Serie 21: Termodinamica I

FAM
Serie 21: Termodinamica I
C. Ferrari
Premessa: Questa serie è da considerarsi di ripetizione ed è basata sui concetti
visti in II liceo.
Esercizio 1 Processo adiabatico non quasi-statico
Un cilindro verticale di altezza h ed adiabaticamente chiuso contiene un gas ideale monoatomico (=sistema). Inizialmente la pressione del gas è equilibrata da un
pistone di massa m0 libero di muoversi senza attrito con le pareti del cilindro. La
temperatura iniziale del gas è T0 . Si trascura la pressione atmosferica. Si pone sul
pistone una massa m, poi si lascia. Le situazioni iniziale e finale sono rappresentate
qui sotto.
m0
m
m0
p0 ,V0 ,T0
∆h
h
p,V,T
h − ∆h
1. Calcolare la pressione finale.
2. Calcolare il calore, il lavoro e la variazione di energia in questo processo in
funzione della differenza di altezza ∆h.
Indicazione: La forza che agisce sul sistema è costante.
3. Determina la temperatura finale ed il volume finale del gas in funzione unicamente di m, m0 , T0 e V0 .
4. Determinare la variazione di entropia nei casi m = 12 m0 e m = 2m0 . Dimostra
poi in generale che ∆S > 0. Si ha un processo reversibile? Perché?
Indicazione: Per la dimostrazione utilizza eventualmente una rappresentazione
grafica da effettuare con Maple.
5. Se il processo precedente è rimpiazzato con una successione di L tappe in cui in
cosa puoi dire sulla reversibiltà? Quando
ogni tappa si aggiunge una massa m
L
il processo diventa quasi-statico? Il processo può diventare reversibile per un
certo valore di L? (Utilizza l’ipotesi di assenza d’attrito per concludere che
∆S est = 0, con esterno = masse e pistone).
Indicazione: Utilizza una rappresentazione grafica di ∆S da effettuare con
Maple.
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Esercizio 2 Processo adiabatico quasi-statico e reversibile
Si riconsidera la situazione dell’esercizio 1 (ricordiamo che il sistema è adiabaticamente chiuso), in cui però il processo segue l’adiabatica (reversibile) pV γ = costante.
Si suppone che la pressione finale è la stessa di quella dell’esercizio 1.
1. Calcolare la variazione di altezza ∆h, la temperatura finale e quindi lo stato
finale (U,V,N).
2. Rappresenta su un diagramma pV la situazione relativa agli stati di equilibrio
iniziali e finali nel caso della trasformazione reversibile e confrontali con quelli
dell’esercizio 1.
3. Verificare che la variazione di entropia è nulla. Perché?
Esercizio 3 Processo adiabatico reversibile
Considera un gas ideale composto da un numero N fissato di particelle, abbiamo le
due equazioni
pV = NkB T
U = cNkB T .
Dimostra che
c+1
.
c
Indicazione: Utilizza il primo principio nel caso di una trasformazione adiabatica e
calcola poi dU in funzione di dT e dV in funzione di dp e dT . Infine utilizza il
risultato
Z x1
dx = ln x1 ,
x
x0
pV γ = cost
dove
γ=
x0
Esercizio 4 Espansione libera ed isoterma di un gas ideale
Considera un cilindro di volume totale V e a contatto con un bagno termico di
temperatura T . Un gas ideale composto da N particelle è inizialmente contenuto
nella metà sinistra del cilindro, occupando un volume V /2. All’istante t0 si lascia
espandere il gas in tutto il pistone. Durante l’espansione si osserva che la temperatura
non cambia.
1. Se p0 è la pressione iniziale, quanto vale la pressione finale?
2. Calcola la differenza di energia interna del gas tra la situazione iniziale e quella
finale.
3. Calcola la differenza di entropia del gas tra la situazione iniziale e quella finale.
Discuti la reversibilità.
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Esercizio 5 Espansione isoterma reversibile di un gas ideale
Considera un gas ideale (=sistema) contenuto in un cilindro a contatto con un bagno
termico alla temperatura T . Il gas si espande da un volume Vi ad un volume Vf nelle
condizioni in cui è costantemente mantenuto in equilibrio meccanico da una molla
(ciò vuol dire che la molla lascia espandere il gas lentissimamente). Il processo è
reversibile.
1. Calcola la variazione di energia, il lavoro ed il calore relativamente al sistema
in questo processo.
2. Calcola la variazione di entropia del gas e del bagno termico.
Indicazione: Visto che il processo è reversibile δi S = 0 e siccome T = costante
puoi scrivere
δQ
Q
dS =
=⇒ ∆S =
T
T
3. Quanto vale la variazione di entropia del sistema e del bagno termico considerati come nuovo sistema (che è isolato)?
4. Confronta con l’esercizio precedente. Quanto vale ∆S bagno in questa situazione,
e quanto vale ∆S tot ?
Esercizio 6 Equilibrio termico ed entropia
Considera due blocchi di rame identici di massa m = 1,5 kg. Il blocco 1 è a temperatura iniziale T1,i = 60 ◦ C mentre il blocco 2 è a temperatura T2,i = 20 ◦ C. I blocchi
sono ospitati in contenitori termicamente isolati e separati da un diaframma mobile
pure isolante. Se solleviamo il diaframma, i blocchi prima o poi giungono alla temperatura di equilibrio Tf = 40 ◦C. Qual è la variazione di entropia nel sistema dei
due blocchi durante questo processo? Il calore specifico del rame è 386 J/(kg · K).
Discuti la reversibilità.
Esercizio 7 Calore latente
Si mescola del ghiaccio (= Σ1 ) con dell’acqua calda (= Σ2 ). Il sistema Σ = Σ1 ∪ Σ2
è isolato e il tutto è considerato a pressione costante. Si trascura il lavoro tra i due
sottosistemi. Determinare:
1. la temperatura finale, una volta raggiunto l’equilibrio termodinamico;
2. la variazione di entropia del processo.
Dati numerici : situazione iniziale maq = 200 g alla temperatura di 16 oC, e mgh = 20 g
a −4 o C. cp (aq) = 4,18·103 J/(kg · K), cp (gh) = 2,06·103 J/(kg · K) e Ls→ℓ = 3,3 · 105 J/kg.
Esercizio 8 Freccia del tempo
Discuti la relazione tra freccia del tempo, irreversibilità e secondo principio, parte
(b).
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