Concorso Allievi Agenti Polizia di Stato 2016
Scienza e tecnica
CONCORSO
VIGILI DEL FUOCO
2016/2017
Prova preliminare / Prova orale
Manuale Gratuito
2° Volume
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1
Dato il successo riscosso dal primo volume, e l’insistenza
con cui gli aspiranti candidati al Concorso Vigili del Fuoco
2016 ci hanno chiesto la pubblicazione del secondo, vi
anticipiamo una versione non definitiva del secondo volume.
Come materie mancano all’appello, ancora Matematica e
Geometria solida. Ci auguriamo di finirlo il prima possibile
Entrambi i volumi sono costruiti collazionando anche le voci
di Wikipedia relative a quegli argomenti che la redazione
ritiene possano essere oggetto di domanda nel corso della
prova preliminare e di quella orale.
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Indice sommario
Indice sommario
CAPITOLO 1° ............................................................................................................. 8
Scienza e tecnica .................................................................................................................................................... 8
1.1. La materia: le sue forme e le sue trasformazioni ......................................................................................... 8
1.1.1. Nozione. ............................................................................................................................................... 8
1.1.2. Atomi. .................................................................................................................................................. 8
1.1.2.1. Radioattività. ................................................................................................................................ 9
1.1.3. Sostanze. ............................................................................................................................................ 10
1.1.3.1. Sostanze pure. ............................................................................................................................ 10
1.1.3.2. Miscele. ...................................................................................................................................... 12
1.1.4. Gli stati di aggregazione della materia (o fasi)................................................................................... 12
1.1.4.1. Stato solido. ................................................................................................................................ 13
1.1.4.2. Stato gassoso o aeriforme. .......................................................................................................... 13
1.1.4.3. Stato liquido. .............................................................................................................................. 13
1.1.5. I cambiamenti di stato della materia. ................................................................................................. 13
1.1.5.1. Introduzione. .............................................................................................................................. 13
1.1.5.2. Fusione. ...................................................................................................................................... 14
1.1.5.3. Solidificazione............................................................................................................................ 14
1.1.5.4. Sublimazione. ............................................................................................................................. 14
1.1.5.5. Vaporizzazione. .......................................................................................................................... 14
1.1.5.6. Condensazione. .......................................................................................................................... 15
1.1.5.7. Brinazione (o brinamento). ........................................................................................................ 15
1.1.6. Le reazioni chimiche. ......................................................................................................................... 15
1.1.6.1. Le reazioni endotermiche ed esotermiche .................................................................................. 16
1.1.6.2. Fattori causali, condizioni ed effetti. .......................................................................................... 16
1.1.6.3. Fattori quantitativi ...................................................................................................................... 16
1.1.6.4. Attivazione e velocità di reazione. ............................................................................................. 17
1.1.6.5. Reazioni e stati della materia...................................................................................................... 17
1.2. La combustione e l’incendio ...................................................................................................................... 18
1.2.1. Combustione. ..................................................................................................................................... 18
1.2.1.1. Nozione. ..................................................................................................................................... 18
1.2.1.2. Triangolo del fuoco. ................................................................................................................... 18
1.2.1.3. Limiti di infiammabilità. ............................................................................................................ 19
1.2.1.4. La velocità di combustione ........................................................................................................ 19
1.2.1.5. La combustione spontanea ......................................................................................................... 19
1.2.1.6. I prodotti della combustione ....................................................................................................... 20
1.2.1.7. I tipi di combustibili. .................................................................................................................. 20
1.2.2. L’incendio. ......................................................................................................................................... 25
1.2.2.1. Nozione. ..................................................................................................................................... 25
1.2.2.2. Le fasi. ........................................................................................................................................ 25
1.2.2.3. Tipologia. ................................................................................................................................... 26
1.2.2.4. Le sostanze estinguenti............................................................................................................... 27
1.3. Concetti elementari di Dinamica ............................................................................................................... 28
1.3.1. Introduzione. ...................................................................................................................................... 28
1.3.2. La massa. ........................................................................................................................................... 29
1.3.3. Il peso................................................................................................................................................. 29
1.3.4. L’inerzia e il primo principio della dinamica. .................................................................................... 30
1.3.5. La forza e il secondo principio della dinamica .................................................................................. 30
1.3.6. Il terzo principio della dinamica: il principio di azione e reazione. ................................................... 31
1.3.7. L’attrito. ............................................................................................................................................. 31
1.3.7.1. Nozione. ..................................................................................................................................... 31
1.3.7.2. Attrito radente. ........................................................................................................................... 31
1.3.7.3. Attrito volvente .......................................................................................................................... 32
1.3.7.4. Attrito interno ............................................................................................................................. 32
1.3.8. Lavoro. ............................................................................................................................................... 32
1.3.9. Potenza. .............................................................................................................................................. 33
1.4. L’energia: le sue forme e le sue trasformazioni ......................................................................................... 34
1.4.1. Nozione. ............................................................................................................................................. 34
1.4.2. Tipologia. ........................................................................................................................................... 34
1.4.2.1. Energia meccanica...................................................................................................................... 34
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Indice sommario
1.4.3. Energia chimica. ................................................................................................................................ 37
1.4.4. Energia nucleare................................................................................................................................. 37
1.4.4.1. La fissione nucleare .................................................................................................................... 38
1.4.4.2. La fusione nucleare. ................................................................................................................... 38
1.4.4.3. Il decadimento radioattivo. ......................................................................................................... 38
1.4.5. Energia elettrica. ................................................................................................................................ 38
1.4.6. Energia termica o calore. ................................................................................................................... 38
1.4.6.1. Propagazione del calore. ............................................................................................................ 39
1.4.7. Energia solare..................................................................................................................................... 40
1.4.8. Trasformazioni energetiche. ............................................................................................................... 41
1.4.8.1. Le due leggi della termodinamica. ............................................................................................. 42
1.5. Le macchine ............................................................................................................................................... 43
1.5.1. Nozione di macchina. ......................................................................................................................... 43
1.5.2. Le macchine semplici......................................................................................................................... 44
1.5.3. Le macchine complesse. .................................................................................................................... 44
1.5.3.1. Nozione ...................................................................................................................................... 44
1.5.3.2. Funzionamento. .......................................................................................................................... 44
1.5.4. Le leve................................................................................................................................................ 45
1.5.4.1. Introduzione. .............................................................................................................................. 45
1.5.4.2. Tipologia. ................................................................................................................................... 46
1.5.4.3. Esercitazione. ............................................................................................................................. 48
1.5.5. Le carrucole. ...................................................................................................................................... 49
1.5.5.1. Nozione. ..................................................................................................................................... 49
1.5.5.2. Tipi ............................................................................................................................................. 50
1.5.5.3. Esercitazione. ............................................................................................................................. 52
1.5.6. Il piano inclinato ................................................................................................................................ 53
1.5.6.1. Nozione. ..................................................................................................................................... 53
1.5.6.2. Esercitazione. ............................................................................................................................. 54
1.5.7. Gli ingranaggi .................................................................................................................................... 56
1.5.7.1. Introduzione. .............................................................................................................................. 56
1.5.7.2. Tipologia. ................................................................................................................................... 58
1.5.7.3. Esercitazione. ............................................................................................................................. 61
1.5.8. Le molle. ............................................................................................................................................ 63
1.5.8.1. Nozione ...................................................................................................................................... 63
1.5.8.2. Legge di Hooke. ......................................................................................................................... 64
1.5.8.3. Molle in serie.............................................................................................................................. 66
1.5.8.4. Molle in parallelo. ...................................................................................................................... 66
1.5.8.5. Esercitazione. ............................................................................................................................. 66
1.6. Concetti elementari di cinematica .............................................................................................................. 70
1.6.1. Nozioni iniziali................................................................................................................................... 70
1.6.1.1. Traiettoria. .................................................................................................................................. 70
1.6.1.2. Direzione. ................................................................................................................................... 71
1.6.1.3. La velocità. ................................................................................................................................. 71
1.6.2. Moto uniforme. .................................................................................................................................. 71
1.6.2.1. Domande di esempio. ................................................................................................................. 72
1.6.3. Moto vario.......................................................................................................................................... 72
1.7. L’equilibrio dei corpi ................................................................................................................................. 73
1.7.1. Tipologia. ........................................................................................................................................... 73
1.7.1.1. Esercitazione. ............................................................................................................................. 74
1.7.2. L’equilibrio dei corpi sottoposti a forze. ............................................................................................ 75
1.7.2.1. Somme di forze. ......................................................................................................................... 75
1.7.3. L’equilibrio dei corpo sospesi. ........................................................................................................... 76
1.7.3.1. Nozione di baricentro. ................................................................................................................ 76
1.7.3.2. Condizioni di equilibrio ............................................................................................................. 76
1.7.4. L’equilibrio dei corpi appoggiati. ...................................................................................................... 77
1.7.4.1. Esercitazione. ............................................................................................................................. 78
1.8. I fluidi: il loro moto e il moto all’interno di essi ........................................................................................ 78
1.8.1. Introduzione. ...................................................................................................................................... 78
1.8.2. Alcune nozioni di base. ...................................................................................................................... 79
1.8.2.1. Il peso specifico.......................................................................................................................... 79
1.8.2.2. La densità. .................................................................................................................................. 80
1.8.2.3. Il concetto di pressione in generale. ........................................................................................... 83
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
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1.8.3. La pressione idrostatica. ..................................................................................................................... 85
1.8.4. La pressione atmosferica. ................................................................................................................... 85
1.8.5. Portata. ............................................................................................................................................... 86
1.8.6. La perdita di carico. ........................................................................................................................... 87
1.8.7. Il rapporto tra pressione e velocità: il principio di Bernoulli. ............................................................ 87
1.8.8. La legge di Pascal. ............................................................................................................................. 88
1.8.9. Principio dei vasi comunicanti. .......................................................................................................... 91
1.8.9.1. Applicazioni ............................................................................................................................... 91
1.8.10. Il galleggiamento dei corpi: il principio di Archimede. ................................................................... 91
1.8.10.1. Esercitazione. ........................................................................................................................... 93
1.8.11. Le forze che agiscono su un corpo in moto in un fluido. ................................................................. 93
1.8.11.1. La spinta ................................................................................................................................... 93
1.8.11.2. La portanza (e la deportanza). .................................................................................................. 94
1.8.11.3. La resistenza. ............................................................................................................................ 95
1.9. L’elettricità ................................................................................................................................................ 96
1.10. L’elettricità. ............................................................................................................................................. 96
1.10.1. La carica elettrica. ............................................................................................................................ 97
1.10.2. Conduttori e isolanti elettrici. ........................................................................................................... 97
1.10.3. Corrente elettrica. ............................................................................................................................. 98
1.10.3.1. Nozione. ................................................................................................................................... 98
1.10.3.2. L’intensità di corrente. ............................................................................................................. 98
1.10.3.3. La corrente continua. ................................................................................................................ 99
1.10.3.4. La corrente alternata. ................................................................................................................ 99
1.10.4. La resistenza................................................................................................................................... 100
1.10.5. Circuito elettrico. ........................................................................................................................... 100
1.10.5.1. Nozione. ................................................................................................................................. 100
1.10.5.2. Il funzionamento. ................................................................................................................... 101
1.10.5.3. Componenti di un circuito elettrico. ....................................................................................... 102
1.10.5.4. Collegamenti tra elementi di un circuito ................................................................................ 103
CAPITOLO 2° ......................................................................................................... 104
Geometria piana ................................................................................................................................................ 104
2.1. Nozioni inizali ......................................................................................................................................... 104
2.1.1. La geometria euclidea come sistema di postulati e teoremi. ............................................................ 104
2.1.2. Le figure geometriche, il luogo geometrico ed i concetti di perimetro e di area. ............................. 104
2.1.3. Unità di misure per le lunghezze. ..................................................................................................... 105
2.1.4. Unità di misure per le superfici. ....................................................................................................... 105
2.1.5. Gli enti fondamentali. ...................................................................................................................... 105
2.1.5.1. Punto. ....................................................................................................................................... 106
2.1.5.2. Piano......................................................................................................................................... 106
2.1.6. Similitudine, equivalenza, congruenza (o uguaglianza) e l’isoperimetria. ....................................... 107
2.1.6.1. Similitudine, ............................................................................................................................. 107
2.1.6.2. Equivalenza. ............................................................................................................................. 108
2.1.6.3. Isoperimetria. ........................................................................................................................... 108
2.1.6.4. Congruenza o uguaglianza ....................................................................................................... 108
2.2. Rette, semirette e segmenti ...................................................................................................................... 108
2.2.1. Rette. ................................................................................................................................................ 108
2.2.1.1. Premessa: la linea. .................................................................................................................... 108
2.2.1.2. Nozione. ................................................................................................................................... 108
2.2.1.3. Posizione della retta. ................................................................................................................ 109
2.2.1.4. Complanari e sghembe. ............................................................................................................ 109
2.2.1.5. Divergenti e convergenti. ......................................................................................................... 112
2.2.1.6. Fascio di rette. .......................................................................................................................... 112
2.2.1.7. Relazioni tra le rette e gli altri enti geometrici. ........................................................................ 112
2.2.2. Semirette. ......................................................................................................................................... 113
2.2.3. Segmenti. ......................................................................................................................................... 114
2.2.3.1. Nozione. ................................................................................................................................... 114
2.2.3.2. Relazioni tra segmenti. ............................................................................................................. 114
2.2.3.3. Operazione con segmenti. ........................................................................................................ 115
2.3. Angoli ...................................................................................................................................................... 116
2.3.1. Nozione. ........................................................................................................................................... 116
2.3.2. Misurazione dell’ampiezza degli angoli. ......................................................................................... 116
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
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2.3.2.1. Misura degli angoli in forma normale ...................................................................................... 117
2.3.2.2. Operazioni. ............................................................................................................................... 118
2.3.2.3. Moltiplicazione di un angolo per un numero intero ................................................................. 119
2.3.2.4. Divisione di un angolo per un numero intero positivo ............................................................. 120
2.3.3. Classificazioni. ................................................................................................................................. 121
2.3.3.1. In relazione al fatto di contenere o meno i prolungamenti dei lati: concavo e convesso. ......... 121
2.3.3.2. In relazione alla loro ampiezza. ................................................................................................ 121
2.3.3.3. In relazione alla loro ampiezza rispetto a quella di un angolo retto: acuti e ottusi ................... 122
2.3.3.4. In relazione alla loro posizione reciproca. ................................................................................ 122
2.3.3.5. In relazione al valore della loro somma. .................................................................................. 123
2.3.4. Particolari relazioni. ......................................................................................................................... 124
2.3.4.1. Somme. .................................................................................................................................... 124
2.3.4.2. Differenze. ................................................................................................................................ 124
2.3.4.3. Semiampiezza. ......................................................................................................................... 124
2.4. Poliganali e Poligoni ................................................................................................................................ 124
2.4.1. Poligonali. ........................................................................................................................................ 124
2.4.2. Poligoni. ........................................................................................................................................... 125
2.4.2.1. Nozione. ................................................................................................................................... 125
2.4.2.2. Angoli interni ed esterni. .......................................................................................................... 127
2.4.2.3. Classificazioni. ......................................................................................................................... 128
2.4.2.4. Poligono regolari. ..................................................................................................................... 128
2.4.2.5. Poligoni inscritti e circoscritti. ................................................................................................. 129
2.4.2.6. Poligoni simili. ......................................................................................................................... 130
2.4.2.7. Poligoni equicomposti. ............................................................................................................. 130
2.5. Triangoli .................................................................................................................................................. 130
2.5.1. Nozione. ........................................................................................................................................... 130
2.5.2. I punti notevoli. ................................................................................................................................ 132
2.5.2.1. Ortocentro. ............................................................................................................................... 132
2.5.2.2. Incentro. ................................................................................................................................... 132
2.5.2.3. Baricentro o centroide. ............................................................................................................. 133
2.5.2.4. Circocentro. .............................................................................................................................. 133
2.5.2.5. Excentro ................................................................................................................................... 133
2.5.3. Classificazioni. ................................................................................................................................. 134
2.5.3.1. In base ai lati. ........................................................................................................................... 134
2.5.3.2. In base agli angoli. ................................................................................................................... 135
2.5.4. Il perimetro. ..................................................................................................................................... 136
2.5.5. L’area. .............................................................................................................................................. 136
2.5.5.1. Formula generale. ..................................................................................................................... 136
2.5.5.2. Formula per il triangolo rettangolo. ......................................................................................... 136
2.5.5.3. Formula per il triangolo rettangolo isoscele. ............................................................................ 136
2.5.5.4. Formula per il triangolo equilatero. .......................................................................................... 136
2.5.5.5. Formula di Erone. ..................................................................................................................... 137
2.5.6. Il teorema di Pitagora. ...................................................................................................................... 137
2.5.6.1. Generalizzazioni del teorema di Pitagora. ................................................................................ 138
2.5.6.2. Le terne pitagoriche. ................................................................................................................. 138
2.5.7. Relazioni fra triangoli e circonferenze. ............................................................................................ 138
2.5.8. I criteri di similitudine dei triangoli. ................................................................................................ 139
2.5.9. I criteri di congruenza dei triangoli. ................................................................................................. 139
2.5.9.1. Nel caso dei triangoli rettangoli. .............................................................................................. 139
2.5.10. Triangoli equicomposti e figure equicomposte di triangoli. .......................................................... 140
2.6. Quadrilateri .............................................................................................................................................. 140
2.6.1. Introduzione. .................................................................................................................................... 140
2.6.1.1. L’area dei quadrilateri avente le diagonali perpendicolari. ...................................................... 141
2.6.2. Trapezio. .......................................................................................................................................... 141
2.6.2.1. Classificazione ......................................................................................................................... 141
2.6.2.2. Perimetro. ................................................................................................................................. 142
2.6.2.3. Area. ......................................................................................................................................... 142
2.6.3. Parallelogrammi. .............................................................................................................................. 142
2.6.3.1. Nozione. ................................................................................................................................... 142
2.6.3.2. Il perimetro. .............................................................................................................................. 143
2.6.3.3. L’area. ...................................................................................................................................... 143
2.6.3.4. Parallelogrammi particolari. ..................................................................................................... 143
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Indice sommario
2.6.4. Relazioni tra quadrilateri e circonferenze. ....................................................................................... 145
2.7. Circonferenza ........................................................................................................................................... 145
2.7.1. Nozione. ........................................................................................................................................... 145
2.7.2. Relazioni tra circonferenze e punti. ................................................................................................. 146
2.7.3. Relazioni fra circonferenze e rette. .................................................................................................. 147
2.7.3.1. Retta esterna ad una circonferenza. .......................................................................................... 147
2.7.3.2. Retta tangente ad una circonferenza ......................................................................................... 147
2.7.3.3. Retta secante una circonferenza. .............................................................................................. 147
2.7.4. Relazione fra circonferenze.............................................................................................................. 148
2.7.5. Lunghezza della circonferenza e dell’arco. ...................................................................................... 149
2.7.6. Cerchio. ............................................................................................................................................ 149
2.7.6.1. La aeree. ................................................................................................................................... 149
2.7.7. Angoli alla circonferenza e angoli al centro. .................................................................................... 150
2.7.7.1. Angoli alla circonferenza. ........................................................................................................ 150
2.7.7.2. Angolo al centro. ...................................................................................................................... 150
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tenica
Capitolo 1°
Scienza e tecnica
1.1. La materia: le sue forme e le sue trasformazioni
1.1.1. Nozione.
La materia è tutto ciò che occupa uno spazio e ha una
s u a m a s s a (vedi par. 1.3.2.).
La materia è composta da atomi. Ogni atomo possiede proprietà peculiari, derivanti dalla
sua struttura atomica.
1.1.2. Atomi.
L’a t o m o (dal greco a (negazione) + tomê (divisione)), così chiamato perché
inizialmente considerato l’unita più piccola ed indivisibile della materia, è la più piccola parte
di ogni elemento (vedi infra) esistente in natura che ne
conserva le caratteristiche chimiche.
In particolare, l’atomo è composto da un n u c l e o
carico positivamente e da un certo numero di
e l e t t r o n i , carichi negativamente, che gli vibrano
attorno senza un’orbita precisa (l’elettrone si dice infatti
delocalizzato), nei cosiddetti gusci elettronici.
Il nucleo è composto da p r o t o n i , che sono
particelle cariche positivamente e da n e u t r o n i che
sono particelle prive di carica1.
Si definiscono due quantità per identificare ogni atomo:
n u m e r o d i m a s s a : la somma del numero di neutroni e protoni nel nucleo;
n u m e r o a t o m i c o : il numero dei protoni nel nucleo, che corrisponde al
numero di elettroni esterni ad esso2.
Se il numero di elettroni in un atomo è pari a quello dei protoni, si dice che la sua
c a r i c a n e t t a , data dalla differenza tra protoni e elettroni, è nulla.
L’atomo con una carica netta diversa da zero viene chiamato i o n e . Se gli elettroni sono
più dei protoni l’atomo risulta carico negativamente (ione negativo), viceversa se i protoni
sono più degli elettroni risulta carico positivamente (ione positivo)3.
1
Gli elettroni sono 1840 volte più leggeri dei protoni, per cui si può dire che la massa dell’atomo è tutta
concentrata nel nucleo.
2
Per ricavare il n u m e r o d e i n e u t r o n i si sottrae al Numero di massa il Numero atomico.
3
Due atomi possono differire anche nell’avere numero atomico uguale ma diverso numero di massa: simili
atomi sono detti i s o t o p i ed hanno medesime proprietà chimiche. Un esempio di ciò è l’atomo di idrogeno:
in natura è presente in grande maggioranza formato da un protone ed un elettrone. Vi è però, in minore quantità,
anche il deuterio che è formato da un protone, un neutrone ed un elettrone (con esso si forma l’acqua pesante) e
il trizio (estremamente raro) formato da un protone, due neutroni ed un elettrone. Chimicamente, idrogeno,
deuterio e trizio hanno però identiche proprietà.
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8
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Ad esempio:
H: l’atomo di idrogeno contiene un protone ed un
elettrone; la sua carica netta è nulla;
H+: ione positivo dell’idrogeno che ha ceduto un
elettrone ed è rimasto con un solo protone carico
positivamente, la sua carica netta è pari a +1;
O2: ione negativo dell’ossigeno che nel suo stato fondamentale ha 8 protoni ed 8
elettroni; qui ha acquistato due elettroni e quindi presenta una carica netta pari a –2.
Gli elettroni determinano sia se un atomo reagirà con altri, sia come reagirà.
L’idrogeno (caso a) che ha un solo elettrone sarà rappresentabile con un nucleo centrale ed
un elettrone che si muove all’interno del primo livello
energetico (il primo livello energetico può contenere fino
a due elettroni)
L’ossigeno (caso b) con 8 elettroni avrà 2 livelli
energetici, dei quali il primo può contenere solo due
elettroni, mentre il secondo ne contiene 6, anche se in
realtà può accettarne fino ad 8. Questo spiega la tendenza
dell’ossigeno ad acquistare elettroni trasformandosi in
O2.
