Aritmetica - I blog di Unica

Aritmetica
I numeri naturali: N
I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
(Non daremo una definizione formale dei numeri naturali, ma partiamo dal
presupposto che sono conosciuti.)
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Gennaio 2013
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I numeri naturali: N
I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
(Non daremo una definizione formale dei numeri naturali, ma partiamo dal
presupposto che sono conosciuti.)
I numeri naturali servono, tra altro, per:
1. contare (la quantità di elementi di insiemi finiti);
2. enumerare (le voce di una lista);
3. ordinare linearmente;
4. codificare;
5. nominare.
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I numeri naturali: N
I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
(Non daremo una definizione formale dei numeri naturali, ma partiamo dal
presupposto che sono conosciuti.)
I numeri naturali servono, tra altro, per:
1. contare (la quantità di elementi di insiemi finiti);
2. enumerare (le voce di una lista);
3. ordinare linearmente;
4. codificare;
5. nominare.
Le principali operazioni
tra numeri naturali sono: la somma (+), il prodotto (·),
la potenza (_)_ , e le suoi inverse, che non sono sempre
definite: la
√
differenza (−), la divisione (÷), il logaritmo log_ (_) e le radici _ _ .
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La somma
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di
due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà
fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r,
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La somma
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di
due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà
fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r,
I
Lo 0 è neutro: n + 0 = n.
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La somma
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di
due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà
fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r,
I
Lo 0 è neutro: n + 0 = n.
I
Commutatività: n + m = m + n.
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La somma
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di
due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà
fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r,
I
Lo 0 è neutro: n + 0 = n.
I
Commutatività: n + m = m + n.
I
Associatività: n + (m + r) = (n + m) + r.
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La somma
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di
due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà
fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r,
I
Lo 0 è neutro: n + 0 = n.
I
Commutatività: n + m = m + n.
I
Associatività: n + (m + r) = (n + m) + r.
I
Cancellazione:
Se n + r = m + r, allora n = m.
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Il prodotto
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di
due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se
stesso tante volte come indica il secondo.
n · m = n + ··· + n
{z
}
|
m volte
Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r,
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Il prodotto
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di
due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se
stesso tante volte come indica il secondo.
n · m = n + ··· + n
{z
}
|
m volte
Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r,
I
L’1 è neutro: n · 1 = n.
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3 / 38
Il prodotto
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di
due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se
stesso tante volte come indica il secondo.
n · m = n + ··· + n
{z
}
|
m volte
Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r,
I
L’1 è neutro: n · 1 = n.
I
Commutatività: n · m = m · n.
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3 / 38
Il prodotto
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di
due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se
stesso tante volte come indica il secondo.
n · m = n + ··· + n
{z
}
|
m volte
Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r,
I
L’1 è neutro: n · 1 = n.
I
Commutatività: n · m = m · n.
I
Associatività:
n · (m · r) = (n · m) · r.
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Il prodotto
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di
due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se
stesso tante volte come indica il secondo.
n · m = n + ··· + n
{z
}
|
m volte
Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r,
I
L’1 è neutro: n · 1 = n.
I
Commutatività: n · m = m · n.
I
Associatività:
I
Cancellazione:
n · (m · r) = (n · m) · r.
Se r 6= 0 e
n · r = m · r,
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allora n = m.
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Il prodotto
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di
due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se
stesso tante volte come indica il secondo.
n · m = n + ··· + n
{z
}
|
m volte
Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r,
I
L’1 è neutro: n · 1 = n.
I
Commutatività: n · m = m · n.
I
Associatività:
I
Cancellazione:
n · (m · r) = (n · m) · r.
Se r 6= 0 e
n · r = m · r,
allora n = m.
Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva
n · (m + r) = n · m + n · r,
per ogni naturali n, m, r.
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La potenza
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la potenza nm
(“n elevato a m”) è il risultato di moltiplicare n con se stesso m volte.
nm = n
· · · n}
| · ·{z
m volte
A n se li chiama la base e a m l’esponente.
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La potenza
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la potenza nm
(“n elevato a m”) è il risultato di moltiplicare n con se stesso m volte.
nm = n
· · · n}
| · ·{z
m volte
A n se li chiama la base e a m l’esponente.
Se n 6= 0, allora n0 = 1.
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4 / 38
La potenza
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la potenza nm
(“n elevato a m”) è il risultato di moltiplicare n con se stesso m volte.
nm = n
· · · n}
| · ·{z
m volte
A n se li chiama la base e a m l’esponente.
Se n 6= 0, allora n0 = 1.
00 non è definito!!
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La potenza
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la potenza nm
(“n elevato a m”) è il risultato di moltiplicare n con se stesso m volte.
nm = n
· · · n}
| · ·{z
m volte
A n se li chiama la base e a m l’esponente.
Se n 6= 0, allora n0 = 1.
00 non è definito!!
Due proprietà delle potenze:
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La potenza
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la potenza nm
(“n elevato a m”) è il risultato di moltiplicare n con se stesso m volte.
nm = n
· · · n}
| · ·{z
m volte
A n se li chiama la base e a m l’esponente.
Se n 6= 0, allora n0 = 1.
00 non è definito!!
Due proprietà delle potenze:
I
nm+r = nm · nr , cioè, la potenza trasforma somme in prodotti.
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La potenza
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la potenza nm
(“n elevato a m”) è il risultato di moltiplicare n con se stesso m volte.
nm = n
· · · n}
| · ·{z
m volte
A n se li chiama la base e a m l’esponente.
Se n 6= 0, allora n0 = 1.
00 non è definito!!
Due proprietà delle potenze:
I
nm+r = nm · nr , cioè, la potenza trasforma somme in prodotti.
I
(nm )r = nm·r .
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Differenza e divisione
La differenza di un numero n meno un numero m è quel numero c tale che
c + m = n. Cioè,
n − m = c se n = c + m.
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Differenza e divisione
La differenza di un numero n meno un numero m è quel numero c tale che
c + m = n. Cioè,
n − m = c se n = c + m.
La differenza n − m è definita nell’insieme dei naturali solo se n > m.
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Differenza e divisione
La differenza di un numero n meno un numero m è quel numero c tale che
c + m = n. Cioè,
n − m = c se n = c + m.
La differenza n − m è definita nell’insieme dei naturali solo se n > m.
La divisione di un numero n per un numero m è quel numero q tale che
q · m = n. Cioè,
n÷m=q
se n = q · m.
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Differenza e divisione
La differenza di un numero n meno un numero m è quel numero c tale che
c + m = n. Cioè,
n − m = c se n = c + m.
La differenza n − m è definita nell’insieme dei naturali solo se n > m.
La divisione di un numero n per un numero m è quel numero q tale che
q · m = n. Cioè,
n÷m=q
se n = q · m.
La divisone non è sempre definita.
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Divisione Euclidea
Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri
naturali q e r tale che
n = q · m + r,
e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà.
A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione.
Esempi:
I
Se n = 25, m = 3, allora q = 8 e r = 1, perché 25 = 8 · 3 + 1 e 1 < 3.
I
Se n = 20, m = 4, allora q = 5 e r = 0, perché 20 = 5 · 4 + 0 e 0 < 4.
I
Se n = 3, m = 32, allora q = 0 e r = 32, perché 3 = 0 · 32 + 3 e 3 < 32.
Osservazione: Se q è il quoziente della divisione Euclidea di n per m, allora il
resto è
r = n − q · m.
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Numeri primi
Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il
resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se
esiste un numero q tale che
n = q · m.
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Numeri primi
Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il
resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se
esiste un numero q tale che
n = q · m.
Esempi:
I
I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6.
I divisori di 23 sono 1, 23.
I
I divisori di 34 sono 1, 2, 17, 34.
I
L’unico divisore di 1 è 1.
I
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Numeri primi
Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il
resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se
esiste un numero q tale che
n = q · m.
Esempi:
I
I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6.
I divisori di 23 sono 1, 23.
I
I divisori di 34 sono 1, 2, 17, 34.
I
L’unico divisore di 1 è 1.
I
Un numero n è primo se è diverso di 1 e ha soltanto due divisori: 1 e n.
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Numeri primi
Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il
resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se
esiste un numero q tale che
n = q · m.
Esempi:
I
I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6.
