Matematica Discreta
Lezione del 20/05/09
Esponenziazione modulare.
Abbiamo visto che nell’implementazione del sistema crittografico RSA era necessario il calcolo
della riduzione di una potenza sia per cifrare che per decifrare i messaggi: la funzione f di cifratura
era definita ponendo f(x)=xcmodn, quella di decifratura ponendo g(y)=ydmodn (dove c,d sono le
chiavi di cifratura e decifratura rispettivamente).
Nei casi concreti i numeri coinvolti hanno centinaia di cifre, quindi le potenze da calcolare possono
avere grandezza astronomica.
Illustreremo dunque l’algoritmo della esponenziazione modulare che permette di calcolare in
modo efficiente la riduzione di una potenza modulo n.
Fissiamo 3 numeri naturali x,k,n, con n>1, e calcoliamo la riduzione modulo n della potenza xk:
xkmodn
(ricordiamo che per definizione è l’unico numero intero t tale che txk (mod n) e tale che 0tn-1).
Sia s il numero di cifre binarie dell’esponente k; la rappresentazione di k in base 2 è allora della
forma:
k=as-12s-1+ as-22s-2+….+a121+a020
(con ogni cifra ai=0,1)
Costruiamo una successione y0,y1,...,ys di numeri naturali ponendo:
y0=1; per ogni i>0 yi= (y i 12 x a si ) modn
Per esempio: y1= (y 0 2 x a s 1 ) modn, y2= (y12 x a s 2 ) modn, y3= (y 2 2 x a s 3 ) modn etc...
Ogni elemento della successione yi con i>0 si calcola dal precedente con due prodotti (il quadrato di
a
yi-1 e il prodotto del risultato per x s-ii , quest’ultima potenza = x oppure =1 perché l’esponente è la
cifra binaria as-i=0,1) ed una divisione (per calcolare la riduzione modulo n), ossia si eseguono in
totale non più di 3s operazioni, e dunque complessivamente l’algoritmo ha complessità polinomiale
rispetto al numero s di cifre binarie dell’esponente k.
Dimostriamo che l’algoritmo fornisce il valore della riduzione x kmodn, e precisamente che si
ottiene ys= xkmodn (quindi la riduzione cercata è semplicemente l’ultimo termine della successione
y0,y1,...,ys costruita dall’algoritmo).
Infatti si ha:
y1= (y 0 2 x a s 1 ) modn da cui y1 (y 0 2 x a s 1 ) (mod n)
0
1
y2= (y12 x a s 2 ) modn da cui y2 (y12 x a s 2 ) (mod n) e dunque y2 x (a s-1 2 a s-2 2 ) (mod n)
2
1
0
y3= (y 2 2 x a s 3 ) modn da cui y3 (y 2 2 x a s 3 ) (mod n) e dunque y3 x (a s-1 2 a s-2 2 a s-3 2 ) (mod n)
etc..
Alla fine si ottiene la congruenza:
ys x (a s-1 2 a s-2 2 . a 1 2 a 0 2 ) = xk (mod n)
Ma per costruzione ogni yi si calcola con una riduzione modulo n, quindi in particolare 0ytn-1, e
allora, per definizione di riduzione modulo n, la precedente congruenza implica che yt = xkmodn.
Notiamo che nell’algoritmo anche la grandezza dei numeri coinvolti nei calcoli è limitata, rispetto
al modulo n: ad ogni passo si moltiplicano fattori <n e si riduce il risultato modulo n.
s-1
s-2
1
0
Esempio.
Come esempio di applicazione dell’algoritmo dell’esponenziazione modulare,
sviluppiamo il calcolo della riduzione 3308416565mod83411 (coinvolta nella simulazione del sistema
RSA della lezione precedente).
Si rappresenta l’esponente d=16565 in base 2:
16565 = (100000010110101)
con 15 cifre binarie a14=1, a13=a12=a11=a10=a9=a8=0, a7=1, a6=0, a5=a4=1, a3=0, a2=1, a1=0, a0=1.
