16 Teoria degli errori

16 Teoria degli errori
(24 problemi, difficoltà 69, soglia 50)
Formulario
x i,
risultato della i-esima misura
_
x,
valor medio
x0 ,
valor medio “vero”
n,
numero delle misure
Valor medio
n
x =
x i
i =1
n
Scarto
i = x i x
Errore
i = x i x0
Errore quadratico medio
n
μ=
i2
i =1
n
Scarto quadratico medio
n
μ' =
i =1
n
525
2
i
Deviazione standard
n
=
i =1
2
i
(1)
n 1
rappresenta la probabilità del 68,3 % che una misura sia compresa tra
x e x + .
Distribuzione normale di Gauss
Indicando con p (x) la probabilità che una misura dia come risultato il valore x
compreso tra x e x + , la distribuzione di Gauss prevede che
1
e
p (x ) =
2
con
p(x ) =
( x x )2
2 2
1
2
(2)
.
Errore assoluto
a = x x 0
Errore relativo
r
Errore percentuale
%
=
x x0
x0
= 100
r
Propagazione degli errori
Data una grandezza G non direttamente misurabile correlata ad altre grandezze
misurabili direttamente x, y, z da una relazione del tipo G = G (x, y, z), l’errore
massimo più probabile G da cui è affetta la grandezza G risulta espresso da
2
G 2
2
G
G
G
x 2 + y 2 + z 2 , (3)
x
y
z
526
dove x, y e z sono gli errori da cui sono affette le misure di x, y e z.
Nel caso in cui la relazione tra G, x, y e z sia del tipo
a
b c
G= H x y z ,
con H costante e a, b e c numeri reali, l’errore percentuale G è dato da
G %
della grandezza
2
2
2 2
G % = 2x % a 2 + y%
b + z%
c . (4)
Distribuzione binomiale
Detta px la probabilità che un evento appaia x volte su z prove, pf la probabilità
dell’evento favorevole e ps quella dell’evento sfavorevole, risulta
px =
z!
x zx
p p
. (5)
x !(z x )! f s
Tale distribuzione vale solo per x e z interi, per pf e ps costanti e se gli eventi
sono equiprobabili e indipendenti.
Distribuzione di Poisson
Nel caso in cui pf 1 e z sia molto grande:
px =
essendo m il valor medio.
Per tale distribuzione risulta
mx m
e , (6)
x!
=
m . (7)
Problemi svolti
16.1. Per eliminare l’errore sistematico dovuto a lievi differenze di lunghezza
dei bracci di una bilancia a piatti, si eseguono due pesate diverse:
1. Si pone la massa incognita mx nel piatto di sinistra equilibrata da una massa
campione mc = 12,00 g nel piatto di destra.
2. Si pone la massa incognita nel piatto di destra equilibrandola nel piatto di
sinistra con una massa mc+m’, con m’ = 0,3 g.
Ricavare l’espressione di mx e calcolarne il valore.
(3)
527
_____
Indicando con l ed l’ le lunghezze dei bracci di sinistra e di destra, all’equilibrio
dovrà essere
m x l = m c l’,
mx l’ = (m’ +m c) l’.
Moltiplicando membro a membro, si ottiene
mx =
m c (m c + m ' ) =
12 12, 3 = 12,15 g.
16.2. Se la temperatura di un gas viene misurata con un errore percentuale
dello 0,2%, il peso molecolare con un errore dello 0,1% e la costante dei gas R
è nota con un errore percentuale dello 0,04%, con quale errore percentuale si
determina la velocità quadratica media delle molecole del gas?
(2)
______
La velocità quadratica media è data da
vq m =
3R T
,
M
pertanto, impiegando la formula (4) della propagazione degli errori
vq m % =
dove a = b = 1/2, c =
vq m % =
1
2
2
a 2R%
+ b2T 2% + c2M 2% ,
– 1/2, otteniamo
2
R%
+ T 2% + M 2% =
1
0,0016 + 0,04 + 0,01 = 0,11 % .
