ZENALE e BUTINONE
KIT ESTIVO MATEMATICA A.S. 2015/16
CLASSI SECONDE IeFP
OPERATORE GRAFICO
Al fine di tenere in allenamento le abilità matematiche propedeutiche alla classe terza,
consigliamo lo svolgimento a piacere di esercizi sui seguenti argomenti:
Scomposizione di un polinomio: raccoglimento a fattor comune totale e parziale, trinomio
sviluppo del quadrato di un binomio, differenza di due quadrati, trinomio particolare di secondo
grado (somma/prodotto).
Frazioni algebriche letterali
Riduzione ai minimi termini di una frazione algebrica letterale
Operazioni con le frazioni algebriche letterali
Equazioni e disequazioni di primo grado
Equazioni intere di primo grado
Semplici equazioni fratte
Problemi di primo grado
Disequazioni, disequazioni fratte, sistemi di disequazioni
Sistemi lineari
Sistemi lineari: Sistemi: definizione e classificazione. Risoluzione di un sistema.
Interpretazione geometrica dei sistemi di equazioni lineari in due incognite
COMPETENZE
C1 : Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di
rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni
specifiche di tipo informatico.
C2 : Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico, rappresentandole anche sotto forma
grafica
C3: Confrontare ed analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni.
C4: Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi
TI CONSIGLIAMO DI SVOLGERE I SEGUENTI ESERCIZI:
LA SCOMPOZIONE IN FATTORI DEI POLINOMI
1.
Raccoglimento a fattor comune totale
Se in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore, che può essere anche
un numero, allora è possibile mettere in evidenza tale fattore con un raccoglimento a
fattore comune.
Esempio:
20ab 15a2b 5a3 5a 4b - 3ab a2
1
Esercizi
1)
20ab2 15a2b 10a3
2.
2)
9x 3 y 2 6x 2 y 3 18xy
3)
45a 2b 15a 3 b 2 5a 2
4)
2ab 3 2a 2b 6a 2b 2
5)
3 7 9 8 15 6 3 5
x
x
x x
4
16
8
4
6)
6xb c 12yb c
5a4b 3ab 2a
3xy 3x y 2xy 6
5a (9b 3ab 1)
2ab b a 3ab
2
2
2
2
2
2
2
3 5 2 3 3 5
4 x x 4 x 2 x 1
6b c x 2y
Raccoglimento a fattor comune parziale
Nel raccoglimento parziale, si raccolgono i termini a due a due, a tre a tre…. ed infine si
raccoglie a fattor comune
Esempio:
ax bx ay by
x(a b) y(a b)
(a b)(x y)
Esercizi
2x y5x a
1) 10x 2 5xy 2ax ay
2) 4b 3 3b 2c 3c 4b 2x 2b 2 x
3) 2b 2 y 2 2bxy 2 2xy 2 2b 3 y 3
2
2
4) ax bx cx ay by cy a b c
2
a b c x y 1
c abab 3
a b2x 3y
x 3z 2
5) abc a 2b 2 3c 3ab
6) 2ax 2bx 3ay 3by
7) 6 3z xz 2x
3.
b 14b 3c 2x
2y b 1b x
Trinomio quadrato di binomio
A2 + 2AB + B2 = ( A + B )2
A2 - 2AB + B2 = ( A - B )2
5ab 1
2 2
1) 25a b 10ab 1
2
5x 3 3yz 2
2) 25x 6 30x 3 yz 9y 2 z 2
2
2
X X Y
3) X 3 2X 2 Y XY 2
2a 2 b 4 1 2
4) 4a 2b 4 1 4a 4 b 8
5) 4x2 12xy 9y2
4.
2x 3y
2
Differenza di quadrati
A2 - B2 = ( A + B )( A – B )
1) 4a 2 b 2
2a b2a b
x2 y2
2)
9 16
x y x y
3 4 3 4
3)
2 3 7 2 3 7
7 a 2 b 7 a 2 b
4 6 49 2
a
b
49
4
x b
4) x 8b10 36a 4
5) 4x 5 16x 3 y 2
5.
4x x 2yx 2y
4 5
6a 2 x 4b 5 6a 2
3
Trinomi particolari di secondo grado (somma/prodotto)
x2 + ( a + b )x + ab = ( x + a )( x + b)
2
1) x 3x 2
x 1x 2
x 2 6x 7
x 7x 1
2
3) a 2a 3
a 3a 1
2
4) b 4b 32
b 4b 8
2
5) x 13x 42
x 6x 7
2)
3
FRAZIONI ALGEBRICHE
1.