Gli atomi tendono infatti a completare il loro livello energetico esterno riempendolo col
massimo numero di elettroni che può contenere. Una tale situazione conferisce loro una
maggiore stabilità.
Una reazione chimica (vedi infra) consiste in una ridistribuzione degli atomi in molecole o
aggregati diversi da quelli esistenti precedentemente e quindi nella formazione di sostanze
nuove, costituite dagli stessi elementi di quelli da cui hanno preso origine.
Queste trasformazioni comportano solitamente la rottura di alcuni legami nei reagenti e la
formazione di nuovi legami, che andranno appunto a caratterizzare i prodotti.
1.1.2.1. Radioattività.
La r a d i o a t t i v i t à può definirsi come una fuga molto veloce di particelle o gruppi di
particelle dall’interno di un nucleo. In molti casi può liberarsi energia, e pertanto questo tipo
di radiazione non è particellare ma è costituito da onde elettromagnetiche come quelle della
luce. La rottura dell’equilibrio delle forze provoca il fenomeno della radioattività, può essere
spontanea o indotta artificialmente. Il fenomeno di rottura dell’equilibrio con emissione di
particelle o energia si chiama disintegrazione nucleare.
1.1.2.1.1. Tipi
di radiazioni.
La disintegrazione dei nuclei può provocare come visto, l’emissione di componenti di
vario tipo, ne conseguono diverse forme di radioattività.
r a d i a z i o n i a l f a : radiazione corpuscolare composta da due protoni e due
neutroni, è dotata di due cariche positive (dovute ai protoni). Molto ionizzantedebolmente penetrante (100 volte meno dei raggi beta) fa circa 7 cm di percorso in
aria;
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r a d i a z i o n i b e t a : radiazione corpuscolare dotata di una carica negativa, è
simile all’elettrone, da cui differisce solo per la sua origine nucleare. Molto
ionizzante-debolmente penetrante (100 volte meno dei raggi gamma) in aria
percorre circa 5 mt;
r a d i a z i o n e g a m m a : radiazione elettromagnetica simile alla luce,
ovviamente, priva di carica elettrica e di massa. Poco ionizzante-molto penetrante.
In aria percorre circa 3 km;
r a d i a z i o n e x : radiazione elettromagnetica simile alla gamma da cui
differisce per la sua origine, in generale per l’energia associata. Poco ionizzante fortemente penetrante.
1.1.3. Sostanze.
Gli atomi, aggregandosi in m o l e c o l e 4, formano i vari tipi di s o s t a n z e con cui si
presenta la materia (tali sono, per es. il vetro, l’acciaio, l’acqua, etc.).
Ad esempio, l’ossigeno, è formato da una molecola fatta con due atomi di ossigeno, mentre
l’acqua è una molecola composta da due atomi di idrogeno legati ad un atomo di ossigeno.
Le molecole, e dunque le sostanze, si formano attraverso una reazione chimica (vedi infra)
che consiste in una rottura e formazione di legami chimici tra atomi5.
1.1.3.1. Sostanze pure.
Le s o s t a n z e p u r e hanno una composizione fissa e ben definite proprietà chimicofisiche. Comprendono elementi e composti.
1.1.3.1.1. Elementi.
Gli e l e m e n t i sono sostanze pure che non possono essere suddivise in altre sostanze
pure ancora più semplici (per es., ossigeno, ferro, iodio).
Un elemento chimico è una sostanza pura costituita da un unico tipo di atomi, quelli che
appunto lo caratterizzano e si distinguono da quelli degli altri elementi per il numero atomico.
Gli elementi possono presentarsi in diverse forme:
sotto forma monoatomica: i gas nobili (He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn).
sotto forma molecolare: alcuni esempi sono H2, N2, O2, O3, F2, P4, S8, Cl2, Br2, I2.
4
Le molecole, che non sono altro che un insieme di atomi uniti da un legame chimico, sono rappresentate da una
formula ed un nome. La formula descrive la composizione della sostanza attraverso i simboli degli elementi in
essa contenuti. Ad esempio l’ossido di ferro, indicato come FeO, contiene un atomo di ferro ed uno di ossigeno.
Spesso nelle formule sono presenti gli indici che rappresentano il numero di atomi di quell’elemento contenuti
nella molecola. Così ad esempio in H2O, il 2 sta ad indicare che in ogni molecola di acqua ci sono 2 atomi di
idrogeno ed 1 di ossigeno; nel metano (CH4) si ha un atomo di carbonio legato a quattro atomi di idrogeno.
5
Fra le molecole di una stessa sostanza esiste una certa simpatia per cui si attirano fra loro cercando di stare
vicine. La forza che attira le molecole di una stessa sostanza si chiama c o e s i o n e . Tale forza può essere
notevole ed allora le molecole restano vicine, qualche volta invece la coesione è minore ed allora le molecole
scorrono le une sulle altre.
In alcune sostanze, al contrario, non esiste questa simpatia molecolare e le molecole invece di avvicinarsi
tendono ad allontanarsi. Tale proprietà è chiamata e s p a n s i o n e .
La forza di attrazione che si determina tra molecole di corpi diversi chiamasi a d e s i o n e . L’acqua bagna il
vetro perché vi aderisce e cioè l’adesione dell’acqua con il vetro supera la coesione delle molecole dell’acqua, la
matita scrive su un foglio di carta perché la graffite aderisce alla carta.
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sotto forma di insieme continuo (cristallino o amorfo) di atomi legati in modo
covalente: per esempio C, Si, B, Sb.
sotto forma metallica: la maggior parte degli elementi sono metalli, alcuni esempi
sono il ferro, il sodio, l’oro, il calcio, l’uranio.
Lo stesso elemento può esistere in diverse forme allotropiche come il diamante e la grafite,
nei quali il carbonio possiede strutture cristalline diverse, oppure l’ossigeno diatomico O2 e
l’ozono O3, che differiscono per la struttura molecolare.
Gli elementi vengono armoniosamente classificati nella t a v o l a p e r i o d i c a , uno
strumento di sintesi estremamente potente.
Gli elementi rinvenuti sulla Terra sono 91 (dall’idrogeno all’uranio con esclusione di
tecnezio e promezio) di cui 81 hanno almeno un isotopo stabile, al momento ne sono stati
preparati artificialmente altri 26, quindi in totale sono noti 117 elementi.
1.1.3.1.2. Composti.
I c o m p o s t i sono sostanze pure formate da due o più elementi combinati in proporzioni
fisse e definite (per es., acqua, carbonato di calcio, ammoniaca).
1.1.3.1.2.1. L’acqua.
L’a c q u a è il composto più diffuso ed abbondante sulla
Terra. La sua molecola è H2O: due atomi di idrogeno e uno di
ossigeno.
L’acqua pura è un liquido inodore e insapore, che presenta
una debole colorazione blu osservabile solo nelle acque
profonde. A pressione atmosferica, ha punto di fusione 0
°C e punto di ebollizione 100 °C; raggiunge la massima
densità, pari a 1 g/cm3, alla temperatura di 4 °C e
solidifica aumentando di volume.
La molecola dell’acqua è costituita da un atomo
di ossigeno e da due atomi di idrogeno, disposti a
formare un angolo di circa 104°. L’alta
elettronegatività dell’ossigeno, che consiste nella
sua proprietà di attirare con maggior forza gli
elettroni di legame, fa sì che la distribuzione delle
cariche elettriche nella molecola non sia
uniforme, ma polare. Questa caratteristica è
responsabile di diverse proprietà specifiche
dell’acqua, tra cui il fatto di avere una densità
maggiore allo stato liquido che allo stato di
ghiaccio.
Dal punto di vista chimico, l’acqua è uno dei solventi
più comuni; favorisce la ionizzazione6 dei sali e delle
molecole in soluzione; reagisce con alcuni sali
trasformandoli nelle rispettive forme idrate, con gli ossidi
formando acidi e idrossidi, e partecipa come catalizzatore in molte reazioni chimiche.
6
I o n i z z a z i o n e : formazione di atomi o molecole elettricamente carichi. Allo stato fondamentale gli
atomi sono elettricamente neutri, perché il numero degli elettroni, di carica negativa, uguaglia quello dei protoni,
di carica positiva. Quando, ad esempio, il sodio si combina con il cloro per formare cloruro di sodio, ogni atomo
di sodio trasferisce un elettrone all’atomo di cloro, generando uno ione sodio con carica positiva e uno ione cloro
con carica negativa. Nel cristallo che si genera in seguito a questo processo, l’attrazione elettrostatica fra ioni di
cariche opposte è così forte da determinare la formazione di un legame ionico che tiene gli atomi estremamente
vicini.
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L’acqua è l’unica sostanza che si trova in natura nei tre
s t a t i d i a g g r e g a z i o n e : s o l i d o , l i q u i d o e g a s s o s o . Allo stato solido
è presente sotto forma di ghiaccio, nella neve, nella grandine, nella brina e nelle nubi; allo
stato liquido si trova sotto forma di pioggia e rugiada, ma soprattutto ricopre i tre quarti della
superficie terrestre costituendo oceani, mari, laghi e fiumi; allo stato gassoso, infine, è
presente come nebbia e vapore ed è il principale costituente delle nuvole7.
1.1.3.2. Miscele.
Una m i s c e l a è materia formata da due o più sostanze che conservano ognuna le proprie
caratteristiche. Le miscele si dividono in miscugli e soluzioni.
Un m i s c u g l i o è una miscela eterogenea, in cui le singole sostanze sono separate
(acqua e sabbia).
Una s o l u z i o n e è una miscela omogenea in cui le singole sostanze non si distinguono
più.
1.1.4. Gli stati di aggregazione della materia (o fasi).
La materia che forma le varie sostanze è costituita da particelle piccolissime (atomi e
molecole), tra le quali si esercitano forza di attrazione più o meno intense. Queste forze di
attrazione sono all’origine dei tre diversi s t a t i d i a g g r e g a z i o n e in cui può esistere
la materia: quello gassoso, quello liquido e quello solido8.
7
La quantità di vapore presente nell’atmosfera viene espressa per mezzo del tasso di umidità relativa, calcolato
come il rapporto tra la quantità di vapore acqueo presente a una determinata temperatura e il valore massimo
possibile nelle stesse condizioni termiche.
Per effetto della gravità, l’acqua filtra attraverso il terreno e le rocce nel sottosuolo, dove va a costituire la falda
che alimenta i pozzi e le sorgenti dei corsi d’acqua.
L’acqua costituisce una frazione compresa tra il 50 e il 90% del peso corporeo degli organismi viventi, potendo
raggiungere in alcuni invertebrati marini addirittura il 95% del peso totale. Il protoplasma cellulare è una
soluzione colloidale macromolecolare in cui l’acqua rappresenta l’elemento disperdente; grassi, carboidrati,
proteine, sali e altre sostanze chimiche vengono disciolte e trasportate in soluzione acquosa, e ciò permette le
numerose reazioni chimiche indispensabili per i cicli fisiologici. Il sangue degli organismi animali e la linfa delle
piante sono costituiti prevalentemente da acqua, che ha la funzione di trasportare le sostanze nutritive e di
rimuovere i prodotti di rifiuto. L’acqua svolge inoltre un ruolo fondamentale nel metabolismo delle cellule,
prendendo parte a diverse reazioni di idrolisi.
L’acqua ha sul nostro pianeta un ciclo costante, che ha inizio con l’evaporazione dai suoli e dalla vegetazione,
dalla superficie degli oceani, dei laghi e in generale di tutti i corpi idrici presenti sulla terraferma. L’umidità
atmosferica prodotta dall’evaporazione condensa in nubi, che successivamente restituiscono l’acqua alla
superficie terrestre sotto forma di precipitazioni: pioggia, neve e grandine. Le precipitazioni ripristinano
continuamente l’umidità del suolo e rialimentano le falde acquifere sotterranee, ma soprattutto, attraverso il
deflusso superficiale di ruscelli, torrenti e fiumi, restituiscono l’acqua al mare, chiudendo così il ciclo. La
disciplina che studia la distribuzione dell’acqua sulla superficie terrestre in tutte le fasi del ciclo è l’idrologia.
Poiché l’acqua ha un elevato potere solvente, raramente può essere trovata in natura allo stato puro. La pioggia e
la neve, ad esempio, assorbono dall’atmosfera anidride carbonica e altri gas, nonché tracce di sostanze organiche
e inorganiche. L’acqua discioglie le sostanze minerali presenti nelle rocce e nel suolo, arricchendosi di composti
chimici quali solfati, cloruri e carbonati di sodio, potassio, calcio e magnesio. L’acqua di superficie spesso
contiene sostanze inquinanti di origine industriale, agricola e domestica. Nei pozzi poco profondi sono presenti
quantità variabili di composti azotati e clorurati di derivazione umana e animale; mentre i pozzi più profondi
sono ricchi principalmente di sali minerali.
Nell’acqua potabile sono normalmente presenti quantità rilevanti di fluoruri. Nell’acqua marina, oltre al cloruro
di sodio, sono contenuti numerosi altri sali, che derivano dalla continua azione di dilavamento che le acque dei
fiumi operano sugli strati superficiali del terreno. L’apporto d’acqua dolce, nei mari e negli oceani, viene
equilibrato dal processo di evaporazione che mantiene pressoché costante la concentrazione dei sali.
8
Nella scienza moderna in realtà questa semplice classificazione risulta inadeguata a descrivere esaustivamente
le numerose possibilità che ha la materia di organizzarsi. Il p l a s m a è stato probabilmente il primo nuovo
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Una stessa sostanza può esistere in più stati di aggregazione, a seconda delle condizioni
ambientali (temperatura e pressione): tipico esempio è l’acqua che può essere presente come
solido (giaccio), come liquido e come gas (vapor d’acqua).
1.1.4.1. Stato
solido.
Nello s t a t o s o l i d o le molecole (o, a seconda dei casi, gli atomi) che compongono la
materia sono strettamente legate fra loro e formano un reticolo cristallino rigido o una
struttura amorfa isotropa. In altri termini nei corpi solidi la forza di coesione tra le molecole è
grande.
I solidi sono poco comprimibili (nel senso che di solito non diminuiscono il loro volume se
sono compressi) e hanno una forma e un volume proprio.
1.1.4.2. Stato
gassoso o aeriforme.
Nello s t a t o g a s s o s o le molecole interagiscono solo debolmente e si muovono
indipendentemente le une dalle altre occupando tutto il volume loro disponibile.
Le sostanze gassose non hanno pertanto forma né volume propri e sono comprimibili (nel
senso che diminuiscono il loro volume se opportunamente compressi).
1.1.4.3. Stato
liquido.
Nello s t a t o l i q u i d o le molecole sono legate solo debolmente e, sebbene siano ben
compatte fra loro, sono libere di scorrere le une sulle altre.
Le sostanze liquide pertanto hanno volume ma non forma propria (in particolare assumono
la forma del recipiente che li contiene).
1.1.5. I cambiamenti di stato della materia.
1.1.5.1. Introduzione.
Le forze di attrazione tra le particelle, e quindi la loro mobilità, sono influenzate dalla
somministrazione o dalla perdita di energia, sotto forma di calore: l’acquisto di calore
aumenta la mobilità delle sue particelle, indebolendo le forze di attrazione; la perdita di calore
provoca l’effetto opposto.
Variazioni di temperatura (e di pressione) possono quindi determinare il passaggio della
materia da uno stato di aggregazione a un altro. Questi passaggi vengono definiti
cambianti o passaggi di stato.
stato della materia ad essere aggiunto a questa catalogazione, ma ce ne sono molti altri, i quali compaiono in
condizioni particolari di temperatura e pressione come i vari tipi di ghiaccio (denominati ghiaccio I, ghiaccio II,
ghiaccio III e così via fino al ghiaccio X) e lo stato superfluido che l’elio raggiunge a bassissime temperature.
Altri stati della materia di moderna concezione sono lo stato supercritico, colloidale, Condensato di Bose Einstein e lo stato di cristallo liquido
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1.1.5.2. Fusione.
La f u s i o n e è il passaggio di una sostanza dallo stato solido allo stato liquido. Esso
avviene con somministrazione di calore.
La temperatura (a pressione atmosferica costante) che permette ad un solido di fondersi
viene detta t e m p e r a t u r a d i f u s i o n e o p u n t o d i f u s i o n e .
1.1.5.3. Solidificazione.
Si definisce s o l i d i f i c a z i o n e il passaggio di una sostanza dallo stato liquido allo
stato solido. Esso avviene per sottrazione di calore
In particolare la solidificazione avviene quando la temperatura scende al di sotto di una
temperatura caratteristica, che varia da sostanza a sostanza, detta p u n t o d i
s o l i d i f i c a z i o n e 9. La solidificazione si può ottenere anche per aumento di pressione, o
per una combinazione di questa con il raffreddamento.
1.1.5.4. Sublimazione.
La s u b l i m a z i o n e è il passaggio di una sostanza dallo stato solido direttamente allo
stato gassoso (senza passare allo stato liquido). Esso avviene per somministrazione di calore.
1.1.5.5. Vaporizzazione.
La v a p o r i z z a z i o n e è il passaggio di una sostanza dallo stato liquido allo stato
gassoso. Avviene per somministrazione di calore.
Si distingue in e v a p o r a z i o n e , se il passaggio è graduale e avviene alla superficie del
liquido (esso può avvenire a qualsiasi temperatura), e in e b o l l i z i o n e , quando il
passaggio è tumultuoso e interessa l’interessa massa liquida.
1.1.5.5.1. Ebollizione.
L’ebollizione si verifica quando la tensione di vapore10 del liquido eguaglia la pressione.
9
Il punto di solidificazione coincide con la t e m p e r a t u r a d i f u s i o n e in quanto coincide con la
temperatura a cui avviene il fenomeno inverso della solidificazione ovvero la fusione.
10
La p r e s s i o n e d i v a p o r e o t e n s i o n e di vapore di una sostanza è la pressione parziale del
suo vapore a cui si verifica l’equilibrio fra la fase liquida e la fase gassosa ed è strettamente dipendente dalla
temperatura. Quando c’è questa condizione di equilibrio dinamico tra il liquido ed il suo vapore si parla di
Vapore Saturo. Durante questa fase di apparente stabilità macroscopica fra il liquido ed il vapore, il numero di
molecole che, per unità di tempo, abbandonano il liquido (evaporazione) è in media uguale a quello delle
molecole che vi rientrano (condensazione). La pressione esercitata dal vapore viene chiamata pressione del
vapore saturo, poiché, quando il volume sovrastante il liquido è saturo, esso non può più contenere altre
molecole in fase gassosa, sicché per quella particolare temperatura la pressione presenta il suo valore massimo.
La pressione del vapore saturo di un liquido aumenta al crescere della temperatura perché le molecole acquistano
via via un’energia cinetica più alta ed hanno così una maggiore tendenza ad evaporare. La temperatura alla quale
la pressione di vapore coincide con quella atmosferica è la temperatura di ebollizione. Infatti dall’andamento
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Siccome la tensione di vapore non è mai nulla, abbassando sufficientemente la pressione si
può provocare l’ebollizione a temperature anche vicine al punto di congelamento. Per questo
motivo, nello spazio esterno alla Terra non esistono corpi liquidi, se non racchiusi in
atmosfere che esercitino una sufficiente pressione gravitazionale. Viceversa, alzando la
pressione a temperatura costante si interrompe l’ebollizione.
Siccome la tensione di vapore aumenta, all’aumentare della temperatura, si ha che, a parità
di temperatura, raffreddando un liquido in ebollizione, l’ebollizione cessa, mentre scaldando
un liquido non in ebollizione, lo si porta in ebollizione. Tuttavia, continuando a scaldare un
liquido già in ebollizione, se si mantiene costante la pressione, la temperatura non aumenta, in
quanto tutto il calore somministrato viene assorbito dal fenomeno dell’evaporazione. Pertanto,
la temperatura di ebollizione a una data pressione è una caratteristica di una sostanza o
miscuglio, detta “p u n t o d i e b o l l i z i o n e ”.
Il punto di ebollizione varia in presenza di composti disciolti nel liquido in esame (ossia di
un soluto)11.
1.1.5.6. Condensazione.
La c o n d e n s a z i o n e è il passaggio di una sostanza dallo stato gassoso allo stato
liquido. Avviene per sottrazione di calore.
1.1.5.7. Brinazione
(o brinamento).
La b r i n a z i o n e è il passaggio di una sostanza dallo stato gassoso direttamente allo
stato solido. Avviene per sottrazione. L’origine del termine italiano si ricollega alla brina che
si forma sull’erba quando, a causa delle basse temperature, il vapor acqueo nell’aria si
trasforma in aghetti di ghiaccio che si depositano sull’erba.
1.1.6. Le reazioni chimiche.
Per r e a z i o n e c h i m i c a si intende il processo chimico, che avviene senza variazioni
misurabili di massa, in cui due o più sostanze interagiscono, trasformandosi in sostanze con
composizione molecolare diversa da quella di partenza. Le sostanze che interagiscono sono
dette r e a g e n t i , quelle finali p r o d o t t i .
I fenomeni che hanno luogo durante una reazione chimica vengono rappresentati mediante
una equazione chimica.
Le reazioni chimiche non provocano un cambiamento di natura della materia, perché non
influenzano i suoi costituenti fondamentali (gli atomi) ma solo la maniera in cui sono
aggregati in molecole; non influenzano nemmeno l’aggregazione di molecole simili, quindi le
trasformazioni puramente fisiche, come i cambiamenti di stato (fusione, solidificazione,
evaporazione, ebollizione...), l’usura e l’erosione, la frattura, etc. non sono reazioni chimiche.
della pressione del vapore saturo dell’acqua, in funzione della temperatura, si può osservare che a 100 °C la
pressione del vapore è quella atmosferica.
11
L’ebollizione dell’acqua: se la pressione atmosferica è di 1 Atm, la temperatura di ebollizione dell’acqua è di
100 °C; per valori di pressione inferiori, anche la temperatura di ebollizione è più bassa. È questo il motivo per
cui in montagna, dove la pressione atmosferica è minore di quella misurabile al livello del mare, l’acqua bolle a
una temperatura inferiore e i cibi cuociono in tempi più lunghi. Al contrario, nella pentola a pressione, dove
viene creato un ambiente a pressione molto elevata, anche la temperatura di ebollizione è maggiore, e i cibi
cuociono in tempi più rapidi.
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Allo stesso modo, non fanno parte delle reazioni chimiche le trasformazioni dei nuclei
atomici, cioè le reazioni nucleari. Pur tuttavia tali reazioni assumono anche un certo interesse
in chimica e vengono studiate dalla chimica nucleare.
