Le Galassie
Lezione 4
Il potenziale gravitazionale
Dalla brillanza superficiale (con alcune assunzioni) si può determinare la
densità di massa (a meno del fattore Υ, ovvero il rapporto M/L).
In generale, dalla densità di massa ρ(x) si può ottenere il potenziale
gravitazionale risolvendo l’equazione di Poisson:
∇2 φ("x) = 4πGρ("x)
Nel caso di simmetria sferica ρ=ρ(r) l’equazione si semplifica a
!
"
1 d
2 dφ(r)
r
= 4πGρ(r)
2
r dr
dr
In generale, noto ϕ si può ricavare l’energia potenziale gravitazionale del
sistema
!
!
1
W =−
8πG
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1
"
|∇φ|
d"x =
2
2
V
ρ("x)φ("x)d"x
3
3
V
Astronomia Extragalattica
2
Caso particolare: simmetria sferica
1o teorema di Gauss: una particella test all’interno di una “shell” sferica di
materia non risente di alcuna forza gravitazionale.
2o teorema di Gauss: la forza gravitazionale esercitata su un corpo fuori da
una shell sferica è la stessa che si avrebbe se tutta la massa della shell fosse
concentrata nel centro della sfera.
Consideriamo una distribuzione di massa a simmetria sferica con ρ = ρ(r).
La massa racchiusa nella sfera di raggio r è:
M (r) =
!
r
!2
ρ(r )4πr dr!
!
0
Consideriamo una particella test al raggio r:
per il 1o teorema di Gauss la massa “esterna” M(r’>r) non esercita alcuna
attrazione gravitazionale;
per il 2o teorema di Gauss l’attrazione della massa “interna” M(r’<r) è la
stessa di quella che si avrebbe se la massa fosse concentrata a r=0 per cui
GM
(r)m
dφ(r)
!
F! (r) = −
!
u
=
−m
∇φ(r)
= −m
!ur
r
2
r
dr
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Astronomia Extragalattica
3
Caso particolare: simmetria sferica
GM (r)m
dφ(r)
!
!
F (r) = −
!
u
=
−m
∇φ(r)
=
−m
!
u
r
r
2
r
dr
dφ(r)
GM (r)
=
dr
r2
integrando membro a membro tra r e ∞, con ϕ(∞)=0 si ricava che
GM (r)
− 4πG
φ(r) = −
r
!
∞
ρ(r" )r" dr"
r
GMtot
φ(r → ∞) ∼
→0
r
Quindi, nota ρ nel caso di simmetria sferica si può facilmente ricavare ϕ.
Se viceversa è noto ϕ e si vuole ricavare ρ si usa l’equazione di Poisson
che in simmetria sferica è
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!
"
1 d
2 dφ(r)
r
=
4πGρ(r)
r2 dr
dr
Astronomia Extragalattica
4
Velocità circolare e di fuga
Noto il potenziale ϕ(r) ci sono due quantità importanti che si possono
ricavare: la velocità circolare e la velocità di fuga
Vc
dφ
GM (r)
a(r) =
=−
=−
r
dr
r2
2
1
2
E = mV + mφ(r)
2
! " "
" dφ "
Vc = r "" ""
dr
!
GM (r)
Vc =
r
La particella è “legata” se E<0, per cui la velocità di fuga si ha per E=0
!
Vf = 2|φ(r)|
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Vf =
!
Astronomia Extragalattica
GM (r)
2
r
5
Alcuni semplici potenziali
1) Massa puntiforme M
GM
φ(r) = −
! r
GM
Vc =
r
Velocità “Kepleriana” V~r -1/2
2) Sfera omogenea densità costante ρ
!
4π
Vcc =
Gρ r
3
!
2πr
3π
T =
=
Vc
Gρ
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periodo orbitale indipendente dal raggio
(rotazione di corpo “rigido”, V~r)
Astronomia Extragalattica
6
Alcuni semplici potenziali
3) Sfera isoterma (Singular isothermal sphere)
ρ(r0 )
ρ(r) =
(r/r0 )2
φ(r) = VH2 ln(r/r0 )
2
VH
=
2
4πGr0 ρ(r0 )
Vc = VH = costante!
