2013.06.17.F1.compit..

Corsi di Laurea in Ingegneria Biomedica, dell’Informazione, Elettronica e Informatica
Canale 3 (Prof. G. Naletto)
Seconda Prova in Itinere di Fisica Generale 1 - Padova, 17 Giugno 2013
Cognome .............................................................. Nome ........................................... Matricola .......................
Problema 1
C
z
l
B
h
∆θ
A
l/2
D
x
Un cancello che possiamo schematizzare come una lastra omogenea
rettangolare ABCD di lati AB = CD = h = 1.5 m e BC = AD = l = 2 m e
massa m = 120 kg può ruotare attorno ad un asse verticale z passante per
AB essendo incernierato ai due estremi A e B (vedi figura). Inizialmente
il cancello è fermo con l’asse x, di origine A, che individua la direzione
dello spigolo orizzontale del cancello. Ad un certo istante si avvia un
motore posto in A ed il cancello inizia a ruotare attorno ad AB soggetto
all’azione del momento costante di modulo Mm del motore e di un
momento di attrito costante di modulo Ma = 0.5 Nm esercitati entrambi
sull’asse z. Il cancello, quando raggiunge la velocità angolare ω = 0.1
rad/s dopo aver ruotato di ∆θ = π/8 rad, urta in modo completamente
anelastico un bidone appoggiato a terra a forma di cilindro pieno di raggio
R = l/10 e massa m’ = m/12; l’asse del cilindro è verticale e dista l/2 da
AB. Pur con il motore acceso, a causa dell’attrito esercitato dal cilindro
con il suolo, il cancello si arresta dopo aver percorso un ulteriore angolo
∆θ’ = π/16 rad. Determinare:
a) il modulo RBx della componente x della reazione vincolare della cerniera in B quando il cancello è fermo;
b) il modulo Mm del momento esercitato dal motore sul cancello;
c) il modulo ω’ della velocità angolare del cancello dopo l’urto con il bidone;
d) il coefficiente µ di attrito dinamico tra il bidone ed il suolo.
Problema 2
Un cilindro orizzontale adiabatico è diviso in due settori da un setto fisso chiuso da una valvola. In un settore si trovano n
moli di gas ideale monoatomico in equilibrio alla temperatura TA = 300 K e che occupano un volume VA = 0.05 m3; l’altro
settore del cilindro è vuoto ed è chiuso da un pistone che può scorrere con attrito trascurabile tenuto inizialmente
bloccato. Ad un certo istante si apre la valvola, il gas occupa tutto il settore vuoto del cilindro e si porta nello stato di
equilibrio B. Successivamente si sblocca il pistone e, agendo dall’esterno in modo estremamente graduale, si comprime il
gas fino allo stato C in cui ha la stessa pressione iniziale e la temperatura TC = 350 K. Infine, si mette il gas in contatto
termico con un serbatoio alla temperatura TA, e lo si riporta nello stato iniziale A mantenendo costante la pressione
esterna al cilindro. Sapendo che la variazione di entropia dell’universo nel ciclo è pari a ∆SU = 15 J/K, determinare:
a) il numero n di moli del gas;
b) la pressione pB del gas in B;
c) il lavoro W fatto complessivamente dal gas nel ciclo.
Problema 3
Una macchina termica reversibile ad ogni ciclo assorbe una quantità di calore Q2 = 600 J da un serbatoio caldo a
temperatura T2 e cede un calore Q1 ad una massa m = 0.1 kg di ghiaccio alla temperatura di fusione T1 = 273.15 K. Finchè
il ghiaccio non è completamente fuso, il lavoro W fatto ad ogni ciclo dalla macchina viene utilizzato per comprimere in
modo isobaro del gas ideale alla pressione p = 105 Pa dal volume iniziale Vi = 0.002 m3 al volume finale Vf = Vi /4.
Determinare:
a) la temperatura T2 del serbatoio caldo;
b) il numero N di cicli compiuti dalla macchina per fondere tutta la massa di ghiaccio (si trascuri nel risultato la
frazione non intera di cicli);
c) la temperatura T1’ cui arriva l’acqua nell’istante in cui la macchina ha assorbito un calore complessivo Q’2 = 104 J
dal serbatoio caldo a partire da quanto tutto il ghiaccio è fuso;
d) il massimo lavoro W’max che complessivamente può fornire la macchina a partire da quando tutto il ghiaccio è fuso.
Si assumano λg = 3.3⋅105 J/kg per il calori latenti di fusione del ghiaccio e c = 4186.6 J/kgK il calore specifico dell’acqua.
Soluzioni
Problema 1
a)
r
r r r
Si assume come polo il punto A: rCM × mg + h × RB = 0 ⇒
b)
1
I z = ml 2 = 160 kgm 2 ; W = ∆E k
3
oppure ω 2 = ωo2 + 2α∆θ
c)
α=
ω2
= 0.0127 rad/s 2 ;
2 ∆θ
1
I zω 2
2
RBx =
Mm = Ma +
⇒
I zα = M m − M a
⇒
lmg
= 784 N
2h
Iz
= 2.54 Nm
2 ∆θ
M m = M a + I zα
1
1
l2  1
1 m l2
m l2
851
I ' z = ml 2 +  m' R 2 + m'  = ml 2 +
+
=
ml 2 = 170.2 kgm 2
3
2
4
3
2
12
100
12
4
2400