Le reazioni chimiche, dunque, riguardano esclusivamente le variazioni dei legami tra gli
atomi (legame covalente, legame ionico, legame metallico).
1.1.6.1. Le
reazioni endotermiche ed esotermiche
Una reazione può sviluppare calore, in tal caso è detta esotermica, o assorbire calore, ed
essere quindi endotermica.
Una r e a z i o n e e s o t e r m i c a è quindi una reazione che comporta un trasferimento
di calore dal sistema12 all’ambiente.
Similmente una r e a z i o n e e n d o t e r m i c a è una reazione che comporta un
trasferimento di calore dall’ambiente al sistema. Necessita dunque di energia esterna per
procedere.
1.1.6.2. Fattori
causali, condizioni ed effetti.
Una reazione non può avere luogo, o viene rallentata fino a fermarsi o addirittura a
regredire se non è soddisfatta una serie di condizioni come presenza dei reagenti in misura
adeguata e condizioni di temperatura, pressione e luce adatte alla specifica reazione.
1.1.6.3. Fattori
quantitativi
Dal postulato fondamentale di Lavoisier, n u l l a s i c r e a , n u l l a s i
d i s t r u g g e , t u t t o s i t r a s f o r m a , deriva necessariamente che la somma delle
masse dei reagenti è forzatamente uguale alla somma delle masse dei prodotti di reazione.
Anche il numero degli atomi a destra e a sinistra dell’equazione deve restare invariato. Ad
esempio nell’equazione:
NaOH + HCl → NaCl + H2O
che rappresenta la reazione tra idrossido di sodio ed acido cloridrico per produrre cloruro
di sodio, che conosciamo bene come sale da cucina, troviamo esattamente lo stesso numero di
atomi dello stesso tipo sia nella parte sinistra (reagenti) che nella parte destra (prodotti) della
reazione, ma combinati in maniera diversa.
In questo caso, essendo questa una reazione tra un acido13 (HCl) e una base14 (NaOH) la
reazione procederà verso la neutralizzazione completa a meno che uno dei reagenti non sia in
eccesso rispetto all’altro: in questo caso, la soluzione rimarrà acida o basica a seconda del
reagente in eccesso.
Alcune reazioni per avvenire hanno bisogno, o vengono facilitate, della presenza di una
terza sostanza (rispetto a reagenti e prodotti) detta c a t a l i z z a t o r e . Il catalizzatore
12
Il s i s t e m a è la parte dell’universo oggetto di studio (nel nostro caso sistema chimico, ad es. solvente,
reagenti e prodotti presenti in un becher (che rappresenta il contorno del sistema)), mentre l’ambiente è tutto cio
che circonda il sistema stesso. Sistema + ambiente costituiscono un sistema isolato: l’universo è un sistema
isolato.
13
Un a c i d o è una sostanza che dissociandosi in acqua produce ioni H +.
14
Una b a s e è una sostanza che dissociandosi in acqua produce ioni OH -.
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permette o facilita la reazione, ma viene ritrovato invariato (o quasi) tra i prodotti di
reazione15.
Le trasformazioni che hanno luogo durante una reazione chimica spontanea portano ad una
diminuzione dell’energia totale del sistema. In effetti, in una molecola o in un cristallo,
l’organizzazione reciproca degli atomi implica un’energia, l’energia di legame; perché un
legame venga rotto è necessario fornire al sistema una quantità di energia almeno pari
all’energia di legame. Quando gli atomi si ricombinano, formando nuovi legami, tale energia
viene liberata. Al termine di una reazione, l’energia immagazzinata nei legami dei prodotti di
reazione è minore di quella inizialmente presente nei legami dei reagenti iniziali.
1.1.6.4. Attivazione
e velocità di reazione.
Durante la reazione, tuttavia, esiste un momento in cui i vecchi legami si sono rotti e quelli
nuovi non si sono ancora formati, è lo stato di transizione dove l’energia del sistema è
massima, cosa che costituisce una vera barriera per la realizzazione della reazione
Lo studio dell’aspetto energetico delle reazioni chimiche è la termodinamica, che ci
permette di verificare se una reazione può o meno avere luogo e quanta energia è necessario
fornire per superare la barriera dell’energia di attivazione; ma esiste un altro parametro
importante: la velocità di reazione.
Alcune reazioni sono molto rapide, addirittura violente, come le esplosioni, altre sono
talmente lente che possono continuare per anni, o secoli. Alcune sono talmente lente che i
reagenti coinvolti sembrano in realtà composti stabili, come nel caso dell’ossidazione
dell’alluminio, si parla in tal caso di composti “‘metastabili”‘ (la forma stabile, in ambiente
con presenza di ossigeno, è l’ossido di alluminio, mentre quella metastabile è l’alluminio
metallico); ad occuparsi di studiare la velocità di reazione è la cinetica chimica.
La cinetica di una reazione dipende da numerosi fattori, il più importante è la temperatura:
l’energia termica permette sia di superare la barriera dell’energia di attivazione più
facilmente, sia di avere un numero maggiore di collisioni tra le molecole reagenti.
1.1.6.5. Reazioni
e stati della materia
Un altro parametro importante è lo stato (o fase) in cui si trovano i reagenti. Da questo
punto di vista le reazioni maggiormente favorite sono quelle in fase gassosa o liquida, dove i
reagenti sono mescolati tra loro e possono facilmente venire a contatto.
In tutti gli altri casi, cioè per reazioni tra:
un solido e un gas;
un solido e un liquido;
un solido e un solido;
un liquido e un gas;
due liquidi immiscibili;
dette r e a z i o n i e t e r o g e n e e , la reazione può aver luogo esclusivamente nei punti
di contatto tra le due fasi, quindi sarà più veloce se i reagenti vengono dispersi l’uno nell’altro
come nel caso di:
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In biologia i catalizzatori sono denominati enzimi.
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aerosol (fini gocce di liquido disperse in un gas);
emulsioni (dispersioni di gocce di un liquido in un altro immiscibile);
miscugli di polveri;
sol (dispersioni di polveri in un liquido);
schiume (bolle di gas disperse in un liquido).
in questo modo vengono massimizzate le superfici di contatto tra i reagenti e quindi la
possibilità di reazione.
Per i solidi questo può esser quantificato misurando la s u p e r f i c i e s p e c i f i c a ,
ossia la superficie esposta per unità di massa; una polvere o un solido poroso hanno elevati
valori di superficie specifica.
1.2. La combustione e l’incendio
1.2.1. Combustione.
1.2.1.1. Nozione.
La c o m b u s t i o n e è una reazione chimica che comporta l’ossidazione di un
combustibile da parte di un comburente (che in genere è rappresentato dall’ossigeno presente
nell’aria), con sviluppo di calore e radiazioni elettromagnetiche, tra cui spesso anche
radiazioni luminose.
1.2.1.2. Triangolo
del fuoco.
Il “t r i a n g o l o d e l f u o c o ” consiste nei tre elementi che sono necessari allo
svolgersi della reazione di combustione. Questi tre elementi sono:
c o m b u s t i b i l e : è la sostanza che nel processo di combustione viene ossidata.
Può essere di vario tipo, ad esempio: idrocarburi, legname o carbone;
c o m b u r e n t e : una sostanza che agisce come agente ossidante di un
combustibile in una reazione di combustione. Il
comburente per eccellenza è l’ossigeno presente nell’aria,
ma anche altre sostanze possono comportarsi da
comburenti (es. ozono, idrogeno, etc.);
i n n e s c o : la reazione tra il combustibile e il
comburente non è spontanea ma avviene ad opera di un
innesco esterno. L’i n n e s c o può essere rappresentato
ad esempio da una fonte di calore o da una scintilla.
L’innesco rappresenta l’energia di attivazione necessaria
alle molecole di reagenti per iniziare la reazione e deve essere fornita dall’esterno.
In seguito l’energia rilasciata dalla reazione stessa ne rende possibile l’auto
sostentamento, senza ulteriori apporti energetici esterni.
Mancando uno degli elementi del triangolo l’incendio non si sviluppa o si estingue.
Spegnere un incendio è infatti possibile per sottrazione (esaurimento o allontanamento) del
combustibile, per soffocamento (separazione dell’ossigeno/comburente per mezzo di una
sostanza coprente) o per raffreddamento (fermando la reazione a catena di autosostentamento
dell’innesco).
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1.2.1.3. Limiti
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di infiammabilità.
Come abbiamo già sottolineato, affinché la combustione avvenga è necessaria la presenza
contemporanea di un combustibile, di un comburente e di una temperatura al di sopra di una
certa soglia.
Risulta però necessario che il rapporto tra combustibile e comburente sia entro certi limiti,
noti appunto come l i m i t i d i i n f i a m m a b i l i t à . I limiti di infiammabilità nel caso
di combustibili gassosi vengono espressi come la percentuale in volume di combustibile nella
miscela aria - combustibile. Si distinguono in limite inferiore e limite superiore di
infiammabilità.
Il l i m i t e i n f e r i o r e d i i n f i a m m a b i l i t à rappresenta la minima
concentrazione di combustibile nella miscela aria-combustibile che consente a quest’ultima,
se innescata, di reagire dando luogo ad una fiamma in grado di propagarsi a tutta la miscela.
Il l i m i t e s u p e r i o r e d i i n f i a m m a b i l i t à rappresenta la concentrazione
massima di combustibile in presenza della quale il comburente, cioè l’aria, risulta
insufficiente per dar luogo ad una fiamma in grado di propagarsi a tutta la miscela.
Se il gas o vapore infiammabile è diluito con un eccesso d’aria, il calore sviluppato
dall’accensione è insufficiente a far salire la temperatura degli strati adiacenti di miscela fino
al punto di accensione. La fiamma non può propagarsi attraverso l’intera miscela ma si
estingue. Se nella miscela è presente un eccesso di combustibile (al di sopra del limite
superiore di infiammabilità), questo funzionerà da diluente, abbassando la quantità di calore
disponibile agli strati adiacenti di miscela, fino ad impedire la propagazione della fiamma.
1.2.1.4. La velocità
di combustione
Per poter accelerare la combustione si può adoperare una turbolenza, la quale aumenta il
mescolamento tra combustibile e comburente, velocizzando la combustione.
La velocità di combustione può essere aumentata anche polverizzando il combustibile e
miscelandolo con l’aria, in modo da aumentare la superficie di contatto tra combustibile e
comburente; dove è richiesto uno sviluppo d’energia molto veloce, ad esempio nella
propulsione di un razzo, il comburente deve essere incorporato direttamente nel combustibile
durante la sua preparazione.
1.2.1.5. La
combustione spontanea
Per c o m b u s t i o n e s p o n t a n e a si intende l’infiammazione spontanea di una
sostanza che ha luogo senza l’applicazione di fonti di calore esterne.
La combustione spontanea può avvenire quando grandi quantità di materiale infiammabile,
ad esempio di carbone o fieno, vengono conservati in una zona in cui vi è poca circolazione
d’aria. In questa situazione possono svilupparsi reazioni chimiche, come l’ossidazione e la
fermentazione, che producono calore.
Il calore intrappolato fa crescere la rapidità con cui si sviluppano nuove reazioni chimiche,
con ulteriore produzione di calore, che può scaldare a tal punto il materiale infiammabile da
sviluppare una fiamma spontanea.
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1.2.1.6. I prodotti
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della combustione
I prodotti della combustione dipendono dalla natura del combustibile e dalle condizioni di
reazione. Essi di regola sono:
anidride carbonica: è un gas prodotto dalla combustione che a concentrazioni
massima del 10% è asfissiante risultando letale se respirata più di qualche
minuto;
ossido di carbonio: è un gas tossico che si sviluppa durante la combustione, in
ambienti chiusi una concentrazione dell’1% è sufficiente a procurare svenimento
e la morte dopo qualche minuto. Il gas si combina col sangue formando la
carbossiemoglobina che altera il meccanismo di trasporto dell’ossigeno ai tessuti
da parte del sangue, causando conseguentemente perdita di coscienza e/o
collasso;
vapore acqueo;
composti intermedi gassosi: si sviluppano per decomposizione di sostanze
organiche e possono anche essere tossici;
fumo: sospensione di particelle solide (catrami o particelle di carbonio) e/o
liquide,( vapore d’acqua), presenti nei gas derivanti dalla combustione;
fosgene: gas altamente tossico, è presente in tutti gli incendi dove vi sono
materiali che contengono cloro, la presenza di tale gas è da temere
particolarmente, si consiglia l’uso di autoprotettori negli incendi in luoghi chiusi.
1.2.1.7. I tipi
di combustibili.
1.2.1.7.1. Combustibili solidi: il legno in particolare.
I c o m b u s t i b i l i s o l i d i sono i più abbondanti e quelli che vengono usati da più
tempo. Ad essi appartiene il più antico ed il più noto fra i combustibili: il l e g n o . Questo si
produce continuamente nelle piante come risultato di sintesi biochimiche tra l’anidride
carbonica e l’acqua con l’utilizzazione dell’energia solare.
Il legno è costituito da cellulosa (il componente fondamentale), lignina, zuccheri, resine,
gomme e sostanze minerali varie, che danno luogo, al termine della combustione, alle ceneri.
Stesse caratteristiche presentano tutte le sostanze che derivano dal legno come la carta, il lino,
la juta, la canapa, il cotone, ecc.
Il grado di combustibilità di tutte queste sostanze può essere alterato a seguito di particolari
trattamenti (ad es. pittura). Il legno può bruciare con fiamma più o meno viva - o addirittura
senza fiamma - o carbonizzare a seconda delle condizioni in cui avviene la combustione.
La temperatura d’accensione del legno è di circa 250°C,
tuttavia se il legno è a contatto con superfici calde per
molto
tempo
possono
avvenire
fenomeni
di
carbonizzazione con possibilità di accensione spontanea a
temperature anche molto minori.
Una caratteristica importante del legno è la pezzatura,
definita come il rapporto tra il volume del legno e la sua
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superficie esterna. Se un combustibile ha una grande pezzatura vuol dire che le sue superfici a
contatto con l’aria sono relativamente scarse ed inoltre ha una massa maggiore per disperdere
il calore che gli viene somministrato.
In pratica un pezzo piccolo di legno prende fuoco facilmente anche con sorgenti a
relativamente bassa temperatura, mentre un pezzo di legno sufficientemente grande prende
fuoco con molta più difficoltà.
In generale, sia per i combustibili solidi che per quelli liquidi, si ha che quando il
combustibile è suddiviso in piccole particelle, la quantità di calore da somministrare è tanto
più piccola quanto più piccole sono le particelle, sempre che naturalmente si raggiunga la
temperatura di accensione. Così il legno che in grandi dimensioni può essere considerato un
materiale difficilmente combustibile, quando invece è suddiviso allo stato di segatura o
addirittura di polvere può dar luogo addirittura ad esplosioni.
Per un combustibile solido diventa quindi fondamentale la sua suddivisione. Una grossa
pezzatura comporta un basso rischio di incendio, mentre con una pezzatura piccola lo stesso
materiale risulta molto pericoloso.
Va notato che nel caso di materiali di grossa pezzatura diventa rilevante non solo il fatto
che la sorgente di calore abbia una temperatura elevata ma anche il tempo di esposizione alla
sorgente di calore.
La bassa conduttività del legno (proprietà di trasmettere il calore) determina una minore
velocità di propagazione della combustione.
Come è ovvio il legno mantiene le suo proprietà combustibili anche quando viene destinato
ad altri usi (essenzialmente nell’arredamento e nell’edilizia) e di questo si deve tenere conto
nel progettare le misure antincendio degli edifici.
1.2.1.7.2. Combustibili
liquidi.
I c o m b u s t i b i l i l i q u i d i sono, tra i combustibili, quelli che presentano il più
elevato potere calorifico per unità di volume. Vengono adoperati sia nei motori che negli
impianti di riscaldamento. Nella combustione all’interno dei motori è particolarmente
importante il miscelamento con l’aria, che prende il nome di carburazione. Il combustibile
miscelato con l’aria può essere sotto forma di minuscole goccioline di liquido oppure sotto
forma di vapore.
In generale tutti i combustibili liquidi sono in equilibrio con i propri vapori, che si
sviluppano in misura differente a seconda delle condizioni di pressione e di temperatura, sulla
superficie di separazione tra liquido e mezzo che lo sovrasta.
Nei liquidi infiammabili la combustione avviene quando, in corrispondenza della suddetta
superficie, i vapori dei liquidi, miscelandosi con l’ossigeno dell’aria in concentrazioni
comprese nel campo di infiammabilità, sono opportunamente innescati. Pertanto per bruciare
in presenza di innesco, un liquido infiammabile deve passare dallo stato liquido allo stato
vapore.
L’indice della maggiore o minore combustibilità di un liquido è fornito dalla temperatura
di infiammabilità, in base alla quale i combustibili liquidi vengono così catalogati:
categoria A: liquidi aventi punto di infiammabilità inferiore a 21°C
categoria B: liquidi aventi punto di infiammabilità compreso tra 21°C e 65°C
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categoria C: liquidi aventi punto di infiammabilità oltre 65° e fino a 125°C
Altri parametri che caratterizzano i combustibili liquidi sono la temperatura di accensione
e di infiammabilità, i limiti di infiammabilità, la viscosità e la densità dei vapori.
Tanto più è bassa la temperatura di infiammabilità tanto maggiori sono le probabilità che si
formino vapori in quantità tali da essere incendiati.
Particolarmente pericolosi sono quei liquidi che hanno una temperatura di infiammabilità
inferiore alla temperatura ambiente, in quanto anche senza subire alcun riscaldamento,
possono dar luogo ad un incendio.
Fra due liquidi infiammabili entrambi con temperatura di infiammabilità inferiore alla
temperatura ambiente è comunque da preferire quello a più alta temperatura di infiammabilità
in quanto a temperatura ambiente emetterà una minore quantità di vapori infiammabili,
diminuendo così le possibilità che si formi una miscela aria - vapori nel campo
d’infiammabilità.
Ulteriori elementi negativi per quanto riguarda il pericolo di incendio sono rappresentati
da:
bassa temperatura di accensione del combustibile, che comporta una minore energia di
attivazione per dare inizio alla combustione;
ampio campo di infiammabilità, in quanto risulta più esteso l’intervallo di
miscelazione vapore - aria per il quale è possibile l’innesco e la propagazione
dell’incendio.
Un’ultima considerazione si deve fare a proposito della densità dei vapori infiammabili,
definita come la massa per unità di volume di vapori del combustibile.
I combustibili più pericolosi quelli più pesanti dell’aria, in quanto in assenza o scarsità di
ventilazione tendono ad accumularsi e a ristagnare nelle zone basse dell’ambiente formando
più facilmente miscele infiammabili.
1.2.1.7.2.1. I
petroli.
I combustibili liquidi artificiali sono pochi e di scarsa importanza, mentre ben più
importante è la classe dei combustibili liquidi naturali, alla quale appartengono i p e t r o l i .
Il petrolio non è un’unica sostanza, ma una miscela formata prevalentemente da un gran
numero di idrocarburi (composti chimici formati esclusivamente da carbonio ed idrogeno) con
proprietà chimiche e fisiche molto diverse. Nei diversi tipi di petroli possono essere presenti
anche sostanze diverse dagli idrocarburi, ad esempio composti dello zolfo (che determinano il
tenore di zolfo), che sono una delle principali cause dell’inquinamento da anidride solforosa
nelle grandi città.
Si deve tenere presente che, anche se il petrolio nel suo complesso è un liquido, i diversi
idrocarburi che lo compongono possono essere liquidi, solidi o gassosi (il fatto che una
miscela liquida possa contenere sostanze solide e gassose non deve stupire, basta pensare che
l’acqua di mare è una miscela di acqua e di diversi sali tutti solidi).
Il petrolio viene estratto in diverse regioni del mondo mediante l’uso di pozzi e piattaforme
marine. La sua origine è stata lungamente discussa ed oggi è certo che esso deriva dalla lenta
trasformazione, a pressioni elevate ed in assenza di aria, di materiali organici accumulatisi su
fondale di bacini marini e portati nel sottosuolo dall’evoluzione geologica.
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Il petrolio appena estratto viene chiamato greggio e non viene usato come tale, ma
trasportato in diversi modi (oleodotti, navi cisterna o camion) fino a particolari impianti,
chiamati raffinerie, nei quali viene lavorato per ottenere i suoi derivati più importanti.
La principale lavorazione a cui viene sottoposto il petrolio greggio è una
d i s t i l l a z i o n e 16. La prima grossolana distillazione consente di separare frazioni che
distillano in intervalli di temperatura piuttosto ampi.
Successivamente queste frazioni vengono ulteriormente distillate per ottenere i prodotti
finali: gas di raffineria, benzine, cherosene, gasolio. La parte liquida che rimane come residuo
della distillazione costituisce gli oli pesanti, quella solida il bitume.
Le b e n z i n e sono la frazione che si separa fra i 60° ed i 200°C ed il loro impiego più
importante è come carburanti nei motori a scoppio, ad esempio nelle automobili.
Il c h e r o s e n e è la frazione che distilla fra 160° e 270°C, molto usata nel riscaldamento
domestico, ed il gasolio quella che distilla fra 250° e 340°C, che trova l’impiego più
importante nei motori Diesel.
Gli o l i p e s a n t i vengono di solito sottoposti a trattamenti che consentono di
trasformarli in benzine, ben più preziose, mentre il bitume viene usato prevalentemente per la
pavimentazione delle strade.
1.2.1.7.3. Combustibili
gassosi.
I gas in base alle loro caratteristiche fisiche vengono divisi in: gas leggeri; gas pesanti.
Si definisce g a s l e g g e r o un gas avente densità rispetto all’aria inferiore a 0,8
(idrogeno, metano, ecc.).
Si definisce g a s p e s a n t e un gas avente densità rispetto all’aria superiore a 0,8 (GPL,
acetilene, ecc.). Un gas pesante quando liberato dal proprio contenitore tende a stratificare e a
permanere nella parte bassa dell’ambiente.
1.2.1.7.3.1. Idrocarburi gassosi.
Fra i combustibili gassosi naturali, i più importanti sono senza dubbio gli
i d r o c a r b u r i g a s s o s i : metano17, etano, propano e butano (il primo è il comune gas
da cucina usato nelle grandi città, l’ultimo il gas contenuto, ad esempio, nelle bombole dei
fornelli da campeggio).
Questi combustibili sono migliori dei combustibili liquidi naturali perché sono
generalmente molto puri, possono essere miscelati facilmente con l’aria (e quindi con
l’ossigeno) per avere un’ottima combustione e bruciano senza dare origine a sostanze
incombuste e a fumi. L’unico rischio, comune peraltro a quasi tutti i combustibili naturali,
consiste nella possibile formazione di monossido di carbonio se la disponibilità di ossigeno è
limitata.