I divisori di 23 sono 1, 23.
I
I divisori di 34 sono 1, 2, 17, 34.
I
L’unico divisore di 1 è 1.
I
Un numero n è primo se è diverso di 1 e ha soltanto due divisori: 1 e n.
Esempi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . , 2038074743, . . .
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Numeri primi
Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il
resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se
esiste un numero q tale che
n = q · m.
Esempi:
I
I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6.
I divisori di 23 sono 1, 23.
I
I divisori di 34 sono 1, 2, 17, 34.
I
L’unico divisore di 1 è 1.
I
Un numero n è primo se è diverso di 1 e ha soltanto due divisori: 1 e n.
Esempi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . , 2038074743, . . .
Domanda: Quanti numeri primi ci sono?
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Lemma
Se d | n e d | m, allora d | (n + m) e n | (n − m) (se la differenza è definita).
Cioè, se un numero è un divisore di altri due, allora è anche divisore de la
somma e de la differenza di questi due.
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Lemma
Se d | n e d | m, allora d | (n + m) e n | (n − m) (se la differenza è definita).
Cioè, se un numero è un divisore di altri due, allora è anche divisore de la
somma e de la differenza di questi due.
Dimostrazione.
Supponiamo che d | n e d | m. Allora, esiste q tale che n = q · d, e esiste s tale
che m = s · d (per la definizione di divisore).
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Lemma
Se d | n e d | m, allora d | (n + m) e n | (n − m) (se la differenza è definita).
Cioè, se un numero è un divisore di altri due, allora è anche divisore de la
somma e de la differenza di questi due.
Dimostrazione.
Supponiamo che d | n e d | m. Allora, esiste q tale che n = q · d, e esiste s tale
che m = s · d (per la definizione di divisore).Quindi,
n + m = q · d + s · d = (q + s) · d,
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Lemma
Se d | n e d | m, allora d | (n + m) e n | (n − m) (se la differenza è definita).
Cioè, se un numero è un divisore di altri due, allora è anche divisore de la
somma e de la differenza di questi due.
Dimostrazione.
Supponiamo che d | n e d | m. Allora, esiste q tale che n = q · d, e esiste s tale
che m = s · d (per la definizione di divisore).Quindi,
n + m = q · d + s · d = (q + s) · d,
e per tanto, d è un divisore di n + m.
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Lemma
Se d | n e d | m, allora d | (n + m) e n | (n − m) (se la differenza è definita).
Cioè, se un numero è un divisore di altri due, allora è anche divisore de la
somma e de la differenza di questi due.
Dimostrazione.
Supponiamo che d | n e d | m. Allora, esiste q tale che n = q · d, e esiste s tale
che m = s · d (per la definizione di divisore).Quindi,
n + m = q · d + s · d = (q + s) · d,
e per tanto, d è un divisore di n + m. Analogamente,
n − m = q · d − s · d = (q − s) · d,
e quindi d è un divisore di n − m.
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Lemma
Se d | n e d | m, allora d | (n + m) e n | (n − m) (se la differenza è definita).
Cioè, se un numero è un divisore di altri due, allora è anche divisore de la
somma e de la differenza di questi due.
Dimostrazione.
Supponiamo che d | n e d | m. Allora, esiste q tale che n = q · d, e esiste s tale
che m = s · d (per la definizione di divisore).Quindi,
n + m = q · d + s · d = (q + s) · d,
e per tanto, d è un divisore di n + m. Analogamente,
n − m = q · d − s · d = (q − s) · d,
e quindi d è un divisore di n − m.
Esempio: d = 5, n = 35, m = 10. 5 divide 35 e divide anche 10. Quindi 5
divide 35 + 10 = 45, e divide 35 − 10 = 25. (Prendendo q = 7 e s = 2 nella
dimostrazione.)
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Lemma
Se a, b, c sono numeri naturali, e a | b e b | c, allora a | c.
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Lemma
Se a, b, c sono numeri naturali, e a | b e b | c, allora a | c.
Dimostrazione.
Farla come esercizio.
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Principio di buona ordinazione
Tutto insieme S ⊆ N di numeri naturali non vuoto ha un minimo, cioè un più
piccolo elemento.
Esempio
Tre esempi:
I
Il minimo di {4, 6, 9, 23, 2, 34} è 2.
I
Il minimo di {n : n > 0 ∧ n è multiplo di 3 e di 7} è 21.
I
Il minimo di {n : n è pari ∧ n > 5} è 6.
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Lemma
Ogni numero naturale n, diverso di 1, è diviso di almeno un numero primo.
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Lemma
Ogni numero naturale n, diverso di 1, è diviso di almeno un numero primo.
Idea della dimostrazione
Prendere il più piccolo divisore del numero n che sia diverso di 1. Queste
divisore è necessariamente primo.
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Lemma
Ogni numero naturale n, diverso di 1, è diviso di almeno un numero primo.
Idea della dimostrazione
Prendere il più piccolo divisore del numero n che sia diverso di 1. Queste
divisore è necessariamente primo.
Dimostrazione.
Consideriamo S = {d : d > 1 ∧ d | n}. Allora S ha un minimo. Sia p il minimo
di S. Vediamo che questo p è primo: se a è un numero diverso di 1 tale che
a | p, allora
I
come a | p, allora a 6 p;
I
come a | p e p | n, otteniamo che a | n. Quindi a ∈ S. E come p è il
minimo di S, allora p 6 a.
Cioè, l’unici divisori di p sono 1 e p, è come p è diverso di 1, allora p è
primo.
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Numeri primi
Teorema
Esistono infiniti numeri primi.
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Numeri primi
Teorema
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione.
Supponiamo che solo esistono soltanto una quantità finita di numeri primi, e
che sono: p1 , p2 , . . . , pk .
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Numeri primi
Teorema
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione.
Supponiamo che solo esistono soltanto una quantità finita di numeri primi, e
che sono: p1 , p2 , . . . , pk . Consideriamo il numero
n = p1 · p2 · · · · · pk + 1.
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Numeri primi
Teorema
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione.
Supponiamo che solo esistono soltanto una quantità finita di numeri primi, e
che sono: p1 , p2 , . . . , pk . Consideriamo il numero
n = p1 · p2 · · · · · pk + 1.
Notiamo che p1 | p1 · p2 · · · · · pk .
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Numeri primi
Teorema
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione.
Supponiamo che solo esistono soltanto una quantità finita di numeri primi, e
che sono: p1 , p2 , . . . , pk . Consideriamo il numero
n = p1 · p2 · · · · · pk + 1.
Notiamo che p1 | p1 · p2 · · · · · pk .
Se p1 | n, allora p1 | (n − p1 · · · · · pk ),
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Numeri primi
Teorema
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione.
Supponiamo che solo esistono soltanto una quantità finita di numeri primi, e
che sono: p1 , p2 , . . . , pk . Consideriamo il numero
n = p1 · p2 · · · · · pk + 1.
Notiamo che p1 | p1 · p2 · · · · · pk .
Se p1 | n, allora p1 | (n − p1 · · · · · pk ), cioè, p1 | 1, che è assurdo.
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Numeri primi
Teorema
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione.
Supponiamo che solo esistono soltanto una quantità finita di numeri primi, e
che sono: p1 , p2 , . . . , pk . Consideriamo il numero
n = p1 · p2 · · · · · pk + 1.
Notiamo che p1 | p1 · p2 · · · · · pk .
Se p1 | n, allora p1 | (n − p1 · · · · · pk ), cioè, p1 | 1, che è assurdo. Quindi p1 - n.
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Numeri primi
Teorema
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione.
Supponiamo che solo esistono soltanto una quantità finita di numeri primi, e
che sono: p1 , p2 , . . . , pk . Consideriamo il numero
n = p1 · p2 · · · · · pk + 1.
Notiamo che p1 | p1 · p2 · · · · · pk .
Se p1 | n, allora p1 | (n − p1 · · · · · pk ), cioè, p1 | 1, che è assurdo. Quindi p1 - n.
Analogamente p2 - n,
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Numeri primi
Teorema
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione.
Supponiamo che solo esistono soltanto una quantità finita di numeri primi, e
che sono: p1 , p2 , . . . , pk . Consideriamo il numero
n = p1 · p2 · · · · · pk + 1.
