Elettrostatica

Lampi, Tuoni e Fulmini
Fisica Generale B
•! Alcuni fenomeni elettrici e magnetici sono noti dai tempi
antichi.
•! Lampi, tuoni e fulmini erano attribuiti alla mano del dio
Zeus (Giove).
1. Elettrostatica
http://campus.cib.unibo.it/2469/
Domenico
Galli
April 20, 2011
Digitally signed by Domenico Galli
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Galli
Date: 2011.04.20 17:55:47 +02'00'
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
Lampi, Tuoni e Fulmini (II)
2!
Triboelettricità
•! Oggi sappiamo che questi fenomeni sono dovuti
all’accumulo di cariche elettriche all’interno delle nuvole.
•! Già ai tempi di Talete (VI secolo a.C.) era noto che alcuni
materiali, come l’ambra (in greco !"#$%&'(, electron), una
volta strofinati con seta o con lana, attirano corpi
sufficientemente leggeri (triboelettricità).
•! Tuttavia le prime ricerche scientifiche sull’elettricità
iniziarono alla fine del XVI secolo, quando Wiliam Gilbert
studiò la relazione tra elettricità statica e magnetismo e
Benjamin Franklin provò la natura elettrica dei fulmini con
il famoso esperimento dell’aquilone.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
3!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
4!
Triboelettricità (II)
Triboelettricità (III)
•! Una volta elettrizzato il pendolino con l’ambra o l’ebanite,
si può osservare che bacchette di ambra o di ebanite
elettrizzate respingono il pendolino, mentre bacchette di
vetro elettrizzato attraggono il pendolino. Questo mostra
l’esistenza di due diversi stati di elettrizzazione:
l’elettrizzazione resinosa o negativa e l’elettrizzazione
vetrosa o positiva.
•! Strofinando una bacchetta di ambra, ebanite o vetro con
un panno di lana o seta, essa acquista la proprietà di
attrarre corpi leggeri, come pezzetti di carta.
•! Per osservare meglio tale attrazione si può utilizzare un
pendolo costituito di un frammento di midollo di sambuco,
appeso a un filo di seta.
•! Lo stato di elettrizzazione si comunica da un corpo a un
altro per contatto: toccando con una bacchetta
elettrizzata un pezzo di ambra o di ebanite, questo si
elettrizza a sua volta.
•! Il panno con cui si strofina la bacchetta risulta carico con
segno opposto rispetto alla bacchetta.
•! Lo stato di elettrizzazione può essere attribuito alla
carica elettrica. Lo strofinamento causa un accumulo
di carica positiva da una parte (p. es. bacchetta) e un
accumulo di carica negativa dall’altra (p. es. panno).
•! Se si tocca con la bacchetta elettrizzata il
pendolino, successivamente questo è
respinto dalla bacchetta.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
5!
Triboelettricità (IV)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
6!
La Forza Elettromagnetica nella Fisica
Moderna
•! Oggi sappiamo che la forza elettromagnetica è
una delle 4 forze fondamentali della natura:
•! Quando si riceve una scarica elettrica scendendo
dall’auto con la suola di gomma alle scarpe, si sperimenta
la triboelettricità.
1.! Forza gravitazionale;
–! Lo strofinamento dei vestiti sul sedile crea un accumulo di cariche
di un certo segno sui vestiti e di segno opposto sul sedile. Le suole
di gomma impediscono che la carica venga ceduta per contatto.
2.! Forza nucleare debole;
3.! Forza elettromagnetica;
–! Quando accidentalmente si tocca la carrozzeria con la mano, la
carica in eccesso viene ceduta per contatto, generando una
corrente elettrica di alta tensione (~30000 V/cm) che si percepisce
con fastidio.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
4.! Forza nucleare forte.
•! Ogni altra forza conosciuta (con eccezione
delle forze di inerzia) ha origine, a livello
microscopico, in una di queste 4 forze.
7!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
8!
La Forza Elettromagnetica nella Fisica
Moderna (II)
La Forza Elettromagnetica nella Fisica
Moderna (III)
•! La forza elettromagnetica è la forza dominante nel
mondo fisico che conosciamo:
•! Non hanno origine elettromagnetica poche forze
comunemente note, tra cui:
–! Tiene uniti gli elettroni al nucleo negli atomi.
–! La forza peso (forza gravitazionale);
–! Tiene uniti gli atomi nelle molecole;
–! La forza che mantiene i pianeti sulle loro orbite (forza
gravitazionale);
–! È all’origine delle forze elastiche;
–! È all’origine delle forze di tensione delle funi;
–! La forza che tiene uniti i quark nei nuclei degli atomi
(forza nucleare forte).
–! È all’origine delle forze di attrito;
–! È all’origine delle forze di resistenza;
–! È all’origine delle forze di tensione superficiale dei liquidi;
–! È all’origine delle forze di urto;
–! È all’origine delle reazioni vincolari.
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9!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
La Composizione della Materia
I Costituenti della Materia: le Particelle
Elementari (Fermioni)
molecola
!e
10!8 cm
atomo
10!12 cm
nucleo
10!
m=0
neutrino
elettronico
Q = !e
Q = 23 e
e m = 0.5 MeV/c2
u m = 8 MeV/c2
elettrone
elettrone
Q = ! 13 e
d m = 15 MeV/c2
up
Materia ordinaria
down
Esistite subito dopo il Big Bang. Ora presenti nei raggi cosmici e negli acceleratori
!13
10 cm
protone
!13
10 cm
neutrone
quark (<10!18 cm)
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11!