4) Potenziale dell’alone oscuro
1
VH2
ρ(r) =
4πG r2 + a2H
1 VH2
ρ(r >> aH ) ∼
4πG r2
V 2 (r) = VH2 [1 − (aH /r) arctan(r/aH )]
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Astronomia Extragalattica
V 2 (r >> aH ) ∼ VH2
7
Alcuni semplici potenziali
5) Potenziale di Plummer
Massa totale? Ricordare che:
GMtot
GM
φ(r → ∞) ∼
→0
φ(r) = − √ 2
r
a + r2
!
"
2
1 1 d
M
dφ
3a
2
ρ(r) =
r
=
2
4πG r dr
dr
4π (a2 + r2 )5/2
"
!
GM (r)
GM
Vc =
=
3/2
2
2
r
log I(R)
r (1 + a /r )
~ cost. (core)
E’ possibile ottenere una formula analitica per la
brillanza superficiale
1
I(R) =
4πΥ
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!
+∞
−∞
M
a2
ρ(s)ds = 2
4π Υ (a2 + R2 )2
Astronomia Extragalattica
~ R-4
a
log R
8
Proprietà di una galassia
E’ possibile ottenere spettri ed immagini di una galassia a tutte le lunghezze
d’onda (dal radio ai raggi X).
Si possono quindi avere due tipi di osservazioni complementari per misure
quantitative:
Fotometria (da immagini)
morfologia (→ braccia a spirale, barre, bulge → classificazione di Hubble;
presenza di reddening, interazione con altre galassie ecc.)
fotometria (→ profili di brillanza -> luminosità della galassia e delle sue
componenti, raggi scala → SED spectral energy distributions)
Spettroscopia (da spettri)
cinematica del gas e delle stelle (→curve di rotazione, dispersione di
velocità, ecc.)
condizioni fisiche del gas (→ meccanismo di ionizzazione → sorgente
ionizzante)
popolazioni stellari (→ storia di formazione stellare → evoluzione)
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9
Spettri di galassia
Lo spettro di una galassia è il risultato della somma degli spettri dei
singoli costituenti: stelle, nebulose di
gas ionizzato, eventuale “nucleo attivo”.
Spettri di Galassie
In un tipico spettro ottico/infrarosso si
possono distinguere:
continuo (stelle, emissione AGN,
polvere calda - oltre 2μm);
righe di assorbimento (in genere stelle);
righe di emissione
righe di emissione (gas fotoionizzato).
continuo
righe di emissione
continuo
AGN
emissione delle stelle
righe di assorbimento
continuo stelle
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10
Cinematica del gas
L’andamento con λ di una riga di emissione è, in genere,
ben descritto da una o più funzioni gaussiane:
Fline(λ) = A+B exp[ -1/2 ( (λ-λ0)/σ )2 ]
λ0 è la lunghezza d’onda media da cui la velocità media
del gas è (effetto Doppler):
v = (λ0-λrest)/λrest c
2σ B
σ è legata alla dispersione di
velocità del gas σV (velocità
quadratica media) da:
A
σV = σ/λ0 c
L’integrale sotto la curva
gaussiana è il “flusso” della riga:
λ0
Fline = (2π)1/2 B σ
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11
Cinematica delle stelle
Per misurare le proprietà delle righe di assorbimento è necessario
utilizzare lo spettro di una stella di tipo opportuno, il “template” T(λ), e lo
spettro della galassia si può scrivere come:
Fgal(λ) = T(λ) ⊗ ϕ(λ)
ϕ(λ) è la distribuzione della
Spettro della Galassia
velocità delle stelle (λ→v)
lungo la linea di vista ed è in
Template ⊗ ϕ(λ)
v
genere ben descrivibile con
una gaussiana.