Semplifica le seguenti frazioni algebriche
Per semplificare una frazione a termini letterali si scompongono, se
necessario, in fattori il numeratore e il denominatore e si eliminano i fattori
comuni
Esempi:
2ab2 2ab2 ab
4b
4b
2
2(a b)
2
2a 2b
(a b) (a b)
a -b
a2 - b2
1)
ab 2 3ab ab 3c 3 16a 2
4a
;
;
;
;
;
2b
3a
4ab
ac 2
16a 2b
2)
xy x 2a 4b
3xy
;
;
2 xy
6a
2 x 2 xy
3)
2 x 2 3xy
3xy
;
2
2
4x
3x yz 3xy
4)
a b x 2y a b
;
;
b a 2y x
ab
5)
7x 14
2
x 4
;
6x 2 12xy
2
2
x 4y 4 xy
4a
1
ab
3
2 ; b ; b c ; b ; 4ab
y 1 a 2b
3y
;
;
2y ;
3
a
2
x
y
1
2x 3 y
4 x ; xz 1
1;
;
3a 3ax
2
3a 3ax
2
1; 1
7
6x
1x
x 2 ; x 2y ;
a x2
2.
Esegui le seguenti moltiplicazioni di frazioni algebriche
1)
4a
ax 3ay
b
2
2a b 6 xya
1
2)
6a
2ab p 2
b
2
a b 12ap 2
1
3)
a 2 9 3a
6
a3
4)
4 x 16 8 x
8x
2x 8
a 2 3a
2
2
4
5)
a 2 7a 12 a 4
a 3
a 2 16
3.
Esegui le seguenti divisioni di frazioni algebriche
1)
2)
3)
4)
5)
4.
1
3
2 xz
3c
2a
5x
2
x2
5x 2
4()5 x 2
x 2
2 xy 4 x 2 y
:
3z 2 9 z
2ab 4a 2 b
:
3c 9c 2
3x 2 y 6 x 4 y
:
5x 2
25 x 3
x 2 4 3x 6
:
25 x 2 4 15 x 6
5x 2 x 2
:
x 3 4 x 12
Esegui le seguenti somme e differenze di frazioni algebriche
1)
1 a 1 2a 2 1
2
a
a
a3
2)
a b bc a c
ab
bc
ac
3)
1
2 x2 y2
3
4x
2 2 2 2
2
xy
x
x y
y
xy
4)
12 y
y 3
2
y 9 y 3
a - 1
a3
0
2
xy
y 3
y-3
5.
Esegui le seguenti potenze di frazioni algebriche
3
1)
2x2a
3
yb
8x6a3
y 3b 9
2)
4ab
5 xy
16a 2 b 2
2 2
25 x y
2
5
3
3)
2ab 2 c 3
3
3x y
8a 3 b 6 c 9
9 3
27 x y
4)
( a b) 3
x 2y
6.
Semplifica le seguenti espressioni
1)
( x y )( x 2 xy y 2 ) 1
1
1
: 2
2
2 2
xy x
x y
y
2)
a b x2 y2
a b
x y
3)
a 2 a a 2 3a 3
:
:
a 2 a 3
a2
a 1
3
4)
1 1 1 1
2 y 2x
: : 2
2
x y x y x 2 xy y
y - x
2
2
2
( a b) 6
2
( x 2 y)
1
x y
2
1
a b
2 2
2
a (x y )
1
a( x y )
EQUAZIONI DI 1° GRADO
Ricorda
Equazione ridotta a forma normale:
ax b
a) Se a 0 , possiamo dividere entrambi i membri per a ottenendo la soluzione
dell’equazione
x
l’equazione è determinata
b
a
b) Se a = 0 e b = 0, l’equazione assume la forma
0x = 0
l’equazione ammette infinite soluzioni e viene chiamata indeterminata
c) Se a = 0 e b 0 , l’equazione assume la forma
0x = b
essa non ammette soluzioni e viene chiamata impossibile
6
EQUAZIONI NUMERICHE INTERE
Esempio
Risolvi l’equazione:
3x + 5 = x - 1
Trasporta a sinistra tutti i termini contenenti x e a destra tutti i termini non contenenti
x. Si ha:
3x - x= - 5 – 1
Riduci i termini simili
2x = - 6
Dividi primo e secondo membro per 2 (coefficiente della x), si ha:
x
6
2
quindi x 3
Risolvi le seguenti equazioni numeriche intere a coefficienti interi.
