INTRODUZIONE

Calcolo integrali ad una variabile
Calcolo integrali ad una variabile
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Calcolo integrali ad una variabile
2
Introduzione
Con questa piccola dispensa voglio fare un elenco, che sia sempre a
portata di mano, delle principali primitive e delle tecniche di calcolo per
risolvere gli integrali ad una variabile, affrontati in Matematica 1 ma
indispensabili per risolvere i problemi di Matematica 3.
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Calcolo integrali ad una variabile
3
Elenco primitive
1
 kdx  kx  c
2
x
3
 x dx  ln x  c

dx 
con k costante reale
1  1
x  c con α esponente della x, α≠-1
 1
1
non rientra nel caso precedente in quanto al
denominatore risulterebbe zero, il modulo viene messo perché il
logaritmo esiste solo con argomento maggiore di zero
4  sin xdx   cos x  c
5
 cos xdx  sin x  c
6
 sin
7
 cos
1
2
dx   cot gx
x
1
2
x
dx  1  tg 2 x  c
1

dx  arcsin x  c
1 x2
1
dx  arctgx  c
9 
1 x2
10  e x dx  e x  c
8
11  a x dx 
ax
con a>0, a≠1
log a
12  Shxdx  Chx  c
13  Chxdx  Shx  c
1
14
 Ch
15
 Sh
2
x
1
2
x
dx  Thx
dx  CThx
Questo è un elenco delle primitive di alcune funzioni, ossia
funzioni di cui è immediato il calcolo dell’integrale. Nel prossimo
capitolo vedremo come queste primitive siano utili anche per casi più
complessi.
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4
Primitive di funzioni
Nel caso in cui l’incognita, invece che semplicemente come
variabile, si trovi nella forma di una funzione della x, che chiameremo
u(x), possiamo applicare le stesse formule risolutive esposte nel
precedente capitolo facendo attenzione che sia presente la derivata u’(x).
Risulta più semplice vedere una applicazione diretta.
Calcolare l’integrale indefinito:
 2 x( x
2
 9 ) 2 dx
A prima vista la risoluzione sembra complessa, ma se
consideriamo:
u( x )  x 2  9
u' ( x )  2 x
L’integrale si può intendere come:
 u( x )
 u' ( x )dx
2
A questo punto possiamo usare la primitiva del caso 2 prima visto,
sostituendo a x=u(x):
 u( x )

 u' ( x )dx 
1
u( x ) 1
 1
In questo caso con α=2 risulta:
 ...  2  1 x
1
2
9

2 1



3
1 2
x 9 c
3
Questa formula può essere generalizzata a tutti i casi in cui
l’incognita delle primitive prima viste si presenti nella forma di una
funzione di x moltiplicata per la derivata della funzione di x.
Per concludere, trovandoci di fronte a casi non semplici di integrali,
possiamo cercare di ricondurli, mediante opportune operazioni, a casi di
primitive conosciute: queste operazioni consistono nel moltiplicare la
quantità da integrare per numeri negativi o positivi, diversi da zero,
affinché ci si ritrovi nel caso di una funzione u(x) moltiplicata per u’(x)
integrabile tramite le primitive esposte prima:
e
2x
dx 
1
1
2e 2 x dx  u( x )  2 x ,u' ( x )  2  e 2 x  c

2
2
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5
Integrazione per sostituzione
Come visto precedentemente, consiste nello sostituire la funzione
di partenza con una di più facile integrazione:
 f ( x )dx   f ( ( t ))  ' ( t )dt
con x   ( t )
In questo caso bisogna porre attenzione al fatto che:
dx  x  ( t )  ' ( t )dt
'
'
Come derivazione di funzione composta. Anche gli estremi di
integrazione, se integrale definito, varieranno valutando i punti rispetto
alla nuova funzione:
b
a  (  )