!µ" m = 0
neutrino
muonico
µ" m = 106 MeV/c2
!#" m = 0
neutrino
tauonico
#" m = 1800 MeV/c2
muone
tauone
leptoni
1 e = 1.602 ! 10–19 C
c m = 1600 MeV/c2
s m = 300 MeV/c2
strange
charm
t m = 170000 MeV/c2
top
b m = 4500 MeV/c2
bottom
quark
2 = 1.783 ! 10–30 kg
1 MeV/c
Domenico
Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
12!
L’Interazione
Bosoni, Mediatori delle Forze
•! Le forze fondamentali sono
attribuite allo scambio di
particelle mediatrici (bosoni).
Intensità della forza
a piccola distanza
(10!13 cm)
Forza e raggio
d'azione
10!38
Forza Nucleare Forte
10!13
Lo scambio di gluoni (g) tiene
uniti i 3 quark (u, u, d) nei
protoni, nonostante i 2 quark u
abbiano entrambi carica positiva
(la forza elettromagnetica li
allontanerebbe).
gravità
infinito
gravitone
•! Per esempio la repulsione tra
due cariche elettriche
positive è attribuita allo
scambio di particelle
mediatrici, dette fotoni.
responsabile del peso dei corpi
interazione
debole
!16
10 cm
bosoni intermedi
responsabili di alcune forme di radioattività
elettromagnetica
infinito
10!2
fotone
portatore della forza elettromagnetica,
costituisce luce, onde radio, raggi X, ecc.
Particella carica (p.es. elettrone)
interazione forte
10!13 cm
gluone
Particella mediatrice (p.es. fotone)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
tiene uniti i quark nei protoni, neutroni, ecc.
libera energia nelle reazioni nucleari
13!
Dagli Atomi…
•! Tavola Periodica degli Elementi (Dimitri Mendeleev, 1869):
•! Tabella riassuntiva delle 4 forze fondamentali:
./0112
),/=2K2
Gravitone
G
Bosoni vettori
intermedi
W+, W–, Z0
Fotone
"
14!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
Forze Fondamentali e Bosoni Mediatori
Particella
scambiata
(bosone)
1
Gluoni
g
Raggio
d’azione
#
10$16 cm
#
10$13 cm
Intensità a
piccola
distanza
(10!13 cm)
10$38
10$13
10$2
1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
15!
#
6
4
(
3
-
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5
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#$
##
#6
#4
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#3
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3
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Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
16!
…alle Particelle Elementari
–! Leptoni
"
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!"#$!"" !
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$4
%&'("
–! Bosoni (forze);
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#
!
!
•! Nell’interazione elettromagnetica, due elettroni (e) si
" e−
scambiano un fotone (!).
% $
/
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/+"!$.&'
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6/
&
"""
+,+"!$.&'$
01)2,
-%.&
(!"!$&'
!"#$%&'
•! Il Fotone è il bosone
che trasporta la forza
elettromagnetica.
!
""
+"!,$.&'
-)"#$.&'
,
! +
9/
/
7%2:)
-'+%#'
()$%&'
-%.%&'/01%+2"3
–! Quark
•! I Diagrammi di Feynman rappresentano graficamente le
interazioni microscopiche elementari tra particelle e
indica il procedimento di calcolo per determinarne le
caratteristiche fisiche (ampiezza di transizione, sezione
d’urto).
+#(,-(%(#".$&%$
/$,0"1(#$",23(#'$&%$4,
()*+,
•! Particelle del Modello
Standard (1970):
L’Interazione Elettromagnetica
Legge di Coulomb
!
F
e$
e−
Traiettorie
17!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
Diagramma di Feynman
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
e−
!
18!
Legge di Coulomb (II)
•! Perciò #0 (costante dielettrica del vuoto) vale:
•! Si può utilizzare una bilancia di torsione, analoga a quella
di Cavendish, per misurare l’intensità della forza elettrica
tra due particelle puntiformi cariche. Si trova che:
!
F12 =
e$
e−
1 q1 q2
1 q1 q2 ! !
r , r = P2 # P1
r̂ =
2
4!" 0 r
4!" 0 r 3
con:
1
2 #2
= 10#7 c 2 kg m C#2 = 8.99 $ 109 Nm
!"
# C#
$
4!" 0
kg m 3s#2 C#2
dove c è la velocità della luce nel vuoto e C è
l’unità di misura della carica elettrica nel
Sistema Internazionale, chiamata Coulomb.
P1
Farad, vedi prossimo capitolo
107 kg "1 m "1 C2
"1 "2 2
!0 =
= 8.85 $ 10"12 N
m
C
= 8.85 $ 10"12 F m
!
#
"
#
$
2
4# c
kg "1 m "3s2 C2
P2
r
S2
P2
P1
S1
P1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
P2
•! Nel Sistema Internazionale, per ragioni pratiche, l’unità
di base non è quella di carica ma quella di intensità di
corrente (Ampère, A) a cui il Coulomb è legato dalla
semplice relazione:
1C
!"Q #$ = !"TI #$
1A =
1s
•! Le dimensioni di #0 sono perciò (essendo I la corrente):
"#! 0 $% = "# M &1 L&3T 4 I 2 $%
û
19!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
20!
Legge di Coulomb (III)
Legge di Coulomb (IV)
•! Confrontando la legge di Coulomb:
!
