ISTITUTO COMPRENSIVO N.7 - VIA VIVALDI - IMOLA Via Vivaldi, 76 - 40026 Imola (BOLOGNA) Centro Territoriale Permanente per l’istruzione e la formazione in età adulta Licenza Media Scomposizione in fattori primi MCD e mcm con il metodo della scomposizione in fattori primi Disciplina: Matematica Scomposizione in fattori primi di un numero Un numero composto può essere scritto come prodotto di numeri primi. Questa operazione si chiama scomposizione in fattori primi o fattorizzazione. Ogni numero naturale può essere scomposto in fattori primi. 10 = 2 × 5 20 = 4 × 5 = 22 × 5 12 = 4 × 3 = 22 × 3 15 = 3 × 5 100 = 102 = (2 × 5)2 = 22 × 52 Per scomporre un numero composto in fattori primi dobbiamo: dividere il numero per il più piccolo numero primo che sia suo divisiore; dividere il risultato ottenuto (quoto) per il più piccolo numero primo che sia suo divisiore; continuare a dividere il risultato ottenuto per il più piccolo numero primo che sia suo divisiore fino a ottenere per risultato (quoto) 1. Moltiplicando tutti i divisori fra loro si ottiene il numero iniziale. Esempi di scomposizioni: 264 2 1575 3 132 2 525 3 66 2 175 5 33 3 35 5 11 11 7 7 1 1 264 = 23 × 3 × 11 1575 = 32 × 52 × 7 Esempi di scomposizioni: 336 2 1044 2 168 2 522 2 84 2 261 3 42 2 87 3 21 3 29 29 7 7 1 1 2 × 32 × 29 1044 = 2 336 = 24 × 3 × 7 Esempi particolari di scomposizioni: 120 10 = 2 × 5 120 2 12 2 60 2 6 2 30 2 120 è divisibile 3 3 15 3 per 10 = 2 × 5 1 5 5 1 120 = 23 × 3 × 5 2500 1250 625 125 25 5 1 2 2 5 5 5 5 2500 22 × 52 25 52 1 2500 è divisibile per 100 = 22 × 52 2500 = 22 × 54 MASSIMO COMUNE DIVISORE (MCD) Dati due, o più, numeri naturali, diversi da zero, si chiama loro loro massimo comune divisore (MCD) il più grande numero che divide esattamente tutti i numeri dati. Il massimo comune divisore (MCD) di due o più numeri naturali scomposti in fattori primi è: IL PRODOTTO DI TUTTI I LORO FATTORI PRIMI COMUNI, PRESI UNA SOLA VOLTA, CON L’ESPONENTE PIÙ BASSO Esempio di calcolo di MCD(24;30): Scomponiamo i numeri in fattori primi 24 2 12 2 6 2 3 3 1 24 = 23 × 3 30 2 15 3 5 5 1 30 = 2 × 3 × 5 I fattori comuni sono 2 e 3 e vanno presi con esponente 1: MCD(24;30) = 2 × 3 = 6 Esempio di calcolo di MCD(420;728): Scomponiamo i numeri in fattori primi 420 10 = 2 × 5 42 2 21 3 7 7 1 420 = 22 × 3 × 5 × 7 728 2 364 2 182 2 91 7 13 13 728 = 23 × 7 × 13 I fattori comuni sono 2 e 7 e 2 va preso con esponente 2: MCD(420;728) = 22 × 7 = 28 MINIMO COMUNE MULTIPLO (mcm) Dati due, o più, numeri naturali, diversi da zero, si chiama loro minimo comune multiplo (mcm), il più piccolo fra i loro multipli comuni. Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più numeri naturali scomposti in fattori primi è: IL PRODOTTO DI TUTTI I LORO FATTORI PRIMI COMUNI E NON COMUNI, PRESI UNA SOLA VOLTA, CON L’ESPONENTE PIÙ ALTO Esempio di calcolo di mcm(12;8): Scomponiamo i numeri in fattori primi 12 2 6 2 3 3 1 8 2 4 2 2 2 1 12 = 22 × 3 8 = 23 I fattori comuni sono 2 e 3 e 2 va preso con esponente 3: mcm(12;8) = 23 × 3 = 24 Esempio di calcolo di mcm(750;315): Scomponiamo i numeri in fattori primi 750 10 = 2 × 5 75 3 25 5 5 5 1 750 = 2 × 3 × 53 315 3 105 3 35 5 7 7 1 315 = 32 × 5 × 7 I fattori comuni sono 2, 3, 5 e 7, 3 va preso con esponente 2 e 5 va preso con esponente 3: mcm(750;315) = 2 × 32 × 53 × 7 = 15750