16
La distillazione è una tecnica che consente di separare i diversi componenti di una miscela liquida scaldandola
lentamente e raccogliendo i vapori delle sostanze componenti man mano che evaporano alle diverse temperature.
17
Il m e t a n o è molto diffuso nel sottosuolo di un gran numero di paesi, inclusa l’Italia, e spesso si trova
associato ai giacimenti petroliferi. In questi ultimi casi a volte la sua raccolta può addirittura risultare
economicamente sconveniente e per questo motivo si preferisce distruggerlo incendiandolo prima di iniziare
l’estrazione del petrolio. Come si può facilmente intuire l’uso principale del metano è nelle attività domestiche
(fornelli ed impianti di riscaldamento a gas), ma non mancano naturalmente gli impieghi industriali.
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Inoltre, possono essere trasportati e distribuiti con facilità allacciando le abitazioni
direttamente alla rete delle società del gas, evitando pericolosi e costosi depositi ed
immagazzinamenti. Altro vantaggio è la facilità di regolazione del flusso di gas e quindi della
quantità di calore prodotta.
1.2.1.7.3.2. L’idrogeno.
Fra i combustibili gassosi artificiali merita un cenno l’i d r o g e n o , ottenuto a partire
dall’acqua attraverso un procedimento chiamato idrolisi ed attualmente oggetto di un gran
numero di studi per il suo possibile impiego come combustibile pulito (l’unico prodotto della
sua combustione è l’acqua e non c’è il rischio della possibile formazione di monossido di
carbonio).
Come per i liquidi infiammabili, anche per l’idrogeno risultano fondamentali alcuni
parametri quali: · temperatura di accensione; limiti di infiammabilità; densità rispetto all’aria.
1.2.1.7.3.3. Conservazione
dei gas.
I gas vengono conservati all’interno di contenitori (grandi serbatoi, bombole, bottiglie
ecc.), in genere sotto pressione oppure liquefatti in maniera da consentire una più semplice
stoccaggio. La modalità con cui lo stoccaggio viene eseguito, è rilevante al fine di prevenire
eventuali cause d’incendio.
G a s c o m p r e s s i : sono quelli conservati allo stato gassoso sotto pressione alla
temperatura ambiente in appositi recipienti. Tali recipienti vengono riempiti di gas fino al
raggiungimento di una data pressione di carica che è funzione della resistenza della bombola
stessa
G a s l i q u e f a t t i : sono quelli (butano, propano, ammoniaca, cloro) che alla
temperatura ambiente vengono conservati in appositi recipienti allo stato liquido sotto una
pressione relativamente bassa. La pressione all’interno del recipiente, fin tanto che sono
presenti le due fasi, dipende esclusivamente dalla temperatura. Il gas liquefatto è molto più
concentrato di quelli compressi (1 litro di gas liquefatto può sviluppare nel passaggio di fase
fino a 800 litri di gas). Il riempimento del recipiente non deve essere mai completo in quanto
un aumento della temperatura provoca un aumento di volume del liquido ed un aumento della
pressione, per cui il recipiente potrebbe scoppiare. Per evitare tale rischio, è prescritto un
limite massimo di riempimento.
G a s c r i o g e n i c i : Sono conservati allo stato liquido in particolare contenitori, ma a
temperature e pressioni molto basse. Questi gas non possono essere conservati
indefinitamente in un contenitore, poiché anche la temperatura dell’ambiente circostante può
generare delle condizioni di pressioni non sostenibili per qualunque recipiente. E’ necessario
quindi rendere possibile una minima evaporazione, che consenta di restituire, come calore di
evaporazione, il calore assorbito dall’ambiente esterno.
G a s d i s c i o l t i : sono conservati in fase gassosa disciolti entro un liquido ad una
determinata pressione (ad esempio, acetilene disciolto in acetone, anidride carbonica disciolta
in acqua gassata-minerale).
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1.2.2. L’incendio.
1.2.2.1. Nozione.
Con i n c e n d i o si definisce una combustione, con presenza di fiamma, non controllata
di materiali generici.
1.2.2.2. Le
fasi.
Nell’evoluzione dell’incendio si possono individuare quattro fasi caratteristiche quali:
1.2.2.2.1. Fase
iniziale.
La sua durata dipende diversi fattori quali:
infiammabilità del combustibile, legata alla natura del combustibile che può
essere solido, liquido, gassoso.
propagazione della fiamma - dipende anch’essa dalla natura del combustibile,
(legno, lenta; liquido, veloce) ma anche dalla sua disposizione.
distribuzione del combustibile nell’ambiente.
geometria e volume dell’ambiente - questa caratteristica aumenta o diminuisce la
velocità di propagazione delle fiamme e del calore.
1.2.2.2.2. Estensione
Questa fase è caratterizzata da:
ridotta visibilità a causa dei prodotti della combustione;
produzione di gas tossici e corrosivi;
aumento della velocità di combustione;
aumento dell’energia e della temperatura di irraggiamento.
Può essere influenzata da:
effetti camino e azioni dovute alla ventilazione naturale, forzata;
azioni meccaniche.
1.2.2.2.3. Incendio
generalizzato o flash over.
Caratterizzato principalmente da:
brusco aumento della temperatura;
aumento della velocità di combustione;
aumento dell’emissione di fumi e gas;
autoaccensione di tutti i materiali combustibili.
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1.2.2.2.4. Estinzione.
Raggiunta l’accensione completa dei materiali combustibili presenti nell’incendio il
fenomeno comincia a rallentare e la temperatura comincia a decrescere fino all’estinzione
dell’incendio.
I meccanismi per cui avviene l’estinzione possono essere riassunti in:
se p a r a z i o n e fra materiale combustibile non incendiato da quello interessato
dal fuoco;
s o f f o c a m e n t o con l’inibizione del contatto del comburente (ossigeno
contenuto nell’aria) con il combustibile;
r a f f r e d d a m e n t o con la riduzione della temperatura del materiale
combustibile al di sotto di quella di accensione;
i n i b i z i o n e c h i m i c a con l’arresto delle reazioni che si verificano
durante la combustione. Intervenendo sulla catalisi negativa con l’arresto dei
radicali liberi della combustione e con il conseguente blocco della propagazione
delle fiamme.
1.2.2.3. Tipologia.
1.2.2.3.1. Classe
A: fuochi di solidi, detti fuochi secchi
La combustione può presentarsi in due forme: combustione viva con
fiamme o combustione lenta senza fiamme, ma con formazione di brace
incandescente.
L’agente estinguente raccomandato è l’acqua (agisce sul calore) ma in
alternativa si possono usare estintori a polvere polivalente (agisce sulle reazioni di
ossidazione) (A-B-C).
1.2.2.3.2. Classe B: fuochi di idrocarburi solidificati o di liquidi infiammabili, detti fuochi
grassi.
È controindicato l’uso di acqua a getto pieno ma non a getto frazionato o
nebulizzato. Gli altri agenti estinguenti sono la polvere polivalente (A-B-C),
la polvere di classe (B-C), il biossido di carbonio (CO2 che “soffoca”
l’incendio abbassando la temperatura) e la schiuma antincendio (elimina il
comburente), oppure estintori idrici. L’agente estinguente migliore è la schiuma antincendio
(che varia dal tipo di sostanza coinvolta nell’incendio).
1.2.2.3.3. Classe
C: fuochi di combustibili gassosi.
Questi fuochi sono caratterizzati da una fiamma alta ad alta
temperatura, la fiamma non si dovrebbe spegnere ma bisognerebbe
raggiungere la valvola a monte e chiuderla per evitare che uno
spegnimento continui a rilasciare gas altamente infiammabile
nell’ambiente con conseguenze devastanti in ambienti chiusi (esplosione).
L’acqua è consigliata solo a getto frazionato o nebulizzato per raffreddare i tubi o le
bombole circostanti o coinvolte nell’incendio. Gli altri agenti estinguenti da utilizzare sono le
polveri polivalenti (A-B-C), quelle di classe (B-C) e il biossido di carbonio. Quest’ultimo è il
più efficace tra tutti i precedenti e permette uno spegnimento molto rapido della fiamma.
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1.2.2.3.4. Classe
D: fuochi di metalli.
Questi fuochi sono particolarmente difficili da estinguere data la
loro altissima temperatura e richiedono personale addestrato e agenti
estinguenti speciali. Gli agenti estinguenti variano a seconda del tipo di
materiale coinvolto nell’incendio ad esempio, nei fuochi coinvolgenti
alluminio e magnesio si utilizza la polvere al cloruro di sodio. Tutti gli
altri agenti estinguenti sono sconsigliati (compresa l’acqua) dato che possono avvenire
reazioni con rilascio di gas tossici o esplosioni.
1.2.2.4. Le sostanze
estinguenti.
Le s o s t a n z e e s t i n g u e n t i sono sostanze chimiche e naturali che attraverso vari
meccanismi, provocano l’estinzione del fuoco.
1.2.2.4.1. L’acqua.
L’a c q u a è la sostanza estinguente più comune e diffusa (anche per il suo basso costo).
Esercita un azione di raffreddamento separazione e soffocamento. Risulta molto efficace sui
fuochi di classe A (incendi di legname, di carta, di bosco, di sterpaglie ecc.), può essere usata
su fuochi di classe B solo quando il combustibile ha una densità maggiore dell’acqua.
Il Corpo Nazionale dei Vigili del Fuoco utilizza principalmente l’acqua per estinguere gli
incendi. Nei vari Comandi e nei Distaccamenti presenti sul territorio nazionale sono
conservate le piante della dislocazione degli idranti sul territorio per rifornimenti in soccorso,
gli stessi vanno periodicamente controllati e manutentati.
L’uso dell’acqua nell’estinzione di alcuni incendi anche di classe A deve essere adeguato
al tipo di incendio e limitato all’estinzione e all’eventuale procedura di smassamento dei
materiali per eliminare focolai nascosti nelle braci.
L’acqua in quanto buon conduttore elettrico non deve essere usata per spegnere incendi di
apparecchiature elettriche sotto tensione, è controindicata nei fuochi da metalli e da polveri
particolarmente reattive perché potrebbe dare origine a reazioni pericolosi;
1.2.2.4.2. La
schiuma.
La s c h i u m a è costituita da una miscela di acqua, liquido schiumogeno e aria o altro gas
inerte. Esercita un azione meccanica di separazione tra il combustibile e il comburente
ossigeno presente nell’aria, di raffreddamento (azione endogena) e di soffocamento. L’uso
della schiuma è indicato particolarmente per i focolari di classe B, principalmente per serbatoi
contenenti liquidi infiammabile.
L’erogazione del prodotto ai fini dello spegnimento avviene per mezzo di particolari lance,
in uso al Corpo Nazionale VVF. Sul mercato vi sono disponibili vari tipi di schiuma in
funzione del prodotto che si vuole estinguere, del tipo di incendio e del tipo di intervento che
si vuole attuare.
1.2.2.4.3. Le
polveri antincendio.
Le p o l v e r i a n t i n c e n d i sono costituite da miscele di sostanze chimiche
combinate insieme: bicarbonato di sodio o di potassio, solfato di ammonio fosfato
monoammonico etc; sono inoltre presenti additivi per migliorare la scorrevolezza,
l’idrorepellenza, e per la compatibilità con le schiume.
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Le polveri si possono dividere in due categorie principali: p o l i v a l e n t i , idonee per
l’estinzione di fuochi di classe A-B-C; b i v a l e n t i , polveri a base di bicarbonato di sodio o
di potassio, specifiche per l’estinzione di fuochi di classe B-C.
Nello spegnimento di un incendio la polvere estinguente produce i seguenti effetti: I)
soffocamento; II) raffreddamento; III) schermatura ed ignifugazione delle parti incombuste.
Le polveri antincendio risultano normalmente dielettriche, quindi utilizzabili su
apparecchiature elettriche sotto tensione. La norma EN3-7:2004 prevede infatti che la prova
dielettrica venga effettuata solo su estintori a base d’acqua escludendo le altre tipologie. La
finissima granulometria delle polveri ne sconsiglia l’uso su impianti elettronici e su apparati
digitali e C.E.D. in quanto le particelle potrebbero danneggiare i componenti .
1.2.2.4.4. Anidride
carbonica.
L’a n i d r i d e c a r b o n i c a (CO2) è un gas intermedio cui si sfruttano le
caratteristiche soffocanti. Si conserva in bombole sotto forma di miscela liquido-gassosa.
La sua azione di agente estinguente si sviluppa in raffreddamento e soffocamento o
inibizione dell’ossigeno. A causa della bassa conduttività elettrica è impiegata a protezione
dei quadri elettrici sotto tensione.
1.3. Concetti elementari di Dinamica
1.3.1. Introduzione.
Il ramo della meccanica18 che ha per oggetto lo studio del moto dei corpi in relazione con
le forze che lo producono è detto d i n a m i c a . Due sono dunque i suoi scopi e cioè quello di
stabilire quali cause (forze) abbiano prodotto un determinato movimento di un corpo e quello
di stabilire quale movimento avrà un corpo assoggettato a determinate forze.
Lo sviluppo di questa disciplina, come dell’intera meccanica, risale al XVII e XVIII secolo
e si deve principalmente a Galileo Galilei e Isaac Newton. I tre principi da essi formulati, detti
appunto principi della dinamica, permettono di determinare il moto di qualunque sistema
18
La m e c c a n i c a è il ramo della fisica che ha per oggetto le leggi del moto dei corpi.
La meccanica si suddivide in tre branche distinte: la cinematica, che studia i moti a prescindere dalle cause che li
hanno prodotti; la dinamica, che stabilisce la relazione tra il moto e le sue cause (le forze); e la statica, che studia
le condizioni di equilibrio dei corpi.
Le principali grandezze fisiche coinvolte nella descrizione meccanica del moto sono spazio, tempo, velocità,
accelerazione, massa, forza, energia, lavoro.
La formulazione delle leggi della meccanica risale ai secoli XVII e XVIII e si deve principalmente a Galileo
Galilei e Isaac Newton.
Al primo è riconosciuto il merito di aver impostato il metodo scientifico e di aver compiuto le prime
osservazioni del mondo fisico in modo rigoroso. In particolare, Galileo compì studi approfonditi su uno dei moti
più comuni tra quelli osservabili nel mondo macroscopico: la caduta dei gravi; mostrò che la velocità di un grave
in caduta libera aumenta a un ritmo costante nel corso della caduta e che questo ritmo, se si trascurano gli effetti
dell’attrito, è uguale per tutti i corpi.
Poco più tardi il matematico e fisico inglese Isaac Newton definì rigorosamente i concetti di forza, massa e
accelerazione, ed enunciò il principio, noto oggi come seconda legge della dinamica, che definisce la relazione
tra queste grandezze. Le leggi di Newton sono tuttora valide per la descrizione dei fenomeni ordinari. Si sono
invece rivelate inappropriate per la descrizione dei sistemi microscopici – l’atomo, il nucleo atomico e le
particelle elementari – e di quelli che coinvolgono velocità dell’ordine della velocità della luce; per i primi, a
partire dagli inizi del XX secolo, è stata formulata la meccanica quantistica; per i secondi, la teoria della
relatività di Albert Einstein.
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meccanico, note le forze a esso applicate e la posizione occupata dal sistema all’istante
iniziale19.
1.3.2. La massa.
La m a s s a è una grandezza fisica che esprime l’attitudine di un corpo a opporsi alle
variazioni del suo stato di quiete o di moto (ossia ne fornisce una misura dell’inerzia), e la sua
caratteristica di essere sottoposto alla forza di gravità.
Nel primo caso si parla più precisamente di m a s s a i n e r z i a l e , nel secondo, di
m a s s a g r a v i t a z i o n a l e 20.
La massa può essere misurata con una b i l a n c i a a b r a c c i
u g u a l i . In una bilancia a bracci uguali, i piatti sono appesi a un
giogo che poggia nel fulcro di un sostegno, e un indice solidale al
giogo indica quando sui piatti sono poste masse uguali. Poiché
entrambe le masse sono soggette alla stessa attrazione gravitazionale,
la pesata avviene per confronto ed è indipendente dalla località.
1.3.3. Il peso.
Il p e s o di un corpo è la forza, proporzionale alla sua massa, che lo attrae verso il centro
della Terra. È una grandezza vettoriale, e quindi è definita da un’intensità, una direzione e un
verso. In formula:
P mg
dove m è la massa e g rappresenta l’a c c e l e r a z i o n e d i g r a v i t à .
Benché, anche in questa dispensa si è soliti (per comodità didattica) indicare
il peso utilizzando l’unità di misura della massa (Kg, g, etc.), va evidenziato
che il peso essendo una forza, non si misura in Kg bensì in Newton21 (N).
Il peso di un corpo può essere determinato con il d i n a m o m e t r o . La
deformazione della molla dipende dalla locale attrazione gravitazionale: perciò
un dinamometro indicherà pesi differenti per la medesima massa (o quantità di
19
Non sono validi, invece, per sistemi dotati di velocità paragonabili alla velocità della luce, per i quali vanno
apportate le correzioni relativistiche, e per i sistemi microscopici, per i quali valgono le leggi della meccanica
quantistica.
20
Le definizioni dei due tipi di massa, inerziale e gravitazionale, vengono ricondotte a due principi fisici
differenti. La m a s s a i n e r z i a l e è definita in base alla seconda legge di Newton (F = ma), come la
costante di proporzionalità tra la forza applicata a un corpo e l’accelerazione che esso acquista per effetto di tale
forza. Essa esprime quindi l’inerzia del corpo, ovvero una forma di “‘resistenza”‘ che il corpo offre all’azione di
cause che possono alterare il suo stato dinamico. A parità di forza applicata, maggiore è la massa inerziale,
minore è l’accelerazione acquistata dal corpo. La m a s s a g r a v i t a z i o n a l e è invece definita in base
alla legge di gravitazione universale (F = GmM/R2), secondo la quale due corpi aventi masse rispettivamente
pari a m e M interagiscono per mezzo di una forza attrattiva di intensità direttamente proporzionale al prodotto
delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Questa legge si applica sia al moto
dei pianeti (e costituisce la giustificazione teorica delle leggi che ne regolano il moto), sia ai corpi in caduta
libera sulla superficie terrestre.
21
N e w t o n : unità di misura della forza adottata dal Sistema Internazionale. Si indica con il simbolo N ed è
intitolata al fisico britannico Isaac Newton. La sua definizione discende direttamente dal secondo principio della
dinamica - formulato appunto da Newton - secondo cui la forza F che agisce su un corpo di massa m è
direttamente proporzionale all’accelerazione che il corpo acquista per effetto della forza: in formule, F = m a. 1
N è quindi definito come la forza che, agendo su una massa di 1 kg, produce su di essa un’accelerazione di
1 m/s2.
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materia) in luoghi che risentono di un’attrazione gravitazionale diversa.
Tanto è vero che il peso di un corpo di massa fissata dipende così dalla sua posizione sulla
superficie terrestre; in particolare, diminuisce all’aumentare della quota e, per effetto della
forza centrifuga dovuta al moto di rotazione della Terra, nonché per effetto del rigonfiamento
equatoriale terrestre, aumenta spostandosi dal polo all’equatore (all’equatore il peso si riduce
di 1/193 rispetto al polo).
1.3.4. L’inerzia e il primo principio della dinamica.
L’i n e r z i a è la proprietà intrinseca della materia di opporsi a qualunque cambiamento
del proprio stato di quiete o di moto.
Dal punto di vista teorico questa proprietà è descritta dal p r i m o p r i n c i p i o d e l l a
d i n a m i c a , detto anche principio d’inerzia, introdotto da Galileo e successivamente
riformulato da Newton; esso afferma che un oggetto conserva il proprio stato di quiete o di
moto a meno che non intervenga una causa esterna (una forza) a modificarlo o, in altre parole,
un oggetto, n o n s o g g e t t o a f o r z e e s t e r n e , r i m a n e i n q u i e t e o s i
muove di moto rettilineo uniforme.
Il principio di inerzia non è di banale osservazione: consideriamo per esempio una biglia
(assimilabile nella nostra trattazione ad un punto materiale) che rotola su una superficie piana
orizzontale molto estesa. La nostra esperienza ci dice che con il passare del tempo la biglia
rallenta fino a fermarsi; questo è dovuto al fatto che interagisce con il piano e con l’aria. Si
può osservare, comunque, che facendo diminuire progressivamente questi attriti (rarefacendo
l’aria e lisciando il piano per diverse volte) la biglia percorre sempre più strada prima di
fermarsi. L’idea che sta alla base del primo principio è che facendo diminuire gli attriti fino a
renderli nulli (in teoria), il corpo non rallenti e quindi non si fermi mai, cioè persista nel suo
stato di moto rettilineo uniforme.
Si può ottenere una misura dell’inerzia di un corpo misurando la sua massa inerziale: è
infatti questa grandezza fisica a determinare la risposta di un corpo all’applicazione di una
forza, come prescrive la seconda legge della dinamica. Il secondo principio della dinamica
(sempre formulato da Newton) infatti afferma che una forza applicata a un corpo gli imprime
un’accelerazione che risulta proporzionale alla forza stessa e inversamente proporzionale alla
massa inerziale del corpo. Così, se un corpo ha massa inerziale maggiore di un altro, sarà
necessario utilizzare una forza più intensa per imprimergli la medesima accelerazione.
1.3.5. La forza e il secondo principio della dinamica
In fisica per f o r z a si intende qualunque azione che alteri lo stato di moto (o di quiete) o
che produca una deformazione del corpo su cui agisce22.
Una forza è completamente determinata quando se ne conoscono i suo tre elementi: I)
punto di applicazione; II) direzione; II)I intensità.
Il secondo principio della dinamica definisce qual è la relazione tra una forza e l’effetto
che essa produce sul moto di un corpo: in forma matematica si scrive
22
La forza è un vettore, vale a dire una grandezza dotata di intensità, direzione e verso.
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dove F rappresenta la forza, a l’accelerazione acquisita dal corpo ed m, costante di
proporzionalità tra le due grandezze, la massa del corpo.
Dunque, se la forza è nulla (o è nulla la risultante, vale a dire la somma vettoriale di tutte le
forze agenti), l’accelerazione non può che essere nulla, e il corpo rimanere in quiete, o al più
muoversi di moto rettilineo uniforme (primo principio della dinamica); se invece la forza è
diversa da zero, il corpo acquista un’accelerazione tanto maggiore quanto più piccola è la sua
massa inerziale.
Il secondo principio della dinamica permette inoltre di determinare facilmente le
dimensioni fisiche della forza: si tratta appunto del prodotto di una massa per
un’accelerazione. Il n e w t o n , infatti – la sua unità di misura – è definito come l’intensità
della forza necessaria a imprimere l’accelerazione di 1 m/s2 a un corpo della massa di 1 kg:
1 N = 1 kg · m/s2.
1.3.6. Il terzo principio della dinamica: il principio di azione e reazione.
Secondo il terzo principio della dinamica – o p r i n c i p i o d i a z i o n e
r e a z i o n e : “Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria”.
e
Se qualcuno spinge una pietra col dito, anche il suo dito viene spinto dalla pietra.