Notiamo che p1 | p1 · p2 · · · · · pk .
Se p1 | n, allora p1 | (n − p1 · · · · · pk ), cioè, p1 | 1, che è assurdo. Quindi p1 - n.
Analogamente p2 - n, . . . , pk - n.
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Numeri primi
Teorema
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione.
Supponiamo che solo esistono soltanto una quantità finita di numeri primi, e
che sono: p1 , p2 , . . . , pk . Consideriamo il numero
n = p1 · p2 · · · · · pk + 1.
Notiamo che p1 | p1 · p2 · · · · · pk .
Se p1 | n, allora p1 | (n − p1 · · · · · pk ), cioè, p1 | 1, che è assurdo. Quindi p1 - n.
Analogamente p2 - n, . . . , pk - n.
Quindi, n non è diviso per nessun primo, che è assurdo.
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Numeri primi
Teorema
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione.
Supponiamo che solo esistono soltanto una quantità finita di numeri primi, e
che sono: p1 , p2 , . . . , pk . Consideriamo il numero
n = p1 · p2 · · · · · pk + 1.
Notiamo che p1 | p1 · p2 · · · · · pk .
Se p1 | n, allora p1 | (n − p1 · · · · · pk ), cioè, p1 | 1, che è assurdo. Quindi p1 - n.
Analogamente p2 - n, . . . , pk - n.
Quindi, n non è diviso per nessun primo, che è assurdo.
Quindi, non è vero che ci siano soltanto una quantità finita di numeri primi;
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Gennaio 2013
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Numeri primi
Teorema
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione.
Supponiamo che solo esistono soltanto una quantità finita di numeri primi, e
che sono: p1 , p2 , . . . , pk . Consideriamo il numero
n = p1 · p2 · · · · · pk + 1.
Notiamo che p1 | p1 · p2 · · · · · pk .
Se p1 | n, allora p1 | (n − p1 · · · · · pk ), cioè, p1 | 1, che è assurdo. Quindi p1 - n.
Analogamente p2 - n, . . . , pk - n.
Quindi, n non è diviso per nessun primo, che è assurdo.
Quindi, non è vero che ci siano soltanto una quantità finita di numeri primi;
cioè, c’è una quantità infinita di numeri primi.
Aritmetica
Gennaio 2013
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Teorema fondamentale della aritmetica
Teorema
Ogni numero naturale n diverso di 0 e di 1 si può scomporre come un
prodotto di potenze di numeri primi
αk
1
n = pα
1 · · · · · pk
dove tutti gli esponenti sono positivi e tutti i primi sono diversi tra loro. Questa
scomposizione è unica, a meno di permutazioni dei fattori.
Aritmetica
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MCD e mcm
Un numero n è un multiplo di un numero m se m è un divisore di n.
Aritmetica
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MCD e mcm
Un numero n è un multiplo di un numero m se m è un divisore di n.
Il minimo comune multiplo di due numeri a, b, è il più piccolo numero che è
multiplo di a e di b. Lo denotiamo con mcm(a, b).
Aritmetica
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MCD e mcm
Un numero n è un multiplo di un numero m se m è un divisore di n.
Il minimo comune multiplo di due numeri a, b, è il più piccolo numero che è
multiplo di a e di b. Lo denotiamo con mcm(a, b).
Esempio
I
mcm(3, 2) = 6
I
mcm(16, 8) = 16
I
I
mcm(52, 34) = 884
mcm(140, 88) = 3080
I
mcm(153, 270) = 4590
I
mcm(280, 980) = 1960
Aritmetica
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MCD e mcm
Un numero n è un multiplo di un numero m se m è un divisore di n.
Il minimo comune multiplo di due numeri a, b, è il più piccolo numero che è
multiplo di a e di b. Lo denotiamo con mcm(a, b).
Esempio
I
mcm(3, 2) = 6
I
mcm(16, 8) = 16
I
I
mcm(52, 34) = 884
mcm(140, 88) = 3080
I
mcm(153, 270) = 4590
I
mcm(280, 980) = 1960
Domanda: Come calcolare il m.c.m. di due numeri?
Aritmetica
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Metodo per calcolare il m.c.m.
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
Aritmetica
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Metodo per calcolare il m.c.m.
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria
definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b.
Aritmetica
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Metodo per calcolare il m.c.m.
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria
definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b.
I
Ricordiamo che, se un numero divide un altro, e queste divide un terzo,
allora il primo divide il terzo.
Aritmetica
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Metodo per calcolare il m.c.m.
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria
definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b.
I
Ricordiamo che, se un numero divide un altro, e queste divide un terzo,
allora il primo divide il terzo.
I
Quindi, ogni divisore di a e ogni divisore di b sera anche un divisore di
mcm(a, b).
Aritmetica
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Metodo per calcolare il m.c.m.
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria
definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b.
I
Ricordiamo che, se un numero divide un altro, e queste divide un terzo,
allora il primo divide il terzo.
I
Quindi, ogni divisore di a e ogni divisore di b sera anche un divisore di
mcm(a, b).
I
I divisori di un numero n sono sempre prodotti di potenze dei primi che
occorrono nella fattorizzazione del numero n.
Aritmetica
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Metodo per calcolare il m.c.m.
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria
definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b.
I
Ricordiamo che, se un numero divide un altro, e queste divide un terzo,
allora il primo divide il terzo.
I
Quindi, ogni divisore di a e ogni divisore di b sera anche un divisore di
mcm(a, b).
I
I divisori di un numero n sono sempre prodotti di potenze dei primi che
occorrono nella fattorizzazione del numero n.
Metodo per calcolare il m.c.m
I
Fattorizzare i numeri a e b.
Aritmetica
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Metodo per calcolare il m.c.m.
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria
definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b.
I
Ricordiamo che, se un numero divide un altro, e queste divide un terzo,
allora il primo divide il terzo.
I
Quindi, ogni divisore di a e ogni divisore di b sera anche un divisore di
mcm(a, b).
I
I divisori di un numero n sono sempre prodotti di potenze dei primi che
occorrono nella fattorizzazione del numero n.
Metodo per calcolare il m.c.m
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a
e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta.
Aritmetica
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Metodo per calcolare il m.c.m.
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria
definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b.
I
Ricordiamo che, se un numero divide un altro, e queste divide un terzo,
allora il primo divide il terzo.
I
Quindi, ogni divisore di a e ogni divisore di b sera anche un divisore di
mcm(a, b).
I
I divisori di un numero n sono sempre prodotti di potenze dei primi che
occorrono nella fattorizzazione del numero n.
Metodo per calcolare il m.c.m
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a
e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta.
I
Moltiplicare quelle potenze scelte.
Aritmetica
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Esempi
I
3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6.
Aritmetica
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16 / 38
Esempi
I
3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6.
I
16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16.
Aritmetica
Gennaio 2013
16 / 38
Esempi
I
3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6.
I
16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16.
I
52 = 22 · 13 e 34 = 2 · 17, quindi mcm(52, 34) = 22 · 13 · 17 = 884.
Aritmetica
Gennaio 2013
16 / 38
Esempi
I
3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6.
I
16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16.
I
52 = 22 · 13 e 34 = 2 · 17, quindi mcm(52, 34) = 22 · 13 · 17 = 884.
I
140 = 22 · 5 · 7 e 88 = 23 · 11, quindi mcm(140, 88) = 23 · 5 · 7 · 11 = 3080.
Aritmetica
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16 / 38
Esempi
I
3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6.
I
16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16.
I
52 = 22 · 13 e 34 = 2 · 17, quindi mcm(52, 34) = 22 · 13 · 17 = 884.
I
140 = 22 · 5 · 7 e 88 = 23 · 11, quindi mcm(140, 88) = 23 · 5 · 7 · 11 = 3080.
I
153 = 32 · 17 e 270 = 2 · 33 · 5, quindi mcm(153, 270) = 2 · 33 · 5 · 17 = 4590.
Aritmetica
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16 / 38
Esempi
I
3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6.
I
16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16.
I
52 = 22 · 13 e 34 = 2 · 17, quindi mcm(52, 34) = 22 · 13 · 17 = 884.