2
16.3. La superficie di una piastra di ferro viene misurata con un errore
percentuale S = 3%, lo spessore della piastra con un errore s = 1% e la
differenza di temperatura tra le due facce con un errore T = 0,5%. Se il flusso
termico tra le due facce è noto con precisione elevatissima, calcolare l’errore
percentuale più probabile nella misura indiretta della conducibilità termica
della piastra.
(3)
______
Il processo di conduzione tra le due facce di una piastra è descritto dalla legge
di Fourier per la quale la conducibilità termica è data da
k = dQ s 1
,
dt T S
528
dove dQ/dt è il flusso termico.
L’errore percentuale su k è dato dalla relazione
k =
a 2 S2 + b2 2s + c2 T2 ,
dove a, b e c sono gli esponenti attraverso i quali k dipende dalla superficie S,
dallo spessore s e dalla differenza di temperatura T, che nel caso in esame
sono tutti unitari. Ne consegue che
k =
S2 + 2s + T2 =
3 2 + 12 + (0, 5) 2 = 3, 2%.
cal
a temperatura t1 = 20 °C
°C
cal
.
viene immerso in un liquido di massa m = 300 g e calore specifico c = 0,7
g° C
Se il termometro, una volta raggiunto l’equilibrio termico, legge una
temperatura t = 48 °C, calcolare: a) la temperatura tr del liquido prima
16.4. Un termometro di capacità termica C = 6
dell’immersione del termometro, b) l’errore percentuale commesso nella
lettura.
(3)
______
Dal Problema 10.22 risulta
tr = t +
C( t t1 )
6 28
= 48 +
= 48,8 ° C.
210
mc
L’errore percentuale da cui è affetto il valore di t
%t =
r
t tr
tr
r
risulta dato da
100 = 1,64 %.
16.5. La pressione di un gas perfetto viene misurata con un errore percentuale
p = 2% e la sua temperatura con un errore percentuale T = 0,4%. Calcolare con
quale errore percentuale massimo si può misurare il volume del gas perché
l’errore percentuale sul numero di moli del gas non superi il 2,8 %.
(2)
______
Impiegando la formula (4) della propagazione degli errori, essendo tutti unitari
gli esponenti con cui V dipende da p, n e T nell’equazione di Clapeyron,
abbiamo subito:
V =
2p + n2 + 2T =
4 + 7, 84 + 0,16 = 3, 46 %.
529
16.6. Mediante un calorimetro si vuole determinare la quantità di calore
ceduta all’acqua da un corpo immerso in esso. Si determina l’aumento di
temperatura dell’acqua con un errore percentuale t = 2% e la massa
dell’acqua con un errore percentuale m = 4%. Supponendo noto con grande
precisione il calore specifico dell’acqua nell’intervallo termico considerato, qual
è l’errore percentuale da cui è affetta la misura della quantità di calore
assorbita dall’acqua?
(3)
______
Dalla relazione fondamentale della termologia
Q = m c t,
applicando la formula (3) della propagazione degli errori, risulta
Q
=
2m
+
t2
=
16 + 4 = 4, 5%.
Ricordiamo che, se una grandezza G è legata ad altre x, y, z,... da una relazione
del tipo
G = C x a y bz c ...,
con a, b, c,... numeri reali, l’errore percentuale da cui è affetta la misura
indiretta di G è
G=
a x2 + b y2 + c 2z + . . ..
2
2
2
16.7. Una grandezza G è correlata alle due grandezze x e y dalla relazione
G = A sin x ln y,
dove A è una costante. Se le misure di x e di y forniscono
x = 3,1 ± 0,02,
y = 1,7 ± 0,1,
quale sarà l’errore percentuale da cui è affetta la misura indiretta di G?