Si costruisce la successione y0, y1,….., y15:
y0 = 1
y1 = y02y1mod83411 = 33084
y2 = y12y0mod83411 = 31914
y3 = y22y0mod83411 = 55086
y4 = y32y0mod83411 = 58627
y5 = y42y0mod83411 = 8052
y6 = y52y0mod83411 = 24357
y7 = y62y0mod83411 = 44417
y8 = y72y1mod83411 = 12012
y9 = y82y0mod83411 = 70525
y10 = y92y1mod83411 = 81908
y11 = y102y1mod83411 = 47057
y12 = y112y0mod83411 = 49432
y13 = y122y1mod83411 = 34276
y14 = y132y0mod83411 = 241
y15 = y142y1mod83411 = 12597
Il valore finale é appunto y15 = 12597 = 3308416565mod83411 (ed é quello previsto nella lezione
precedente).
Tale valore é ottenuto con il calcolo di soli 15 numeri y1,….,y15 ognuno dei quali ha richiesto al più
un quadrato, un prodotto e una divisione per n=83411.
Costruzione di numeri primi
Nell’implementazione del sistema RSA vi è la necessità di trovare dei numeri primi da porre alla
base del sistema: per aumentare la resistenza del sistema agli attacchi, è anche opportuno che tali
numeri primi siano abbastanza “grandi” (centinaia di cifre).
Come costruire numeri primi con un numero n fissato di cifre (per esempio con n=100 cifre) ?
Un metodo potrebbe essere quello di scegliere a caso un numero naturale x di n cifre, e sottoporlo a
qualche test che ci garantisca che x è un numero primo (si potrebbe naturalmente filtrare in modo
opportuno la scelta scartando valori che certamente non sono primi: per esempio scartando i numeri
pari, che sono multipli di 2, e quelli che hanno cifra delle unità 5, che sono multipli di 5 etc….).
Ma la nostra scelta random di un numero naturale di n cifre con quale probabilità ci fornisce un
numero primo ?
Dobbiamo quindi studiare la distribuzione dei numeri primi nella successione dei numeri naturali:
da alcune osservazioni empiriche, si verifica che i numeri primi sono distribuiti in modo irregolare.
Vi sono numeri primi “vicini” come le coppie di numeri primi “gemelli” della forma p, p+2 (come
3,5 oppure 17,19), ma d’altra parte si possono costruire intervalli di k naturali consecutivi (con k
intero >0 arbitrariamente grande) che non contengono nessun numero primo: basta considerare i
numeri naturali consecutivi della forma (k+1)!+j dove j assume i valori 2,3,…,k+1
(k+1)!+2, (k+1)!+3, (k+1)!+4, …………., (k+1)!+(k+1)
ed osservare che nessuno di essi è primo, perché (k+1)! é multiplo di tutti i numeri 2,3,4,….,(k+1)
dunque (k+1)!+2 è multiplo di 2, (k+1)!+3 è multiplo di 3, (k+1)!+4 è multiplo di 4, ………,
(k+1)!+(k+1) è multiplo di (k+1), quindi ognuno di tali numeri ha un divisore non banale.
Se poi ordiniamo in ordine crescente i numeri primi in una successione p1, p2, ….., pn,….. (quindi
p1=2, p2=3, p3=5, etc..) non esiste una formula algebrica che permetta di calcolare il numero primo
pn di posto n.
Nell’ambito dello studio della distribuzione dei numeri primi, può essere interessante valutare il
numero di primi in un certo intervallo [0,x] della semiretta positiva dell’asse reale. A tale scopo,
per ogni numero reale x>0, indicheremo con (x) il numero dei numeri primi che sono x.
Per esempio (22,3) = 8 (perché i numeri primi 22,3 sono in tutto 8 e sono 2,3,5,7,11,13,17,19).
Non esistono formule algebriche per il calcolo esatto di (x). Per esempio, usando i computers, si è
verificato che :
(1014) = 3.204.941.750.802
(i valori massimi attualmente calcolati sono intorno a 1022).
Nel corso del tempo, i matematici hanno cercato funzioni che “approssimassero” (x). Il risultato
più famoso è il seguente, che si dimostra con metodi analitici molto complicati
Teorema di Hadamard-De La Vallé Poussin.