I
140 = 22 · 5 · 7 e 88 = 23 · 11, quindi mcm(140, 88) = 23 · 5 · 7 · 11 = 3080.
I
153 = 32 · 17 e 270 = 2 · 33 · 5, quindi mcm(153, 270) = 2 · 33 · 5 · 17 = 4590.
I
280 = 23 · 5 · 7 e 980 = 22 · 5 · 72 , quindi mcm(280, 980) = 23 · 5 · 72 = 1960.
Aritmetica
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16 / 38
MCD
Il massimo comune divisore di due numeri a e b è il più grande numero che
divide a e divide b.
Esempio
I
MCD(3, 2) = 1
I
MCD(16, 8) = 8
I
MCD(52, 34) = 2
I
MCD(140, 88) = 4
I
MCD(153, 270) = 9
I
MCD(280, 980) = 140
Aritmetica
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17 / 38
MCD
Il massimo comune divisore di due numeri a e b è il più grande numero che
divide a e divide b.
Esempio
I
MCD(3, 2) = 1
I
MCD(16, 8) = 8
I
MCD(52, 34) = 2
I
MCD(140, 88) = 4
I
MCD(153, 270) = 9
I
MCD(280, 980) = 140
Domanda: Come calcolarlo?
Aritmetica
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17 / 38
Metodo per calcolare il M.C.D
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Per la propria definizione, MCD(a, b) divide a e divide b.
Aritmetica
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18 / 38
Metodo per calcolare il M.C.D
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Per la propria definizione, MCD(a, b) divide a e divide b.
I
Allora, i fattori primi di MCD(a, b) devono essere fattori di a e fattori di b.
Aritmetica
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18 / 38
Metodo per calcolare il M.C.D
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Per la propria definizione, MCD(a, b) divide a e divide b.
I
Allora, i fattori primi di MCD(a, b) devono essere fattori di a e fattori di b.
Metodo per calcolare il M.C.D
I
Fattorizzare i numeri a e b.
Aritmetica
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18 / 38
Metodo per calcolare il M.C.D
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Per la propria definizione, MCD(a, b) divide a e divide b.
I
Allora, i fattori primi di MCD(a, b) devono essere fattori di a e fattori di b.
Metodo per calcolare il M.C.D
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere le potenze più piccole dei primi comuni ad a e b.
Aritmetica
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18 / 38
Metodo per calcolare il M.C.D
Osservazioni: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Per la propria definizione, MCD(a, b) divide a e divide b.
I
Allora, i fattori primi di MCD(a, b) devono essere fattori di a e fattori di b.
Metodo per calcolare il M.C.D
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere le potenze più piccole dei primi comuni ad a e b.
I
Moltiplicare quelle potenze scelte.
Aritmetica
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18 / 38
Esempi
I
3 = 31
e 2 = 21 ,
quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni).
Aritmetica
Gennaio 2013
19 / 38
Esempi
I
I
3 = 31
16 = 2
e 2 = 21 ,
4
e
3
8=2 ,
quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni).
quindi MCD(16, 8) = 23 = 8.
Aritmetica
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19 / 38
Esempi
I
I
I
3 = 31
16 = 2
e 2 = 21 ,
4
2
e
52 = 2 · 13
3
8=2 ,
e
quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni).
quindi MCD(16, 8) = 23 = 8.
34 = 2 · 17,
quindi MCD(52, 34) = 2.
Aritmetica
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19 / 38
Esempi
I
I
I
I
3 = 31
16 = 2
e 2 = 21 ,
4
e
2
52 = 2 · 13
2
3
quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni).
8=2 ,
e
140 = 2 · 5 · 7
quindi MCD(16, 8) = 23 = 8.
34 = 2 · 17,
e
3
quindi MCD(52, 34) = 2.
88 = 2 · 11,
quindi MCD(140, 88) = 22 = 4.
Aritmetica
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19 / 38
Esempi
I
I
I
3 = 31
16 = 2
e 2 = 21 ,
4
e
2
52 = 2 · 13
3
quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni).
8=2 ,
e
2
I
140 = 2 · 5 · 7
I
153 = 32 · 17 e
quindi MCD(16, 8) = 23 = 8.
34 = 2 · 17,
e
quindi MCD(52, 34) = 2.
3
quindi MCD(140, 88) = 22 = 4.
88 = 2 · 11,
270 = 2 · 33 · 5,
quindi MCD(153, 270) = 32 = 9.
Aritmetica
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19 / 38
Esempi
I
I
I
3 = 31
16 = 2
e 2 = 21 ,
4
e
2
52 = 2 · 13
3
quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni).
8=2 ,
e
2
quindi MCD(16, 8) = 23 = 8.
34 = 2 · 17,
quindi MCD(52, 34) = 2.
3
quindi MCD(140, 88) = 22 = 4.
I
140 = 2 · 5 · 7
I
153 = 32 · 17 e
I
280 = 23 · 5 · 7 e 980 = 22 · 5 · 72 , quindi MCD(280, 980) = 22 · 5 · 7 = 140.
e
88 = 2 · 11,
270 = 2 · 33 · 5,
quindi MCD(153, 270) = 32 = 9.
Aritmetica
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MCD(a, b), mcm(a, b), e a · b
Osservazione:
a
3
16
52
140
153
280
b
2
8
34
88
270
980
MCD(a, b)
1
8
2
4
9
140
mcm(a, b)
6
16
884
3080
4590
1960
Aritmetica
MCD(a, b) · mcm(a, b)
6
128
1768
12320
41310
274400
a·b
6
128
1768
12320
41310
274400
Gennaio 2013
20 / 38
MCD(a, b), mcm(a, b), e a · b
Osservazione:
a
3
16
52
140
153
280
b
2
8
34
88
270
980
MCD(a, b)
1
8
2
4
9
140
Otteniamo sempre che:
mcm(a, b)
6
16
884
3080
4590
1960
MCD(a, b) · mcm(a, b)
6
128
1768
12320
41310
274400
a·b
6
128
1768
12320
41310
274400
MCD(a, b) · mcm(a, b) = a · b
Aritmetica
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20 / 38
MCD(a, b), mcm(a, b), e a · b
Osservazione:
a
3
16
52
140
153
280
b
2
8
34
88
270
980
MCD(a, b)
1
8
2
4
9
140
Otteniamo sempre che:
mcm(a, b)
6
16
884
3080
4590
1960
MCD(a, b) · mcm(a, b)
6
128
1768
12320
41310
274400
a·b
6
128
1768
12320
41310
274400
MCD(a, b) · mcm(a, b) = a · b
Domanda: È sempre vero? Perché?
Aritmetica
Gennaio 2013
20 / 38
MCD(a, b), mcm(a, b), e a · b
Osservazione:
a
3
16
52
140
153
280
b
2
8
34
88
270
980
MCD(a, b)
1
8
2
4
9
140
Otteniamo sempre che:
mcm(a, b)
6
16
884
3080
4590
1960
MCD(a, b) · mcm(a, b)
6
128
1768
12320
41310
274400
a·b
6
128
1768
12320
41310
274400
MCD(a, b) · mcm(a, b) = a · b
Domanda: È sempre vero? Perché?
Risposta: Sì, è sempre vero, perché fra le potenze delle fattorizzazioni di a e
di b che scegliamo per calcolare il m.c.m. e quelle che scegliamo per
calcolare il M.C.D., le scegliamo tutte esattamente una volta.
Aritmetica
Gennaio 2013
20 / 38
Ancora MCD e mcm
I
Con questi metodi, siamo costretti di fare la fattorizzazioni dei numeri.
Quando i numeri sono un po’ grandi, questo si fa molto difficile, anche in
pratica impossibile, si sono troppo grandi.
Aritmetica
Gennaio 2013
21 / 38
Ancora MCD e mcm
I
I
Con questi metodi, siamo costretti di fare la fattorizzazioni dei numeri.
Quando i numeri sono un po’ grandi, questo si fa molto difficile, anche in
pratica impossibile, si sono troppo grandi.
Possiamo trovare un altro metodo più semplice?
Aritmetica
Gennaio 2013
21 / 38
Ancora MCD e mcm
I
Con questi metodi, siamo costretti di fare la fattorizzazioni dei numeri.