Se un cavallo tira una pietra legata ad una fune, anche il cavallo è tirato ugualmente verso
la pietra: infatti la fune distesa tra le due parti, per lo stesso tentativo di allentarsi, spingerà il
cavallo verso la pietra e la pietra verso il cavallo; e di tanto impedirà l’avanzare dell’uno di
quanto promuoverà l’avanzare dell’altro.
Se un qualche corpo, urtando in un altro corpo, in qualche modo avrà mutato con la sua
forza il moto dell’altro, a sua volta, a causa della forza contraria, subirà un medesimo
mutamento del proprio moto in senso opposto.
1.3.7. L’attrito.
1.3.7.1. Nozione.
L’a t t r i t o è l’effetto delle forze dissipative sul moto di un corpo che si muove su una
superficie o all’interno di un mezzo viscoso23.
A seconda della natura dei corpi coinvolti e del tipo di moto da essi compiuto, si
distinguono tre forme di attrito: quello radente, quello
volvente e quello interno o viscoso.
1.3.7.2. Attrito
radente.
L’a t t r i t o r a d e n t e si oppone al moto tra due
superfici che scivolano l’una sull’altra. È l’effetto che si
sperimenta, ad esempio, quando si trascina una cassa sul
pavimento.
Si deve al fatto che le superfici dei corpi, per quanto
apparentemente lisce, presentano sempre microscopiche
irregolarità; tali irregolarità, dell’ordine del micrometro (un
milionesimo di metro), favoriscono l’interazione elettrica
23
La forza d’attrito, che si manifesta nel moto
relativo di un corpo su un altro, è dovuta
alla struttura microscopica delle superfici a
contatto: gli atomi più superficiali tendono
a legarsi gli uni agli altri, opponendosi al
moto. Un lubrificante efficace crea uno
strato sottile che evita il contatto diretto,
facilitando lo scorrimento relativo.
Trattandosi di una forza, l’attrito, nel Sistema internazionale, si misura in newton (N).
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tra gli atomi delle due superfici, e quindi il rallentamento del moto relativo.
1.3.7.3. Attrito
volvente
L’a t t r i t o v o l v e n t e si manifesta quando un corpo solido rotola senza strisciare su
una superficie, ad esempio quando una biglia rotola sul piano di un tavolo.
Con poche eccezioni, la quantità di energia dissipata per effetto dell’attrito volvente è
minore rispetto a quella dissipata, in condizioni analoghe, per attrito radente; questa
caratteristica spiega la funzione di dispositivi come i cuscinetti a sfera, o di guide a rulli per il
trasporto di carichi pesanti: entrambi trasformano l’attrito radente in attrito volvente, in modo
da rendere il moto più efficiente.
1.3.7.4. Attrito
interno
L’a t t r i t o i n t e r n o è un effetto che si produce a livello molecolare, all’interno di un
corpo sottoposto a una sollecitazione: ad esempio, è la causa che determina l’arresto delle
oscillazioni di un corpo solido dotato di proprietà elastiche, come una corda di pianoforte o un
diapason.
Nei corpi fluidi – liquidi o gassosi – l’attrito interno prende più propriamente il nome di
v i s c o s i t à ; si manifesta nel moto del fluido stesso, o di un corpo al suo interno.
Nel caso in cui il fluido sia in moto a velocità relativamente piccola, tale cioè da non
favorire la formazione di vortici, si può pensare la sua massa come costituita da tanti strati
paralleli sovrapposti: quelli più vicini alle pareti del condotto risentono di un attrito maggiore,
che viene trasmesso agli strati via via adiacenti.
Nel caso di un corpo in moto all’interno di un fluido, come un sommergibile in
immersione, di un aereo nell’aria o anche solo di una bicicletta in moto, la resistenza opposta
dal fluido al moto del corpo dipende dalla velocità del corpo, dalla natura del fluido e dalla
forma del corpo24.
1.3.8. Lavoro.
Il l a v o r o è una grandezza scalare, definita dal prodotto scalare della forza applicata a
un corpo per lo spostamento che esso subisce a causa dell’azione della forza. Una forza
compie lavoro ogni volta che produce uno spostamento del corpo su
cui agisce; ciò vale anche per le forze di natura non meccanica, come
le forze elettrostatiche, elettrodinamiche, o le forze di tensione
superficiale.
Il lavoro è positivo se lo spostamento ha la stessa direzione e lo
stesso verso della forza (l a v o r o m o t o r e ), negativo se ha verso
24
Poiché l’effetto della forza di attrito viscoso è quello di ridurre la velocità, per un corpo in caduta libera in un
fluido (ad esempio nell’aria) esiste un valore della velocità v in corrispondenza del quale la forza peso del corpo
(m g) è uguale in modulo alla forza di attrito viscoso. Tale valore, che rimane costante per tutto il resto del moto,
prende il nome di velocità limite, o velocità di regime. Per questo un paracadutista, dopo una fase transitoria in
cui cade con moto uniformemente accelerato, per il resto del volo si muove di moto rettilineo uniforme (a meno
degli effetti di venti e correnti).
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opposto (l a v o r o r e s i s t e n t e ) e nullo se la forza non produce spostamento o se questo
avviene nella direzione perpendicolare alla linea d’azione della forza.
Di conseguenza, per quanto sia poco intuitivo, la forza necessaria per mantenere sospeso
un oggetto (nel campo gravitazionale), o per trasportare una valigia lungo una strada
orizzontale, non comporta produzione di lavoro25.
Compiere lavoro su un corpo consiste sostanzialmente nel trasferire a esso energia. Ad
esempio il lavoro necessario per sollevare da terra un corpo si trasforma in energia potenziale
gravitazionale del corpo stesso. Lavoro ed energia hanno la stessa unità di misura; nel Sistema
internazionale essa è il joule definito come il lavoro compiuto da una forza di 1 Newton per
produrre uno spostamento di 1 metro.
Puoi eseguire un lavoro pari a 1 J sollevando di un metro un corpo che pesa 1 N. Così, se
afferri un panetto di burro da 1 hg e lo sollevi di 1 m compi il lavoro di circa 1 J.
1.3.9. Potenza.
La p o t e n z a è la grandezza fisica che esprime la velocità con cui si compie un lavoro o
si trasferisce energia a un sistema.
Se si indica con L il lavoro compiuto in un intervallo di tempo t, sufficientemente piccolo
perché non siano apprezzabili le variazioni delle forze applicate, la potenza è data dal rapporto
L/t, tra il lavoro compiuto e il tempo impiegato a compierlo.
Il lavoro è lo stesso perché:
in entrambi i casi la forza verso l’alto è uguale alla forza-peso del secchio;
lo spostamento è identico.
25
Secondo la formula di lavoro, un uomo che porta una valigia lungo un percorso orizzontale compie un lavoro
nullo, perché la forza e lo spostamento sono perpendicolari. Naturalmente, per trasportare la valigia questa
persona non fa una fatica nulla. In questo caso, quindi, la grandezza fisica «lavoro» non corrisponde alla nostra
sensazione di fatica. La contraddizione è soltanto apparente: i nostri muscoli striati non sono in grado di
«bloccarsi» e rimanere immobili per sostenere la valigia; mentre la trasportiamo, essa ci piega verso il basso e
noi continuiamo a rispondere, anche senza accorgercene, con microscopici ma continui movimenti verso l’alto
dei muscoli del braccio. In ognuno di questi spostamenti la forza che esercitiamo e lo spostamento sono paralleli,
per cui il lavoro che compiamo è positivo. È la somma di questi lavori che noi avvertiamo come fatica.
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Ma il montacarichi compie lo stesso lavoro più rapidamente, perché lo fa in meno tempo.
In altri termini il montacarichi ha una potenza maggiore.
L’unità di misura della potenza nel Sistema Internazionale (vedi SI) è il watt (W), che
corrisponde alla potenza necessaria per compiere il lavoro di 1 joule nell’intervallo di tempo
di un secondo. In alcuni casi è usato anche il cavallo-vapore (CV), che equivale a circa 746
watt.
1.4. L’energia: le sue forme e le sue trasformazioni
1.4.1. Nozione.
L’e n e r g i a è definita come la c a p a c i t à
sistema di compiere lavoro.
di
un
corpo
o
di
un
1.4.2. Tipologia.
Le principali f o r m e d i e n e r g i a sono: I) energia meccanica; II) energia chimica;
III) energia nucleare; IV) energia elettrica; V) energia termica.
Spesso con la locuzione “energia” + aggettivo si intende la fonte attraverso quale è
possibile una produzione di corrente elettrica: I) energia idraulica; II) energia mareomotrice;
III) energia geotermica; IV) energia eolica; V) energia solare
1.4.2.1. Energia
meccanica.
In fisica col termine e n e r g i a m e c c a n i c a si intende la somma di energia cinetica
ed energia potenziale attinenti allo stesso sistema.
1.4.2.1.1. L’energia
potenziale gravitazionale.
Un corpo che si trova in alto è in grado di compiere lavoro quando scende. Quindi un
oggetto fermo può possedere un’energia per il semplice fatto di occupare una certa posizione
rispetto al suolo. Questo tipo di energia è detta e n e r g i a p o t e n z i a l e
g r a v i t a z i o n a l e , perché nasce dall’attrazione gravitazionale della Terra.
Un oggetto di massa m che si trova a una altezza h possiede
un’energia potenziale che descrive la sua capacità di compiere
lavoro. Questa energia potenziale della forza-peso (o energia
potenziale gravitazionale) vale:
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Possiamo misurare h rispetto al suolo o da qualsiasi altro livello di riferimento, per
esempio da un balcone, dal fondo di un pozzo. Il livello di zero può essere scelto in modo
arbitrario.
L’energia potenziale gravitazionale di un corpo è uguale al lavoro compiuto dalla forzapeso quando il corpo stesso si sposta dalla posizione iniziale a quella di riferimento (livello di
zero).
Essendo uguale a un lavoro, l’energia potenziale è una grandezza scalare che si misura in
joule.
1.4.2.1.2. Energia
cinetica.
Un oggetto in movimento è in grado di compiere lavoro. Per esempio, una palla da
bowling compie un lavoro positivo sui birilli, perché esercita su di essi una forza mentre li
sposta.
Questo lavoro avviene a spese dell’energia cinetica
immagazzinata nell’oggetto. Definiamo energia cinetica K di un
corpo di massa m, che si muove a velocità v, il prodotto
L’energia cinetica si misura in joule ed è proporzionale:
alla massa del corpo;
al quadrato della sua velocità.
Per esempio, una palla da bowling, che ha massa m 3,6 kg e che si muove con una velocità
v 5,0 m/s, possiede un’energia cinetica:
conservazione dell’energia meccanica.
L’energia potenziale dipende dall’altezza che un corpo ha dal suolo: se il corpo si muove
verso il suolo, progressivamente l’energia potenziale si trasforma in energia cinetica.
1.4.2.1.3. La
Nelle montagne russe un carrello continua ad andare su e giù. Quando scende, l’energia
potenziale gravitazionale si trasforma in energia cinetica; quando sale avviene il contrario,
cioè l’energia cinetica si trasforma in energia potenziale.
Se non ci sono attriti (tra il carrello e le rotaie, con l’aria), la somma di queste due energie
(che si chiama energia meccanica) rimane sempre uguale: quando una diminuisce, l’altra
aumenta, in modo che la loro somma non cambia nel tempo.
In sintesi in assenza di attriti, l’energia meccanica totale (energia cinetica + energia
potenziale) di un sistema soggetto alla forza-peso si conserva, cioè rimane sempre uguale.
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Questa legge di conservazione consente di fare semplici previsioni. Per esempio, due
carrelli uguali partono da fermi dalla stessa altezza e scendono uno su rotaie molto inclinate,
l’altro su rotaie poco inclinate .Quale dei due, quando arriva in basso, è più veloce?
Trascurando gli attriti, tutti e due arrivano nel punto più basso alla stessa velocità. Infatti,
entrambi hanno la stessa provvista di energia potenziale che si converte tutta in energia
cinetica. E, a parità di energia cinetica, se i due carrelli hanno la stessa massa, devono anche
avere la stessa velocità.
In realtà, quasi sempre l’energia meccanica totale di un sistema non si conserva:
un sasso che cade diminuisce la propria energia potenziale e aumenta l’energia
cinetica. Ma quando si ferma sul terreno perde l’una e l’altra;
un’automobile che viaggia in pianura ha un’energia cinetica. Frenando fino a
fermarsi, però, la perde completamente.
In tutti questi casi, abbiamo l’impressione che una certa quantità di energia scompaia o
«vada sprecata».Tuttavia, ciò non è vero.
L’energia meccanica che manca si è trasformata in energia interna dei corpi, che di solito è
percepita come aumento di temperatura.
l’energia potenziale del meteorite si è trasformata prima in energica cinetica, poi in
rottura e deformazioni meccaniche e in energia interna del terreno dove è avvenuto
l’impatto.
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Scienza e tecnica
l’energia cinetica dell’automobile si è trasformata in energia interna dei freni e
dell’aria vicina.
L’energia interna di un corpo è la somma delle energie dei suoi atomi e delle sue molecole.
Quindi, l’energia cinetica del meteorite si è trasformata in energia delle sue molecole e di
quelle del terreno su cui è avvenuto l’impatto. L’aumento di energia di agitazione molecolare
è percepito come aumento di temperatura e ha l’effetto di liquefare il terreno.
Se nel bilancio teniamo conto non solo dell’energia meccanica,ma anche di tutte le altre
forme di energia, possiamo affermare che: in un sistema isolato l’energia totale (meccanica,
elettrica, nucleare, interna,…) si conserva. Questa affermazione è n o t a c o m e
principio di conservazione dell’energia totale.
sfruttamento dell’energia meccanica presente in natura.
L’energia potenziale di una cascata può essere trasformata in energia elettrica mediante
una turbina nelle centrali idroelettriche.
1.4.2.1.4. Lo
L’energia cinetica posseduta dal vento (massa d’aria in movimento da un’area di alta
pressione verso un’area di bassa pressione) può essere utilizzata direttamente nella
navigazione a vela, ma anche per mettere in moto le pale di un mulino ed essere convertita in
lavoro meccanico o in energia elettrica nelle centrali eoliche.
L’energia cinetica posseduta dal vapore acqueo ad ala pressione (prodotto scaldando acqua
grazie a una combustione) può essere anch’essa utilizzata per azionare una turbina nelle
centrali termoelettriche o sfruttata per azionare le macchine a vapore.
1.4.3. Energia chimica.
Gli atomi sono legati fra loro mediante legami chimici: le reazioni chimiche sono delle
trasformazioni che comportano la rottura di alcuni legami e la formazione nuovi; in questo
modo si ha un cambiamento nella composizione della materia.
Se una reazione è esotermica la sua energia può essere sfruttata per produrre calore, il
quale, a sua volta, può essere usato come tale (nei camini, nelle stufe a cherosene, ecc.), o
essere utilizzato per produrre vapore acqueo sotto pressione (nelle macchine a vapore, nelle
centrali termoelettriche, ecc.) o essere trasformato in energia meccanica (per esempio, nelle
automobili). Le reazioni più utilizzate per questo scopo sono le combustioni.
Alcune reazioni chimiche possono essere sfruttate per produrre direttamente energia
elettrica. Questo avviene nelle batterie elettriche e negli accumulatori.
1.4.4. Energia nucleare.
Con e n e r g i a n u c l e a r e si intendono tutti quei fenomeni in cui si ha la produzione
di energia in seguito a trasformazioni nei nuclei atomici. L’energia nucleare, insieme alle fonti
rinnovabili e le fonti fossili, è una fonte di energia primaria, ovvero è presente in natura e non
deriva dalla trasformazione di altra forma di energia.
Le reazioni che coinvolgono l’energia nucleare sono principalmente quelle di fissione
nucleare, di fusione nucleare e quelle legate alla radioattività (decadimento radioattivo).
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1.4.4.1. La
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fissione nucleare
Nelle reazioni di f i s s i o n e (sia spontanea, sia
indotta), nuclei di atomi con alto numero atomico
(pesanti) come, ad esempio, l’uranio, il plutonio e il
torio si spezzano producendo nuclei con numero
atomico minore, diminuendo la propria massa totale e
liberando una grande quantità di energia.
Il processo di fissione indotta viene usato per
produrre energia nelle centrali nucleari. Le prime
bombe atomiche, del tipo di quelle sganciate su Hiroshima e Nagasaki, erano basate sul
principio della fissione.
1.4.4.2. La
fusione nucleare.
Nelle reazioni di f u s i o n e , i nuclei di atomi con basso numero atomico, come
l’idrogeno, il deuterio o il trizio, si fondono dando origine a nuclei più pesanti e rilasciando
una notevole quantità di energia (molto superiore a quella rilasciata nella fissione, a parità di
numero di reazioni nucleari coinvolte).
1.4.4.3. Il
decadimento radioattivo.
Le reazioni di d e c a d i m e n t o r a d i o a t t i v o coinvolgono i nuclei di atomi
instabili, che tramite processi di emissione/cattura di particelle subatomiche (radioattività)
tendono a raggiungere uno stato di maggior equilibrio, in conseguenza della diminuzione
della massa totale del sistema.
Quelle in cui si ha la maggiore quantità di energia liberata sono i processi di diseccitazione
gamma: le particelle interessate sono fotoni generalmente ad alta energia, ovvero radiazioni
elettromagnetiche alle frequenze più alte (anche se più precisamente si ha sovrapposizione fra
le frequenze delle emissioni X di origine atomica e gamma di origine nucleare).
1.4.5. Energia elettrica.
L’e n e r g i a e l e t t r i c a è una forma di energia legata a forze e campi di origine
elettrica, ovvero che coinvolge il movimento di cariche elettriche.
L’energia elettrica in natura si presenta sotto forma di scariche elettriche dei fulmini, e
come tale non sfruttabile per le attività umane, ma viene prodotta secondariamente, e poiché il
trasporto e la distribuzione sono particolarmente semplici, è la forma di energia più utilizzata.
La corrente elettrica può essere continua o alternata, ma in ogni caso consiste in un flusso
di elettroni che viaggiano attraverso un conduttore, da un potenziale elettrico maggiore verso
un potenziale elettrico minore. La pila genera corrente continua, la dinamo corrente alternata.
L’elettricità erogata nelle nostre case è a corrente alternata ed è prodotta nelle centrali che, a
seconda della fonte primaria sfruttata, si chiamano idroelettriche, eoliche, termoelettriche,
termonucleari, ecc.
1.4.6. Energia termica o calore.
Se due corpi si trovano a temperature differenti, si verificherà un flusso di energia dal
corpo a temperatura maggiore verso il corpo a temperatura minore. Questa energia è
denominata e n e r g i a t e r m i c a , o c a l o r e .
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Essa può essere prodotta in grande quantità semplicemente attraverso le combustioni,
oppure per mezzo di reazioni nucleari, o anche attraverso il passaggio di corrente elettrica
attraverso un filo ad alta resistenza, come avviene nelle stufe elettriche, e in tutti gli
elettrodomestici che sviluppano calore (lavatrice, forno elettrico, ecc). Due sono le fonti
naturali di calore: il Sole e il sottosuolo.
1.4.6.1. Propagazione
del calore.
La p r o p a g a z i o n e d e l c a l o r e è il processo attraverso il quale due corpi a
temperatura diversa si scambiano energia sotto forma di calore, al fine di raggiungere
l’equilibrio termico.
Il calore si propaga secondo
tre
meccanismi
diversi:
conduzione, convezione e
irraggiamento.
I
tre
meccanismi possono avere
luogo contemporaneamente,
ma può succedere che, a
seconda dei casi, uno di essi
prevalga sugli altri due.
Ad esempio, attraverso il
muro di una casa, il calore si
propaga prevalentemente per
conduzione, mentre l’acqua
di un recipiente posto su un
fornello si riscalda quasi esclusivamente per convezione e la superficie terrestre riceve energia
termica dal Sole unicamente per irraggiamento.
1.4.6.1.1. La
conduzione.
La c o n d u z i o n e è la modalità di propagazione del calore caratteristica dei corpi
solidi. Se si riscalda un’estremità di una sbarra, il calore si trasferisce rapidamente verso
l’altra estremità fino al raggiungimento dell’equilibrio termico, vale a dire, fino a quando la
temperatura della sbarra è uniforme.
A livello microscopico, il trasferimento di calore da un punto all’altro della sbarra avviene
a livello dell’energia vibrazionale degli atomi o delle molecole che ne costituiscono il reticolo
cristallino.
Nel caso specifico dei metalli, che come è noto possiedono numerosi elettroni liberi, il
trasferimento di calore avviene anche grazie al moto di questi che, urtando tra loro e contro le
molecole del reticolo cristallino, trasferiscono energia da un punto all’altro del corpo. Ciò
spiega perché i buoni conduttori elettrici, che per natura sono caratterizzati da un’elevata
mobilità degli elettroni liberi, sono anche buoni conduttori di calore.
Anche nei fluidi il calore si può propagare per conduzione; mentre nei solidi, tuttavia, gli
atomi e le molecole occupano posizioni fisse e l’unico movimento loro possibile è la
vibrazione intorno a tali posizioni, nei liquidi e nei gas le particelle sono libere di traslare e di
urtare l’una contro l’altra.
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Così, nelle sostanze che si trovano allo stato fluido, la conduzione del calore avviene per
effetto degli urti tra atomi e molecole: quelli dotati di energia maggiore, “più caldi”, urtano
contro quelli dotati di energia minore, trasferendo loro parte dell’energia.
1.4.6.1.2. La
convenzione.
La propagazione del calore nei liquidi e nei gas avviene prevalentemente per
c o n v e z i o n e , un meccanismo che comporta un effettivo trasferimento
di materia da una parte all’altra del corpo.
Quando una sostanza liquida o gassosa viene riscaldata, la porzione di
sostanza più vicina alla fonte di calore diventa meno densa e, trovandosi in
un campo gravitazionale, tende a salire verso l’alto, mentre la parte più
fredda, più densa e quindi più pesante, tende a scendere verso il basso.
Questo movimento, dovuto alla disuniformità della temperatura nel
fluido, viene detto convezione naturale. Nel caso in cui le differenze di
temperatura all’interno del fluido siano elevate, il moto convettivo diventa turbolento.
Un esempio di convezione naturale è quanto avviene quando si riscalda una stanza: l’aria
calda viene spinta a salire verso l’alto, mentre l’aria più fredda viene attirata dal radiatore.
