Il Dipolo Elettrico
Dipolo
Elettrico:
due
cariche
(puntiformi) +q e –q (stesso modulo,
segno
g opposto)
pp
) a distanza a.
Momento di Dipolo, P: Vettore di modulo
qa che va da –q
q a +q
Dato un punto P molto distante dal dipolo : r >> a
Elettrologia III
1
ϕ
θ‘
r2 - r1 ≅ a cosθ ’ ≅
Elettrologia III
≅
2
E
V non dipende
di d da
d ϕ quindi
i di Eϕ ∝
Per θ = 0, E // asse z,
Elettrologia III
3
Per θ = π/2,
E
Per θ = π,
… // p !
Elettrologia III
E
4
Anche per un sistema di più cariche (se neutro) si può definire un
momento di dipolo,
di l P = da,
d con q+ = Σ qi+ , q- = Σ qi- e a = vettore
tra i “baricentri” delle cariche – e +.
Momenti di quadrupolo, octupolo,…..
Elettrologia III
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Forza agente
g
su un dipolo
p
Se E è uniforme,
niforme allora F2 = q+ E = - F1 , Ftot = 0,
0
ma c’è il momento torcente della coppia di Forze:
M = - pE sin(θ) uz
Elettrologia III
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Lavoro di M p
per ruotare di θ il dipolo
p
U(θ) minima per θ = 0 ! -1 < 0 !
Per θ iniziale ≠ 0, moto oscillatorio, armonico per piccoli θ
Elettrologia III
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S E non è uniforme
Se
if
E1 ≠ E2 (E1 < E2)
a
Oltre a M cc’èè anche F netta
a
se
Il dipolo si orienta e si sposta.
Il verso della forza dipende dalla derivata di E ( se E cresce o cala con x)
Elettrologia III
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Angolo piano e angolo solido
Angolo (piano) : Porzione di piano individuata
da due semirette con l’origine in comune:
Angolo solido : Porzione di spazio individuata
da quattro semirette (non complanari) con
l’origine in comune:
dΣ0 porzione di sup. sferica
Elettrologia III
9
rad
AB ≈ r dθ, O’AO = O’DO = π/2,
r’
AD ≈ r’ d φ = r sin(θ) dφ
Area ABCD ≈ r 2sin(θ) dθ dφ = d Σ0
= sin(θ) dθ dφ
strad
Elettrologia III
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Legge
gg di Gauss
Il campo elettrostatico di una carica è conservativo, allora anche il campo
di N cariche o di una distribuzione continua di cariche è conservativo.
Consideriamo il flusso infinitesimo d Φ di un vettore (E) attraverso
una superficie infinitesima dΣ
dΦ = E ⋅ un dΣ = E dΣ cos(θ) =
En dΣ = E dΣ0
dΣ0 porzione di sup. sferica
dΦ =
Elettrologia III
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Legge di Gauss: il Flusso del campo elettrico attraverso una superficie
chiusa è uguale alla carica netta all’interno, divisa per ε0
Dato che E è additivo e gli integrale si sommano, la legge vale anche
per N cariche discrete o una distribuzione continua di carica.
Q è la somma di tutte le cariche interne, con il loro segno
τ
è il volume racchiuso da Σ (sup. chiusa)
Elettrologia III
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L carche
Le
h esterne non contano. Danno
D
un fl
flusso totale
l = zero.
Elettrologia III
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Riprendiamo il teorema della Divergenza
ΦΣ (v) ≡
= Applichiamolo alla Legge di Gauss
La carica Q contenuta nel volume τ racchiuso da Σ si può scrivere
per cui
FORMA DIFFERENZIALE ( O LOCALE) DELLA LEGGE DI GAUSS
Elettrologia III
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(x,y,z)
Dato che
Equazione di Poisson
Se ρ = 0
Equazione di Laplace
Elettrologia III
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La Legge di Gauss è molto utile quando, per motivi di simmetria,
l’integrale del Flusso è facile. Altrimenti…
Esempi
1) E costante e // a n su tutta la superficie Σ (chiusa)
Se Σ è una sfera
Elettrologia III
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2) Sfera vuota di raggio R, uniformemente carica (solo) in superficie: σ = cost
Campo in P, che dista r dal centro della sfera?
Ogni coppia di punti simmetrici dà un campo
i fi i i
infinitesimo
sempre // all raggio
i e che
h dipende
di d
solo dalla distanza.
Prendiamo un a sfera di raggio r = OP.
La sua sup. = 4 π r2 e il flusso di E è Φ(E) = E 4π r2 =
per cui
come se tutta la carica fosse concentrata nel centro della sfera!
inoltre
Elettrologia III
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Sulla sup. della sfera (r = R):
E
Dentro la sfera (r < R) Q = 0, E = 0
Il potenziale fuori va come 1/r
ll superficie,
fi i deve
d
Dentro è costante e alla
raccordarsi con quello fuori.
Elettrologia III
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3) Sfera piena, uniformemente carica nel volume : ρ = cost
Stesse considerazioni sulla geometria:
prendiamo due volumetti simmetrici...
E(r) è sempre radiale e dipende solo dalla distanza.
Prendiamo un a sfera di raggio r = OP.
La sua sup. = 4 π r2 e il flusso di E è E 4π r2 =
per cui
come se tutta la carica fosse concentrata nel centro della sfera.
E
Elettrologia III
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r
E
per r ≥ R, è come se tutta la carica fosse
concentrata nel centro della sfera.
V (R) =
per r = R:
per r < R, R ≡ r !, E =
,
all’interno
Elettrologia III
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4) Filo indefinito uniformemente carico (cilindro di raggio R << lunghezza)
densità di carica lineare
λ = q / h = cost
+
+
Per simmetria E deve essere ⊥ al filo, dipendere solo
+
+
+
da r ed essere uguale lungo il filo.
+
+
Prendiamo un cilindro arbitrario di raggio r e altezza h:
Il flusso di E attraverso le basi è nullo, E ⊥ un
+
+
Vale lontano dai
bordi o se il filo è
indefinito!
Elettrologia III
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R non può essere 0 !
Elettrologia III
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5) Superficie indefinita, uniformemente carica: σ = q / S = cost.
Prendiamo un cilindro di sezione Σ, con l’asse
pperpendicolare
p
alla sup.
p , di altezza h.
La carica nel cilindro è quella sulla parte di
superficie all’interno
all interno del cilindro Σ: q = σ Σ
Come già visto.
(Finchè x è << delle dimensioni “ laterali ”della superficie)
Elettrologia III
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N B Il campo E che
N.B.
h compare nell flusso
fl
è quello
ll totale,
t t l puòò anche
h
derivare da altre cariche .
Es: E1 ≠ E2. ma concordi e uniformi.
Prendiamo un cilindretto…
E1
Elettrologia III
+ σ
+
+
E2
+
+
+
+
+
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