Da ϕ(λ) si ottengono v e σ
(dispersione di velocità).
Per le righe delle stelle non
Spettro di una stella G0V (Template)
si parla di flusso (negativo!)
ma di larghezza equivalente
(Equivalent Width)
W = flusso/continuo
[ (erg cm-2 s-1) / (erg cm-2 s-1 Å-1) = Å ]
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12
Parametri strutturali
Per ogni galassia possiamo misurare i parametri strutturali come:
luminosità totale, luminosità del bulge e del disco (spirale);
raggio scala del bulge e del disco (spirale), raggio efficace;
V media → redshift della galassia;
σ (dispersione di velocità media nel raggio efficace)
Ma anche cinematica risolta spazialmente ovvero V, σ
in varie punti della galassia.
Nel caso delle galassie a spirale dove c’è
rotazione del disco si può determinare V(r)
ovvero la curva di
rotazione.
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13
Le curve di rotazione
Consideriamo un disco in rotazione circolare con V = V(R).
I moti non circolari sono piccoli rispetto a V(R).
Per ottenere V(R) dalle osservazioni dobbiamo
correggere per gli effetti di proiezione geometrica.
z
!n = sin i !j + cos i !k
n
(linea di vista)
!
!v = Vsys!n + V (R) − sin φ!i + cos φ !j
Vobs = !v · !n = Vsys + V (R) sin i cos φ
i
"
ϕ
x
R
y
V(R)
Adesso è necessario esprimere R e cosϕ in funzione delle coordinate sul
piano del cielo che sono quelle effettivamente misurate.
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14
Le curve di rotazione
La proiezione di xy sul piano del cielo definisce
il riferimento x′y′ e risulta:
x =x
!
Possiamo quindi ottenere R e cosϕ dalle
coordinate x′,y′ sul piano del cielo
!2
R =x +y =x +
2
2
x
x!
cos φ =
=
R
R
!
!
y
cos i
ϕ
x
"2
R
• V(R)
P (x, y)
x′
•
P (x′, y′)
y
z
i
Proiezione di xy
sul piano del cielo
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n
i
y = y cos i
!
2
z
y
i
y′
Astronomia Extragalattica
Vista lungo x
y′
15
Le curve di rotazione
Esempio: potenziale di alone oscuro
VH2
4πGρH (r) = 2
aH + r2
!
"
#$
aH
r
2
2
V (r) = VH 1 −
arctan
r
aH
“Spider diagram”:
contorni di iso-velocità
osservati ovvero
contorni di V(R)cosϕ
costante per disco con
i=30° (unità di VHsin30°)
Velocità osservate lungo
le direzioni → → (fenditure
lunghe dello spettrografo)
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16
Rotazione delle galassie a spirali
E’ facile ottenere la curva di rotazione di una galassia esterna simile alla Via
Lattea (“spirale”) utilizzando le righe di emissione del gas ottiche (per
esempio Hα 6563 Å) o radio (HI a 21 cm).
NGC 6946
Ottico
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Radio (HI 21cm)
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17
Curve di rotazione delle spirali
corpo rigido (V~R)
Ottico
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velocità costante (V~V0)
Radio (HI)
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La rotazione della Via Lattea
Determinare la curva di rotazione della Via Lattea è più difficile che nel caso
delle galassie esterne.
La curva di rotazione nei dintorni del Sole può essere determinata col
metodo delle costanti di Oort (→corso di Astronomia).
Per R < R0 (distanza del Sole dal centro galattico) si possono sfruttare le
nubi di gas che emettono HI a 21 cm.
Per R > R0 la situazione è più complessa e si deve ricorrere a sorgenti di cui
è possibile determinare la distanza.