(4)
______
È necessario applicare la formula (3) della propagazione degli errori, secondo la
quale l’errore massimo più probabile nella misura di G è
G =
G 2
G 2
( x ) 2 + ( y) 2 .
x
y
530
Ma
G
= A cos x ln y,
x
G
A sin x
=
,
y
y
perciò
G = A
= A
cos2 x ln2 y ( x ) 2 +
sin2x
y
2
( y) 2 =
0,998 0,28 4 10 4 + 1,73 10 3 0,346 10 2 =
= A 1,12 10 4 + 0, 6 10 5 = 1,09 10 2 A.
Risultando
G = A sin 3,1 ln 1,7 = 2,2 . 10–2 A,
sarà quindi
%G =
G
1,09
100 =
100 = 49,5%.
G
2,20
Si noti che in questo esercizio non si è potuta applicare la relazione (4)
essendo la dipendenza funzionale di tipo logaritmico e trigonometrico.
16.8. Una grandezza G dipende dalle grandezze x, y, z secondo la relazione
G = 4 x y2
z.
Se gli errori percentuali relativi alla misura diretta di x, y e z sono
%x = 3 %, %y
= 2 %, %z = 1,5 %,
quale sarà l’errore percentuale relativo alla grandezza G?
______
(2)
Applicando la (4):
%G =
3 2 + 2 2 2 2 + (0, 5) 2 (1, 5) 2 = 5,1 % .
16.9. Nella misura del volume di un cilindro di raggio r e altezza h, il raggio
viene misurato con un errore percentuale r = 1 % e l’altezza con un errore
percentuale h = 0,7 %. Calcolare l’errore percentuale con cui viene misurato il
volume.
(1)
______
531
Essendo
V = r2h,
avremo
%V =
2
2
2
2
2 1 + 1 (0, 7) =
4, 49 = 2,12 %.
16.10. Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme lungo l’asse x; per
controllare la costanza della velocità, si misurano 12 successive distanze
percorse dal corpo in intervalli di tempo t = (40 ± 0,2) s e si trovano i seguenti
valori, in centimetri:
359, 364, 368, 349, 356, 366, 358, 360, 356, 350, 362, 356.
Calcolare la velocità media del corpo e il relativo errore percentuale.
(3)
______
La legge di moto è
x = v t,
ovvero
1
v=xt–,
pertanto possiamo applicare la legge di propagazione degli errori nella forma
%v =
2
%x
+ 2%t ,
essendo unitari i due esponenti nella legge di dipendenza di v da x e da t.
Risulta
0,2 100
%t =
= 0,5%,
40
mentre, per ricavare il valore di %x, dobbiamo applicare la formula (1) della
deviazione standard; si ottiene, dopo qualche calcolo,
x
= 1,68 cm,
che dobbiamo approssimare per eccesso a 2, in quanto le misure degli xi
fornivano un numero intero di centimetri; essendo poi la media aritmetica delle
distanze percorse, dopo arrotondamento per lo stesso motivo di cui sopra, 359
cm, possiamo scrivere
x = (359 ± 2) cm;
sarà allora
%x =
2 100
= 0,56 %.
359
532
Ne consegue che
%v =
e
0, 31 + 0, 25 =
_
v=
0, 56 = 0, 76 %,
359
cm
= 8,98
.
40
s
N.B. Sottolineiamo la inutilità di calcolare i valori medi con decimali dal momento
che le misure dirette di x sono state eseguite con valori interi; si sarebbe giunti allo
stesso risultato applicando la formula della propagazione degli errori alle derivate
parziali, ma i calcoli sarebbero stati più lunghi.
16.11. Vengono eseguite su una certa quantità di gas ideale le seguenti
misure:
p = (0,9 ± 0,02) atm,
V = (2,1 ± 0,005) l,
T = (312,4 ± 0,01) K.
Ritenendo nota con elevatissima precisione la costante universale dei gas
perfetti, calcolare l’errore percentuale con cui viene indirettamente misurato il
numero di moli del gas.
(2)
______
Cominciamo calcolando gli errori percentuali relativi alle tre grandezze
direttamente misurate:
2
% p =
= 2,22 %,
0,9
0,5
%V =
= 0,24 %,
2,1
%T =
1
= 0,003 %.