Quando i numeri sono un po’ grandi, questo si fa molto difficile, anche in
pratica impossibile, si sono troppo grandi.
Possiamo trovare un altro metodo più semplice?
I
Osserviamo cosa succede con le seguenti divisioni:
I
Aritmetica
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21 / 38
Ancora MCD e mcm
I
Con questi metodi, siamo costretti di fare la fattorizzazioni dei numeri.
Quando i numeri sono un po’ grandi, questo si fa molto difficile, anche in
pratica impossibile, si sono troppo grandi.
Possiamo trovare un altro metodo più semplice?
I
Osserviamo cosa succede con le seguenti divisioni:
I
3
1
16
0
2
1
MCD(3, 2) = 1
140
52
88
1
MCD(140, 88) = 4
52
18
8
2
MCD(16, 8) = 8
270
117
153
1
MCD(270, 153) = 9
Aritmetica
34
1
MCD(52, 34) = 2
980
140
280
3
MCD(980, 280) = 140
Gennaio 2013
21 / 38
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
Aritmetica
Gennaio 2013
22 / 38
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Aritmetica
Gennaio 2013
22 / 38
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: È questo sempre vero?
Aritmetica
Gennaio 2013
22 / 38
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: È questo sempre vero?
Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora:
r =a−q·b
Aritmetica
Gennaio 2013
22 / 38
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: È questo sempre vero?
Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora:
r =a−q·b
I
Se d | a e
d | b,
allora d | q · b,
e quindi d | (a − q · b).
Aritmetica
Gennaio 2013
22 / 38
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: È questo sempre vero?
Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora:
r =a−q·b
I
Se d | a e
d | b,
allora d | q · b,
e quindi d | (a − q · b). Cioè, d | r.
Aritmetica
Gennaio 2013
22 / 38
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: È questo sempre vero?
Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora:
r =a−q·b
I
I
Se d | a e d | b, allora d | q · b, e quindi d | (a − q · b). Cioè, d | r.
Se d | b e d | r, allora d | q · b, e quindi d | (q · b + r).
Aritmetica
Gennaio 2013
22 / 38
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: È questo sempre vero?
Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora:
r =a−q·b
I
I
Se d | a e d | b, allora d | q · b, e quindi d | (a − q · b). Cioè, d | r.
Se d | b e d | r, allora d | q · b, e quindi d | (q · b + r). Cioè, d | a.
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Gennaio 2013
22 / 38
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: È questo sempre vero?
Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora:
r =a−q·b
I
I
Se d | a e d | b, allora d | q · b, e quindi d | (a − q · b). Cioè, d | r.
Se d | b e d | r, allora d | q · b, e quindi d | (q · b + r). Cioè, d | a.
Quindi:
MCD(a, b) = MCD(b, r)
dove r è il resto della divisione Euclidea di a per b.
Aritmetica
Gennaio 2013
22 / 38
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
Aritmetica
Gennaio 2013
23 / 38
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
Aritmetica
Gennaio 2013
23 / 38
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
Aritmetica
Gennaio 2013
23 / 38
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Aritmetica
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23 / 38
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Esempio
Calcolo di MCD(140, 88):
I
140 = 1 · 88 + 52. Come r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e 52.
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Gennaio 2013
23 / 38
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Esempio
Calcolo di MCD(140, 88):
I
140 = 1 · 88 + 52. Come r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e 52.
I
88 = 1 · 52 + 36. Come r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36.
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Gennaio 2013
23 / 38
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Esempio
Calcolo di MCD(140, 88):
I
140 = 1 · 88 + 52. Come r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e 52.
I
88 = 1 · 52 + 36. Come r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36.
I
52 = 1 · 36 + 16. Come r = 16 6= 0, allora facciamo i calcoli con 36 e 16.
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23 / 38
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Esempio
Calcolo di MCD(140, 88):
I
140 = 1 · 88 + 52. Come r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e 52.
I
88 = 1 · 52 + 36. Come r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36.
I
52 = 1 · 36 + 16. Come r = 16 6= 0, allora facciamo i calcoli con 36 e 16.
I
36 = 2 · 16 + 4. Come r = 4 6= 0, allora facciamo i calcoli con 16 e 4.
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23 / 38
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Esempio
Calcolo di MCD(140, 88):
I
140 = 1 · 88 + 52. Come r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e 52.
I
88 = 1 · 52 + 36. Come r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36.
I
52 = 1 · 36 + 16. Come r = 16 6= 0, allora facciamo i calcoli con 36 e 16.
I
36 = 2 · 16 + 4. Come r = 4 6= 0, allora facciamo i calcoli con 16 e 4.
I
16 = 4 · 4 + 0. Finito!!
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23 / 38
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Esempio
Calcolo di MCD(140, 88):
I
140 = 1 · 88 + 52. Come r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e 52.
I
88 = 1 · 52 + 36. Come r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36.
I
52 = 1 · 36 + 16. Come r = 16 6= 0, allora facciamo i calcoli con 36 e 16.
I
36 = 2 · 16 + 4. Come r = 4 6= 0, allora facciamo i calcoli con 16 e 4.
I
16 = 4 · 4 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(140, 88) = 4. E mcm(140, 88) = 140 · 88 ÷ 4 = 3080.
Aritmetica
Gennaio 2013
23 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
Aritmetica
Gennaio 2013
24 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
Aritmetica
Gennaio 2013
24 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
I
117 = 1 · 36 + 9
I
Aritmetica
Gennaio 2013
24 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
I
117 = 1 · 36 + 9
I
36 = 4 · 9 + 0. Finito!!
I
Aritmetica
Gennaio 2013
24 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
I
117 = 1 · 36 + 9
I
36 = 4 · 9 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(270, 153) = 9. E mcm(270, 153) = 270 · 153 ÷ 9 = 4590.
I
Aritmetica
Gennaio 2013
24 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
I
117 = 1 · 36 + 9
I
36 = 4 · 9 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(270, 153) = 9. E mcm(270, 153) = 270 · 153 ÷ 9 = 4590.
I
Calcolo di MCD(980, 280):
I
980 = 3 · 280 + 140.
Aritmetica
Gennaio 2013
24 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
I
117 = 1 · 36 + 9
I
36 = 4 · 9 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(270, 153) = 9. E mcm(270, 153) = 270 · 153 ÷ 9 = 4590.
I
Calcolo di MCD(980, 280):
I
980 = 3 · 280 + 140.
I
280 = 2 · 140 + 0. Finito!!
Aritmetica
Gennaio 2013
24 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
I
117 = 1 · 36 + 9
I
36 = 4 · 9 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(270, 153) = 9. E mcm(270, 153) = 270 · 153 ÷ 9 = 4590.
I
Calcolo di MCD(980, 280):
I
980 = 3 · 280 + 140.
I
280 = 2 · 140 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(980, 280) = 140. E mcm(980, 280) = 980 · 280 ÷ 140 = 1960.
Aritmetica
Gennaio 2013
24 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
Aritmetica
Gennaio 2013
25 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
Aritmetica
Gennaio 2013
25 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
Aritmetica
Gennaio 2013
25 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
Aritmetica
Gennaio 2013
25 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884.
Aritmetica
Gennaio 2013
25 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884.
Calcolo di MCD(16, 8):
I
16 = 2 · 8 + 0. Finito!!
Aritmetica
Gennaio 2013
25 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884.
Calcolo di MCD(16, 8):
I
16 = 2 · 8 + 0. Finito!!
I
Quindi MCD(16, 8) = 8). E mcm(16, 8) = 16 · 8 ÷ 8 = 16.
Aritmetica
Gennaio 2013
25 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884.
Calcolo di MCD(16, 8):
I
16 = 2 · 8 + 0. Finito!!
I
Quindi MCD(16, 8) = 8). E mcm(16, 8) = 16 · 8 ÷ 8 = 16.
Calcolo di MCD(103565, 12945):
I
103565 = 8 · 12945 + 5
Aritmetica
Gennaio 2013
25 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884.
Calcolo di MCD(16, 8):
I
16 = 2 · 8 + 0. Finito!!
I
Quindi MCD(16, 8) = 8). E mcm(16, 8) = 16 · 8 ÷ 8 = 16.