1 q1 q2
F12(e) =
r̂
4!" 0 r 2
•! Con la legge di gravitazione di Newton:
!
mm
F12(g ) = !" 1 2 2 r̂
r
•! si può osservare che esse hanno la stessa forma, ma la
costante della forza elettrica è molto maggiore di quella
della forza gravitazionale
•! L’altra differenza tra la legge di Coulomb e la legge di
Newton consiste nel fatto che:
•! la forza gravitazionale è sempre attrattiva, essendo la
massa sempre positiva
•! la forza elettrica può essere sia attrattiva sia repulsiva,
in quanto la carica elettrica può essere sia positiva sia
negativa. Cariche dello stesso segno si respingono, mentre
cariche di segno opposto si attraggono.
&! = 6.67 " 10#11 kg #1m 3s #2
(
' 1
9
3 #2 #2
( 4$% = 8.99 " 10 kg m s C
0
)
21!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
Principio di Sovrapposizione
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
22!
Distribuzioni Continue di Carica
•! Se invece di 2 cariche puntiformi abbiamo 3 cariche
puntiformi q1, q2 e q3, situate nei punti P1, P2 e P3, qual è la
forza che agisce su ciascuna carica?
•! Spesso la carica elettrica non è puntiforme, ma è
distribuita su un certo volume dello spazio o su di una
superficie o ancora su di una linea.
•! Si trova sperimentalmente che la forza totale che agisce
sulla carica q1 è la somma vettoriale della forza che la
carica q2 eserciterebbe su q1 se q3 fosse assente e della
forza che la carica q3 eserciterebbe su q1 se q2 fosse
assente.
•! Se la carica è distribuita lungo una linea conviene
descrivere la distribuzione della carica utilizzando la
densità lineare di carica (misurata in C/m):
"q d q
! = lim
=
"l#0 "l
dl
•! Se la carica è distribuita lungo una superficie conviene
descrivere la distribuzione della carica utilizzando la
densità superficiale di carica (misurata in C/m2):
"q d q
! = lim
=
"S #0 "S
dS
•! La forza con cui due cariche interagiscono
q1
non viene alterata dalla presenza di una
terza carica (principio di sovrapposizione).
q3
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
q2
23!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
24!
Distribuzioni Continue di Carica (II)
Distribuzioni Continue di Carica (III)
•! Infine se la carica è distribuita in un volume conviene
descrivere la distribuzione della carica utilizzando la
densità volumetrica di carica (misurata in C/m3):
"q d q
! = lim
=
"V #0 "V
dV
•! Vogliamo ora calcolare la forza esercitata da una
distribuzione di carica descritta dalla densità
V
volumetrica & su di una carica
dV
puntiforme q posta a una certa distanza.
! !
r ! r"
•! Un volumetto elementare dV situato nel
!
!
q
r!
punto P) di vettore posizionale r ! conterrà
!
r
la carica elettrica:
!
d q = ! r " dV
•! Il volumetto dV può essere considerato come una carica
puntiforme e dunque possiamo applicare a esso la legge di
dq
Coulomb: "
$#
$
%
!
!
!
1 q1 q2 !
1 # r $ dV q ! !
F12 =
r
dF =
r
%
r
$
4!" 0 r 3
4!" 0 r! % r!$ 3
( )
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
Campo Elettrico
!
F12 =
1 q1 q2
r̂
4!" 0 r 2
()
()
E r
•! Per il principio di sovrapposizione, la forza totale
prodotta su q dalla carica contenuta nel
dV
volume V sarà la somma dei contribuiti di
tutti i volumetti infinitesimi dV:
!
!
r!
&
&
&
r
!
#
$
1
! !
F=
q((( ! ! 3 r % r $ dV
4!" 0 ((( r % r $
'''
( )
(
)
V
! !
r ! r"
!
r
q
V
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
26!
Campo Elettrico (II)
! !
E r =
()
1 Q
r̂
4!" 0 r 2
e scrivere la forza agente su di una carica q
!
situata nel punto di raggio vettore r come:
•! Poniamo una carica puntiforme Q nell’origine di una
terna cartesiana di riferimento e una seconda
carica puntiforme q a una certa distanza r. La
forza agente su q si può scrivere:
! !
# 1 Q &
1 Qq
=
q
E
r
r̂
=
q
r̂
%
(
!" 0 r 2 '
4!" 0 r 2
$"4$
#
$%
! !
)
•! Possiamo allora definire campo elettrico di una
carica puntiforme Q il campo vettoriale:
•! Possiamo pensare che la presenza di una carica
elettrica q1 posta nel punto P1 alteri le proprietà
dello spazio, introducendo in esso un campo
elettrico.
()
(
25!
•! La forza di Coulomb può essere riformulata utilizzando il concetto
di campo di forza.
! !
F r =
( )
! !
! !
F r = qE r
()
!
r
q
Q
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
()
!
r
q
Q
27!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
28!
Campo Elettrico (III)
Campo Elettrico (IV)
•! In questo modo l’azione della carica Q sulla carica q viene
separata in due fasi distinte:
•! Il campo elettrico è un campo vettoriale:
–! A ogni punto dello spazio
"
" è associato un vettore, il vettore campo
elettrico: P !! 3 "E"
# E P !V .
! !
()
(
–! La creazione, da parte della carica Q, di un campo elettrico E r
in ogni punto dello spazio;
)
( )
! !
!
()
–! L’accoppiamento nel punto r del campo elettrico E r con la
carica q. La forza osservata sulla carica q si stabilisce per effetto
dell’accoppiamento locale carica-campo elettrico.
•! Nel Sistema Internazionale il campo
elettrico si misura in N/C (Newton/Coulomb)
o V/m (Volt/metro) e le sue dimensioni sono:
!F #
!" E #$ = " $ = !" MLT %3 I %1 #$
!"Q #$
!
r
q
Q
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
29!
