Fondamenti della Matematica a.a. 15

FondamentidellaMatematicaa.a.15-16
Tovena
LUMSA
Numeriprimi
InumeriprimisonostatiintrodottiestudiatidagliantichiGreci;Euclidelihadescrittinegli
"Elementi",dimostrandochesonoinfiniti.
Lanozionedinumeroprimosiestendeinambitopiùgenerale,manoilastudieremosoloper
inumerinaturali.
DefinizioneUnnumeronaturaleèdettonumeroprimoseèmaggioredi1ehacomedivisori
solo1eséstesso:unnumeroprimohaquindiesattamente2divisori.
Unnumeromaggioredi1chenonèprimo,hapiùdiduedivisoriedèdettocomposto.
Rappresentiamoogninumeronaturaleattraversouninsiemediquadratini:
Ilnumero18
Unnumeroèprimoquandopossoformareconessosolounrettangolo(identificandotraloro
i rettangoli che hanno lati uguali); per questo motivo, Euclide chiamava numeri lineari i
numeriprimi.Possiamostudiareamanoinumeripiùpiccoli,concludendoche2,3e5sono
numeriprimi.
Unnumeroècompostoquandopossoformarepiùdiunrettangolo.Perognidivisore,sipuò
formareunrettangolochehaperlatoildivisore:amanopossiamocontrollareche4,6,9sono
numericomposti.E'piùefficacepensarecheunnumeroècompostosepuòesserediviso(con
restozero)daunnumeropiùpiccolodiluiediversoda1.
Ogninumeronaturalediversoda0o1èprimoocomposto.
Numeriprimiminoridi100:ilsetaccio(ocrivello)diEratostene
E' possibile trovare tutti i numeri primi? Questo è un problema che ha appassionato i matematici per
moltissimi secoli. Una soluzione operativa a questo problema è stata trovata da Eratostene.
Il metodo di Eratostene non permette di elencare tutti i numeri primi, ma di elencare tutti i numeri
primi che siano minori di un prefissato numero.
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Eratostene (Cirene,276a.C.-Alessandriad'Egitto,194a.C.)èstatounostudiosodellaGrecia
antica, esperto in molti settori differenti: matematica, astronomia, geografia e poesia.
BibliotecariodellaBibliotecadiAlessandriainEgitto,hamisuratoperprimoeconnotevole
precisione le dimensioni della Terra e disegnato delle accuratissime carte geografiche del
Mediterraneo.Aluisidevel'usanzadidatareglieventiapartiredallaprimaOlimpiade.
Il metodo proposto da Eratostene per individuare l’elenco dei numeri primi più piccoli è
utilizzato anche attualmente, e si basa sulla seguente osservazione: Se un numero è primo,
tuttiisuoimultipli(diversidalui)nonpossonoessereprimi.
Ilmetodoprocedecomesegue:partiamodallatabellaconinumerida1a100.Procedendo
analogamente, è possibile determinare l'elenco dei numeri primi minori di un qualsiasi
prefissatonumero.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Latabellavalettapartendodainaltoasinistra,seguendol'ordinecrescentedeinaturali.
L'elencodeinumeriprimisiottienecancellandodall'elencodituttiinumeriquellichenonsono
primi.
Cancelliamo 1 che non è un numero primo. Contorniamo con un cerchietto il numero 2 (ad
esempioconilgiallo)ecancelliamoconuntrattoobliquotuttiisuoimultipli.
Ora riprendiamo la tabella dall'inizio: il numero più piccolo che non è nè cerchiato nè
cancellato è il 3; questo numero deve necessariamente essere primo (perché non c’è nessun
numero più piccolo di lui che lo può dividere):losicerchiaesicancellanoisuoimultipli
Proseguiamo cerchiando il numero più piccolo che non è stato nè cerchiato nè cancellato, e
cancellandoisuoimultipli.
Allafinedellavoro,inumericerchiatisonoinumeriprimientroil100:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,
53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.
Inumeriprimisonoinfiniti
QuestorisultatoèstatodimostratodaEuclide[IXlibrodegliElementi,proposizione20]
Premettiamo una proposizione che riflette in modo più preciso sulla nozione di numero
compostoesulruolodeinumeriprimi.