Poiché l’aria calda tende a salire e l’aria fredda a scendere, si ottiene la massima efficacia di
funzionamento da radiatori e condizionatori d’aria installando i primi vicino al suolo, e i
secondi vicino al soffitto.
l fenomeno della convezione naturale favorisce la risalita dell’aria calda e del vapore nelle
caldaie e l’aspirazione dell’aria nei camini. La convezione spiega inoltre il movimento delle
grandi masse d’aria intorno alla Terra, l’azione dei venti, la formazione delle nuvole, le
correnti oceaniche e il trasferimento di calore dall’interno alla superficie del Sole.
1.4.6.1.3. Irraggiamento.
Il trasferimento di calore per i r r a g g i a m e n t o ha caratteristiche notevolmente diverse
rispetto alle altre due modalità: si tratta infatti di un fenomeno essenzialmente
elettromagnetico, che non richiede il contatto diretto tra i corpi e può avvenire anche nel
vuoto. In sostanza, ogni corpo emette radiazioni elettromagnetiche in misura dipendente dalla
sua temperatura.
Per un corpo ideale capace di assorbire tutta la radiazione che su di esso incide e di
riemetterla sotto forma di radiazioni elettromagnetiche (un corpo nero), la distribuzione
dell’energia in funzione della frequenza segue una legge detta distribuzione di Planck. Questa
deriva dall’ipotesi che la radiazione, contrariamente a quanto teorizzato dalla teoria
elettromagnetica classica, non si propaghi in modo continuo, ma per quanti di energia, o
fotoni.
1.4.7. Energia solare.
Per e n e r g i a s o l a r e si intende l’energia, termica o elettrica, prodotta sfruttando
direttamente l’energia irraggiata dal Sole (fonte rinnovabile) verso la Terra. In qualsiasi
momento il Sole trasmette sull’orbita terrestre 1367 watt per m².
Tenendo conto del fatto che la Terra è una sfera che oltretutto ruota, l’irraggiamento solare
medio è, alle latitudini europee, di circa 200 watt/m².
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Moltiplicando questa potenza media per metro quadro per la superficie dell’emisfero
terrestre istante per istante
esposto al sole si ottiene una
potenza maggiore di 50
milioni di GW (un GW gigawatt - è circa la potenza
media di una grande centrale
elettrica).
La quantità di energia
solare che arriva sul suolo
terrestre è quindi enorme,
circa
diecimila
volte
superiore a tutta l’energia
usata dall’umanità nel suo
complesso, ma poco concentrata, nel senso che è necessario raccogliere energia da aree molto
vaste per averne quantità significative, e piuttosto difficile da convertire in energia facilmente
sfruttabile con efficienze accettabili.
Per il suo sfruttamento occorrono prodotti in genere di costo elevato che rendono l’energia
solare notevolmente costosa rispetto ad altri metodi di generazione dell’energia. Lo sviluppo
di tecnologie che possano rendere economico l’uso dell’energia solare è un settore della
ricerca molto attivo ma che, per adesso, non ha avuto risultati rivoluzionari.
L’energia solare può essere utilizzata per generare elettricità (fotovoltaico) o per generare
calore (solare termico).
1.4.8. Trasformazioni energetiche.
Come si evidenziato in precedenza esistono numerose forme in cui si presenta l’energia, ed
è sempre possibile trasformare l’energia da una forma all’altra.
Tutte le trasformazioni possono essere classificate in due gruppi:
le trasformazioni e s o e r g o n i c h e , che sviluppano energia,
le trasformazioni e n d o e r g o n i c h e , che richiedono energia.
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1.4.8.1. Le due leggi
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della termodinamica.
Tutte le trasformazioni energetiche sono regolate da due leggi fondamentali:
p r i m a l e g g e d e l l a t e r m o d i n a m i c a : l’energia non si crea, non si
distrugge ma può solo passare da una forma all’altra;
s e c o n d a l e g g e d e l l a t e r m o d i n a m i c a : ogni trasformazione
dell’energia comporta una dissipazione26 di una quota di essa sotto forma di calore
a bassa temperatura, non più utilizzabile.
1.4.8.1.1. La
prima legge della termodinamica.
La prima legge della termodinamica afferma, molto semplicemente, che l’energia può
essere trasformata da una forma all’altra, ma non può essere né creata né distrutta.
L’elettricità è una forma di energia, come la luce. L’energia elettrica può essere
trasformata in energia luminosa (per esempio, facendo passare un flusso di corrente attraverso
il filamento di tungsteno di una lampadina), e l’energia luminosa può a sua volta generare un
flusso di elettroni (cioè una forma di energia elettrica), come avviene nella prima tappa della
fotosintesi.
L’energia può essere accumulata in diverse forme e poi trasformata in altre ancora. Nei
motori delle automobili, per esempio, l’energia accumulata nei legami chimici della benzina
viene trasformata in calore (energia cinetica molecolare), che è poi, in parte, convertito nei
movimenti meccanici degli ingranaggi del motore; parte dell’energia è ritrasformata in calore
dall’attrito delle componenti del motore in movimento e parte esce dal motore con i prodotti
di scarico.
Analogamente, quando un organismo demolisce i carboidrati, trasforma l’energia
accumulata nei legami chimici in altre forme. Nelle notti d’estate, per esempio, le lucciole
trasformano l’energia chimica in energia meccanica, in calore, in lampi di luce e in impulsi
elettrici che viaggiano lungo i nervi del corpo. Gli uccelli e i mammiferi trasformano l’energia
chimica in calore necessario per mantenere costante la temperatura del loro corpo, e anche in
energia meccanica nel movimento muscolare, elettrica nella trasmissione dell’impulso
nervoso e in altre forme di energia chimica. Secondo la prima legge della termodinamica, in
queste trasformazioni di energia (così come in tutte le altre) l’energia no è né creata né
distrutta.
In tutte le trasformazioni energetiche, tuttavia, una parte dell’energia utilizzabile viene
convertita in calore e dissipata come tale. Nel motore di un automobile, infatti, il calore
prodotto dall’attrito e perduto nei prodotti di scarico, a differenza del calore rimesto nel
motore stesso, non può compiere un lavoro, cioè non può spingere i pistoni e azionare gli
ingranaggi in quanto viene dissipato nell’ambiente. Ciò nondimeno, esso fa parte della
reazione complessiva. In un motore a benzina circa il 75% dell’energia presente in origine nel
carburante viene trasferita nell’ambiente sotto forma di calore, cioè viene convertita in un
26
Attenzione! È importante capire la differenza fra energia dissipata e energia distrutta. Quando, per esempio, in
un’automobile in corsa una parte di energia di movimento si dissipa sotto forma di calore a causa dell’attrito,
abbiamo una perdita di energia. Essa non è andata distrutta: il calore prodotto è una forma di energia, non più
utilizzabile, ma è sempre una forma di energia.
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aumento del movimento di atomi e molecole dell’aria. Nello stesso modo, il calore prodotto
dai processi metabolici degli animali è dissipato nell’aria o nell’acqua circostante.
Perciò la prima legge della termodinamica può anche essere enunciata come segue: in tutti
gli scambi e in tutte le trasformazioni energetiche, l’energia complessiva del sistema e
dell’ambiente circostante, dopo la trasformazione, è uguale all’energia complessiva presente
prima che la trasformazione abbia luogo. Un “sistema” può anche essere un’entità ben
definita come, per esempio, un candelotto di dinamite, un motore di un automobile che gira a
folle, un mitocondrio, una cellula, una foresta o la terra stessa. “L’ambiente circostante” è
tutto ciò che sta al di fuori del sistema.
1.4.8.1.2. La
seconda legge della termodinamica.
L’energia dissipata come calore in una trasformazione energetica non è andata distrutta
(infatti, è ancora presente nel movimento casuale di atomi e molecole), ma è stata “perduta”
per ogni scopo pratico e quindi no è più disponibile per compiere un lavoro utile. Questo ci
porta alla seconda legge della termodinamica, più interessante dal punto di vista biologico.
La seconda legge della termodinamica può essere enunciata in un semplice modo: tutti i
processi naturali tendono sempre a far aumentare il disordine dell’Universo. Questo disordine
è detto e n t r o p i a .
In natura i processi tendono verso la casualità o il disordine. Soltanto un apporto di energia
può invertire questa tendenza e ripristinare lo stato iniziale a partire da quello finale; alla fine,
comunque, prevarrà il disordine, perché la quantità totale di energia nell’Universo è una
quantità finita.
1.5. Le macchine
1.5.1. Nozione di macchina.
Per m a c c h i n a si intende qualsiasi dispositivo usato per aumentare il valore della forza,
cambiarne la direzione o aumentare la velocità con cui si esegue un lavoro. Il lavoro viene
eseguito solo producendo moto o vincendo una resistenza; quest’ultima può essere l’attrito o
la forza di gravità.
Quando l’attrito causa solo una perdita trascurabile di energia, il lavoro prodotto da una
macchina corrisponde alla quantità di energia immessavi. Si può misurare il l a v o r o
d e l l e m a c c h i n e , il quale rappresenta il prodotto della forza per lo spostamento. Ad
esempio, se una persona solleva una scatola di 10 kg. per un dislivello di 3 metri, ha fatto un
lavoro di 30 kgm27.
Il v a n t a g g i o m e c c a n i c o di una macchina è il rapporto fra la resistenza e la
potenza. Ad esempio, un uomo solleva un peso di 50 kg. applicando una potenza di 10 kg. ad
una leva. Quindi il vantaggio meccanico della leva è di cinque a uno.
27
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura per il lavoro è il joule che corrisponde allo spostamento di 1
metro di una forza unitaria misurata in newton. Tuttavia il lavoro può essere anche misurato in chilogrammetri. Il
c h i l o g r a m m e t r o (simbolo kgm) è un’unità di misura ingegneristica adottata comunemente per
misurare il lavoro. Un chilogrammetro è pari ad un chilogrammo forza per un metro. 1 kgm = 1 kgf * 1 m ~ 9,81
J. Equivale al lavoro necessario per sollevare di un metro la massa di un chilogrammo.
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Va precisato che, poiché qualsiasi macchina deve vincere delle forze di attrito nel corso
dell’esecuzione del lavoro, il vantaggio meccanico reale di una macchina è sempre inferiore a
quello teorico. Analogamente, il rendimento di una macchina, ossia il rapporto tra la quantità
di energia prodotta e la quantità di energia consumata, è sempre inferiore al 100%.
1.5.2. Le macchine semplici.
Per m a c c h i n a s e m p l i c e si intende una macchina che è mossa da una sola forza.
La funzione di una m a c c h i n a s e m p l i c e consiste nel permettere a una persona di
esercitare una forza maggiore di quella che potrebbe esercitare usando i soli muscoli, come
accade con la leva e il piano inclinato, o di applicare una forza in modo più efficace, come
accade nel caso della carrucola semplice.
Vi sono sei tipi di macchine semplici: la leva, la puleggia, il piano inclinato, la vite, l’asse
nella ruota, il cuneo28. Esse aiutano l’uomo a compiere diverse specie di lavoro: a sollevare,
trasportare, ruotare, tirare e tagliare.
1.5.3. Le macchine complesse.
1.5.3.1. Nozione
Combinando macchine semplici si ottengono macchine c o m p l e s s e , che a loro volta
formano gli elementi con cui si costruiscono tutti i meccanismi e le macchine che si usano nei
più vari campi di attività, ad esempio nella lavorazione dei metalli o in falegnameria.
1.5.3.2. Funzionamento.
Per eseguire lavori che richiedono una forza maggiore di quella dei muscoli dell’uomo, si è
sempre ricorsi alle forze naturali. Già dai tempi antichi sono state imbrigliate per eseguire
moti meccanici fondati sulle sei macchine semplici, la forza del vento, dell’acqua dei fiumi,
della combustione, del vapore, e più recentemente le forze chimiche, elettriche, magnetiche,
atomiche e nucleari. Si sono ideate combinazioni di queste semplici macchine capaci di
effettuare una grande varietà di movimenti meccanici. Associando fra loro questi movimenti
sono state inventate e costruite macchine complesse per numerosi scopi specifici.
Lo scopo dei macchinari complessi è quello di eseguire del lavoro trasformando i
movimenti e l’energia. Il lavoro da eseguire può variare dall’estrazione di un chiodo al moto
di un mezzo di trasporto (aeroplano, automobile, nave, treno), oppure dallo scattare fotografie
alla risoluzione di problemi matematici. In una macchina l’energia meccanica necessaria ad
effettuare il lavoro viene trasferita per mezzo di parti meccaniche (varianti delle sei macchine
fondamentali) agli attuatori. Inoltre molte macchine trasformano una forma di energia in
un’altra forma di energia.
Per esempio l’energia termica prodotta dalla combustione del carbone può essere adibita a
ricavare vapore acqueo. Il vapore può essere usato in una macchina a vapore per produrre
energia meccanica. Tale energia servirà a far girare una dinamo che genererà elettricità. A sua
volta l’energia elettrica proveniente dalla dinamo potrà essere trasformata in energia termica
(stufa elettrica, ferro da stiro), in energia meccanica (motore elettrico), in energia luminosa
(luce elettrica), in energia sonora (altoparlante), in energia irraggiante (macchina per raggi X)
e così via.
28
In realtà la vite e il cuneo sono adattamenti del piano inclinato.
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Le macchine non solo trasferiscono e trasformano l’energia, ma possono anche
moltiplicare il valore della forza di cui si dispone. Ciò significa che certe macchine
consentono ad una piccola forza che agisce su una distanza notevole di equilibrare e superare
una forza maggiore che agisce però su una distanza minore. Questo aumento del valore della
forza si verifica ad esempio in un sistema di pulegge come il paranco, oppure in un
ingranaggio come quello che si vede nella trasmissione di un’automobile. Altre macchine
aumentano la velocità aumentando la forza applicata, come nella bicicletta. Una macchina
però non può accrescere il valore della forza e della velocità nello stesso tempo.
1.5.4. Le leve
1.5.4.1. Introduzione.
1.5.4.1.1. Il
principio della leva di Archimede.
La tradizione narra che Archimede, il grande scienziato di Siracusa, esclamasse:”‘Datemi
un punto d’appoggio e vi solleverò il mondo!”‘ Con questa frase egli intendeva dire che la
leva, in teoria, avrebbe moltiplicato le sue forze fino a farle diventare smisurate. Aveva
compreso che quanto più il fulcro è vicino alla resistenza, tanto più la leva è vantaggiosa.
1.5.4.1.2. Nozione.
La l e v a è una macchina semplice, costituita nella sua forma essenziale da un’asta rigida,
che può ruotare attorno ad un asse ad essa perpendicolare detto f u l c r o (F); essa serve ad
equilibrare nel modo più conveniente una forza R, chiamata r e s i s t e n z a , con un’altra
forza P detta p o t e n z a .
La distanza della resistenza dal fulcro si chiama b r a c c i o d e l l a r e s i s t e n z a (br)
e la distanza della potenza dal fulcro, b r a c c i o d e l l a p o t e n z a (bp).
Una leva consiste sostanzialmente di un’asta rigida appoggiata a un fulcro fisso, alla quale sono applicate due forze:la
potenza, qui esercitata dai muscoli, e la resistenza qui rappresentata dal peso dell’oggetto.
1.5.4.1.3. L’equilibrio
della leva e il guadagno.
Una leva è in e q u i l i b r i o quando il prodotto della resistenza per il suo braccio
(momento della resistenza) è uguale al prodotto della potenza per il suo braccio (momento
della potenza):
P bp R br
ovvero
R bp
P br
In altri termini la potenza e la resistenza sono grandezze direttamente proporzionali ai
rispettivi bracci. Maggiore è il braccio della resistenza maggiore sarà la resistenza da vincere
e dunque maggiore sarà la potenza da impiegare; e viceversa.
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1.5.4.2. Tipologia.
1.5.4.2.1. In
base al vantaggio meccanica ottenuto.
Il rapporto che intercorre tra resistenza e potenza (R/P) è detto g u a d a g n o o
v a n t a g g i o m e c c a n i c o d e l l a l e v a . In base al valore assunto dal vantaggio
meccanico le leve si distinguono in:
v a n t a g g i o s e : il braccio-resistenza è più corto del braccio-potenza, è dunque il
rapporto bp/br è maggiore di 1. Si parla di leva vantaggiosa in quanto con essa è
possibile bilanciare una forza resistente applicando dall’esterno una forza (potenza)
di intensità minore (P<R: guadagno > 1)29;
Spostando il fulcro vicino alla resistenza è necessario applicare una forza minore per sollevare il peso. La leva si dica allora
vantaggiosa.
s v a n t a g g i o s e : il braccio-resistenza è più lungo del braccio-potenza e dunque
il rapporto bp/br è minore di 1. Si parla di leva svantaggiosa in quanto con essa è
possibile bilanciare una forza resistente applicando dall’esterno solo una forza
(potenza) di intensità maggiore (P>R: guadagno < 1);
Spostando il fulcro vicino alla potenza è necessario applicare una forza maggiore per sollevare il peso. La leva si dica allora
svantaggiosa.
i n d i f f e r e n t i : il braccio-resistenza è uguale al braccio-potenza. e dunque il
rapporto bp/br è uguale di 1. Si parla di leva indifferente in quanto con essa è
possibile bilanciare una forza resistente applicando dall’esterno solo una forza
(potenza) di uguale intensità (P = R: guadagno = 1).
29
Ad esempio, per sollevare un corpo che pesa 2 kg posto a un metro di distanza dal fulcro, è sufficiente
applicare una forza di 1 kg all’altra estremità dell’asta e alla distanza di 2 m dal fulcro. Nel piede di porco, che
rappresenta il più comune esempio di leva vantaggiosa, con un piccolo sforzo applicato all’estremità più lontana
dal fulcro è possibile sollevare un peso notevole posto in prossimità del fulcro.
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Con il fulcro al centro, il sistema è in equilibrio quando la potenza uguaglia la resistenza.
1.5.4.2.2. In
base alla posizione reciproca del fulcro e delle forze le leve
In base alla posizione reciproca del fulcro e delle forze
l e l e v e si distinguono in:
l e v e d i p r i m o g e n e r e o i n t e r f i s s a o i n t e r f u l c r a t a : il
fulcro si trova tra la potenza e la resistenza; possono essere vantaggiose,
svantaggiose o indifferenti. Sono leve di primo genere l’altalena, i palanchini e le
forbici, le pinze, il remo.
In una leva di prima specie, o interfissa, il fulcro, è in posizione intermedia tra potenza e resistenza.
l e v e d i s e c o n d a g e n e r e o i n t e r r e s i s t e n t e : la resistenza è
applicata tra fulcro e potenza; sono sempre vantaggiose. Le carriole e gli
schiaccianoci, e cavatappi sono leve di questo tipo;
In una leva di seconda specie, o interresistente, il punto di applicazione della resistenza si trova tra potenza e fulcro.
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47
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tecnica
l e v e d i t e r z o g e n e r e o i n t e r p o n e n t e : la potenza è applicata tra
fulcro e resistenza. Una leva di terzo genere è sempre svantaggiosa, ma può
consentire dei movimenti molto delicati e di precisione che altrimenti sarebbero
difficili se non impossibili da realizzare. La scopa, le pinzette e le molle per
afferrare i tizzoni sul focolare rappresentano esempi di leve di terzo genere.
In una leva di terza specie, o interponente, il punto di applicazione della potenza si trova tra fulcro e resistenza.
1.5.4.3. Esercitazione.
Nell’esempio indicato il fulcro è al centro della leva. Questa leva non fornisce vantaggio
meccanico e la forza necessaria per alzare il peso è uguale al peso in se.
Tuttavia, se desiderate alzare un peso che è più pesante della forza, è necessario spostare il
fulcro più vicino al peso da alzare. Ciò interessa la forza richiesta nel modo seguente:
P bp R br
In questo esempio il fulcro è stato spostato verso il peso in modo che il peso fosse a 1
metro dal fulcro. Ciò significa che la forza può ora essere applicata 2 m dal fulcro.
Se doveste calcolare la forza necessaria per alzare il peso allora potete riorganizzare la
R br
10 1
5 Kg
formula in questo modo P
; dunque nella fattispecie la potenza sarà: P
bp
2
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48
Concorso Vigili del Fuoco 2016
1.5.4.3.1. Domande
Scienza e tecnica
di esempio.
1) QUANTA FORZA È RICHIESTA PER ALZARE IL PESO?
50lbs
60lbs
RISPOSTA GIUSTA: per alzare il peso sono necessaire 60lbs.
40lbs
La risposta è stata calcolata con la solita forma P
P
70lbs
R br
; nella fattispecie avremo:
bp
80 9 720
60 libbre30
12
12
2) QUANTA FORZA È RICHIESTA PER ALZARE I PESI?
25lbs
35lbs
RISPOSTA: per alzare i pesi sono necessarie 35lbs.
40lbs
45lbs
In questo caso, benché la resistenza da vincere sia di 50 libbre, dobbiamo considerare
separatamente i due pesi, e dunque prendere in considerazione due bracci di resistenza.
R b R2 br 2
Dunque la formula per calcolare la potenza avrà il seguente aspetto P 1 r1
;
bp
nelle fattispecie avremo: P
20 10 30 5 200 150 35
10
10
libbre
1.5.5. Le carrucole.
1.5.5.1. Nozione.
La c a r r u c o l a 31 è una macchina semplice atta al
sollevamento di carichi. È costituita da una ruota, detta
p u l e g g i a , imperniata su una staffa. Sul bordo della
ruota è scavato un solco in cui scorre una corda, una fune
od una catena.
Le carrucole sono, a tutti gli effetti, delle leve
meccaniche, che vengono prevalentemente utilizzate per
operazioni di sollevamento.
30
31
1lb 453,5 g
In marina viene chiamata anche b o z z e l l o .
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49
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tecnica
1.5.5.2. Tipi
1.5.5.2.1. Fissa
o semplice
Nella c a r r u c o l a f i s s a o s e m p l i c e , l’asse della puleggia è fisso, e la ruota
h a l a s o l a f u n z i o n e d i d e v i a r e l a f o r z a applicata ad una estremità
della fune. L’altra estremità è collegata al carico.
L a c a r r u c o l a f i s s a è u n a l e v a d i p r i m o g e n e r e in cui il braccio
della potenza è uguale al braccio della resistenza, entrambi essendo pari al raggio della
carrucola stessa. T a l e l e v a n o n è q u i n d i n é v a n t a g g i o s a n é
svantaggiosa.
Il rapporto tra la forza attiva
all’equilibrio è pari ad uno.
e
la
forza
resistente
P=R
Dunque la velocità di sollevamento del carico sarà uguale alla velocità di trazione della
fune. In pratica per sollevare il carico di un metro è necessario tirare la fune per uno metro.
1.5.5.2.2. Mobile.
Nella c a r r u c o l a m o b i l e l’asse della puleggia è mobile solidalmente con il carico
sollevato. L’estremità della fune opposta a quella di lavoro è vincolata ad un punto fisso
rispetto al sistema.
