matematica_2_IeFP - ISIS Zenale e Butinone

ZENALE e BUTINONE
KIT ESTIVO MATEMATICA A.S. 2015/16
CLASSI SECONDE IeFP
OPERATORE GRAFICO
Al fine di tenere in allenamento le abilità matematiche propedeutiche alla classe terza,
consigliamo lo svolgimento a piacere di esercizi sui seguenti argomenti:
Scomposizione di un polinomio: raccoglimento a fattor comune totale e parziale, trinomio
sviluppo del quadrato di un binomio, differenza di due quadrati, trinomio particolare di secondo
grado (somma/prodotto).
Frazioni algebriche letterali
Riduzione ai minimi termini di una frazione algebrica letterale
Operazioni con le frazioni algebriche letterali
Equazioni e disequazioni di primo grado
Equazioni intere di primo grado
Semplici equazioni fratte
Problemi di primo grado
Disequazioni, disequazioni fratte, sistemi di disequazioni
Sistemi lineari
Sistemi lineari: Sistemi: definizione e classificazione. Risoluzione di un sistema.
Interpretazione geometrica dei sistemi di equazioni lineari in due incognite
COMPETENZE
C1 : Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di
rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni
specifiche di tipo informatico.
C2 : Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico, rappresentandole anche sotto forma
grafica
C3: Confrontare ed analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni.
C4: Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi
TI CONSIGLIAMO DI SVOLGERE I SEGUENTI ESERCIZI:
LA SCOMPOZIONE IN FATTORI DEI POLINOMI
1.
Raccoglimento a fattor comune totale
Se in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore, che può essere anche
un numero, allora è possibile mettere in evidenza tale fattore con un raccoglimento a
fattore comune.
Esempio:


20ab 15a2b  5a3  5a  4b - 3ab  a2 


1


Esercizi
1)
20ab2  15a2b  10a3
2.
2)
9x 3 y 2  6x 2 y 3  18xy
3)
45a 2b  15a 3 b 2  5a 2
4)
 2ab 3  2a 2b  6a 2b 2
5)
3 7 9 8 15 6 3 5
x 
x 
x  x
4
16
8
4
6)
6xb  c   12yb  c 
5a4b  3ab  2a 
3xy 3x y  2xy  6
5a (9b  3ab  1)
2ab b  a  3ab
2
2
2
2
2
2
2
3 5  2 3 3 5

 4 x  x  4 x  2 x  1



6b  c x  2y
Raccoglimento a fattor comune parziale
Nel raccoglimento parziale, si raccolgono i termini a due a due, a tre a tre…. ed infine si
raccoglie a fattor comune
Esempio:
ax  bx  ay  by 
 x(a  b)  y(a  b) 
 (a  b)(x  y)
Esercizi
2x  y5x  a
1) 10x 2  5xy  2ax  ay
2) 4b 3  3b 2c  3c  4b  2x  2b 2 x
3) 2b 2 y 2  2bxy 2  2xy 2  2b 3 y 3
2
2
4) ax  bx  cx  ay  by  cy  a  b  c
2
a  b  c x  y  1
c  abab  3
a  b2x  3y
x  3z  2
5) abc  a 2b 2  3c  3ab
6) 2ax  2bx  3ay  3by
7) 6  3z  xz  2x
3.
b  14b  3c  2x
2y b  1b  x
Trinomio quadrato di binomio
A2 + 2AB + B2 = ( A + B )2
A2 - 2AB + B2 = ( A - B )2
5ab  1 
2 2
1) 25a b  10ab  1
2


 5x 3  3yz 2 


2) 25x 6  30x 3 yz  9y 2 z 2
2

2
X X  Y
3) X 3  2X 2 Y  XY 2


 2a 2 b 4  1 2 


4) 4a 2b 4  1  4a 4 b 8





5) 4x2 12xy  9y2
4.

2x  3y



2 



Differenza di quadrati
A2 - B2 = ( A + B )( A – B )
1) 4a 2  b 2
2a  b2a  b
x2 y2
2)

9 16
 x y  x y 
 3  4  3  4 



3)
 2 3 7  2 3 7 
 7 a  2 b  7 a  2 b 



4 6 49 2
a 
b
49
4
x b
4) x 8b10  36a 4
5) 4x 5  16x 3 y 2
5.

