0 Rd
2
rd
1
2
j gas
m cool
rvir ( M )
rd
rvir ( M )
rvir ( M )
Le simulazioni relative alla formazione dei dischi sono estremamente
delicate; per un lungo periodo producevano dischi troppo piccoli
jgas non costante (gas perde mom. angolare in favore della materia oscura).
Navarro & Steinmetz 2000
The Angular Moment um Cat ast r ophe of t he gas !!
L aumento della risoluzione nelle simulazioni ha in gran parte risolto il problema
(F. Governato)
Nelle simulazioni rimane comunque un problema legato alla presenza di una
distribuzione delle stelle troppo concentrata nel bulge
Schema di Formazione di diversi tipi morfologici
Il gas si raffredda e forma dischi sostenuti da rotazione
Gli aloni si fondono: i sotto-aloni si possono unirsi in una galassia centrale su tempi scala
maggiori df. In caso di major merging i dischi si distruggono
morfologia sferoidale
Il disco si puo formare se gas residuo si raffredda nuovamente: Bulge+disco
Se il merging avviene tra oggetti che hanno esuarito il gas o quando il cooling non e
piu efficiente rimane una galassie sferoidale.