Integrale di Superficie di una Funzione
Vettoriale
!
•! La superficie % !R3, può essere definita utilizzando i parametri $ e %:
{
) (
)
(
)
( )
( ) ( )
•! Nel limite in cui le superfici
&% diventano infinitesime, la
somma diventa l’integrale di
superficie:
n
!
n$%
&&
$
# v Pi i n̂ Pi !" &!"$0
i=1
( ) ( )
I=
}
•! L’integrale di superficie si calcola quindi come:
""! ""!
#2
$2
' %P %P *
!
!
"" v P i n̂ d! = " d# " v P #,$ i )( %# & %$ ,+ d$
!
#1
$1
e consideriamo la somma:
n
!
# v Pi i n̂ Pi !"
i=1
( )
! = P "! 3 ; P = P # ,$ , # " %&#1 , #2 '( , $ " %&$1 ,$2 '(
•! Suddividiamo la superficie % in un certo numero n di superfici infinitesime &%, prendiamo su di esse i punti:
(
30!
Integrale di Superficie di una Funzione
Vettoriale (II)
•! Sia data una funzione vettoriale v definita in R3 e sia data una
superficie % !R3;
P1 x1 , y1 , z1 , P2 x2 , y2 , z2 , …, Pn xn , yn , z n
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
( ( ))
'' v ( P ) i n̂ d"
!
"
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
31!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
32!
Integrale di Superficie di una Funzione
Vettoriale: Esempio
Integrale di Superficie di una Funzione
Vettoriale: Esempio (II)
•! Consideriamo, per esempio, la superficie di una semisfera:
•! Dunque:
!!" !!"
% !P !P (
2
2
2
#
k̂ • '
* = k̂ • r sin " cos $ ı̂ + sin " sin $ !ˆ + sin " cos" k̂ =
& !" !$ )
+% $ ' /S = , P x, y, z !! 3 ; x = r sin " cos # , y = r sin " sin # , z = r cos" , # ! %&0,2$ '( , " ! )0, * 0
-.
& 2 ( -1
(
)
e la funzione vettoriale:
!
v P ! k̂
S
( )
!
(
= r 2 sin " cos" =
r
!
•! Si ha:
!!" !!"
!P !P
#
= det
!" !$
ı̂
!ˆ
k̂
!x
!"
!x
!$
!y
!"
!y
!$
!z
!"
!z
!$
= det
ı̂
!ˆ
k̂
r cos" cos $
r cos" sin $
%r sin "
%r sin " sin $
r sin " cos $
0
(
(
)
S
=
r2
sin 2"
2
( )
2
=.
r2
4
( )
2-
" d# /0cos ( 2% )23
0
r2
4
2-
( )
( )
-
/ cos 2% 2 2
" d# 11 . 2 44 =
0
0
30
2-
" d# (cos - . cos0) =
0
r
r2
2
2-
" d# = 20
r2
2
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
34!
Flusso di un Campo Vettoriale (II)
•! Consideriamo un tubo cilindrico di raggio costante r in cui scorra,
con moto laminare uniforme, un fluido incompressibile:
•! Definiamo la portata del tubo, ovvero il flusso ' (v) della velocità del
fluido attraverso una sezione del tubo, come il volume di acqua che
attraversa nell’unità di tempo una qualunque sezione (& o S) del
tubo.
–! Per esempio, con buona approssimazione, acqua.
•! Definiamo sezione trasversale (o sezione normale) & del tubo l’area
del cerchio ottenuto dall’intersezione del cilindro con un piano
perpendicolare all’asse del cilindro:
•! Supponiamo ora che la velocità v del fluido sia costante e uniforme su
tutta la sezione del tubo e cerchiamo di trovare la relazione tra la
velocità v e il flusso ' (v).
! = "r2
•! Ogni particella di fluido, nell’intervallo di tempo &t, avanza di una
lunghezza v!t.
•! Definiamo sezione obliqua S del tubo l’area dell’ellisse ottenuta
dall’intersezione del cilindro con un piano la cui normale n̂ forma un
angolo *, non nullo, con l’asse del cilindro:
!
v
! = S cos"
v !t
n̂ !
S
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
0
=.
r2
" d# " sin 2% d% = 2
0
0
33!
Flusso di un Campo Vettoriale
!
2
2
2-
!
!
2
r2
r2
= " d# " sin 2% d% =
2
2
0
0
)
S
""! ""!
' $P $P *
"" k̂ i n̂ d! = " d# " k̂ i )( $% & $# ,+ d% =
S
0
0
2-
2-
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
r
( )
!
"" v P i n̂ d! =
= r 2 sin 2 " cos $ ı̂ + r 2 sin 2 " sin $ !ˆ + r 2 sin " cos" cos 2 $ + r 2 sin " cos" sin 2 $ k̂ =
= r 2 sin 2 " cos $ ı̂ + sin 2 " sin $ !ˆ + sin " cos" k̂
)
35!
t = t0
!
v
t = t0 + !t
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
36!
Flusso di un Campo Vettoriale (III)
Flusso di un Campo Vettoriale (IV)
•! La quantità di fluido che ha attraversato nel tempo !t la sezione &
del tubo è pari al volume di un cilindro avente la stessa base del tubo
e un’altezza pari a v &t, cioè:
•! Possiamo anche esprimere il flusso ' (v) utilizzando una sezione
obliqua S invece che una sezione trasversale &.
•! Si ha:
! = S cos"
!
!
v i n̂ = v n̂ cos" = v cos"
"
!V = " v!t
•! Il flusso del fluido sarà pertanto:
#V " v#t
!