312,4
Per l’equazione di stato di Clapeyron, la dipendenza del numero di moli n da p,
V e T presenta esponenti unitari, perciò
%n =
2
2
2
%
p + %V + %T =
4, 93 + 0, 06 + 0, 000009 =
4, 99 = 2, 23 %.
16.12. Un orologio da polso, confrontato con il segnale orario dell’Istituto
Elettrotecnico Nazionale G. Ferraris di Torino, alle ore 7 di mattino risulta
anticipare di 20 s, mentre alle ore 23 dello stesso giorno anticipa di 25 s. a)
Qual è l’errore percentuale commesso dall’orologio nelle 16 ore? b) Che ora
indicherà lo stesso orologio alle 7 del mattino successivo?
(4)
533
______
a) La risposta è molto semplice e immediata:
% =
(25 20) s 100
3
= 8, 6 10 %.
s
16h 3600
h
b) Dalle 23 di sera alle 7 del mattino successivo vi sono 8 ore, pari a 28800 s,
quindi ipotizzando un anticipo uniforme nel tempo, l’orologio in tali 8 h
anticiperà di altri
28800 8, 6 10
3
100
s = 2, 48 s.
Il risultato trovato è in realtà inesatto per l’approssimazione eseguita nel
calcolo di % ; bastava tener conto che se l’orologio in 16 h anticipa di 5 s, in 8
h anticiperà di 2,5 s, sempre ipotizzando un anticipo uniforme.
L’ora segnata sarà quindi 7 h 00 min 22,5 s.
N.B. Si mette in guardia lo studente dal calcolare l’errore come
20 100
7 3600
( la mattina)
25 100
23 3600
( la sera).
e
Infatti, si deve tener presente che i valori 7 e 23 non rappresentano valori assoluti
del tempo ma solo valori di riferimento convenzionali: quello che conta ai fini del
calcolo dell’errore è l’intervallo di tempo.
16.13. In una serie di misure della massa di un diamante si riporta il numero
N di volte in cui ricorre un certo valore m della massa in funzione di m,
ottenendo una gaussiana come quella in figura.
Calcolare la deviazione standard e la precisione della distribuzione.
______
534
(3)
Non avendo a disposizione i valori delle singole misure, possiamo calcolare le
quantità richieste soltanto graficamente. Ricordando che la deviazione
standard viene misurata come la semilarghezza della gaussiana in
corrispondenza ai punti di flesso, nel nostro caso risulta = 0,03 g. Si
raccomanda l’opportunità di misurare tutta la distanza tra i due punti di flesso
e poi dimezzarla per ricavare anziché misurare una delle distanze tra un
flesso F e l’ascissa del massimo, perché nel caso in cui la gaussiana non
risulti perfettamente simmetrica, si commetterebbe un errore.
L’ascissa del massimo fornisce il valor medio della serie di misura e vale
m = 3,07 g.
La precisione percentuale è quindi
p% =
100 =
m
0,03 100
= 0,98 %.
3,07
16.14. Viene misurato in più punti lo spessore di una sottile lastra di
alluminio per controllarne l’uniformità. Le 50 misure eseguite, espresse in
micrometri, sono:
10, 8, 7, 9, 7, 9, 10, 12, 7, 10, 9, 12, 6, 8, 12, 10, 12, 9, 7, 12, 11, 9, 8, 9, 10, 7,
10, 9, 11, 8, 10, 7, 10, 11, 14, 9, 11, 10, 11, 6, 9, 10, 8, 9, 12, 14, 10, 8, 10, 8.
Determinare: a) lo spessore medio s della lastra, controllando quante tra le
misure sono maggiori e quante minori di s ; b) la deviazione standard della
singola misura; c) la deviazione standard del valor medio; d) il numero di
misure necessario perché lo spessore medio sia corretto entro il 2 %; e) il
_
_
_
numero di misure che cade rispettivamente negli intervalli ( s – , s + ), ( s –
_
_
_
2, s + 2), ( s – 3, s + 3) confrontando i risultati con le previsioni teoriche; f)
le eventuali misure da scartare; g) quante dovrebbero essere le misure che
danno per risultato 9; h) la probabilità che il valor vero dello spessore sia
compreso tra 9,23 e 9,77 μm.