L = L' ⇒
d)
⇒
M m ∆θ − M a ∆θ =
⇒
l
mg − hRBx = 0 ⇒
2
W = ∆E k
1 2
851
800
ml ω =
ml 2ω' ⇒ ω' =
ω = 0.094 rad/s
3
2400
851
I ' ω' 2
l
1
24 
M m ∆ θ ' − M a ∆ θ ' − µm ' g ∆ θ ' = − I ' z ω ' 2 ⇒ µ =
Mm − Ma + z

mg l 
2
2
2 ∆θ '
I z ω = I ' z ω' ; ⇒
⇒
oppure 0 = ω ' 2 +2α ' ∆θ '
⇒
α '= −
ω'2
;
2∆θ '
I 'z α ' = M m − M a −
l
µm ' g
2
⇒
µ=

 = 0.06


24
(M m − M a + I ' z α ' )
mg l
Problema 2
La trasformazione AB è una espansione libera del gas, in cui ∆U AB = QAB = WAB = 0 . La trasformazione BC è una
adiabatica reversibile. La trasformazione CA è una isobara irreversibile.
−QCA −ncP (TA − TC )
TA ∆SU
⇒ n=
= 4.33
∆SU = ∆S amb,ciclo = ∆S amb,CA =
=
a)
TA
TA
c P (TC − TA )
oppure ∆SU = ∆SU , AB + ∆SU ,CA = −nR ln
1−γ

γ


p
p
5

= nRln C + ln C 
pB 2  pB 

 p
− QCA 
pB 
T
5 T
 = nR ln B + ln B
+  ncP ln A +
p A 
TC
TA 
p
2
TC
C


pC  5 1 − γ
 QCA
 − T = nR ln p 1 + 2 γ
A
B 

p  5  2  Q
Q
 QCA
 −
= nR ln C 1 +  −  − CA = − CA
p B  2  5  TA
TA
 TA
1−γ
b)
c)
⇒
T
p B = pC  C
 TB
γ
 1−γ

= 1.47 ⋅ 10 5 Pa

W = Q = QCA = nc P (TA − TC ) = −4500 J
oppure W = W BC + WCA = − ncV (TC − TB ) + pC (V A − VC ) = ncV (T A − TC ) + nR (T A − TC ) = nc P (T A − TC )
(
)
W = −W gas = − p V f − Vi =
T
3
W
pVi = 150 J; η =
=1− 1
4
Q2
T2
oppure Q1 = W − Q2 = −450 J;
b)
1−γ
nRT A
pC = p A =
= 2.16 ⋅ 10 5 Pa ; TB = T A ; TB p Bγ = TC pCγ
VA
Problema 3
a)
 QCA
 −
=
 TA
Q1 = −Qgh = −mcicloλg
Q2 Q1
+
=0
T2 T1
⇒ mciclo = −
Q1
λg
⇒
; ⇒
T2 = −T1
N=
⇒ T2 = −
T1
= 364.2 K
1 − W / Q2
Q2
Q1
mλg
m
=−
= 73
mciclo
Q1
Q '2
c)
d)
− Q' 2
T'
∆SU = ∆S amb = ∆S1 + ∆S 2 =
+ mc ln 1 = 0 ⇒ T '1 = T1e mcT2 = 291.7 K
T2
T1
Il massimo lavoro che complessivamente può fornire la macchina si ottiene calcolando il lavoro a partire da
quando il ghiaccio è fuso a quando l’acqua si porta alla temperatura T2 (in cui la macchina ha rendimento nullo).
−Q' 2,TOT
T
T
∆SU =
+ mc ln 2 = 0 ⇒ Q' 2,TOT = mcT2 ln 2 = 43865 J
T2
T1
T1
  T


Q'1,TOT = −mc(T2 − T1 ) = −38119 J ⇒ W ' max = Q' 2,TOT +Q'1,TOT = mc T2  ln 2 − 1 + T1  = 5746 J

  T1
