Pendolo reversibile

Pendolo reversibile
25/09/08 18:44
pendolo reversibile
TEORIA FISICA
Scopo dell’esperienza è la misurazione dell’accelerazione di gravità g attraverso il periodo
di oscillazione di un pendolo reversibile.
Si utilizza un pendolo doppio o di Kater il cui periodo di oscillazione risulta essere uguale
a quello di un pendolo semplice con lunghezza l pari alla ‘lunghezza ridotta ’ del pendolo
composto.
Un pendolo semplice è costituito da un filo inestensibile di lunghezza l e massa
trascurabile a cui è appeso un punto materiale di massa m. Esso può oscillare intorno ad un
punto fisso, O, detto polo. In ogni istante le forze agenti sulla massa m sono il peso P =
mg e la tensione del filo R . Se il filo forma un angolo q con la verticale, la componente
della forza peso lungo il filo controbilancia la tensione del filo stesso, mentre la
componente della forza peso perpendicolare al filo funge da forza di richiamo e produce il
moto oscillatorio del pendolo.
Il momento risultante di tale forza rispetto al polo è
M=l×P
cioè, in modulo
M = - mgl sin q
che risulta essere negativo poiché è un momento di richiamo.
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Essendo
M = Ia = ml 2 d2q/dt 2 , si ottiene
d2q/dt 2 + w 2sinq = 0
con w = (g /l)1/2 . Per piccoli valori di q si può approssimare sin q con q, espresso in
radianti, ottenendo così la relazione tipica del moto armonico:
Il periodo dell’ oscillazione è quindi pari
A differenza del pendolo semplice, il pendolo composto è costituito da un corpo rigido,
libero di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse fisso non passante per il centro di
massa. Considerando le forze agenti e trascurando ogni forma di attrito e la spinta di
Archimede da parte dell’ aria, si ottengono, analogamente al caso precedente, le equazioni
M = I d2j /dt 2
con j pari all’ angolo compreso fra l’asse di rotazione e la retta congiungente il polo con il
centro di massa del corpo, e
M = - mgd sinj
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dove con d si indica la distanza tra il polo e il centro di massa
Eguagliando nuovamente tali equazioni e considerando piccole oscillazioni otteniamo:
d2j /dt 2 = - w2 j
con w = (mgd / I ) 1/2 , da cui segue :
L’accelerazione dipende quindi, fra l’altro, da I, momento di inerzia, e da d, distanza del
centro di massa dal polo.
Confrontando le espressioni del periodo del pendolo semplice e del pendolo composto, si
vede che il periodo del pendolo composto è quello che avrebbe di un pendolo semplice di
lunghezza l = I/md. Questa lunghezza viene detta “lunghezza ridotta” del pendolo
composto.
Scopo dell’esperienza è determinare, attraverso l’oscillazione di un pendolo composto,
quale sarebbe il valore del periodo che potrebbe essere appunto interpretato come periodo
del pendolo semplice di lunghezza l.
Dobbiamo quindi vedere come questo sia possibile, in base all’applicazioni delle leggi
fisiche ad un pendolo composto .
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Consideriamo un particolare tipo di pendolo composto, caratterizzato da un asta al fondo
della quale è appesa una massa fissa, mentre una massa mobile mA è in grado di essere
spostata lungo l’asta. Il corpo nel suo insieme è in grado di oscillare attorno a due diversi
assi, individuati dai poli O ed O’ e sia l la distanza fra questi due punti.
Spostare la massa mA provoca una variazione del momento di inerzia del corpo calcolato
rispetto all’asse di rotazione ed una conseguente variazione del periodo di oscillazione. Dal
momento di inerzia del corpo calcolato rispetto all’asse di rotazione si può passare,
utilizzando il teorema di Steiner, al momento di inerzia del corpo calcolato rispetto al
centro di massa.
Data una posizione della massa mobile mA, consideriamo la rotazione rispetto ad ambedue
i coltelli: la distanza del polo dal centro di massa sarà rispettivamente h1 e h0 , tali che h1
+ h0 = l
Si hanno rispettivamente:
To = 2p ( I 0 /mgh 1 ) 1/2
To’ = 2p ( I 0’ /mgh 0 ) 1/2
Possiamo spostare la massa mA fino a quando i due periodi coincidono e ci chiediamo
quale sarebbe la lunghezza del pendolo semplice che abbia proprio quel valore di periodo.
Scrivendo tutto questo in formule imponiamo:
To = To’ = T = 2p (l /g ) !/2
da cui:
I o / mgh1 = I 0’ / mgh0 = l /g
o anche :
I o / m h1 = l
I o’ / m ho = l
Attraverso il teorema di Steiner esprimiamo I o e I o’ in funzione di I CM, cioè del momento
di inerzia rispetto al centro di massa del corpo, secondo le relazioni
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di inerzia rispetto al centro di massa del corpo, secondo le relazioni
I o = I CM + mh 12
I o’ = I CM + mh o 2
Sottraendo membro a membro le due relazioni ed utilizzando le relazioni precedenti si
ottiene:
h1 + ho = l
Allora questo periodo, ottenuto spostando la massa mobile fino a che sia realizzata la
condizione T0 = T0’ , coincide con quello di un pendolo semplice che abbia lunghezza
pari alla distanza fra i due poli di oscillazione del pendolo composto (cioè la lunghezza
ridotta del pendolo composto).
L’accelerazione di gravità risulta quindi espressa come:
con T = T0 = T0’ ed l = h1 + ho .
Vi sono alcune cause si imprecisione legate al metodo utilizzato per la misura. Fra queste
ricordiamo:
 La validità delle espressioni trovate solo per angoli di oscillazione piccoli
 Il fatto di aver trascurato la resistenza dell’aria
 La possibile variazione della distanza fra i coltelli con la temperatura.
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