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19
Il metodo delle costanti di Oort
Stella con velocità radiale vr e trasversale vt rispetto
al Sole. La velocità angolare di rotazione circolare
attorno al centro galattico a distanza R è
esprimibile come Ω(R) = V(R)/R. Si dimostra che:
vr = ( Ω(R) - Ω0 ) R0 sinℓ
vt = ( Ω(R) - Ω0 ) R0 cosℓ- Ω(R) d
Espandendo in serie di Taylor al primo ordine Ω(R)
si arriva infine a scrivere:
vr = A d sin 2ℓ
vt = A d cos 2ℓ+ B d
A e B sono costanti che dipendono da V(R0),
R0 e (dΩ/dR)0 e sono dette costanti di Oort
Misurando vr, vt, d e ℓda stelle vicino al Sole
A = 14.4 ± 1.2 km/s/kpc B = -12.0 ± 2.8 km/s/kpc
cioè si conosce V(R) ma solo per R ~ R0 ed il metodo
è valido solo in prossimità del Sole.
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20
Rotazione dalle nubi HI
Il profilo della riga HI in
una determinata
direzione verso il disco
galattico mostra varie
VMax
componenti che
corrispondono a nubi
VMax
poste a varie distanze
dal centro.
La nube alla minima
distanza dal centro avrà la velocità massima perché V(Rmin) è più grande
in modulo e la sua proiezione lungo la linea di vista è massima:
d = R0 cos ℓ V(Rmin) = Vmax
In questo modo è possibile determinare la curva di rotazione della
Galassia ma solo per distanze R < R0.
Per andare oltre è necessario conoscere d (Cefeidi ...) ed utilizzare
relazioni generali per vr e vt viste prima.
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21
La curva di rotazione
Rotazione di corpo rigido
(solid body): V ~ r
Velocità
costante:
V ~ V0
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22
Significato fisico della rotazione
Nelle parti di rotazione di corpo rigido, V~r → densità costante ρ(r)~ρ0
Nelle parti a velocità costante, V~V0 → sfera isoterma ρ(r)~r-2
Ma la densità di stelle del disco decresce in modo esponenziale.
Le curve di rotazione
delle galassie a
spirale (a disco)
implicano l’esistenza
di materia che non è
spiegabile con le
stelle ed è “visibile”
solo attraverso i suoi
effetti gravitazionali:
Materia Oscura
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23
La curva di rotazione
Rotazione di corpo rigido
(solid body): V ~ r
Velocità costante: V ~ V0
M(<R0) = 8.8 ×1010 M☉
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Astronomia Extragalattica
Questa
sarebbe la
curva di
rotazione
(V~r -0.5) se
non ci fosse
altra massa
oltre il Sole.
La massa in
stelle oltre il
Sole è
trascurabile
rispetto a
M(<R0).
24
La materia oscura
ρ0
! r "2
1+ a
5.9 × 107 M! kpc−3
ρ(r) =
L’alone di materia oscura ha
un andamento del tipo:
ρ0 !
Per la Via Lattea:
a ! 2.8 kpc
Questo andamento deve
avere un “taglio” a grandi
r altrimenti MTOT→∞ !
Una galassia come la Via
Lattea ha una massa
“visibile” (stelle+gas):
Mtot/Mvis ~ 5
Mvis ~ 1.1× 1011 M☉
(Vrot~220 km/s a r~10 kpc)
Mtot ~ 5.6× 1011 M☉
(Vrot~220 km/s a r~50 kpc)
La proporzione di materia
oscura ricavata dalle
curve di rotazione varia da ~50% nelle Sa-Sb fino a 80%-90% nelle Sd-Sm.
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Natura della Materia Oscura
Materia Oscura
Barionica
materia ordinaria fatta
di protoni e neutroni
Resti di stelle
(stelle neutroni,
buchi neri)
Non Barionica
Cold Dark Matter
(CDM)
particelle con v≪c
Hot Dark Matter
(HDM)
particelle con v≈c
MACHOS
(Massive Astrophysical
Compact Halo Objects)
?? WIMPS
(Weakly Interacting
Massive Particles)
Neutrini (ν) + ??
~15%
Ciò che resta
< 3%
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Nane Brune
Astronomia Extragalattica
26