Calcolo di MCD(103565, 12945):
I
I
103565 = 8 · 12945 + 5
12945 = 2589 · 5 + 0. Finito!!
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Gennaio 2013
25 / 38
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884.
Calcolo di MCD(16, 8):
I
16 = 2 · 8 + 0. Finito!!
I
Quindi MCD(16, 8) = 8). E mcm(16, 8) = 16 · 8 ÷ 8 = 16.
Calcolo di MCD(103565, 12945):
I
I
I
103565 = 8 · 12945 + 5
12945 = 2589 · 5 + 0. Finito!!
Quindi MCD(103565, 12945) = 5. E
mcm(103565, 12945) = 103565 · 12945 ÷ 5 = 268129785.
Aritmetica
Gennaio 2013
25 / 38
Aritmetica
I numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali i
numeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Aritmetica
Gennaio 2013
26 / 38
Aritmetica
I numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali i
numeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Aritmetica
Gennaio 2013
26 / 38
Aritmetica
I numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali i
numeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sono
quelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.
Aritmetica
Gennaio 2013
26 / 38
Aritmetica
I numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali i
numeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sono
quelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.
Lo 0 non è positivo né negativo!!
Aritmetica
Gennaio 2013
26 / 38
Aritmetica
I numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali i
numeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sono
quelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.
Lo 0 non è positivo né negativo!!
Esempio
Ordinare l’insieme: {0, −34, 56, −45, −5, 7, 233}
Aritmetica
Gennaio 2013
26 / 38
Aritmetica
I numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali i
numeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sono
quelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.
Lo 0 non è positivo né negativo!!
Esempio
Ordinare l’insieme: {0, −34, 56, −45, −5, 7, 233}
−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233
Aritmetica
Gennaio 2013
26 / 38
Aritmetica
I numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali i
numeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sono
quelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.
Lo 0 non è positivo né negativo!!
Esempio
Ordinare l’insieme: {0, −34, 56, −45, −5, 7, 233}
−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233
I negativi sono: {−45, −34, −5} e i positivi sono {7, 56, 233}.
Aritmetica
Gennaio 2013
26 / 38
Somma in Z
La somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
Aritmetica
Gennaio 2013
27 / 38
Somma in Z
La somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: a + 0 = a.
Aritmetica
Gennaio 2013
27 / 38
Somma in Z
La somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: a + 0 = a.
I
Commutatività: a + b = b + a.
Aritmetica
Gennaio 2013
27 / 38
Somma in Z
La somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: a + 0 = a.
I
Commutatività: a + b = b + a.
I
Associatività: a + (b + c) = (a + b) + c.
Aritmetica
Gennaio 2013
27 / 38
Somma in Z
La somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: a + 0 = a.
I
Commutatività: a + b = b + a.
I
Associatività: a + (b + c) = (a + b) + c.
I
Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a + b = 0.
Aritmetica
Gennaio 2013
27 / 38
Somma in Z
La somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: a + 0 = a.
I
Commutatività: a + b = b + a.
I
Associatività: a + (b + c) = (a + b) + c.
I
Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a + b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Aritmetica
Gennaio 2013
27 / 38
Somma in Z
La somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: a + 0 = a.
I
Commutatività: a + b = b + a.
I
Associatività: a + (b + c) = (a + b) + c.
I
Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a + b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.
Aritmetica
Gennaio 2013
27 / 38
Somma in Z
La somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: a + 0 = a.
I
Commutatività: a + b = b + a.
I
Associatività: a + (b + c) = (a + b) + c.
I
Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a + b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.
Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Aritmetica
Gennaio 2013
27 / 38
Somma in Z
La somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: a + 0 = a.
I
Commutatività: a + b = b + a.
I
Associatività: a + (b + c) = (a + b) + c.
I
Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a + b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.
Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Regola: Due segni negativi si cancellano:
−(−n) = n.
Aritmetica
Gennaio 2013
27 / 38
Somma in Z
La somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: a + 0 = a.
I
Commutatività: a + b = b + a.
I
Associatività: a + (b + c) = (a + b) + c.
I
Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a + b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.
Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Regola: Due segni negativi si cancellano:
−(−n) = n.
Esempio
L’inverso di 3 è −3. L’inverso di 56 è −56. L’inverso di −34 è 34.
L’inverso di −345 è 345.
Aritmetica
Gennaio 2013
27 / 38
Prodotto in Z
Il prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola dei
segni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni
+·+=+
+·−=−
−·+=−
Aritmetica
−·−=+
Gennaio 2013
28 / 38
Prodotto in Z
Il prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola dei
segni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni
+·+=+
+·−=−
−·+=−
−·−=+
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:
Aritmetica
Gennaio 2013
28 / 38
Prodotto in Z
Il prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola dei
segni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni
+·+=+
+·−=−
−·+=−
−·−=+
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:
I
L’1 è neutro: a · 1 = a.
Aritmetica
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28 / 38
Prodotto in Z
Il prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola dei
segni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni
+·+=+
+·−=−
−·+=−
−·−=+
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:
I
L’1 è neutro: a · 1 = a.
I
Commutatività:
a · b = b · a.
Aritmetica
Gennaio 2013
28 / 38
Prodotto in Z
Il prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola dei
segni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni
+·+=+
+·−=−
−·+=−
−·−=+
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:
I
L’1 è neutro: a · 1 = a.
I
Commutatività:
I
Associatività:
a · b = b · a.
a · (b · c) = (a · b) · c.
Aritmetica
Gennaio 2013
28 / 38
Prodotto in Z
Il prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola dei
segni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni
+·+=+
+·−=−
−·+=−
−·−=+
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:
I
L’1 è neutro: a · 1 = a.
I
Commutatività:
I
Associatività:
I
Cancellazione:
a · b = b · a.
a · (b · c) = (a · b) · c.
Se c 6= 0 e
a · c = b · c,
Aritmetica
allora
a = b.
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28 / 38
Prodotto in Z
Il prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola dei
segni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni
+·+=+
+·−=−
−·+=−
−·−=+
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:
I
L’1 è neutro: a · 1 = a.
I
Commutatività:
I
Associatività:
I
Cancellazione:
a · b = b · a.
a · (b · c) = (a · b) · c.
Se c 6= 0 e
a · c = b · c,
allora
a = b.
Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva
a · (b + c) = a · b + a · c,
per ogni interi a, b, c.
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28 / 38
Teorema fondamentale della Aritmetica
Teorema
Ogni numero intero a diverso di 0 e di 1 e −1 si può scomporre come un
prodotto di potenze di numeri primi
αk
1
a = ± pα
1 · · · · · pk
dove tutti gli esponenti sono positivi e tutti i primi sono diversi tra loro. Questa
scomposizione è unica, a meno di permutazioni dei fattori.
Aritmetica
Gennaio 2013
29 / 38
Aritmetica
I numeri frazionari: Q
I numeri frazionari sono espressioni del genere:
a
b
dove a e b sono interi, e b 6= 0. a si chiama il numeratore e b il denominatore.
Aritmetica
Gennaio 2013
30 / 38
Aritmetica
I numeri frazionari: Q
I numeri frazionari sono espressioni del genere:
a
b
dove a e b sono interi, e b 6= 0. a si chiama il numeratore e b il denominatore.
Criterio di uguaglianza
c
a
=
b
d
se e solo se a · d = b · c.
Aritmetica
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30 / 38
Aritmetica
I numeri frazionari: Q
I numeri frazionari sono espressioni del genere:
a
b
dove a e b sono interi, e b 6= 0. a si chiama il numeratore e b il denominatore.
Criterio di uguaglianza
c
a
=
b
d
se e solo se a · d = b · c.
Osservazione: Se si moltiplica numeratore e denominatore per uno stesso
numero, diverso di 0, allora si ottiene una frazione equivalente:
a·c
a
=
b
b·c
Aritmetica
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30 / 38
Esempi
I
8/9 = 24/27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
Aritmetica
Gennaio 2013
31 / 38
Esempi
I
I
8/9 = 24/27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
3/5 = 3003/5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
Aritmetica
Gennaio 2013
31 / 38
Esempi
I
8/9 = 24/27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
3/5 = 3003/5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
I
6/2 = 3/1, perché 6 · 1 = 2 · 3.