!" v =
=
= "v
#t
#t
()
1
()
!
!
# S v = ! v = Sv cos" = v i n̂ S
!
v !!
v
v!
v !t v !t
!
v !
v !
!
v
t = t0
r
t = t0 + !t
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
37!
Flusso di un Campo Vettoriale (V)
n̂ !
!
S v
!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
38!
Flusso di un Campo Vettoriale (VI)
•! Consideriamo ora il caso in cui la velocità del fluido non è uniforme
sulla sezione del tubo.
•! La superficie S potrebbe anche non essere piana, ma l’espressione:
!
!
! S v = "" v i n̂ dS (volume di fluido che attraversa nell’unità di tempo la superficie S)
()
–! È il caso, per esempio, di un flusso laminare di un fluido viscoso, per il quale la
velocità al centro del tubo è maggiore della velocità in prossimità delle pareti.
S
è ugualmente valida, in quanto le superfici infinitesime dS possono
!
essere considerate piane e il prodotto scalare v i n̂ tiene conto della
loro inclinazione rispetto alla velocità.
•! In tal caso scomponiamo il tubo in tanti tubicini di sezione trasversale
infinitesima d! = dS cos" . Il flusso attraverso una qualunque sezione
di un tubicino infinitesimo vale:
!
!
d!dS v = v d" = v dS cos# = v i n̂ dS
()
•! Il flusso totale si ottiene sommando il flusso attraverso un insieme di
tubicini che coprono completamente la sezione del tubo:
!
!
! S v = "" v i n̂ dS (volume di fluido che attraversa nell’unità di tempo la superficie S) d!
()
S
!
!
v
d!
dS
!
S
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
39!
!
v
dS
S
d!
dS
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
40!
Linee di Flusso di un Campo Vettoriale
Linee di Flusso di un Campo Vettoriale
(II)
•! Consideriamo ora la traiettoria ! di una particella di fluido:
•! Possiamo tracciare le linee di flusso tanto più fitte quanto maggiore
è la velocità del fluido.
–! Essa è in ogni suo punto tangente alla velocità vettoriale della particella.
•! Più precisamente possiamo tracciare le linee in modo che il numero di
linee di flusso che attraversa l’unità di superficie di una sezione
trasversale sia proporzionale alla velocità del fluido.
•! Definiamo quindi linea di flusso ! una linea che è sempre tangente al
vettore velocità delle particelle di fluido che si trovano nei punti
della linea.
!
!
!
!
!
! !
! !
!
! !
!
!
!
!
!
!
!
v2
!
v1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
!
v1
! !
v 2 > v1
41!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
Superfici Chiuse e Orientabili di R3
42!
Superfici Chiuse e Orientabili di R3 (II)
•! Una superficie è chiusa se è compatta e priva di bordo.
•! Nelle superfici chiuse e orientabili si può distinguere la normale
esterna dalla normale interna in ogni punto della superficie.
•! Una superficie è orientabile se ha due facce; è non-orientabile se ha
una faccia sola.
•! Per convenzione, per calcolare i flussi attraverso una superficie
chiusa, si utilizza la normale esterna n̂ :
–! Questo equivale a considerare positivo il flusso uscente dal volume delimitato dalla
superficie chiusa e negativo il flusso entrante nel volume delimitato dalla
superficie chiusa.
Aperta
e
Orientabile
n̂
Aperta e Non-orientabile
(nastro di Möbius)
Chiusa
e
Orientabile
(sfera)
Chiusa
e
Non-orientabile
(bottiglia
di Klein)
n̂
n̂
n̂
n̂
n̂
Chiusa e Orientabile (toro)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
43!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
44!
Superfici Aperte di R3
Flusso di un Campo Vettoriale attraverso
una Superficie Chiusa e Orientabile
•! Nelle superfici aperte non si può distinguere la normale esterna
dalla normale interna in un punto della superficie.
•! Consideriamo ora il flusso della velocità di un fluido attraverso una
superficie chiusa.
•! Per convenzione, per calcolare i flussi attraverso una superficie
chiusa, si utilizza l’orientamento n̂ indicato dalla regola della mano
destra sulla base dell’orientamento della linea di bordo:
•! Per semplicità consideriamo la superficie totale di un cubo.
•! Consideriamo positivo il flusso uscente dal cubo e negativo il flusso
entrante nel cubo.
•! Se il fluido è incompressibile e non si sono al suo interno sorgenti (in
cui si produce fluido) o pozzi (scarichi, in cui il fluido scompare),
allora tanto fluido entra nel cubo quanto ne esce:
–! Il flusso attraverso la superficie totale è nullo.
()
!
!
!tot v = "
"" v i n̂ dS =
Stot
()
()
()
()
()
()
!
!
!
!
!
!
= !1 v + !2 v + !3 v + !4 v + !5 v + !6 v = 0
–! Il cerchietto attorno al simbolo di integrale
superficie di integrazione è chiusa.
45!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
()
Stot
()
()
()
()
()
()
!
!
!
!
!
!
= !1 v + !2 v + !3 v + !4 v + !5 v + !6 v > 0
5
14
( ) (
2
!tot
()
!
!
v ="
"" v i n̂ dS =
Stot
()
()
()
()
()
()
!
!
!
!
!
!
= !1 v + !2 v + !3 v + !4 v + !5 v + !6 v < 0
6
3
5
14
2
(
(
allora dentro il cubo è presente un pozzo (cioè uno
scarico) in cui il fluido scompare.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
)
(
)
(
allora dentro il cubo è presente una sorgente che
produce fluido.
•! Se il flusso attraverso la superficie totale è negativo:
14
5
2
46!
