3_Elettrologia II

ELETTROLOGIA
Cap II
Calcolo del Campo Elettrico dovuto ad
alcune distribuzioni di carica
Elettrologia II
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Anello di raggio R uniformemente carco con carica Q.
Anello di dimensioni trasversali trascurabili rispetto al raggio.
= Q/2R, dq =  dl , Calcoliamo il campo lungo l’asse dell’anello
|dE1| = |dE2|
dE1sin() = - dE2sin() : somma = 0
dE1cos() = dE2cos(): somma = 2 dE1cos()
Il campo dE è sempre diretto lungo l’asse x
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=
Se x >> R allora:
N.B. E(-x) = -E(x)
ma non vuol dire
che è attrattivo!
come se l’anello fosse puntiforme !
-x
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Consideriamo un disco di raggio R e spessore trascurabile. Su di esso una carica Q:
 = Q/R2
Prendiamo al suo interno un anello (di sezione rettangolare) di raggio interno r e
raggio esterno r+dr; Area d = 2r dr,
dq =  2r dr.
Dalla formula del Campo E di un anello, con dq per Q e r per R
dE
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dE
e integrando E
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| |
Per x
0 (R
),
Quindi E per un piano carico “infinito” è
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per qualunque x
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Passando da –x a +x il campo passa da -
discontinuità di 2
a +
con una
=
-
+
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Dati due piani indefiniti paralleli con densità di carica uniforme + e -  i
due campi +E e –E si sommano: dentro
+
, fuori 0.
-
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Campo dovuto a un filo rettilineo di lunghezza 2l con carica uniforme Q.
(Mazzoldi… es. n.1.16, pag. 25 )
 = Q/2l
dx,
dq =  dx
y
 r
-l
-x
l
x
0
Campo dE in (0,y,0) diretto lungo y
Tre variabili legate : x, r ,
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Per integrare si devono eliminare due variabili su tre. Quali ?
Meglio integrare su  :
r = y/ sin( ),
dx?
x = y/tg( ),
y
 r
r’

-l
-x
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1
l
0 x
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N.B. E non è  1/y2 perché non è puntiforme !
Se y >> l allora E  1/y2
Per l
 , E ? Si deve tornare indietro.
E ha simmetria cilindrica attorno al filo.
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Linee di “forza” del campo elettrico
Cariche uguali
Cariche diverse
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Campo Elettrostatico e Campo Elettromotore
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Finora abbiamo visto il Campo prodotto da cariche ferme:
Campo Elettrostatico
Non è l’unico!
Campo Elettromotore: qualunque campo che su una carica q0 genera una
forza elettrica
Lavoro infinitesimo della Forza F
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Calcoliamo l’integrale di linea da A a B
W1/q0 =
T1 si definisce: Tensione elettrica tra i punti A e B, lungo il percorso C1 ,
diverso da quello lungo un altro percorso, C2 : T2 .
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Se calcoliamo il lavoro per spostare la carica q0 lungo un percorso chiuso:
W12 = W1 – W2 (attenzione al verso) = q0 (T1 -T2)
E
m
= T1 – T2 = forza elettromotrice (f.e.m.)
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In generale una f.e.m. non è conservativa.
Di che natura è il Campo Elettrostatico?
Calcoliamo il lavoro fatto dal Campo E.S.
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Dato che il lavoro per spostare la carica q0 da A a B non dipende dal
percorso fatto, ma solo dalle coordinate degli estremi la Forza
elettrostatica e il campo Elettrostatico sono conservativi.
U(x) si definisce Energia Potenziale Elettrostatica
V(x) = 1/q0 U(x) si definisce Potenziale Elettrostatico
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Per un campo conservativo:
E =0
WAB = - Ue = - [(UB – UA) ]
WAB = - q0 (VB –VA) = - q0 V
U = q0 V
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A=B = 0
Definiamo Potenziale Elettrostatico dovuto al campo E, nel punto r:
V(r)
U(r) = q0 V(r)
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Unità di misura di V(r) : Joule/Coulomb = J/C  Volt: V
Allora E  N/C = N m/(C m) = J/(C m) = V/m ! Volt su metro
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U e V campi scalari, ammettono il gradiente, 
dV = V ds

In una sola dimensione:
E è - la derivata di V rispetto a x ( la pendenza di V(x) )
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E
Es. : E = cost. , V(x) = V0 – E x
Se E è positivo, V(x) cala, …..
E(x) e V(x) dipendono solo dalla carica che genera V
il campo
Invece la U(x) = q0 V(x) dipende anche dal valore
e dal segno di q0
x
x
U+
N.B. I sistemi vanno spontaneamente da U maggiore a U
minore, quindi
q+ va da V maggiore a V minore (scendono lungo il
x
U-
potenziale)
x
q- va da V minore a V maggiore (risalgono il potenziale)
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Dato che derivare è più semplice di integrare, per avere
Conviene calcolare V(r) (scalare) e poi derivare.
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N.B.:
è perpendicolare alle superfici di livello, equi…. (qui superfici
equipotenziali ) e punta verso i V crescenti.
Quindi
punta verso i V calanti
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Se:
q0
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= q0 E
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Abbiamo visto che:
=0
Conservatività
Abbiamo anche visto il teorema di Stokes:
Quindi applicandolo a
conservativo, si ottiene
Il secondo integrale è = 0, per qualunque  solo se
(Irrotazionale).
è sempre = 0
Conservativo  Irrotazionale
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Esempi di calcolo del potenziale
1)
3 cariche uguali, q, ai vertici di un triangolo
equilatero di lato l. Trovare il potenziale al centro (V
+
scalare!)
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+
-
2)
2 piani indefiniti carichi con + e E = cost. = /0
E
V
V0
x0
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x1
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3) Potenziale ( e Campo Elettrico) di un anello uniformemente carico
V(x) max per x=0,
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Energia Potenziale Elettrostatica
Abbiamo visto che possiamo scrivere
q0
= Wr
Cioè Ue(r) è il lavoro che un ente esterno deve
compiere per portare la carica q0 da  a r , nel
campo creato da q1
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Se abbiamo tante cariche (fisse) qi , per avere l’energia immagazzinata
nel sistema, si sommano i contributi di tutte le coppie (e si divide per due)
= Energia necessaria per tenere insieme le cariche
Se si aggiunge un’altra carica q0 si deve sommare tutti i termini della somma
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Moto di una carica elettrica in un Campo Elettrico
Due possibili approcci:
1) Cinematica
2) Conservazione dell’energia
1)
F = ma = qE
a =qE/m
hp: E = costante e uniforme(!)
se v0 e x0 = 0
v(x)2 = 2qE/m x
Ke = ½ mv2 = qE x = F x = W
Ke non dipende dalla massa, ma la v(x) sì.
Acceleratori di cariche
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2) Teo delle “Forze Vive” :
½ mvB2 - ½ mvA2 = WAB = UA – UB = qVA - qVB
 Ke = -qV
½ mvA2 + qVA = ½ mvB2 + qVB
V= U/q
B
A
Se
x
VB = VA la Ke non può essere diversa
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Cinescopio = Tubo a raggi catodici
Se E è perpend. a v0 allora moto parabolico
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Ke = q V :
1J =1 C 1V
(V= J/C)
1J è un’energia molto grande per i fenomeni di tipo atomico.
Allora si usa l’elettro-volt = eV , l’energia che acquista un elettrone che
attraversa la V di 1 V
1eV = 1.6 10-19 C 1V = 1.6 10-19 J
1J = 6.25 1018 eV
eV, meV, eV, KeV, MeV, GeV, TeV
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