 ...  b  (  )   ...
a
Riportando un semplice esempio pratico:
ex  t
e
x  1  t  e1  e
1
e
x
0 e dx  x  ln1t  x  0  t  e 0  1  1 t t dt  t 1  e  1
dx 
t
1
Lo stesso risultato che si avrebbe avuto utilizzando la primitiva 10
vista precedentemente. In questo caso i calcoli si complicavano rispetto
all’uso della primitiva, ma servivano solamente come esempio.
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6
Integrazione per parti
Formula importante per semplificare integrali che si presentato
come o sono riconducibili a un prodotto di funzioni di questo tipo:
 f  g' 
fg   f ' g
f = fattore finito
g’= fattore differenziale
nel caso si tratti di un integrale definito:
b
b
 fg'   fg   f ' g
b
a
a
a
Nei casi concreti occorre scegliere opportunamente il fattore finito
e quello differenziale e nel caso si debba reiterare il procedimento
bisogna effettuare la scelta dei fattori coerentemente con quella effettuata
precedentemente.
Un applicazione importante da ricordare dell’integrazione per parti
è il caso:
x
n
f ( x )dx  f ( x )  cos x , sin x ,e x , Shx ,Chx
Considerando come fattori:
xn = fattore finito
f(x) = fattore differenziale
questa scelta permette, ad ogni reiterazione dell’integrazione per
parti, di abbassare il grado di xn dato che lo deriviamo.
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7
Integrazione di una funzione razionale
Si tratta dell’integrazione di funzioni del tipo:
Pn ( x )
dx
m( x )
Q
Con Pn(x) e Qm(x) polinomi di grado n e m rispettivamente.
Suddividiamo in due casi principali:
n>m
allora si divide il numeratore per il denominatore (vedi Regola di
Ruffini) e si semplifica l’espressione.
n<m
in questo caso se il denominatore è di primo grado, si integra
direttamente, mentre se è di secondo grado ci sono tre casi possibili:
1 Il denominatore ha due radici distinte: il denominatore può
essere scomposto e quindi si arriva al caso del denominatore di
grado 1.
2 Il denominatore è un quadrato perfetto: si può usare la tecnica
di sostituzione e ricondursi alla somma di potenze che si integra
immediatamente.
3 Il denominatore non si annulla mai: si cerca di esprime il
numeratore come derivata del denominatore in modo da
ricondursi al caso delle primitive di funzioni visto a pagina 4.
Se il denominatore è un polinomio di grado maggiore di due
bisogna cercare di scomporre il denominatore in un prodotto di fattori di
primo grado o di secondo.
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8
Integrazione funzioni razionali di sinx e cosx
Per integrare una funzione razionale di sinx oppure di cosx, del
tipo:
1
 sin x dx
Risulta utile scrivere coseno o seno in funzione della tangente nel
seguente modo:
2t
1 t2
1 t2
cos x 
1 t2
sin x 
Considerando
x
t  tg
2
x  2arctgt
2
dx 
dt
1 t2
Ricordiamo:
cos x 2  1 1  cos 2 x 
sin x 2
2
1
 1  cos 2 x 
2
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9
Integrazione funzioni razionali di ex
Il caso generale di un integrale nella forma:
 f(e
x
)dx
Con f(ex) funzione arbitraria di ex, si risolve ponendo:
ex  t
x  ln t
1
dx  dt
t
Quindi l’integrale di partenza diventa:
1
 f ( t ) t dt
Esempio
Calcolare il seguente integrale indefinito:
ex  t
t2
e2x
2x
2 1
e
dx

x

ln
t

t
dt

tdt



 t 
2
2
1
dx  dt
t
Ci si riconduce quindi sempre ad una applicazione particolare
dell’integrazione per sostituzione vista prima.
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10
Integrazione funzioni irrazionali
Vediamo tre casi che si possono incontrare:
1
2
3
x  a sin t
 a 2 ( 1  (sin 2 t )  a cos t
dx  a cos tdt
x  aSht
a2  x2 
 a 2 ( 1  Sh 2 t )  aCht
dx  aChtdt
x  aCht
x2  a2 
 a 2 ( Cht  1 )  aSht
dx  aShtdt
a2  x2 
Nei casi 2 e 3 in cui si usano funzioni iperboliche, nel ritornare alla
variabile x occorre usare le funzioni iperboliche inverse:
x

x2
 x

x  aCht  t  SettCh   log  

1
2


a
a
a
 


x

x2
 x

x  aSht  t  SettSh   log  

1
2


a
a
a
 


Ricordiamo anche che:
Sh( SettCh )   2  1
Ch( SettSh )   2  1
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