4x x  2yx  2y
4 5

 6a 2 x 4b 5  6a 2
3
Trinomi particolari di secondo grado (somma/prodotto)
x2 + ( a + b )x + ab = ( x + a )( x + b)
2
1) x  3x  2
x  1x  2
x 2  6x  7
x  7x  1
2
3) a  2a  3
a  3a  1
2
4) b  4b  32
b  4b  8
2
5) x  13x  42
x  6x  7
2)
3
FRAZIONI ALGEBRICHE
1.
Semplifica le seguenti frazioni algebriche
Per semplificare una frazione a termini letterali si scompongono, se
necessario, in fattori il numeratore e il denominatore e si eliminano i fattori
comuni
Esempi:
2ab2  2ab2  ab
4b
4b
2
2(a  b)
2
2a  2b 

(a  b) (a  b)
a -b
a2 - b2
1)
ab 2 3ab ab 3c 3 16a 2
4a
;
;
;
;
;
2b
3a
4ab
ac 2
16a 2b
2)
xy  x 2a  4b
3xy
;
;
2 xy
6a
2 x 2  xy
3)
2 x 2  3xy
3xy
;
2
2
4x
3x yz  3xy
4)
a  b x  2y  a  b
;
;
b  a 2y  x
ab
5)
7x  14
2
x 4
;
6x 2  12xy
2
2
x  4y  4 xy
4a
1 
 ab
3
 2 ; b ; b c ; b ; 4ab 


 y  1 a  2b
3y 
;
;
 2y ;
3
a
2
x

y


1 
 2x  3 y
 4 x ; xz  1
 1;
;
3a  3ax
2
3a  3ax
2
 1;  1
 7
6x
1x 
 x  2 ; x  2y ;

a  x2

2.
Esegui le seguenti moltiplicazioni di frazioni algebriche
1)
4a 
ax  3ay  
b 

 
   
2 
2a  b   6 xya 
1
2)
6a 
2ab  p 2  
b 

   2    
a  b   12ap 2 
1
3)
a 2  9 3a


6
a3
4)
4 x  16 8 x


8x
2x  8
 a 2  3a 


 2 
2
4
5)
a 2  7a  12 a  4


a 3
a 2  16
3.
Esegui le seguenti divisioni di frazioni algebriche
1)
2)
3)
4)
5)
4.
1
 3 
 2 xz 


 3c 
 2a 
 
 5x 
 2 
 x2 
 5x  2 


 4()5 x  2 
 x  2 
2 xy 4 x 2 y
:

3z 2 9 z
2ab 4a 2 b
:

3c 9c 2
3x  2 y 6 x  4 y
:

5x 2
25 x 3
x 2  4 3x  6
:

25 x 2  4 15 x  6
5x  2 x  2
:

x  3 4 x  12
Esegui le seguenti somme e differenze di frazioni algebriche
1)
1 a  1 2a 2  1
 2 

a
a
a3
2)
a b bc a c



ab
bc
ac
3)
1
2 x2  y2
3
4x

 2 2  2  2 
2
xy
x
x y
y
xy
4)
12 y
y 3


2
y 9 y 3
 a - 1
 a3 


0
2
 xy 
 
 y  3
 y-3 


5.
Esegui le seguenti potenze di frazioni algebriche
3
1)
 2x2a 

 
3 
yb


8x6a3 
 y 3b 9 


2)
 4ab 
 
 
 5 xy 
 16a 2 b 2 

2 2 
 25 x y 
2
5
3
3)
 2ab 2 c 3 
 
 
3
 3x y 
 8a 3 b 6 c 9 

9 3 
 27 x y 
4)
 ( a  b) 3 

 
 x  2y 
6.
Semplifica le seguenti espressioni
1)
( x  y )( x 2  xy  y 2 )  1
1
1
:  2 
 2
2 2
xy x
x y
y
2)
 a  b  x2  y2

 
a b
x y
3)
 a 2  a a 2  3a  3

:
:

a  2  a  3
 a2
 a  1
 3 


4)
1 1 1 1
2 y  2x
   :    : 2

2
 x y   x y  x  2 xy  y
y - x
 2 


2
2
 ( a  b) 6 

2 
 ( x  2 y) 
 1
 

 x y
2
1


a b
 2 2
2 
 a (x  y ) 