!
"
"
"
! = ı̂
+ !ˆ + k̂
"x
"y
"z
•! Consideriamo una funzione vettoriale della posizione P:
! !
!
v = v P = v x, y, z = v x x, y, z ı̂ + v y x, y, z !ˆ + v z x, y, z k̂
•! Si definisce l’operatore “divergenza” come:
! ! # "
"
"&
+ !ˆ + k̂ ( i v x ı̂ + v y !ˆ + v z k̂
!i v = % ı̂
"y
"z '
$ "x
! !
"v y "v z
! "v
+
!i v = div v = x +
"x
"y
"z
•! L’operatore divergenza si applica a una funzione
vettoriale; il risultato è uno scalare:
"
"
% P !! 3 "v"
Esempio :
# v P !V
'
!
"
"
"
&
v ( x, y, z ) = ( x 2 + y 2 ) ı̂ + ( x 2 + z 2 ) !ˆ + zk̂ !V
"
$ iv
3
!
# $i v P !!
'( P !! """
("iv! )( x, y, z ) = 2x + 1 !"
6
3
3
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
L’Operatore Divergenza
Flusso di un Campo Vettoriale attraverso
una Superficie Chiusa e Orientabile (II)
•! Se il flusso attraverso la superficie totale è positivo:
!
!
!tot v = "
"" v i n̂ dS =
!
!! indica che la
6
47!
)
)
( )
(
(
)
(
)
)
)( )
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
48!
Divergenza di un Campo Vettoriale
Divergenza di un Campo Vettoriale (II)
•! Consideriamo ora il flusso della velocità di un fluido attraverso una
superficie chiusa infinitesima.
•! I vertici della faccia ABCD e il suo baricentro M hanno coordinate:
A x0 , y0 , z0
B x0 , y0 + !y, z0
!y
M x0 + !x2 , y0 + 2 , z0
D x0 + !x, y0 , z0 C x0 + !x, y0 + !y, z0
(
•! Consideriamo un parallelepipedo infinitesimo, di lati &x, &y e &z.
•! Consideriamo innanzitutto il flusso attraverso le facce ABCD e EFGH.
z
z0 + !z
E
z0
A
M
D
y0
x0
( )
F
N
H
G
!
v
n̂ C
)
(
)
(
(
( )
() ( ) ( )
)
)
( )
$
#v '
"x #v z "y #v z
" + &v z A +
+
+ "z z ) "x"y
#z (
2 #x
2 #y
%
z0
( )
n̂ = + k̂
D
x0
A
M
y0
!
v
n̂ C
D
M
y0
x0
v
B
n̂ C
y
y0 + !y
x0 + !x
x
50!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
•! Dalle due espressioni:
+
%
#x $v z #y $v z (
!
+
-! ABCD v " " 'v z A +
* #x#y
2 $x
2 $y )
&
,
%
$v z (
#x $v z #y $v z
!
-!
- EFGH v " + 'v z A + 2 $x + 2 $y + #z $z * #x#y
&
)
.
()
( )
()
( )
troviamo che la somma dei flussi attraverso le
facce ABCD e EFGH vale:
E
()
z0
D
y
y0 + !y
x0
A
!
v
n̂
F
N
H
"v
!
!
! ABCD v + ! EFGH v " z #x#y#z
"z
()
z
z0 + !z
B
M
y0
G
!
v
n̂ C
B
y
y0 + !y
x0 + !x
x
x0 + !x
x
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
A
0
Divergenza di un Campo Vettoriale (IV)
•! Utilizzando la Formula di Taylor, la componente z della velocità nel
!
!
punto N si può scrivere come:
! S (v ) = v i n̂ S
"v z
!x "v z !y "v z
vz N = vz A +
+
+ !z
+ O !x 2 + !y 2 + !z 2
z
!
"z
2 "x
2 "y
v
•! Il flusso della velocità attraverso la faccia
z0 + !z
n̂
E
F
EFGH si può scrivere come:
N G
H
!
!
! EFGH v = v N i n̂ N "S = +v z N "x"y "
( )
)
( )
49!
(
)
)
( )
n̂ = ! k̂
•! I vertici della faccia EFGH e il suo baricentro N hanno coordinate:
E x0 , y0 , z0 + !z
F x0 , y0 + !y, z0 + !z
!y
N x0 + !x2 , y0 + 2 , z0 + !z
H x0 + !x, y0 , z0 + !z G x0 + !x, y0 + !y, z0 + !z
)
(
%
"x $v z "y $v z (
" # 'v z A +
+
* "x"y
2 $x
2 $y )
&
y
y0 + !y
Divergenza di un Campo Vettoriale (III)
(
)
(
() ( ) ( )
B
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
)
(
)
( )
x0 + !x
x
(
)
(
•! Utilizzando la Formula di Taylor, la componente z della velocità nel
!
!
punto M si può scrivere come:
! S (v ) = v i n̂ S
!x "v z !y "v z
z
!
vz M = vz A +
+
+ O !x 2 + !y 2
v
2 "x
2 "y
z0 + !z
n̂
E
•! Il flusso della velocità attraverso la faccia
F
N G
ABCD si può scrivere come:
H
!
!
! ABCD v = v M i n̂ M "S = #v z M "x"y "
!
z
!
v
n̂
(
51!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
52!
Divergenza di un Campo Vettoriale (V)
Divergenza di un Campo Vettoriale (VI)
•! Ripetendo lo stesso calcolo per le facce AEHD e BFGC si ottiene:
"v y
!
!