(5)
______
a) Lo spessore medio, cioè la media aritmetica delle 50 misure, risulta
_
s = 9,5 μm;
25 misure sono maggiori e 25 misure sono minori di s ,secondo le previsioni
della teoria.
b)
50
=
( si
_
s)2
1
n 1
535
= 1,88 μ m.
c) La deviazione standard del valor medio è
_
=
n
=
1,88
50
= 0,27 μm.
Il risultato della serie di misure verrà espresso come
_
_
s = s ± = (9, 5 ± 0, 27) μm.
d) Indicando con n’ il numero di misure richiesto, deve essere
_
= 0,02 s ,
n'
da cui
n' = _
0,02 s 2
= 100.
e) Nel primo intervallo (7,62-11,38 μm) cadono 34 valori, pari al 68% del totale,
contro il 68,3% teorico; nel secondo (5,74-13,26 μm) cadono 48 valori, pari al
96% del totale, contro il 95,5% teorico; nel terzo intervallo (3,86-15,14 μm) cade
il 100% delle misure contro il 99,7% teorico. Possiamo affermare che l’accordo
è del tutto soddisfacente.
f) Non esiste alcun elemento che suggerisca di scartare delle misure; ciò
avviene solo in presenza di un chiaro errore sistematico che può essere
evidenziato da eventuale forte asimmetria della curva di Gauss.
g) Dalla legge delle probabilità di Gauss (2):
p(9) =
1
2
e
(0,5) 2
2 2
= 0,205.
Ciò indica che il 20,5 % delle misure eseguite, cioè circa 10 misure, devono
dare 9 per risultato; in effetti il valore 9 μm ricorre esattamente 10 volte.
h) Tale probabilità, per il significato di , è del 68,3 %.
16.15. Si eseguono 10 misure consecutive, ciascuna della durata di 30 min, per
determinare l’età di un reperto archeologico con il metodo del carbonio 14 e si
trovano i seguenti conteggi di raggi :
13, 9, 16, 9, 14, 11, 17, 12, 7, 12.
a) Calcolare il numero medio di raggi emessi in 1 h.
536
b) Se si esegue un’ulteriore misura di 30 min, quale sarà il conteggio più
probabile?
c) Quale sarà la deviazione standard della nuova misura?
d) Qual è l’errore standard del valor medio delle prime 10 misure?
e) Si può affermare che l’emissione segue la distribuzione di Poisson?
(4)
______
a) La misura è durata complessivamente 5 h, perciò
_
x =
13 + 9 + ....+12
conteggi
= 24
.
5
h
1
b) Evidentemente, 12 h– .
c) Secondo la distribuzione di Poisson, che caratterizza i fenomeni di
emissione radioattiva, dovrebbe essere
P =
12 = 3,5.
d) L’errore standard, o errore quadratico medio, è
=
12 + 3 2 + 4 2 +... +5 2
=
9
10 = 3,16,
quindi
_
=
10
= 1.
e) Dal momento che e P sono molto prossimi, si può senz’altro affermare
che per l’emissione vale la distribuzione di Poisson.
16.16. Dimostrare che se una grandezza G è correlata ad altre A, B, C,...da una
relazione del tipo
G = k A x By C z . . . ,
con k costante e x, y, z,...numeri reali, tra gli errori percentuali più probabili
delle varie grandezze vale la relazione
G% =
2
x 2 2A% + y 2 2B% + z 2C%
+ . . ..