1)
3x + 4 = 0
2)
5 = 6x
3)
4 – 7x=0
4)
2x + 3 = 2x + 6 – x
5)
3 + 2x – 5 = 4 + 2x – 1
4
3
5
x=
6
4
x=
7
x=3
x=-
impossibile
6)
3 ( x –2 ) + 5x = 4(x + 1) +2
7)
1 + 6(2 – 4x) = 2(x + 2) +x
8)
3 (x – 1) – 2(3 – x) = 4(x + 2) + x –17
9)
2 ( 1 –x ) +3 = 4 (2 – x ) – 6x
10)
x=3
x=
x 22 x 12 5
1
3
indeterminata
3
x=
8
x = -1
7
Esempio
Risolvi l’equazione:
3x - 2 - 5x =
1
-x
2
Elimina il denominatore, poi trasporta a sinistra tutti i termini contenenti x e a destra
tutti i termini non contenenti x. Si ha:
3x + x - 5x = 2 +
2
1
2
6 x 2 x 10 x 4 1
2
2
2
- 2x = 5
Moltiplica per – 1 il primo e il secondo membro
2x = - 5
Dividi primo e secondo membro per 2 (coefficiente della x), si ha:
x
5
2
Risolvi le seguenti equazioni numeriche intere a coefficienti razionali non interi
1)
x
2
0
x=0
2)
7
2
x
3
3
x=
3)
15
5
x
7
14
x = -6
4)
3
x 2 5
5
x=5
5)
1
1
2
x x 0
3
2
3
x=4
6)
2
1
1
x 1 x
3
2
6
2
7
x = -1
8
LE EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
Risolvi le seguenti equazioni numeriche fratte
1
3 0
x
2)
1
1
x 3
x 4
3)
x 1
2 0
x 2
x 5
4)
2(x 5)
0
3(x 2)
x 5
1)
5)
x
3(2x 3)
x2
x
0
1
3
3
2
Risolvi i seguenti problemi:
1)
Qual è quel numero che, addizionato a 5, dà come risultato -15?
2)
Calcolare il numero che, diminuito della sua metà, è uguale al doppio di 9.
[36]
2
Calcolare il numero che, diminuito dei suoi e aumentato di 40, dà come risultato
3
la sua metà.
[240]
1
Un numero è uguale alla sua terza parte aumentata di e diminuita di 1. Qual è il
3
numero?
[-1]
3)
4)
5)
Calcolare un numero sapendo che il suo doppio, diminuito del numero stesso è
2
uguale alla somma della sua terza parte e dei suoi . [problema indeterminato]
3
[32; 34]
SISTEMI DI EQUAZIONI DI 1° GRADO A DUE INCOGNITE
Esercizi risolti:
1) Risolvi il seguente sistema con il metodo di sostituzione:
2x y 1
x y 5
[-20]
ricava la y dalla prima equazione e sostituiscila nella seconda:
y 2x 1
x (2x 1) 5
9
risolvi la seconda equazione in x:
y 2x 1
y 2x 1
3x 6
x 2
sostituisci il valore trovato nella prima equazione e ricava il valore della y:
x 2
y 3
y 2 2 1
y 3
x 2
x 2
Risolvi i seguenti sistemi di equazioni e rappresenta graficamente ( in un sistema di
assi cartesiani) :
x y 6
1)
x y 4
(5;1)
3x y 5
2)
2x 3y 4
(1;2)
3x 2y 12
3)
7x y 11
(2; -3)
2x 3y 2
4)
x 5y 6
(4;2)
x 3y 2
5)
7x y 36
(5;1)
3x y 9
6)
2x 5y 23
(4;3)
Problemi di 1° grado a più incognite
1) Trovare due numeri la cui somma è 15 e la cui differenza è 5.
[ 10; 5]
2) Il doppio della somma di due numeri è 20 e la quarta parte della loro differenza è
1. Quali sono i due numeri?
[ 7; 3]
3) La somma di due numeri naturali è 112 e la loro differenza è 36. Trovate i numeri.
[74; 38]
4) Il doppio di un numero supera di tre il triplo di un altro e la loro differenza è 4.
Trovate i numeri.
[ 9; 5]
5) Trovare due numeri tali che la somma del doppio del primo con il triplo del secondo
sia 57, e che la differenza fra il doppio del primo e il triplo del secondo sia 3.
[ 15; 9]
10