I
Aritmetica
Gennaio 2013
31 / 38
Esempi
I
8/9 = 24/27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
3/5 = 3003/5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
I
6/2 = 3/1, perché 6 · 1 = 2 · 3.
I
a
Osservazione: Identificando con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari
1
contiene l’insieme degli interi:
Aritmetica
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31 / 38
Esempi
I
8/9 = 24/27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
3/5 = 3003/5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
I
6/2 = 3/1, perché 6 · 1 = 2 · 3.
I
a
Osservazione: Identificando con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari
1
contiene l’insieme degli interi:
N⊆Z⊆Q
Aritmetica
Gennaio 2013
31 / 38
Esempi
I
8/9 = 24/27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
3/5 = 3003/5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
I
6/2 = 3/1, perché 6 · 1 = 2 · 3.
I
a
Osservazione: Identificando con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari
1
contiene l’insieme degli interi:
N⊆Z⊆Q
Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti con
lo stesso denominatore:
a
a·d
=
b
b·d
e
Aritmetica
c
c·b
=
d
d·b
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31 / 38
Esempi
I
8/9 = 24/27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
3/5 = 3003/5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
I
6/2 = 3/1, perché 6 · 1 = 2 · 3.
I
a
Osservazione: Identificando con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari
1
contiene l’insieme degli interi:
N⊆Z⊆Q
Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti con
lo stesso denominatore:
a
a·d
=
b
b·d
e
c
c·b
=
d
d·b
Domanda: Possiamo farlo un po’ meglio?
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Gennaio 2013
31 / 38
Esempi
I
8/9 = 24/27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
3/5 = 3003/5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
I
6/2 = 3/1, perché 6 · 1 = 2 · 3.
I
a
Osservazione: Identificando con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari
1
contiene l’insieme degli interi:
N⊆Z⊆Q
Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti con
lo stesso denominatore:
a
a·d
=
b
b·d
e
c
c·b
=
d
d·b
Domanda: Possiamo farlo un po’ meglio?
Risposta: Sì, si può usare il mcm(b, d). Come?
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31 / 38
Somma e prodotto in Q
La somma e il prodotto si definiscono così:
c
a·d+c·b
a
+ =
b
d
b·d
Aritmetica
a c
a·c
· =
b d
b·d
Gennaio 2013
32 / 38
Somma e prodotto in Q
La somma e il prodotto si definiscono così:
c
a·d+c·b
a
+ =
b
d
b·d
a c
a·c
· =
b d
b·d
Osservazione: La idea dietro la definizione della somma è che frazioni con
denominatori uguali si possono sommare semplicemente facendo la somma
dei numeratori e prendendo come denominatore quello comune a entrambi.
Cioè:
c
a+c
a
+ =
,
d d
d
perché il denominatore è lo stesso.
Aritmetica
Gennaio 2013
32 / 38
Somma e prodotto in Q
La somma e il prodotto si definiscono così:
c
a·d+c·b
a
+ =
b
d
b·d
a c
a·c
· =
b d
b·d
Osservazione: La idea dietro la definizione della somma è che frazioni con
denominatori uguali si possono sommare semplicemente facendo la somma
dei numeratori e prendendo come denominatore quello comune a entrambi.
Cioè:
c
a+c
a
+ =
,
d d
d
perché il denominatore è lo stesso.
Quindi, in generale:
a
c
a·d
c·b
a·d+c·b
+ =
+
=
b
d
b·d
d·b
d·b
Aritmetica
Gennaio 2013
32 / 38
Esempi
Somma:
3
45 · 21 + 3 · 14
987
45
I
+
=
=
14 21
14 · 21
294
I
33 22
33 · 9 + 22 · 6
429
+
=
=
6
9
6·9
54
Aritmetica
Gennaio 2013
33 / 38
Esempi
Somma:
3
45 · 21 + 3 · 14
987
45
I
+
=
=
14 21
14 · 21
294
I
33 22
33 · 9 + 22 · 6
429
+
=
=
6
9
6·9
54
Le stesse operazioni usando il m.c.m.:
I
3
45 · (42 ÷ 14) + 3 · (42 ÷ 21)
45 · 3 + 3 · 2
125 + 6
141
45
+
=
=
=
=
14 21
42
42
42
42
I
33 22
33 · (18 ÷ 6) + 22 · (18 ÷ 9)
33 · 3 + 22 · 2
143
+
=
=
=
6
9
18
18
18
Aritmetica
Gennaio 2013
33 / 38
Esempi
Somma:
3
45 · 21 + 3 · 14
987
45
I
+
=
=
14 21
14 · 21
294
I
33 22
33 · 9 + 22 · 6
429
+
=
=
6
9
6·9
54
Le stesse operazioni usando il m.c.m.:
I
3
45 · (42 ÷ 14) + 3 · (42 ÷ 21)
45 · 3 + 3 · 2
125 + 6
141
45
+
=
=
=
=
14 21
42
42
42
42
I
33 22
33 · (18 ÷ 6) + 22 · (18 ÷ 9)
33 · 3 + 22 · 2
143
+
=
=
=
6
9
18
18
18
Prodotto:
45 3
45 · 3
135
I
·
=
=
14 21
14 · 21
294
I
33 22
33 · 22
726
·
=
=
6 9
6·9
54
Aritmetica
Gennaio 2013
33 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
Aritmetica
Gennaio 2013
34 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
Aritmetica
Gennaio 2013
34 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
I
Commutatività: r + s = s + r.
Aritmetica
Gennaio 2013
34 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
I
Commutatività: r + s = s + r.
I
Associatività: r + (s + t) = (r + s) + t.
Aritmetica
Gennaio 2013
34 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
I
Commutatività: r + s = s + r.
I
Associatività: r + (s + t) = (r + s) + t.
I
Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0.
Aritmetica
Gennaio 2013
34 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
I
Commutatività: r + s = s + r.
I
Associatività: r + (s + t) = (r + s) + t.
I
Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Aritmetica
Gennaio 2013
34 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
I
Commutatività: r + s = s + r.
I
Associatività: r + (s + t) = (r + s) + t.
I
Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:
Aritmetica
Gennaio 2013
34 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
I
Commutatività: r + s = s + r.
I
Associatività: r + (s + t) = (r + s) + t.
I
Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:
I
L’1 è neutro: r · 1 = r.
Aritmetica
Gennaio 2013
34 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
I
Commutatività: r + s = s + r.
I
Associatività: r + (s + t) = (r + s) + t.
I
Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:
I
L’1 è neutro: r · 1 = r.
I
Commutatività: r · s = s · r.
Aritmetica
Gennaio 2013
34 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
I
Commutatività: r + s = s + r.
I
Associatività: r + (s + t) = (r + s) + t.
I
Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:
I
L’1 è neutro: r · 1 = r.
I
Commutatività: r · s = s · r.
I
Associatività:
r · (s · t) = (r · s) · t.
Aritmetica
Gennaio 2013
34 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
I
Commutatività: r + s = s + r.
I
Associatività: r + (s + t) = (r + s) + t.
I
Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:
I
L’1 è neutro: r · 1 = r.
I
Commutatività: r · s = s · r.
I
Associatività:
I
Inverso:
r · (s · t) = (r · s) · t.
Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1.
Aritmetica
Gennaio 2013
34 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
I
Commutatività: r + s = s + r.
I
Associatività: r + (s + t) = (r + s) + t.
I
Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:
I
L’1 è neutro: r · 1 = r.
I
Commutatività: r · s = s · r.
I
Associatività:
I
Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1 .
r · (s · t) = (r · s) · t.
Aritmetica
Gennaio 2013
34 / 38
Proprietà della somma e del prodotto in Q
La somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I
Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
I
Commutatività: r + s = s + r.
I
Associatività: r + (s + t) = (r + s) + t.
I
Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:
I
L’1 è neutro: r · 1 = r.
I
Commutatività: r · s = s · r.
I
Associatività:
I
Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1 . In fatti,
r · (s · t) = (r · s) · t.
se r =
a
,
b
allora
Aritmetica
r−1 =
b
.
a
Gennaio 2013
34 / 38
I frazionari come numeri decimali
Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni
decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite
le divisioni:
4
6
15
1
250
1
10 0,25
10
41,66. . .