(4)
_______
L’errore assoluto più probabile nella misura indiretta di G è
537
G =
=k
=k
G A (x A x 1B yC z )
2
(
2
2
(B ) +
(
)
y
=kA B C
=G
2
G C 2
2
(C ) + ... =
)
y 1 z 2
2
x
2
x y
z 1 2
2
(A) + A y B
C
(B ) + (A B z C
) (C ) =
x y z 2 A xA B C
A x
G B 2
(A) +
2
z
x y z 2 B + yA B C
B (
)
2
2
2
x y z 2 C + zA B C
C (
2
)
B C A x + y2 + z2 A B C 2
2
2
2
=
2
=
2
B C A x + y2 + z2 ,
A B C e quindi
G
=
G
2
2
2
2
B C A x + y2 + z2 .
A B C 16.17. Calcolare la probabilità di ottenere un tris al primo lancio dei 5 dadi del
poker.
(3)
______
Applicando la formula della distribuzione binomiale di probabilità, abbiamo
3
p3 =
5 ! 1 5 3 ! 2 ! 6 6
2
=
125
= 0,032 = 3,2 %.
3888
16.18. Quante colonne si devono giocare al Totocalcio per essere certi di
“azzeccare” un 13?
(2)
______
La probabilità di indovinare il risultato di una singola partita, dato che i
possibili risultati sono 3, è 1/3; essendo i risultati del tutto indipendenti uno
dall’altro, la probabilità di fare 13 è
1 13
p13 = ,
3
quindi la certezza del 13 si ha giocando 313 = 1594323 colonne.
538
16.19. In una prova scritta d’esame gli studenti devono rispondere a 20
quesiti, ognuno dei quali presenta 5 risposte alternative tra le quali ne deve
scegliere solo una. Uno studente che non ha neppure aperto il libro di testo
decide di sostenere ugualmente la prova confidando nella buona sorte. Quante
probabilità ha di riuscire a raggiungere i 18/30?
(1)
______
La probabilità di indovinare una risposta è 1/5; essendo le risposte
indipendenti, la probabilità di indovinarne i 3/5, che corrispondono al voto di
18/30, sarà
p18 =
5
20
0,2 ) = 1,75 10 14 .
(
3
Questo vuol dire che se non si decide a studiare potrebbe dover ripetere
l’esame 57000 miliardi di volte!
16.20. Calcolare la probabilità che lanciando quattro dadi escano 4 punteggi
uguali.
(3)
______
Applichiamo la formula (5) della distribuzione binomiale di probabilità
px =
z!
pfx psz x ,
x !( z x ) !
dove
z (numero lanci) = 4,
x (numero di ripetizioni dell’evento) = 4,
pf (probabilità dell’evento favorevole) = 1/6,
ps (probabilità dell’evento sfavorevole) = 5/6.
Sostituendo nella formula, otteniamo:
4
p4 =
4 ! 1 5 4 ! 0 ! 6 6
0
=
1
.
1296
16.21. Calcolare: a) la probabilità che, giocando a poker con 5 dadi, esca un
poker al primo lancio, b) la probabilità che il poker esca al secondo lancio dopo
aver ottenuto un tris al primo, c) la probabilità che si ottenga un poker al
secondo lancio partendo da una coppia.
(4)
______
a) Avendo i numeri delle facce dei singoli dadi una probabilità di uscita
indipendente, possiamo applicare la formula della distribuzione binomiale:
539
4
1
5 ! 1 5 p4 =
= 0,003.
4 !1 ! 6 6 b) Se si è ottenuto un tris al primo lancio, rilanciando due dadi la probabilità
che esca il numero voluto è 1/6, perciò
1
1
2 ! 1 5 p3 =
= 0,278.
1 !1 ! 6 6 c) Partendo da una coppia, sui 3 dadi lanciati due devono uscire con lo stesso
numero della coppia; allora dovrà essere z = 3 e x = 2, pertanto
p2 =
2
1
3 ! 1 5 = 0,069.
2 !1 ! 6 6 16.22. Calcolare la probabilità che, lanciando una moneta in aria, esca testa:
a) 4 volte su 8 lanci, b) 10 volte su 20 lanci, c) 25 volte su 50 lanci.