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Proposizione:ogninumeronaturalediversoda1èdivisibileperunnumeroprimo.
dimostrazione: Il numero 0 è divisibile per ogni numero naturale, e quindi anche per un
numeroprimo.Siaoranunnumerodiversoda0eda1.Senèunprimo,èdivisibileperse
stesso.Se,invece,nècomposto,puòesserescrittocomeprodotto
n=hk
ove h e k siano due numeri minori di n. Se h è un numero primo, abbiamo concluso la
dimostrazione;se,invece,hnonèunnumeroprimo,allorahèunnumerocomposto,easua
voltaèprodottodiduenumeripiùpiccolidilui:
h=h1k1equindin=hk=(h1k1)k=h1(k1k)
eh1<h<n.
Seh1èunnumeroprimo,abbiamoconclusoladimostrazione.Seh1èunnumerocomposto,è
possibilescomporloulteriormentecomeprodottodifattoripiùpiccolidih1:ilragionamento
puòessereripetuto,e,aognipasso,ifattoridiventanopiùpiccoli:poichéciascunodeifattori
coinvoltideveesseremaggioredi1.♦
Corollario:ogninumeronaturalediversoda1èprodottodinumeriprimi,cioè
(*)n=q1×q2×q3×……×qt
peropportuninumeriprimiq1,q2,q3,,…,qt).
Unaespressionedellaforma(*)èdettafattorizzazionedininfattoriprimi(oscomposizionein
fattori primi). In (*) non necessariamente i fattori primi sono diversi tra loro; è possibile che
compaiasolounfattoreprimo,cioèchet=1.Siosservichenèunnumeroprimoseesolosein(*)
sihat=1.
Teorema(Euclide)Inumeriprimisonoinfiniti.
dimostrazioneLadimostrazioneprocedeperassurdo.Supponiamoperassurdocheesistasolo
un numero finito di numeri primi e scriviamone l'elenco completo: p1,p2, ...,pn (in questo
elenco,ogninumeroprimovienescrittounavoltasola).:
Numeriprimi={p1,p2,...,pn}
Definiamo ora un numero, che chiamiamo M, ottenuto sommando 1 al prodotto di tutti i
numeriprimi:
M=p1×p2×···×pn+1
Ilnumeroèmaggioredi1(perchéc'èalmenounnumeroprimo)ediversodatuttiinumeri
primipi.(perchèmaggiorediciascunpi).
VisonoduepossibilitàperM:puòessereprimoocomposto.SeMfosseprimoavremmouna
contraddizione:infattiabbiamogiàosservatocheMèdiversodaciascunpiequindinonpuò
appartenereall'insiemedeinumeriprimi.
AlloraMdeveesserecomposto:maalloradovrebbeavereunfattoreprimod,chedeveessere
uno dei numeri primipi. Ma alloraddivide siaMche il prodottop1p2···pn(essendo uno dei
numeriprimi),equindidevedividerelalorodifferenzaM−p1p2···pn=1,ilcheèimpossibile.
QuindiMnonpuòesserenéprimonécomposto:maquestoèassurdo.
Concludiamocheinumeriprimisonoinfiniti.♦
Teoremafondamentaledell'aritmetica
Proposizione: seunnumeroprimodivideilprodottodiduenumerinaturali,allorailnumero
primodividealmenounodeiduefattori.
Insimboli:sen=abconn,a,bnumerinaturalie
pprimotalechep|n=ab⇒p|aoppurep|b.
dimostrazione Siapun fattore primo diab. Se p è un divisore di a, la dimostrazione è
completa.Supponiamochepnonsiaundivisoredia.Alloraesisteunnumeronaturalektale
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che ab = k p. Dal momento chepè primo e non è un divisore dia,sappiamo che a epsono
coprimi, cioè MCD(a,p)=1. L'identità di Bézoutassicura l'esistenza di esistono due interise
ttaliche
1=sa+tp.
Moltiplichiamoperbentrambiimembri,ottenendo
b=bsa+btp=(ab)s+btp
Ricordandocheab=kp,segue:
b=(ab)s+btp=kps+btp=p(ks+bt)
Diconseguenza,pèundivisoredib.
Quindipdividenecessariamenteaoppureb(oentrambi).♦
Teorema fondamentale dell'aritmetica Ogninumeronaturalemaggioredi1ammette
una fattorizzazione come prodotto di fattori primi come in (*). Tale rappresentazione è
unica,senonsiprendeinconsiderazionel'ordineincuicompaionoifattori.
dimostrazione
L'enunciatodelteoremaasseriscel'esistenzadiunafattorizzazioneinnumeriprimiper
ogninumeronaturale,esuccessivamentelasuaunicità.Dimostriamoseparatamentele
dueaffermazioni.
L'esistenzaèstatadimostratainprecedenza(unadimostrazionepiùprecisarichiedeil
principiodiinduzione).
Ladimostrazionedell'unicitàèfacoltativa.