Soluzioni

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE
Appello di FISICA, 18 Luglio 2005
1) Un corpo di massa m = 0.5 kg e velocità iniziale v = 10 m/s si muove su un piano orizzontale scabro, con
coefficiente di attrito dinamico µ = 0.1. Dopo avere percorso una distanza d = 5 m il corpo urta in modo
completamente anelastico contro un corpo di massa M = 2 kg, fermo e posto sul bordo di un gradino di
altezza h = 2 m, come mostrato in figura.
Calcolare:
a) la velocità del corpo m immediatamente
M
m
prima dell’urto;
d
b) la velocità del corpo (m+M) al momento
h
dell’impatto con il suolo.
2) Un cilindro cavo di alluminio di spessore trascurabile, aperto superiormente, ha massa pari a
m=250 g, raggio R=4 cm, e altezza h=15cm. Si calcoli:
a) la forza risultante a cui è soggetto qualora venga interamente riempito di acqua e lasciato libero
di muoversi, totalmente immerso, dalla superficie libera di un recipiente pieno di acqua.
b) la quantità di acqua che occorre versare nel cilindro, in modo che, posto in un recipiente pieno
di acqua, all'equilibrio emerga il 20 % del suo volume.
3) Due moli di un gas perfetto monoatomico compiono, a partire dallo stato iniziale A di coordinate
termodinamiche (pA = 2×105 N/m2, VA= 10 dm3), il ciclo reversibile ABCA, in cui AB è una
trasformazione in cui la pressione decresce linearmente all’aumentare del volume, con pB= (1/2) pA
e VB= 4VA ed inoltre BC è una compressione isobara e CA è una compressione isoterma.
a) Si disegni l’intero ciclo in un diagramma (V, p). Si calcolino le coordinate termodinamiche di C
e la variazione di energia interna relativa alla trasformazione AB.
b) Si calcoli la quantità di calore scambiata durante l'intero ciclo.
[Nota: R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atmo /Kmole]
4) Una particella P di massa m=2×10-14 kg e carica negativa –q = – 2×10 - 12 C si muove di moto circolare
uniforme in un piano orizzontale attorno ad una particella A di carica positiva pari a 10 q, fissata in un punto
O. Il raggio della circonferenza è R=2m. Trascurando la forza gravitazionale tra le due particelle, si
determini :
a) il modulo della forza a cui è soggetta la particella P;
b) il modulo della velocità della particella P.
[Nota: ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2]
SCRIVERE IN MODO CHIARO
GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI
SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE
RIPORTARE SEMPRE LE UNITA` DI MISURA
SOLUZIONE ESERCIZIO 1
a) Il moto del corpo m sul piano orizzontale è uniformemente decelerato, data la presenza della
forza di attrito Fd diretta in verso opposto al moto e di modulo costante pari a:
Fd = µ mg
La decelerazione a di cui risente il corpo è quindi data da:
a=
Fd
= µ g = 0.1× 9.8 m / s 2 = 0.98 m / s 2
m
La velocità vf dopo un tratto d è quindi data da:
v 2f = v 2 − 2ad
v f = v 2 − 2ad = (10
m 2
) − 2 × (0.98m / s 2 ) × 5m = 9.5 m / s
s
b) Dopo l’urto completamente anelastico i corpi m ed M si muovono orizzontalmente ed uniti, con
una velocità V data dalla legge della conservazione della quantità di moto:
mv f = (m + M )V
V =
0.5 kg
m
vf =
× 9.5m / s = 1.9 m / s
(m + M )
2.5 kg
Applicando ora il principio di conservazione dell’energia meccanica, è possibile ricavare la
velocità Vf del corpo (m+M) nell’istante in cui tocca il suolo:
1
1
(m + M )V 2 + (m + M ) gh = (m + M )V f2
2
2
V f = V 2 + 2 gh = (1.9m / s ) 2 + 2 × 9.8m / s 2 × 2m = 6.54 m / s
SOLUZIONE ESERCIZIO 2
a) La forza risultante F a cui è soggetto il cilindro è:
F= Pcilindro − S
dove Pcilindro è il peso del cilindro pieno di acqua ed S la spinta Archimedea, pari al peso di un
volume di acqua uguale a quello del cilindro.
Risulta pertanto
F= PAl + Pacqua −Pacqua
dove PAl è il peso del cilindro vuoto.
Quindi:
F= PAl = mg = 0.25 kg 9.8 m/s2 = 2.45 N
b) All’equilibrio è F=0.
Indicati con Pacqua e Vcilindro rispettivamente il peso della massa d’acqua che occorre versare nel
cilindro, ed il volume del cilindro si ha:
F= PAl + Pacqua − S1 =0
dove S1 è la spinta Archimedea.
S1 = 0.8 V cilindro dacqua g
dove dacqua è la densità dell’acqua.
Risulta pertanto:
Pacqua = 0.8 V cilindro dacqua g − PAl
= 0.8 ( π 0.042 m2 0.15 m) 1000 kg/m3 9.8 m/s2 − 0.25 kg 9.8 m/s2 = 3.46 N
La massa di acqua è pertanto
macqua = Pacqua /g = 3.46 N / 9.8 m/s2 = 0.353 kg
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) Le variabili termodinamiche (p,V,T) per lo stato C possono essere ricavate applicando l’equazione
di stato dei gas perfetti
pV = nRT
p
A
sapendo che:
pA= 2×105 N/m2, VA= 10−2 m3;
pB= 105 N/m2, VB= 4×10−2 m3;
C
pC= pB=105 N/m2 (essendo BC isobara)
pCVC= pAVA (essendo AC isoterma) , da cui
VC = pAVA / pC = 2×10−2 m3
Inoltre:
TA = TC = pAVA/nR = (2×105 N/m2) (10−2 m3) / (2 moli ×8.31 J/K mole) = 120.3 K
La variazione di energia interna ∆U nella trasformazione AB è :
∆U= n cV ∆T= n cV (TB− TA)= n (3R/2)( pB VB − pA VA)/(nR) = 3000 J
b) La quantità di calore scambiata nell’intero ciclo Qciclo è:
Qciclo = L ciclo = LAB +LBC+ LCA
LAB = (pA+ pB)( VB − VA )/2 = 4500 J
LBC= pB ( VC − VB )= −2000 J
LCA= ∫ p dV = nRTA ln (VA / VC ) = −1386 J
Qciclo = 1114 J
B
V
SOLUZIONE ESERCIZIO 4
a) La forza agente su −q è la forza Coulombiana esercitata dalla carica 10q, il suo modulo vale :
F = (k 10 q2) / R2 = (8.99 ×109 × 10× (2×10- 12 ) 2 ) / 4 N = 9 ×10−14 N
b) La forza Coulombiana è la forza centripeta che determina il moto circolare della particella P,
pertanto :
F= m v2 / R
dove v è il modulo della velocità della particella.
Si ricava quindi :
v = √( F R/m) = 3 m/s