(3)
______
Facciamo notare che non ci si deve attendere nei tre casi lo stesso risultato,
perché, aumentando il numero di lanci, aumenta il numero delle possibili
combinazioni, quindi diminuisce la probabilità dell’evento richiesto; si può
comprendere la correttezza della precedente affermazione pensando che
lanciando la moneta due volte la probabilità che esca testa almeno una volta è
del 50% (TT,TC,CT,CC), mentre lanciandola quattro volte tale probabilità
scende a 6/16 = 3/8, come si può vedere dal seguente elenco:
(TTTT,TTTC,TTCC,TCCC,CCCC,TTCT,TCTT,CTTT,TCTC,TCCT,CTTC,CTCT,CCTT,
CTCC,CCTC,CCCT).
Usiamo ora la formula della distribuzione binomiale:
px =
z!
p x p z x ,
x !( z x ) ! f s
dove z è il numero di lanci, x il numero di quelli favorevoli, pf la probabilità
dell’evento favorevole, ps quella dell’evento sfavorevole.
Nei tre casi proposti abbiamo:
4
8 ! 1 1 p4 =
4 !4 ! 2 2
10
p10 =
p25
4
20 ! 1 1 10 !10 ! 2 2 50 ! 1 =
25 ! 25 ! 2 540
25
= 0,273,
10
1 2
= 0,176,
25
= 0,11,
16.23. Un astronauta vuole misurare l’accelerazione di gravità di un pianeta
sconosciuto mediante un pendolo composto di massa m = 1 kg ± 1 g e momento
d’inerzia baricentrale I CM = (10–2 ± 10–3) kg m2. Se la distanza tra il centro di
sospensione e il centro di massa è d = (20 ± 0,05) cm e il periodo di
oscillazione risulta T = (0,4 ± 0,02) s, qual è l’accelerazione di gravità sul
pianeta e quale l’errore percentuale della misura eseguita?
(3)
______
Il periodo di un pendolo composto è dato da
ICM
,
m gd
T = 2
da cui
g=
4 2 I CM
m d T2
4 9,86 102
m
= 12,3 2 .
1 0,2 0,16
s
=
La formula della propagazione degli errori esposta nel formulario afferma che
%g =
allora
2
2
2
2
a 2 %I
+ b 2 %m
+ c 2 %d
+ d 2 %T
,
% g=
2
%
I
Ma
+
2
%
m
+
2
%
d
2
+ 4 %
T.
3
10
100 = 10%,
10 2
% m = 13 100 = 0,1%,
10
% d = 0,05 100 = 0,25%,
20
% T = 0,02 100 = 5%,
0,4
%I
e
% g=
=
100 + 10 2 + 6, 25 10 2 + 25 =
125, 07 =11, 2%.
16.24. Una macchina termica esegue un ciclo reversibile nel quale viene
assorbita la quantità di calore Qa = (600 ± 20) J e viene ceduta la quantità di
calore Qc = (300 ± 15) J. Calcolare, con i corrispondenti errori percentuali: a) il
lavoro compiuto e b) il rendimento del ciclo.
(2)
______
541
a) Il lavoro compiuto è
L = Qa – Qc = 300 J.
L’errore più probabile è espresso, secondo la teoria della propagazione degli
errori, da
L =
L 2
L 2
Qa2 + Qc2 =
Qa Qc ( Qa2 + Qc2 ) =
400 + 225 = 25 J.
Possiamo scrivere allora
L = (300 ± 25) J.
Il corrispondente errore percentuale è
%L=
L
L
100 =
25
100 = 8,3 %.
300
b) Il rendimento è dato da
=1 Qc
300
=1 = 0, 5
Qa
600
e quindi, procedendo come sopra:
2
=
2
Qc2 + Qa2 =
Qc Qa =
Qc2
2
Qa
225
400
+
300 2 = 3 10 2 .
2
4
600
600
Possiamo allora scrivere
= 0, 5 ± 0, 03.
Il corrispondente errore percentuale sarà
% =
3
100 =
= 6 %.
0,5
542
+
Qc2
4
Qa
Qa2 =