1
 
 
 a( x  y ) 
EQUAZIONI DI 1° GRADO
Ricorda
Equazione ridotta a forma normale:
ax  b
a) Se a  0 , possiamo dividere entrambi i membri per a ottenendo la soluzione
dell’equazione
x 
l’equazione è determinata
b
a
b) Se a = 0 e b = 0, l’equazione assume la forma
0x = 0
l’equazione ammette infinite soluzioni e viene chiamata indeterminata
c) Se a = 0 e b  0 , l’equazione assume la forma
0x = b
essa non ammette soluzioni e viene chiamata impossibile
6
EQUAZIONI NUMERICHE INTERE
Esempio
Risolvi l’equazione:
3x + 5 = x - 1
Trasporta a sinistra tutti i termini contenenti x e a destra tutti i termini non contenenti
x. Si ha:
3x - x= - 5 – 1
Riduci i termini simili
2x = - 6
Dividi primo e secondo membro per 2 (coefficiente della x), si ha:
x
6
2
quindi x  3
Risolvi le seguenti equazioni numeriche intere a coefficienti interi.
1)
3x + 4 = 0
2)
5 = 6x
3)
4 – 7x=0
4)
2x + 3 = 2x + 6 – x
5)
3 + 2x – 5 = 4 + 2x – 1
4
3
5
x=
6
4
x=
7
x=3
x=-
impossibile
6)
3 ( x –2 ) + 5x = 4(x + 1) +2
7)
1 + 6(2 – 4x) = 2(x + 2) +x
8)
3 (x – 1) – 2(3 – x) = 4(x + 2) + x –17
9)
2 ( 1 –x ) +3 = 4 (2 – x ) – 6x
10)
x=3
x=
x  22  x  12  5
1
3
indeterminata
3
x=
8
x = -1
7
Esempio
Risolvi l’equazione:
3x - 2 - 5x =
1
-x
2
Elimina il denominatore, poi trasporta a sinistra tutti i termini contenenti x e a destra
tutti i termini non contenenti x. Si ha:
3x + x - 5x = 2 +
2
1
2
6 x  2 x  10 x 4  1

2
2
2
- 2x = 5
Moltiplica per – 1 il primo e il secondo membro
2x = - 5
Dividi primo e secondo membro per 2 (coefficiente della x), si ha:
x
5
2
Risolvi le seguenti equazioni numeriche intere a coefficienti razionali non interi
1)
x
2
0
x=0
2)
7
2
x 
3
3
x=
3)
15
5

x
7
14
x = -6
4)
3
x 2  5
5
x=5
5)
1
1
2
x  x  0
3
2
3
x=4
6) 
2
1
1
x  1 x
3
2
6
2
7
x = -1
8
LE EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
Risolvi le seguenti equazioni numeriche fratte
1
3  0
x 
2)
1
1
x 3
x 4
3)
x 1
2  0
x 2
x 5
4)
2(x  5)
0
3(x  2)
x 5
1)
5)
x
3(2x  3)
x2
x 
0
1
3
3
2
Risolvi i seguenti problemi:
1)
Qual è quel numero che, addizionato a 5, dà come risultato -15?
2)
Calcolare il numero che, diminuito della sua metà, è uguale al doppio di 9.
[36]
2
Calcolare il numero che, diminuito dei suoi e aumentato di 40, dà come risultato
3
la sua metà.
[240]
1
Un numero è uguale alla sua terza parte aumentata di e diminuita di 1. Qual è il
3
numero?
[-1]
3)
4)
5)
Calcolare un numero sapendo che il suo doppio, diminuito del numero stesso è
2
uguale alla somma della sua terza parte e dei suoi . [problema indeterminato]
3
[32; 34]
SISTEMI DI EQUAZIONI DI 1° GRADO A DUE INCOGNITE
Esercizi risolti:
1) Risolvi il seguente sistema con il metodo di sostituzione:
2x  y  1

x  y  5

[-20]
ricava la y dalla prima equazione e sostituiscila nella seconda:
y  2x  1

x  (2x  1)  5
9

risolvi la seconda equazione in x:
y  2x  1
y  2x  1


3x  6
x  2

sostituisci il valore trovato nella prima equazione e ricava il valore della y:
x  2
y  3
y  2  2  1



y  3
x  2
x  2
Risolvi i seguenti sistemi di equazioni e rappresenta graficamente ( in un sistema di
assi cartesiani) :
x  y  6
1) 
x  y  4
(5;1)
3x  y  5
2) 
2x  3y  4
(1;2)
3x  2y  12
3) 
7x  y  11
(2; -3)
2x  3y  2
4) 
x  5y  6
(4;2)
x  3y  2
5) 
7x  y  36
(5;1)
3x  y  9
6) 
2x  5y  23
(4;3)
Problemi di 1° grado a più incognite
1) Trovare due numeri la cui somma è 15 e la cui differenza è 5.
[ 10; 5]
2) Il doppio della somma di due numeri è 20 e la quarta parte della loro differenza è
1. Quali sono i due numeri?
[ 7; 3]
3) La somma di due numeri naturali è 112 e la loro differenza è 36. Trovate i numeri.
[74; 38]
4) Il doppio di un numero supera di tre il triplo di un altro e la loro differenza è 4.
Trovate i numeri.
[ 9; 5]
5) Trovare due numeri tali che la somma del doppio del primo con il triplo del secondo
sia 57, e che la differenza fra il doppio del primo e il triplo del secondo sia 3.
[ 15; 9]
10