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tecnica
La carrucola mobile è una leva di secondo
( q u i n d i v a n t a g g i o s a ) , che serve ad amplificare la forza applicata.
genere
In condizioni di equilibrio la forza applicata alla fune è
pari alla metà della forza peso agente sulla carrucola.
P
R
2
Per la legge di conservazione dell’energia32, per avere sul carico lo stesso lavoro compiuto
traendo la fune con forza dimezzata, è necessario che la velocità di sollevamento del carico
sarà la metà rispetto alla velocità di trazione della fune. In pratica, per sollevare il carico di un
metro è necessario tirare la fune per due metri.
1.5.5.2.3. Composta
o paranco
Una c a r r u c o l a c o m p o s t a o p a r a n c o è un insieme di due o più carrucole,
i n p a r t e f i s s e e d i n p a r t e m o b i l i (dunque un sistema di due carrucole fisse
non è una carrucola composta)33.
32
La l e g g e d i c o n s e r v a z i o n e d e l l ’ e n e r g i a è la più importante delle leggi di
conservazione note in fisica. Nella sua forma più intuitiva questa legge afferma che, sebbene possa essere
trasformata e convertita da una forma all’altra, la quantità totale di energia è una costante, ovvero il suo valore si
mantiene immutato al passare del tempo. Più in generale si può dire che la variazione della quantità totale di
energia presente in un sistema isolato deve essere sempre pari a 0.
33
Questa macchina semplice è usata fin dai tempi antichi per amplificare enormemente la forza umana, per
sollevare elementi architettonici, colonne, obelischi, trascinare blocchi di marmo, tirare navi in secca ecc.
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51
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tecnica
1.5.5.2.3.1. Paranco
semplice.
Il p a r a n c o s e m p l i c e è composto di una carrucola
mobile e di una fissa che serve da rinvio. In questo caso (al
pari della carrucola mobile) l a f o r z a a p p l i c a t a
a l l a f u n e (potenza) è p a r i a l l a m e t à d e l l a
forza
peso
agente
sulla
carrucola
m o b i l e (resistenza); in quanto la carrucola fissa come
sappiamo ha solo la funzione di deviare la forza.
Analogamente la velocità di sollevamento del carico sarà la
metà rispetto alla velocità di trazione della fune. In pratica, per
sollevare il carico di un metro è necessario tirare la fune per
due metri.
1.5.5.2.3.2. Paranco
complesso.
Collegando in serie due o più paranchi semplici si ottiene il p a r a n c o m u l t i p l o in
cui la potenza P è uguale alla resistenza R divisa per il doppio del numero n delle pulegge
R
mobili: P
2n
1.5.5.3. Esercitazione.
Le domande sulle carrucole vanno risolte in tal modo:
se la c a r r u c o l a
resistenza R: P = R;
è
f i s s a , allora la potenza richiesta P è uguale alla
se la c a r r u c o l a è m o b i l e o si tratta di un p a r a n c o s e m p l i c e ,
R
allora la potenza richiesta P è uguale alla metà della resistenza R: P ;
2
mentre se si tratta di un p a r a n c o c o m p o s t o la potenza richiesta P è uguale
R
alla resistenza R divisa per il doppio del numero n delle pulegge mobili: P
.
2n
1.5.5.3.1. Domande
di esempio
Per gli scopi di queste domande potete ignorare l’effetto di attrito.
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tecnica
1) QUALE PESO RICHIEDE MENO FORZA PER MUOVERSI?
A
B
Entrambi richiedono la stessa forza
RISPOSTA: B. In quanto nella situazione B trattandosi di una carrucola mobile la potenza
R 10
richiesta P è uguale alla meta della resistenza R: P 5 ; laddove nella situazione A
2 2
trattandosi di una carrucola fissa la potenza richiesta P è uguale alla resistenza R, ossia 10 Kg.
2) QUALE PESO RICHIEDE MENO FORZA PER MUOVERSI?
A
B
Entrambi richiedono la stessa forza
RISPOSTA: 5 Kg. In quanto nella situazione A, trattandosi di un paranco semplice, la
R 10
potenza richiesta P è uguale alla meta della resistenza R: P 5 ; laddove nella
2 2
situazione B trattandosi semplicemente di due carrucole fisse (che in quanto tali non
costituiscono una carrucola complessa), le quali hanno come effetto solo quello di deviare la
forza, le potenza richiesta P sarà uguale alla resistenza R ossia 10 Kg.
1.5.6. Il piano inclinato
1.5.6.1. Nozione.
Per p i a n o i n c l i n a t o si intende una macchina semplice usata per trasferire un peso
da un punto a un altro, situato a un livello superiore, impiegando una forza minore di quella
che sarebbe necessaria per l’innalzamento in verticale.
Più dettagliatamente per piano inclinato si intende una macchina semplice che permette di
vincere una resistenza R mediante una forza P (potenza) avente una direzione diversa e
intensità inferiore a R
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tecnica
l
R
h
P
La condizione di equilibrio del piano inclinato si esprime con la relazione:
P h
R l
dove P è la forza applicata al corpo di peso R per sollevarlo di un’altezza h, facendolo
scorrere su un piano di lunghezza l inclinato sull’orizzontale di un angolo .
Si può anche scrivere che:
P
ma dato che il rapporto
h
R
l
h
non è altro che il seno34 di α allora possiamo anche scrivere che
l
P Rsen
Ora poiché il seno di α è sempre minore di uno 1, in quanto in un triangolo rettangolo
l’ipotenusa è sempre maggiore dei cateti, allora possiamo dedurre che i l p i a n o
inclinato, risulta essere sempre una macchina vantaggiosa.
1.5.6.2. Esercitazione.
Le domande sui piani inclinati vanno risolti in tal modo:
se le resistenze e l’altezze sono uguali per ogni piano si impiegherà meno potenza
sul piano inclinato in cui la lunghezza è maggiore;
se le resistenze e le lunghezze sono uguali per ogni piano si impiegherà meno
potenza sul piano inclinato in cui l’altezza è minore;
se le altezze e le lunghezze sono uguali per ogni piano si impiegherà meno potenza
sul piano in cui la resistenza è minore;
se le altezze, le lunghezze e le resistenze sono diverse per ogni piano, allora sarà
h
necessario calcolare le singole potenze con la formula P R e individuare tra
l
esse quella con intensità minore.
1.5.6.2.1. Domande
di esempio.
Per gli scopi di queste domande ricordate che la carrucola fissa posta su ogni piano serve
solo per cambiare la direzione della potenza, e non ha alcuno effetto sulla sua intensità.
34
Dato un triangolo rettangolo, i l s e n o d i u n o d e i d u e a n g o l i i n t e r n i a d i a c e n t i
all’ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del
cateto opposto all’angolo e dell’ipotenusa.
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tecnica
1) QUALE PESO RICHIEDE MENO FORZA PER MUOVERSI?
5 cm
6 cm
30 Kg
30 Kg
2 cm
2 cm
P
P
B
A
A
B
Entrambi richiedono la stessa forza
RISPOSTA: A. I due piani hanno altezze e resistenze uguali, mentre le lunghezze sono
h
diverse, essendo quella del piano A maggiore di quella del B. Ora dato che P R Rsen ,
l
h
e che il rapporto
(ossia il seno di del piano A ha un valore minore rispetto al medesimo
l
rapporto del piano B, si deduce chiaramente che la potenza richiesta nel piano A è minore di
quella richiesta nel piano B.
2) QUALE PESO RICHIEDE MENO FORZA PER MUOVERSI?
6 cm
6 cm
30 Kg
30 Kg
2 cm
1,5 cm
P
P
B
A
A
B
Entrambi richiedono la stessa forza
RISPOSTA: B. I due piani hanno lunghezze e resistenze uguali, mentre le altezze sono
diverse essendo quella del piano B minore rispetto a quella del piano A Ora dato che
h
h
(ossia il seno di del piano B ha un valore minore
P R Rsen , e che il rapporto
l
l
rispetto al medesimo rapporto del piano A, si deduce chiaramente che la potenza richiesta nel
piano B è minore di quella richiesta nel piano A.
3) QUALE PESO RICHIEDE MENO FORZA PER MUOVERSI?
5 cm
5 cm
10 Kg
30 Kg
2 cm
2 cm
P
A
P
B
A
B
Entrambi richiedono la stessa forza
RISPOSTA: A. I due piani hanno altezze e lunghezze uguali, mentre le resistenze sono
diverse, essendo quella del piano A minore rispetto a quella del piano B. Ora dato che
h
h
è uguale per entrambi i piani, si deduce
P R Rsen , e dato che il rapporto
l
l
chiaramente che la potenza richiesta nel piano A è minore di quella richiesta nel piano B.
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tecnica
4) QUALE PESO RICHIEDE MENO FORZA PER MUOVERSI?
5 cm
5 cm
30 Kg
10 Kg
2 cm
2 cm
P
P
B
A
6 cm
30 Kg
1,5 cm
P
C
A
B
C
RISPOSTA: A. Si opera il seguente calcolo:
Tutti richiedono la stessa forza
potenza richiesta nel piano A =
2
10 4 ;
5
potenza richiesta nel piano B =
2
30 12;
5
potenza richiesta nel piano C =
1,5
30 7,5.
6
1.5.7. Gli ingranaggi
1.5.7.1. Introduzione.
1.5.7.1.1. Nozione.
Per i n g r a n a g g i o 35 si intende un sistema di ruote dentate36 di
dimensioni diverse o uguali, che consente di trasmettere il moto tra
due alberi rotanti, cambiando il verso e la velocità di rotazione.
Una delle due ruote (c o n d u t t r i c e ) trasmette il proprio
moto ad un’altra ruota (c o n d o t t a ) mediante il tipico
contatto (ingranamento) dei rispettivi denti37.
In altri termini la trasmissione del moto avviene per effetto
della spinta esercitata dai denti della ruota conduttrice su
quelle della ruota condotta.
Si ricordi che in genere la ruota più piccola è chiamata p i g n o n e o r o c c h e t t o e
quella più grande semplicemente r u o t a .
35
Poiché il termine “‘ingranaggio”‘ si riferisce sempre a una coppia di ruote dentate, è frequente l’uso del
termine “‘coppia”‘ come sinonimo semplificativo, mentre è scorretto (ancorché diffuso) chiamare ingranaggio la
singola ruota dentata.
36
Può essere anche costituito da una ruota dentata ed una vita senza fine, o da una ruota dentata e da una
cremagliera.
37
I denti sono progettati per minimizzare l’usura, le vibrazioni ed il rumore, e massimizzare l’efficienza nel
trasferimento di energia.
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56
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tecnica
1.5.7.1.2. Condizioni
affinché un ingranaggi funzioni.
Affinché l’ingranaggio possa funzionare correttamente è necessario:
che le due ruote abbiano lo s t e s s o m o d u l o , definito come il rapporto fra il
diametro della circonferenza primitiva (cioè non tagliata) e il numero di denti della
D
ruota38 Mod ;
n
che in entrambe le ruote il p a s s o ossia la distanza tra i denti sia uguale;
che in entrambe le ruote la d e n t a t u r a s i a u g u a l e (generalmente
costituta da denti con profilo evolvente) o c o n f o r m e (cioè una ruota a denti
convessi e l’altra denti concavi).
1.5.7.1.3. Rapporto
di trasmissione o di conversione della velocità.
Per r a p p o r t o d i t r a s m i s s i o n e o d i c o n v e r s i o n e d e l l a
v e l o c i t à , si intende il rapporto fra la velocità angolare (o numero di giri nell’unità di
tempo) della ruota condotta e della ruota conduttrice.
VCa
VCe
Quando la ruota conduttrice ha un diametro minore di quello della
ruota condotta (come nell’immagine successiva), e dunque una velocità
angolare maggiore (in quanto nella stessa unità di tempo compie più giri
completi), il rapporto di trasmissione è minore di 1; ciò vuol dire che si
riduce la velocità di rotazione. In tal caso l’ingranaggio è detto
riduttore.
Mentre quando la ruota conduttrice ha un diametro maggiore di
quello della ruota condotta (come nell’immagine successiva), e dunque
una velocità angolare minore (in quanto nella stessa unità di tempo
compie meno giri completi), il rapporto di trasmissione è maggiore di 1; ciò vuol dire che si
aumenta la velocità di rotazione. In tal caso l’ingranaggio è detto m o l t i p l i c a t o r e .
1.5.7.1.4. Rapporto
di ingranaggio.
Nel caso in cui la superficie primitiva (cioè non tagliata) di entrambe le ruote sia a base
circolare, il rapporto di trasmissione è uguale al rapporto fra il numero dei denti della ruota
conduttrice e quello della ruota condotta (r a p p o r t o d i i n g r a n a g g i o ).
VCa nCe
VCe nCa
Dunque la velocità della ruota condotta sarà data da:
VCa
nCe
VCe
nCa
38
Per esempio una ruota con diametro 10 e 10 denti avrà un modulo di valore 1 e come tale potrà ingranarsi con
una ruota di diametro 20 e con 20 denti (e quindi con moduli 1), ma non con una ruota di diametro 15 e con 5
denti (e quindi con modulo 3).
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Scienza e tecnica
Da ciò si evince c h e s e l a r u o t a c o n d o t t a h a l o s t e s s o n u m e r o
di denti della ruota conduttrice, la velocità della prima
sarà uguale alla seconda.
1.5.7.1.4.1. Il
rapporto di in ingranaggio come rapporto tra i diametri primitivi.
D
D
Ma dato che, come evidenziato in precedenza Mod , ossia n
potremmo anche
n
Mod
scrivere che
VCa
D
Mod
Ce
VCe Mod DCa
ossia
VCa DCe
VCe DCa
Dunque il rapporto di trasmissione è uguale al rapporto tra il diametro primitivo della ruota
conduttrice e quello della ruota condotta. Quindi:
VCa
DCe
VCe
DCa
Da ciò si evince c h e s e l a r u o t a c o n d o t t a h a l o s t e s s o d i a m e t r o
primitivo della ruota conduttrice, la velocità della prima
sarà uguale alla seconda.
1.5.7.2. Tipologia.
Esistono svariate tipologie di ingranaggi, tuttavia, per economicità didattica ne
esamineremo solo alcune.
1.5.7.2.1. Ingranaggi
cilindrici a dentatura diritta.
Il tipo più comune di ingranaggio è quello c i l i n d r i c o a d e n t a t u r a d i r i t t a .
In cui ogni ruota dentata è piatta, l’asse dei denti si proietta radialmente dal centro di
rotazione della ruota e le creste dei denti decorrono trasversalmente al piano di rotazione e
parallelamente tra loro39.
39
Esistono anche ruote dentate cave in cui la dentatura è ricavata sulla superficie interna di un cilindro scavato
nella ruota stessa, che offrono il vantaggio di avvicinare gli assi paralleli di corona e pignone.
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1.5.7.2.1.1. Interno.
Si parla di i n g r a n a g g i o i n t e r n o a dentatura diritta quando le ruote sono
accoppiate l’una interamente all’altra. In tale tipo di ingranaggio vi è una ruota è dentatura
interna (o corona circolare), ossia con i denti tagliati all’interno,
all’interno della quale gira un pignone, che in genere è una ruota
dotata di pochi denti.
In un ingranaggio del genere le d u e r u o t e s i m u o v o n o
nello stesso verso.
1.5.7.2.1.2. Esterno.
Si parla di i n g r a n a g g i o e s t e r n o a dentatura diritta quando le ruote sono
accoppiate esternamente. In un ingranaggio del genere l e d u e r u o t e g i r e r a n n o
nei versi opposti.
1.5.7.2.1.3. Treno
di ingranaggi.
Il meccanismo costituito da più di due ruote dentate si chiama t r e n o
ingranaggi o rotismo.
di
Se il treno è formato da un n u m e r o p a r i di ruote dentate allora l’ultima ruota gira nel
v e r s o o p p o s t o a quello della prima.
Se il treno è formata da u n n u m e r o d i s p a r i di ruote dentate allora l’ultima ruota
gira nello s t e s s o v e r s o in cui gira la prima
Appare chiaro a questo punto che in qualsiasi treno di ingranaggi, al di là del numero di
ruote presenti, il movimento si alternerà da una ruota all’altra: prima in senso orario (o
antiorario), poi in senso antiorario (o orario), ancora in senso orario (o antiorario) e poi ancora
in senso antiorario (o orario) e cosi via fino alla fine.
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1.5.7.2.2. Ingranaggi
cilindrici a dentatura elicoidale..
La r u o t a e l i c o i d a l e è un miglioramento rispetto a quella semplice.
I denti sono tagliati con un certo angolo rispetto al piano, in modo che la
superficie di spinta tra i denti sia maggiore e il contatto avvenga più
dolcemente, eliminando lo stridore caratteristico degli ingranaggi semplici.
Negli ingranaggi di questo tipo il rapporto di trasmissione è uguale a quello
che si avrebbe con ingranaggi cilindrici a denti diritti aventi lo stesso numero
di denti.
Rispetto agli ingranaggi cilindrici a denti diritti presenta i seguenti vantaggi:
imbocco più graduale e silenzioso e quindi funzionamento più dolce e più
silenzioso;
contatto fra i denti lungo una retta e quindi possibilità di adottare denti di piccola
altezza (a profilo ribassato) e perciò più robusti, con minori perdite per attrito e
capacità di trasmettere sforzi più elevati e di realizzare rapporti di trasmissione più
elevati.
1.5.7.2.3. Ingranaggi
a ruota dentata e vite senza fine.
L’i n g r a n a g g i o a r u o t a d e n t a t a (con denti diritti o
elicoidali) e v i t e s e n z a f i n e ha lo scopo di trasferire moto e
momento torcente con elevato rapporto e tra due assi perpendicolari non
intersecatisi.
È costituito da una ruota (pignone) con incisa una spirale con lungo
passo per tutta la lunghezza a formare una vite, accoppiata ad una ruota di grande diametro
con denti elicoidali.
Per ogni giro del pignone corrisponde l’avanzamento di un solo dente nell’altra ruota, e
questo permette rapporti molto elevati.
A differenza di altri ingranaggi, l’ingranaggio a ruote dentate e vite senza fine n o n è
r e v e r s i b i l e a causa del notevole attrito. La vite senza fine può azionare la ruota ma non
il contrario. Questo è vantaggioso dove si voglia che il sistema collegato all’uscita sia frenato
quando non azionato.
1.5.7.2.4. L’ingranaggio
a cremagliera e pignone.
L’i n g r a n a g g i o a c r e m a g l i e r a e p i g n o n e permette di convertire una
rotazione in moto lineare.
Il p i g n o n e (o rocchetto) è una semplice ruota dentata, mentre
la c r e m a g l i e r a (o dentiera) è una barra dentata di lunghezza
arbitraria (la si può considerare equivalente ad una ruota dentata di
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60
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tecnica
raggio infinito)40.
È chiaro che:
quando la cremagliera si sposta verso destra, il
pignone gira in senso antiorario;
quando la cremagliera si sposta verso sinistra
il pignone girà in senso orario.
1.5.7.2.5. Ingranaggi
collegati con catene o cinghie.
Due ingranaggi possono essere collegati toccandosi direttamente (ingranati) o per mezzo di
una catena o di una cinghia41.
Se le ruote dentate sono collegate da una catena o da una cinghia (non incrociata) allora si
muovono nello stesso senso.
Se le ruote sono collegate da un catena o da una cinghia incrociata allora si muovono in
senso inverso. Quindi per un treno di ingranaggi collegati tutti da cinghie incrociate, saranno
valide le stesso regole enunciate per il treno di ingranaggi ingranati.
1.5.7.3. Esercitazione.
Prima di enunciare delle semplice regole per risolvere i quesiti presentati nei concorsi
pubblici, va evidenziato che nella maggior parte dei casi tali quesiti hanno sempre ad oggetto
ingranaggi cilindrici a dentatura diritta (esterni) ingranati o collegati tramite una cinghia; ed è
per tale motivo che soffermeremo la nostra attenzione essenzialmente su di essi.
Per risolvere le domande in relazione al verso in cui girano le ruote bisognerà ricordare
che:
in un ingranaggio semplice (cioè formato da solo due ruote dentate), la ruota
condotta girerà sempre nel senso opposto a quello in cui gira la ruota conduttrice;
40
Questo sistema è usato nelle automobili per convertire la rotazione dello sterzo in moto lineare laterale degli
organi che agiscono sulle ruote. Lo stesso principio è sfruttato in alcune ferrovie dette a cremagliera, in cui i treni
sono in grado di risalire forti pendenze grazie al contatto tra una ruota dentata sporgente sotto il locomotore ed
una lunga cremagliera solidale al binario, posta in mezzo alle rotaie dello stesso.
41
Le cinghie danno il vantaggio di separare ad una certa distanza gli ingranaggi evitando quindi la produzione di
attrito tra gli stessi. Inoltre è possibile collegare molti ingranaggi sulla stessa cinghia; per esempio, in un motore
dell’automobile, la stessa cinghia dentata aggancia l’albero a gomito, due alberi a camme e l’alternatore. Se si
utilizzassero una serie di ingranaggi al posto della cinghia, il motore del motore risulterebbe molto meno fluido.
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tecnica
in un treno contenente un numero pari di ruote dentate la prima e l’ultima girano in
versi opposti;
in un treno contenete un numero dispari di ruote dentate la prima e l’ultima girano
nello stesso verso;
se le ruote sono collegate da una catena o da una cinghia allora si muovono nello
stesso senso;
se le ruote sono collegate da un catena o da una cinghia incrociata allora si
muovono in senso inverso.
Per risolvere le domande in relazione alla velocità delle ruote, bisogna ricordare che:
le ruote dentate con un numero uguale di denti (o con uguale diametro) gireranno
alla stessa velocità;
girano più velocemente le ruote con il numero minore di denti (o con il diametro
minore);
girano più lentamente le ruote con il numero maggiore di denti (o con il diametro
maggiore).
1.5.7.3.1. Domande
di esempio.
1) SE LA RUOTA DENTATA X GIRA IN SENSO ORARIO AD UN A VELOCITÀ
COSTANTE DI 10 GIRI/MIN. COME GIRA LA RUOTA DENTATA Y?
In senso antiorario, ad una velocità di 10 giri/min.
In senso orario, ad una velocità di 10 giri/min.
In senso orario, ad una velocità di 10 giri/min.
In senso antiorario ad una velocità di 5 giri/min.
RISPOSTA: “‘In senso antiorario, ad una velocità di 10 giri/min.”‘. Ciò in quanto il treno ha
un numero pari di ruote dentate, dunque, come sappiamo, l’ultima ruota girerà nel verso
opposto alla prima. Inoltre dato che X e Y hanno lo stesso numero di denti, le due ruote
dentate gireranno alla stesso velocità.
2) SE
LA RUOTA DENTATA X GIRA IN SENSO ORARIO AD UN A VELOCITÀ COSTANTE DI
GIRI/MIN. COME GIRA LA RUOTA DENTATA Y?