! AEHD v + ! BFGC v "
#x#y#z
"y
( )
$
&! ABCD
&
&
%! AEHD
&
&
&! ABFE
'
( )
•! Ripetendo lo stesso calcolo per le facce ABFE e DCGH si ottiene:
"v
!
!
! ABFE v + ! DCGH v " x #x#y#z
"x
( )
( )
z
z0 + !z
E
A
D
M
y0
x0
F
N
H
z0
!
v
n̂
( )
!
{ }
V" P
( )
S V
DCGH
H
z0
A
D
"v
!
v " x #x#y#z
"x
( )
M
y0
x0
G
!
v
B
n̂ C
y
y0 + !y
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
z
z0 + !z
### dV
E
•! Considerando un volume V, delimitato dalla superficie
chiusa S:
–! Il flusso di un campo vettoriale v attraverso la superficie S è pari
all’integrale sul volume V della divergenza di tale campo vettoriale
(Teorema della Divergenza o Teorema di Gauss):
La divergenza di un campo vettoriale è il rapporto z0
tra il flusso del campo attraverso una superficie
D
chiusa e orientabile infinitesima S e il volume V
delimitato da tale superficie.
x
0
A
M
y0
S
F
N
H
V
! !
!
=
"i
v
i
n̂
dS
"
!!
!!! v dV
!
v
n̂
G
!
v
n̂ C
V
•! Nota Bene:
B
y
y0 + !y
x0 + !x
x
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
54!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
Teorema della Divergenza
superficie totale del parallelepipedo infinitesimo e il volume del parallelepipedo.
lim
( )
53!
•! Più in generale, per un volume V di forma arbitraria delimitato dalla
superficie S(V) possiamo scrivere:
!
BFGC
F
N
divergenza
•! Comprendiamo quindi il significato di divergenza di un campo
vettoriale:
!
! ! "tot (v ) La divergenza è il rapporto tra il flusso del campo vettoriale attraverso la
(! i v! )( P ) =
(v! ) + !
E
# "v
! !
"v y "v z &
=% x +
+
( )x)y)z = * i v )V
&
"y
"z '
$ "x
divergenza
"$$$#$$$
%
y
y0 + !y
Divergenza di un Campo Vettoriale
(VII)
"
## v i n̂ dS
(v! ) "
!
v
n̂
!
!
!
!
!
!
!
!tot v = ! ABCD v + ! EFGH v + ! AEHD v + ! BFGC v + ! ABFE v + ! DCGH v =
B
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
#V
EFGH
parallelepipedo infinitesimo sarà pertanto:
!
v
x0 + !x
x
! iv =
"v z
#x#y#z
"z
"v y
!
v "
#x#y#z
"y
(v! ) + !
(v! ) + !
z0 + !z
x + !x
•! Il flusso totale attraverso le 6 facce del 0
x
G
n̂ C
z
•! Riassumendo:
55!
–! L’integrale al I membro è un integrale di
superficie esteso alla superficie chiusa S.
–! L’integrale a II membro è un integrale di volume
esteso al volume V racchiuso dalla superficie chiusa S.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
V
S
56!
Teorema della Divergenza (II)
Teorema della Divergenza (III)
•! Per comprendere il significato del Teorema della Divergenza:
•! Distinguiamo ora, tra le facce dei cubetti, le facce interne e le facce
esterne:
! !
!
"
!! v i n̂ dS = !!! "i v dV
S
–! Le facce interne separano un cubetto da un cubetto adiacente;
V
immaginiamo di suddividere il volume V in tanti cubetti infinitesimi, di
volume:
–! Le facce esterne fanno parte della frontiera del volume totale V.
•! Sommando le divergenze dei cubetti, i contributi dei flussi delle
facce interne si cancellano tra loro:
!V1 , !V2 , !V3 ,…
•! Per ogni cubetto si ha, per quanto abbiamo visto:
(
!
"
## v i n̂ dS
! !
S (V )
!i v P = lim
)( )
{ }
V" P
### dV
=
V
()
!
$tot v
–! Il flusso uscente dal cubetto i verso il cubetto j adiacente è opposto al flusso dal
cubetto j al cubetto i.
V
!V1
%V
!V2
!V3
•! Si ha pertanto:
N
N 6
! !
!
# !i v Pi "Vi = # # $k(i) v =
!V4
V
per cui si ha, per ogni cubetto (che ha 6 facce):
(
! !
i !
(i) !
v = $ # k( ) v
!i v Pi "Vi = #tot
)( )
()
6
k =1
()
!V5
!V6
!V9
!V10
!V7
i=1
!V8
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
)( )
i=1 k =1
( ) # $ ( ) (v! ) = # v! i n̂ "S
! !
!
%%% !i v dV = "
%% v i n̂ dS
V
i
facce
esterne
k
S
57!
Linee di Flusso del Campo Elettrico
facce
esterne
!V2
!V3
!V4
!V5
!V6
!V7
!V8
!V9
!V10
58!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
Angolo Solido
•! Come tutti i campi vettoriali, anche il campo elettrico si può
rappresentare graficamente con le linee di flusso (o linee di campo),
ovvero con linee:
! !
–! Tangenti in ogni punto al vettore campo elettrico E r ;
! !
–! Orientate col verso del campo elettrico E r ;
()
(
!V1
•! Come è noto, l’angolo piano (in radianti) è definito come il rapporto
tra un arco di circonferenza l centrata nel vertice e il raggio r:
r
l
! = " $%0,2# $%
r
()
l
•! L’angolo solido " si definisce in maniera analoga come il rapporto tra
la parte di superficie sferica S (centrata nel vertice),
intercettata dal cono centrato nel vertice e
il quadrato del raggio della sfera:
S
–! In numero, per unità !di !superficie trasversale, proporzionale al modulo
del campo elettrico E r .