10 0,066. . .
20
40
100
0
40
100
4. . .
10. . .
Aritmetica
Gennaio 2013
35 / 38
I frazionari come numeri decimali
Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni
decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite
le divisioni:
4
6
15
1
250
1
10 0,25
10
41,66. . .
10 0,066. . .
20
40
100
0
40
100
4. . .
10. . .
Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le
espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della
seguente forma:
Aritmetica
Gennaio 2013
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I frazionari come numeri decimali
Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni
decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite
le divisioni:
4
6
15
1
250
1
10 0,25
10
41,66. . .
10 0,066. . .
20
40
100
0
40
100
4. . .
10. . .
Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le
espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della
seguente forma:
I
esatti: la parte decimale è finita. (0,25, 1,234, 3453,3)
Aritmetica
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I frazionari come numeri decimali
Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni
decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite
le divisioni:
4
6
15
1
250
1
10 0,25
10
41,66. . .
10 0,066. . .
20
40
100
0
40
100
4. . .
10. . .
Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le
espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della
seguente forma:
I
I
esatti: la parte decimale è finita. (0,25, 1,234, 3453,3)
periodici: la parte decimale ha un fragmento, il periodo, che si ripete
infinitamente. Il periodo si marca con una linea sopra: 41, 666 · · · = 41, 6.
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I frazionari come numeri decimali
Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni
decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite
le divisioni:
4
6
15
1
250
1
10 0,25
10
41,66. . .
10 0,066. . .
20
40
100
0
40
100
4. . .
10. . .
Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le
espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della
seguente forma:
I
I
esatti: la parte decimale è finita. (0,25, 1,234, 3453,3)
periodici: la parte decimale ha un fragmento, il periodo, che si ripete
infinitamente. Il periodo si marca con una linea sopra: 41, 666 · · · = 41, 6.
I
periodici semplici: la parte decimale coincide con la ripetizione successiva
del periodo. (41, 6, 1, 35, −0, 642)
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I frazionari come numeri decimali
Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni
decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite
le divisioni:
4
6
15
1
250
1
10 0,25
10
41,66. . .
10 0,066. . .
20
40
100
0
40
100
4. . .
10. . .
Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le
espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della
seguente forma:
I
I
esatti: la parte decimale è finita. (0,25, 1,234, 3453,3)
periodici: la parte decimale ha un fragmento, il periodo, che si ripete
infinitamente. Il periodo si marca con una linea sopra: 41, 666 · · · = 41, 6.
I
I
periodici semplici: la parte decimale coincide con la ripetizione successiva
del periodo. (41, 6, 1, 35, −0, 642)
periodici misti: c’è una parte decimale, non periodica e che precede al
periodo. Questa parte si chiama antiperiodo. (0, 06, −3, 1213, 10, 510)
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I frazionari come numeri decimali
antiperiodo periodo
z}|{ z}|{
123
,
|{z} | 456 {z 789} = 123, 456789789789789789 . . .
parte intera
parte decimale
Data una espressione decimale, per calcolare la sua frazione generatrice,
cioè una frazione tale che abbia quella espressione decimale, si procede così:
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I frazionari come numeri decimali
antiperiodo periodo
z}|{ z}|{
123
,
|{z} | 456 {z 789} = 123, 456789789789789789 . . .
parte intera
parte decimale
Data una espressione decimale, per calcolare la sua frazione generatrice,
cioè una frazione tale che abbia quella espressione decimale, si procede così:
I
Per gli esatti: il numeratore è il numero composto della parte intera
seguita dalla parte decimale (senza la virgola) e il denominatore è la
unità seguita da tanti 0 come cifre decimali abbia il numero.
Aritmetica
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I frazionari come numeri decimali
antiperiodo periodo
z}|{ z}|{
123
,
|{z} | 456 {z 789} = 123, 456789789789789789 . . .
parte intera
parte decimale
Data una espressione decimale, per calcolare la sua frazione generatrice,
cioè una frazione tale che abbia quella espressione decimale, si procede così:
I
Per gli esatti: il numeratore è il numero composto della parte intera
seguita dalla parte decimale (senza la virgola) e il denominatore è la
unità seguita da tanti 0 come cifre decimali abbia il numero.
I
Per i periodici semplici: il numeratore è la differenza tra il numero
composto della parte intera seguita dal periodo, e la parte intera; il
denominatore è il numero composto di tanti 9 come cifre abbia il periodo.
Aritmetica
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I frazionari come numeri decimali
antiperiodo periodo
z}|{ z}|{
123
,
|{z} | 456 {z 789} = 123, 456789789789789789 . . .
parte intera
parte decimale
Data una espressione decimale, per calcolare la sua frazione generatrice,
cioè una frazione tale che abbia quella espressione decimale, si procede così:
I
Per gli esatti: il numeratore è il numero composto della parte intera
seguita dalla parte decimale (senza la virgola) e il denominatore è la
unità seguita da tanti 0 come cifre decimali abbia il numero.
I
Per i periodici semplici: il numeratore è la differenza tra il numero
composto della parte intera seguita dal periodo, e la parte intera; il
denominatore è il numero composto di tanti 9 come cifre abbia il periodo.
I
Per i periodici misti: il numeratore è la differenza tra il numero composto
della parte intera seguita dall’antiperiodo e seguita dal periodo, e la parte
intera seguita dall’antiperiodo; il denominatore è il numero composto di
tanti 9 come cifre abbia il periodo seguito da tanti 0 come cifre abbia
l’antiperiodo.
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I frazionari come numeri decimali
Perché funzionano queste regole?
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I frazionari come numeri decimali
Perché funzionano queste regole? Lo vediamo con alcuni esempi.
Aritmetica
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I frazionari come numeri decimali
Perché funzionano queste regole? Lo vediamo con alcuni esempi.
Per gli esatti:
Se a = 123, 4567,
allora 10000 · a = 1234567,
a=
e quindi
1234567
10000
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I frazionari come numeri decimali
Perché funzionano queste regole? Lo vediamo con alcuni esempi.
Per gli esatti:
Se a = 123, 4567,
allora 10000 · a = 1234567,
a=
e quindi
1234567
10000
Per i periodici puri:
Se a = 123, 45,
allora 100 · a = 12345, 45,
e quindi
99 · a = (100 · a − a) = 12345, 45 − 123, 45 = 12345 − 123.
E allora,
a=
12345 − 123
12222
=
99
99
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I frazionari come numeri decimali
Per i periodici misti:
Se a = 123, 45678,
Quindi
allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678.
99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678
= 12345678 − 12345.
E allora,
a=
12345678 − 12345
12333333
=
99900
99900
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I frazionari come numeri decimali
Per i periodici misti:
Se a = 123, 45678,
Quindi
allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678.
99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678
= 12345678 − 12345.
E allora,
a=
I
12345678 − 12345
12333333
=
99900
99900
Dimostrare che 0, 9 = 1.
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I frazionari come numeri decimali
Per i periodici misti:
Se a = 123, 45678,
Quindi
allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678.
99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678
= 12345678 − 12345.
E allora,
a=
12345678 − 12345
12333333
=
99900
99900
I
Dimostrare che 0, 9 = 1.
I
Il numero
0, 1010010001000010000010000001 . . .
non è un numero frazionario,
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I frazionari come numeri decimali
Per i periodici misti:
Se a = 123, 45678,
Quindi
allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678.
99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678
= 12345678 − 12345.
E allora,
a=
12345678 − 12345
12333333
=
99900
99900
I
Dimostrare che 0, 9 = 1.
I
Il numero
0, 1010010001000010000010000001 . . .
non è un numero frazionario, perché non ha un periodo.
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I frazionari come numeri decimali
Per i periodici misti:
Se a = 123, 45678,
Quindi
allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678.
99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678
= 12345678 − 12345.
E allora,
a=
12345678 − 12345
12333333
=
99900
99900
I
Dimostrare che 0, 9 = 1.
I
Il numero
0, 1010010001000010000010000001 . . .
non è un numero frazionario, perché non ha un periodo.
Che tipo di numero è?
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