Considerata la funzione f(x)=x/log(x) (dove log(x) è il logaritmo neperiano), si ha:
π(x)
lim
1
x f(x)
Quindi, per x abbastanza grande, il rapporto
π(x)
è abbastanza “vicino” a 1, e in questo senso la
f(x)
funzione f(x)=x/log(x) approssima (x).
Per esempio f(1014) 3.102.103.442.166, da cui
π(1014 ) 3.204.941.750.802
1.033.
f(10 14 ) 3.102.103.442.166
Utilizzando tale approssimazione si può calcolare che il rapporto fra il numero di numeri primi di n
cifre (in base 10) ed il numero di tutti i numeri naturali di n cifre è circa 1/[nlog10], dunque,
tenendo conto che log(10)2,3, la probabilità che un numero x di n cifre, scelto casualmente fra i
numeri naturali di n cifre, sia primo è 1/[2,3n]. Per esempio la probabilità che un numero di 100
cifre, scelto casualmente fra i numeri naturali di 100 cifre, sia primo è 1/230: se scegliamo
casualmente 230 numeri di 100 cifre, statisticamente dovremmo aspettarci che uno di essi sia primo.
Ovviamente tale probabilità aumenta se il numero x scelto random viene filtrato a priori: per
esempio se si limita la scelta di x ai numeri dispari (i numeri pari>2 non sono primi) la probabilità
raddoppia, diventando 1/115.
Quindi per trovare un numero primo con un fissato numero n di cifre (in base 10), si può scegliere
casualmente un numero di n cifre, sottoporlo a un “test di primalità” e se il test non è superato
cambiare la scelta del numero, e così via: statisticamente dovrebbero bastare circa 2,3n tentativi per
trovare un numero primo.
Test di primalità
Nasce allora il problema di implementare un test di primalità efficiente che, in tempi accettabili,
immesso in input il numero x di n cifre, ci dica se esso è primo o no (se la risposta è negativa
dobbiamo scegliere un altro valore di x e sottoporlo al test, e così via).
Il test AKS introdotto nel 2002 è l’unico test di primalità di complessità polinomiale, ma si è
dimostrato troppo lento per gli usi pratici.
Esistono però dei tests di primalità di complessità polinomiale molto veloci di tipo “probabilistico”:
sono tests che, immesso in input il numero naturale x, elaborano dei calcoli e poi escono con output
“x è primo” oppure “x non è primo” ma con le seguenti condizioni
- Se l’input x è un numero primo, allora l’output è con certezza “x è primo”
- Se l’input x non è un numero primo, allora l’output può essere sia “x non è primo”
(correttamente) ma anche (non correttamente) “x è primo”; la probabilità di questo secondo
evento (cioè la probabilità di output errato) è però C (dove C<1 è una costante nota a
priori)
Quindi se sottoponiamo ad un test di primalità probabilistico un numero x, e se l’output è “x non è
primo” possiamo dedurre con certezza che il numero x non è primo; ma se l’output è “x è primo”
possiamo concludere che x è primo con una probabilità di errore che è C.
Per esempio vedremo in seguito il test probabilistico di Rabin-Miller in cui la costante C è =1/4: se
l’output è “x è primo” possiamo concludere che x è primo con una probabilità di errore che è 1/4
(quindi con il 25% di probabilità di concludere in modo errato).
Se però sottoponiamo lo stesso input x al test un numero h di volte (con h abbastanza grande) e se
tutte le volte l’output è “x è primo” allora (poiché la probabilità che si verifichino più eventi
indipendenti è il prodotto delle probabilità del verificarsi dei singoli eventi) possiamo concludere
che x è primo con una probabilità di errore che è Ch (numero molto piccolo se h è grande, essendo
C<1).
Per esempio se, sottoponendo l’input x al test probabilistico di Rabin-Miller, per 20 volte l’output è
sempre “x è primo” possiamo concludere che x è primo con una probabilità di errore che è
(1/4)20=1/(1.099.511.627.776) (quindi la probabilità di concludere in modo errato è in questo caso
minore di 1 su 1000 miliardi).