()
!=
r
S
" $0,4# &'
r2 %
!
•! L’angolo solido si misura in steradianti (sr).
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
59!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
60!
Flusso del Campo Elettrico
Flusso del Campo Elettrico (II)
!
•! Abbiamo visto che il flusso di un campo vettoriale v attraverso una
superficie infinitesima dS e attraverso una superficie finita S si scrive
come:
!
!
d!dS v = v d" = v dS cos# = v i n̂ dS
!
!
! S v = $$ v i n̂ dS
S
!
•! Pertanto il flusso del campo elettrico E attraverso una superficie
infinitesima dS e attraverso una superficie finita S si scrive come:
!
!
d!dS E = E d" = E dS cos# = E i n̂ dS
!
!
n̂
! S E = $$ E i n̂ dS
!
E
S
!
•! Consideriamo ora una superficie chiusa S contenente una carica
puntiforme q.
•! Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie infinitesima dS
vale:
()
()
(
( )
•! Il flusso attraverso l’intera superficie chiusa S si ottiene integrando
su tutta la superficie chiusa (corrispondente all’angolo solido ' = 4():
( )
( )
!
!
q
! E ="
"S" E i n̂dS = # 1
0
n̂
dS
( )
d!
q
d! = dS cos"
61!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
Flusso del Campo Elettrico (III)
!
!
! E ="
E
"" i n̂dS = 0
•! Se la superficie chiusa S contiene più cariche:
q
S
Legge di Gauss
Definizione di flusso
–! Per il principio di sovrapposizione, il flusso totale del campo elettrico
attraverso la superficie sarà la somma dei flussi generati dalle
singole cariche:
n
!
!
qi Q
! E ="
=
"" E i n̂dS = $
#0
i=1 # 0
S
( )
q4 q
7
q9
q1 q2 q Q
q10
5
q3
q6 q8
S
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
62!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
•! In conclusione, il flusso del campo elettrico attraverso
una superficie chiusa S è pari alla carica totale Q
contenuta nella superficie divisa per la costante #0 (Legge
di Gauss, forma integrale).
!
!
Q 1 n
1
! (E) = "
E
i
n̂dS
=
= $ qi = """ % dV
""
# 0 # 0 i=1
#0 V
S
–! Allora il numero di linee di campo che entrano nella superficie è uguale al numero di
linee di campo che escono dalla superficie, per cui, integrando su tutta la
superficie:
S
S
Legge di Gauss
•! Se invece consideriamo una carica puntiforme q esterna a una
superficie chiusa S:
( )
)
& 1 q1 ) 2
!
q d,
r d, = 1
d! E = E dS cos" = E d# = (
+
% 0 4$
' 4$% 0 r 2 *
63!
V
Q
S
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
64!
Johann Carl Friedrich Gauß
(1777–1855)
Forma Locale della Legge di Gauss
•! La Legge di Gauss:
!
!
Q
! (E) = "
"S" E i n̂dS = #
0
può essere scritta in forma locale utilizzando il Teorema
della Divergenza (o Teorema di Gauss):
!
Legge di Gauss
%
Q 1
E
! !
"
!! i n̂dS = " = " !!! # dV ''
1
S
0
& ) !!! $i E dV = !!! # dV
! 0! V
!
"0 V
"
!! E i n̂dS = !!! $i E dV '' V Teorema della
Divergenza
S
V
(
•! Poiché l’uguaglianza deve vale per un volume V arbitrario,
si ha:
! ! "
(Legge di Gauss, forma locale)
!i E =
#0
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
65!
Potenziale Elettrostatico
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
66!
Potenziale Elettrostatico (II)
•! Il campo elettrostatico (anche se non, come vedremo, il campo
elettrico nel caso più generale), come il campo gravitazionale, è un
campo conservativo. Esso gode perciò di tutte le proprietà di cui
godono i campi conservativi.
•! Nel Sistema Internazionale il potenziale elettrico si
misura in Volt (V):
1V =
! ! !
! " E""!= 0
!
# E idP = 0
1N ! 1m
1C
e ha le dimensioni:
l
!F #
!"V #$ = !" E #$ !" L #$ = " $ !" L #$ = !" ML2T %3 I %1 #$
!"Q #$
•! Inoltre esiste una funzione scalare V, detta Potenziale
Elettrostatico, tale che:
!
!
E = !"V
•! L’Energia Potenziale di una carica q situata nel punto P in presenza di
un campo elettrico è data da:
( )
( )
Eq P = qV P
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
67!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
68!
Potenziale elettrostatico (III)
•! Nel caso particolare di una carica puntiforme, il campo elettrico è
dato dalla legge di Coulomb:
! !
E r =
()
1 Q
r̂
4!" 0 r 2
•! Il potenziale si ottiene integrando lungo un percorso radiale e
risulta:
r
http://campus.cib.unibo.it/2469/
r
) 1,
& 1 Q
1
1
!
& dr
V r =! (
dr = !
Q( 2 = !
Q +! . =
2
4"# 0 '% r
4"# 0 * r - %
' 4"# 0 r
()
( )
$ %,r
()
!
V r =
1 Q
+ cost
4!" 0 r
Domenico Galli
,
/1
2
1
1 Q
=
Q 1 ! 04 =
4"# 0 0 r
3 4"# 0 r
+
Q
Dipartimento di Fisica
[email protected]
http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica
r
Domenico Galli – Fisica Generale B – 1. Elettrostatica!
69!