10
In senso antiorario, ad una velocità di 10 giri/min.
In senso orario, ad una velocità di 10 giri/min.
In senso orario, ad una velocità di 5 giri/min.
In senso antiorario ad una velocità di 5 giri/min.
RISPOSTA: “‘In senso antiorario, ad una velocità di 5 giri/min.”‘.
Ciò in quanto il treno ha un numero pari di ruote dentate, dunque, come sappiamo, l’ultima
ruota girerà nel verso opposto alla prima. Inoltre dato che la ruota Y ha 20 denti, cioè il doppio
di X che ne ha 10, girerà con un velocità pari alla metà della velocità con cui gira X, ossia 5
giri/min.
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3) SE
Scienza e tecnica
LA CREMAGLIERA Y SI SPOSTA A SINISTRA CON UNA VELOCITÀ COSTANTE.
MUOVE LA CREMAGLIERA X?
COME
SI
Si muove a sinistra con una velocità maggiore
Si muove a destra con la stessa velocità
Si muove a sinistra con una velocità minore
Si muove a sinistra con la stessa velocità
RISPOSTA: “‘Si muove a sinistra con la stessa velocità”‘. Per quanto attiene il verso la
risposta la si ottiene disegnando i sensi di movimento di ogni ruota.
Per quanto attiene la velocità, siccome le due ruote esterne hanno lo stesso numero di denti
è chiaro che la loro velocità angolare sarà uguale, e dunque sarà identica anche la velocità di
movimento delle cremagliere.
4) SE
LA RUOTA DI AZIONAMENTO X RUOTA IN SENSO ORARIO AD UNA VELOCITÀ DI
GIRI/MIN. COME GIRA LA RUOTA Y?
10
In senso antiorario, con una velocità maggiore
In senso orario, con una velocità minore
In senso orario, con una velocità maggiore
In senso antiorario, con una velocità minore
RISPOSTA: “‘In senso orario, ad una velocità minore”‘. Ciò in quanto essendo le ruote
collegate con una catena (non incrociata), gireranno tutte nello stesso senso. Inoltre avendo la
ruota Y un diametro maggiore avrà una velocità angolare minore.
1.5.8. Le molle.
1.5.8.1. Nozione
Per m o l l a si intende un dispositivo meccanico di materiale elastico, capace di subire
deformazioni significative ma reversibili quando viene sottoposto a sollecitazioni.
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1.5.8.2. Legge di
Scienza e tecnica
Hooke.
Quando ad una molla, fissata ad una estremità, si applica nell’altra estremità una forza Fa ,
essa risponde a tale sollecitazione producendo una forza elastica (o forza di richiamo) Fel
uguale e contraria alla forza applicata (per la terza legge di reazione o terza di legge di
Newton).
Fel
Fa
Fa
Fel
Fel Fa
Il segno - di
Fa
è legato al fatto che la forza elastica è sempre opposta alla forza applicata.
Ciò vale sia quando la sollecitazione comporta un allungamento della molla, sia quando ne
comporta un accorciamento. Tanto è vero che in entrambi i casi la molla tenderà sempre a
ritornare nella posizione di riposo (ossia la posizione che assume quando non è sottoposta a
nessun tipo di sollecitazione).
D’altronde, osservando il fenomeno da un punto di vista diverso, si può affermare anche
che la forza elastica prodotta dalla molla ha un verso opposto alla deformazione subita. Cioè
se la molla subisce una deformazione diretta verso sinistra, allora la forza elastica da essa
prodotta sarà diretta verso destra e viceversa, oppure, se la molla subisce una deformazione
verso l’alto allora la forza elastica sarà verso il basso e viceversa (ovviamente sempre se la
molla è fissata ad una estremità e la forza è applicata sull’altra estremità).
Fel
Fa
Fa
Fel
Chiarito tale concetto, possiamo ora evidenziare che, l’osservazione empirica, ci dimostra
che la forza elastica prodotta, non è semplicemente una funzione crescente della deformazione
subita (nel senso che ad una deformazione maggiore la molla risponde con un semplice
aumento della forza elastica), ma è direttamente proporzionale ad essa.
Ciò vuol dire che il rapporto tra la forza elastica prodotta dalla molla e, la deformazione da
essa subita è uguale ad una costante, che nel gergo scientifico è chiamata c o s t a n t e
elastica.
Fel
k
x
Il segno - della x è legato al fatto che la forza elastica è sempre opposta alla deformazione; inoltre si badi bene che x non è
la lunghezza totale della molla ma la sua deformazione rispetto alla posizione di equilibrio.
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64
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Scienza e tecnica
N
) è una proprietà caratteristica della molla che
m
dipende dal materiale di cui è costituita, dalla forma e dalle dimensioni. Dunque se più molle,
aventi stessa forma e dimensione, ma di diverso materiale, vengono sottoposte alla medesima
sollecitazione, non produrranno una identica forza elastica.
La costante elastica k (che si misura in
Se l’esperienza ci dimostra la relazione precedente, allora sarà vero anche che:
F
+ el kx
Siamo cosi arrivati a formulare la l e g g e d i H o o k e , secondo la quale l a f o r z a
elastica
esercitata
da
una
molla
è
direttamente
proporzionale, secondo un coefficiente di elastica k, allo
deformazione x rispetto alla sua posizione di riposo ed ha
verso contrario ad esso.
N
si applica una forza che la
m
comprime di 2 cm, ossia 0,02 m, allora la forza elastica prodotta dalla molla sarà uguale:
N
Fel 4 0,02m
0,08N
m
Ma dato che
Fel Fa
Per esempio se ad una molla con una costante elastica di 4
allora possiamo anche scrivere che
Fa kx
è dunque
Fa
Fa
x ossia
x
k
k
Da ciò si deduce che s e k è p i c c o l o (nel senso che la molla è facile da deformare),
per ottenere una certa deformazione della molla basterà
u n a p i c c o l a f o r z a , s e , i n v e c e , k è g r a n d e (nel senso che la molla è
molto rigida) p e r o t t e n e r e l a s t e s s a d e f o r m a z i o n e b i s o g n e r à
r i c o r r e r e a d u n a f o r z a m a g g i o r e (molla “‘dura”‘).
1.5.8.2.1. Il
limite di elasticità e limiti di rottura.
La legge di Hooke vale solo per piccole deformazioni, cioè per deformazioni che non
portano la molla a superare il c.d. “‘l i m i t e d i e l a s t i c i t à ” ‘ , definito come il limite
di forza massima applicata entro il quale il corpo elastico, rilasciato, ritorna alle sue
dimensioni precedenti all’applicazione della forza.
In altri termini se si supera il limite di elasticità non vale più la semplice legge lineare tra
forza e deformazione e, la molla, in genere, non recupera più le proprietà iniziali
(deformazione plastica).
Oltre questo limite i legami atomici si rompono e, la molla si deforma permanentemente.
In diversi materiali questo limite non è definito con precisione e si hanno fenomeni di
deformazione con l’uso ripetuto (invecchiamento). In questi casi la legge di Hooke non è
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65
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Scienza e tecnica
rispettata. Aumentando ulteriormente la forza esercitata su una molla si può giungere alla sua
rottura (“l i m i t i d i r o t t u r a ”).
1.5.8.3. Molle
in serie.
Quando si esercita una forza su due o più m o l l e i n s e r i e (che hanno la stessa
forma, la stessa dimensione e lo stesso coefficiente elastico), o g n i m o l l a è
s o t t o p o s t a a l l a f o r z a a p p l i c a t a , pertanto ognuna di esse subirà la stessa
deformazione
Cosi ad esempio se applicando su una molla, una forza di 5 Kg, si ottiene un
accorciamento di 10 cm;
applicando la stessa forza a due molle in serie (che hanno la stessa forma, la stessa
dimensione e lo stesso coefficiente elastico) si avrà che entrambe subiranno un accorciamento
di 10 cm.
1.5.8.4. Molle
in parallelo.
Quando si esercita una forza su due o più m o l l e i n p a r a l l e l o (che hanno la stessa
forma, la stessa dimensione e lo stesso coefficiente elastico), l a f o r z a a p p l i c a t a e
divisa ugualmente fra le molle.
Cosi ad esempio se applicando su una molla, una forza di 5 Kg, si ottiene un
accorciamento di 10 cm;
applicando la stessa forza a due molle in parallelo (che hanno la stessa forma, la stessa
dimensione e lo stesso coefficiente elastico) si avrà che entrambe subiranno un accorciamento
di 5 cm.
1.5.8.5. Esercitazione.
Nel tipo di domande che vi saranno somministrate nelle prove di attitudine meccaniche,
potete supporre che le molle a cui si fa riferimento sono rispettose della legge di Hooke (nel
senso che il rapporto tra la forza elastica e la deformazione subita sia costante). Inoltre
qualora il quesito faccia riferimento a più di una molla, supponente sempre (almeno che non
sia specificato diversamente) che la costante elastica è uguale per tutte le molle prese in
considerazione.
In particolare bisogna ricordare che:
quando più molle hanno la stessa forma, la stessa dimensione e lo stesso
coefficiente elastico, si allungano o si accorciano alla stessa maniera, se ad esse si
applica la stessa forza;
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applicando la stessa forza, a più molle della stessa forma e dimensione, si
deformerà maggiormente la molla con un coefficiente elastico minore e viceversa.
quando le molle sono organizzate in serie, ogni molla è sottoposta alla medesima
forza applicata e, dunque subisce la stessa deformazione;
quando le molle sono organizzate parallelamente la forza è divisa ugualmente fra le
molle.
5) SAPENDO
CHE ENTRAMBE LE MOLLE HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ELASTICO, QUALE
DELLE DUE SI ALLUNGHERÀ MAGGIORMENTE?
A
B
5 Kg
5 Kg
A
B
Entrambe subiranno la stessa deformazione
RISPOSTA: “‘entrambe subiranno la stessa deformazione”‘.
6) SAPENDO CHE LA MOLLA A POSSIEDE UN COEFFICIENTE ELASTICO MAGGIORE DI QUELLO DI
B, QUALE DELLE DUE MOLLE SI ALLUNGHERÀ MAGGIORMENTE?
A
B
5 Kg
5 Kg
A
B
Entrambe si allungheranno alla stessa maniera
RISPOSTA: “‘B”‘. In quanto più è grande il coefficiente elastico minore sarà la
deformazione causata dalla applicazione della forza.
7) SAPENDO CHE LA MOLLA A POSSIEDE UN COEFFICIENTE ELASTICO MINORE DI QUELLO DI B,
QUALE DELLE DUE MOLLE SI ALLUNGHERÀ MAGGIORMENTE?
A
B
5 Kg
5 Kg
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Scienza e tecnica
A
B
Entrambe si allungheranno alla stessa maniera
RISPOSTA: “‘A”‘. In quanto più piccolo è il coefficiente elastico maggiore sarà la
deformazione causata dalla applicazione della forza.
8) APPLICANDO AD UNA MOLLA UNA FORZA 5 KG SI OTTIENE UN ACCORCIAMENTO DI 20 CM.
QUALORA LA STESSA FORZA VENGA APPLICATA A DUE MOLLE DELLO STESSO TIPO, POSTE IN
SERIE, OGNUNA DI ESSE SUBIRÀ UN ACCORCIAMENTO DI:
20 cm
2,5 cm
5 cm
7,5 cm
RISPOSTA: “‘20 cm”‘. Ciò in quanto essendo le due molle in serie, entrambe saranno
sottoposte alla stessa forza e, dunque entrambe subiranno lo stesso accorciamento.
9) APPLICANDO AD UNA MOLLA UNA FORZA 5 KG SI OTTIENE UN ACCORCIAMENTO DI 20 CM.
QUALORA LA STESSA FORZA VENGA APPLICATA A DUE MOLLE DELLO STESSO TIPO, POSTE IN
PARALLELO, OGNUNA DI ESSE SUBIRÀ UN ACCORCIAMENTO DI:
20 cm
2,5 cm
5 cm
7,5 cm
RISPOSTA: “‘10 cm”‘. Ciò in quanto essendo le due molle in parallelo, la forza si ripartisce
ugualmente fra le molle.
10) CONSIDERANDO OGNI FRECCIA UNA FORZA, IN QUALI DEI DUE CASI PROSPETTATI, LA MOLLA
CHE SOSTIENE LA STRUTTURA DEL GIOCO SI COMPRIMERÀ MAGGIORMENTE?
A
B
A
B
In entrambi i casi si comprime allo stesso modo
RISPOSTA: “‘A”‘.
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11) APPLICANDO UNA FORZA SUL PUNTO INDICATO …
B
A
la molla A si comprimerà maggiormente
la molla B si comprimerà maggiormente
entrambe le molle non si comprimeranno
entrambe le molle si comprimeranno allo stesso modo
RISPOSTA: “‘entrambe le molle si comprimeranno allo stesso modo”‘.
12) IN QUALE PUNTO SI DEVE APPLICARE LA FORZA AFFINCHÉ LE MOLLE SOTTOSTANTI LA TRAVE
SI CONTRAGGANO ALLA STESSA MANIERA?
C
A
B
A
B
C
l’applicazione della forza in qualsiasi dei tre punti comporta sempre una
contrazione uguale per entrambe le molle
RISPOSTA: “‘B”‘.
13) QUALE
COPPIA DI FORZE È NECESSARIO APPLICARE AFFINCHÉ NON SI ABBIA LA
CONTRAZIONE DELLE MOLLE CHE REGGONO LA STRUTTURA DEL GIOCO?
D
B
A
C
AeD
BeC
CeD
Nessuna in quando applicando qualsiasi coppia di forze ci sarà sempre una
contrazione delle molle
RISPOSTA: “‘Nessuna in quando applicando qualsiasi coppia di forze ci sarà sempre una
contrazione delle molle”‘.
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1.6. Concetti elementari di cinematica
1.6.1. Nozioni iniziali.
La parte della meccanica classica che ha per oggetto lo studio del moto dei corpi,
indipendentemente dalle cause (dalle forze) che l’hanno prodotto è detta c i n e m a t i c a .
La descrizione cinematica del moto si basa sui due concetti fisici di velocità e di
accelerazione, e si riassume nella f o r m u l a z i o n e d e l l a l e g g e o r a r i a ,
un’equazione che fornisce lo spazio percorso dal corpo in funzione del tempo.
Lo studio del moto ha inizio con l’approssimazione del corpo a un modello il più possibile
aderente alla realtà. Se l’oggetto ha dimensioni trascurabili rispetto alle distanze coperte,
conviene approssimarlo a un punto materiale e ridurne il moto a una semplice traslazione42.
Un punto è q u i e t e quando la sua posizione, nel tempo, rimane invariata rispetto ad altri
corpi supposti fissi: se invece la sua posizione varia, nel tempo, si dice che il punto è in
moto.
La quiete ed il moto di un punto sono sempre relativi in quanto riferiti ad altri punti o corpi
che supponiamo fissi: ma non esistendo in natura corpi assolutamente fissi dobbiamo
concludere che non esiste la quiete, né il moto assoluto. Infatti noi riferiamo il moto dei corpi
alla terra supposta ferma, ma questa invece ruota intorno al suo asse (movimento di rotazione)
e intorno al sole (movimento di rivoluzione) che, a sua volta, insieme a tutto il sistema solare
ha un moto di traslazione verso la stella Vega.
Nell’universo tutto è in movimento e soltanto per comodità di studio riferiremo la
posizione di un punto ad un sistema che supponiamo fisso.
Per il conoscere il moto di un punto materiale è necessario specificare tre elementi:
traiettoria, direzione e velocità.
1.6.1.1. Traiettoria.
Le successive posizioni assunte da un punto materiale in movimento danno luogo ad una
linea alla quale si dà il nome di t r a i e t t o r i a . Se questa traiettoria è una retta il m o t o si
dice r e t t i l i n e o , se invece è una curva il moto prende il nome di c u r v i l i n e o . In
particolare poi si dice che il moto è c i r c o l a r e 43 se tale traiettoria curva è circonferenza,
e l l i t t i c o se è un elisse, p a r a b o l i c o 44 se è una parabola, etc.
42
In caso contrario si ricorre al modello di corpo rigido, che rappresenta un oggetto di dimensioni estese, capace
di compiere moti più complessi, quali le rototraslazioni. Per studiare i movimenti di un corpo rigido, quindi, se
ne studiano separatamente le due componenti: il moto puramente traslatorio del centro di massa – cioè del punto
in cui si considera concentrata tutta la massa del sistema – e l’eventuale moto di rotazione del corpo rispetto al
centro di massa stesso.
43
Nel m o t o c i r c o l a r e u n i f o r m e , la velocità ha modulo costante, ma varia in direzione e verso.
L’accelerazione che ne deriva, diretta in ogni istante verso il centro della traiettoria circolare del moto, è detta
accelerazione centripeta. Per un corpo che percorre una circonferenza di raggio r a velocità v, l’accelerazione
centripeta è a = v2r
44
Il m o t o p a r a b o l i c o si osserva ogni volta che un corpo, soggetto alla forza di gravità, viene lanciato
con una componente orizzontale non nulla della velocità. Tale situazione si verifica, ad esempio, quando si
lancia una palla in aria in una direzione che forma un certo angolo con l’orizzontale. A causa della forza di
gravità, la palla è soggetta a un’accelerazione costante diretta verso il basso, che dapprima rallenta il moto della
palla verso l’alto, e poi accelera quello di caduta verso il basso. La componente orizzontale della velocità iniziale
impressa alla palla rimane costante (sempre nell’ipotesi ideale di poter trascurare l’attrito dell’aria) e il moto che
ne risulta è la composizione di due moti rettilinei: uno accelerato nella direzione verticale e uno rettilineo
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1.6.1.2. Direzione.
Un punto materiale può muoversi lungo una traiettoria in un senso oppure nel senso
opposto: si ha così l’idea della d i r e z i o n e del moto.
1.6.1.3. La velocità.
Infine lo stesso punto materiale può muoversi lungo una determinata traiettoria più o meno
velocemente, così il suo moto può essere più o meno veloce: si ha così l’idea di velocità del
moto e potremmo quindi dire che la v e l o c i t à è l’attitudine che ha un punto materiale a
percorrere una spazio maggiore o minore in un dato tempo.
In particolare la velocità è la grandezza fisica vettoriale45 che esprime la rapidità con cui
varia la posizione di un corpo in movimento. In termini matematici, la velocità si esprime
come la variazione di posizione Δs registrata nell’intervallo di tempo Δt.
Dove s0 è lo spazio percorso all’istante t0 ed s lo spazio percorso all’istante t. L’unità di
misura nel S.I. è il m/s
1.6.1.3.1. Accelerazione.
L’a c c e l e r a z i o n e è una grandezza fisica vettoriale, definita come la variazione della
velocità di un corpo nell’unità di tempo46. Poiché la velocità è una grandezza vettoriale,
specificata cioè da intensità o modulo, direzione e verso, un corpo ha un’accelerazione non
nulla se la sua velocità varia nel tempo non solo per modulo, ma anche soltanto per direzione
o per verso di moto. Nel Sistema internazionale, l’accelerazione si misura in m/s2.
A seconda che la variazione di velocità sia positiva o negativa (vale a dire, che la velocità
aumenti o diminuisca nell’intervallo di tempo considerato), l’accelerazione risulta positiva o
negativa e il corpo, corrispondentemente, accelerato o decelerato.
1.6.2. Moto uniforme.
Se un punto materiale percorre spazi uguali in tempi uguali, ossia se impiega sempre lo
stesso tempo a percorrere un determinato spazio il m o t o si dice u n i f o r m e .
Se un’autovettura percorre 20 metri in un secondo, 40 metri in due secondi, 60 metri in tre
secondi, il moto è uniforme.
Possiamo quindi dire che nel moto uniforme gli spazi sono proporzionali ai tempi od anche
il rapporto tra spazio è tempo è costante.
uniforme lungo l’asse orizzontale; queste due componenti sono indipendenti l’una dall’altra e possono essere
analizzate separatamente. La traiettoria che si osserva è una parabola.
45
È una grandezza vettoriale, e quindi è definita da un’intensità, una direzione e un verso
46
Come afferma il primo principio della dinamica, un corpo non soggetto a forze rimane in quiete o, al più, si
muove di moto rettilineo uniforme. Perché invece sia dotato di un’accelerazione, deve essere necessariamente
sottoposto all’azione di una forza. In accordo col secondo principio della dinamica, allora, l’accelerazione risulta
direttamente proporzionale alla forza applicata F, secondo la formula a = F/m, dove m è la massa inerziale del
corpo. Ad esempio, nel caso di un corpo che cade sulla superficie terrestre per effetto dell’accelerazione di
gravità g, tale corpo deve il suo moto accelerato all’azione della forza di gravità Fg, esercitata dalla massa della
Terra su qualunque corpo posto nelle sue vicinanze. Nel caso di un moto circolare uniforme, il corpo deve la sua
accelerazione centripeta alla forza centripeta che lo tiene vincolato alla traiettoria circolare.
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71
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Dunque quando il moto è uniforme, la velocità è costante e si determina semplicemente
dividendo lo spazio percorso per il tempo impiegato a percorrerlo.
da cu s = vt che è la legge del moto uniforme.
Se nell’espressione
poniamo: s = 1 metro, t = 1 secondo si ha:
che esprime l’unità di misura ossia la velocità di un punto che percorre con moto uniforme
un metro al secondo.
Se un corpo percorre 1 m al sec, in un ora percorrerà 3600 m e ciò 3,6 km e quindi
1.6.2.1. Domande di
esempio.
5) SE UN CICLISTA PERCORRE CON MOTO UNIFORME, UNA PISTA LUNGA 600 METRI NEL TEMPO
DI 50 SECONDI QUALE SARÀ LA SUA VELOCITÀ IN M/S E KM/H?
6) QUAL È LA VELOCITÀ IN KM/H DI UN’AUTOPOMPA CHE PERCORRE CON MOTO UNIFORME UN
TRATTO DI STRADA LUNGO 2800 METRI IN 140 SECONDI?
1.6.3. Moto vario.
Nel moto uniforme il rapporto s/t ha sempre lo stesso valore e misura senz’altro la velocità
che si mantiene costante.
Ciò non avviene nel moto vario. Tanto è vero che per tale moto, quanto si considerano due
istanti determinati, il rapporto dello spazio s, percorso tra l’uno e l’altro istante, all’intervallo
di tempo t che li separa misura la v e l o c i t à m e d i a , la quale sarebbe quindi la velocità
che il punto avrebbe se percorresse con moto uniforme lo spazio s nello stesso tempo t47.
Supponiamo, che un punto si sia mosso da un determinata posizione lungo una certa
traiettoria, dapprima lentamente, abbia poi accelerato il suo movimento, abbia poi percorso un
lungo tratto a velocità costante ed infine abbia rallentato prima di fermarsi alla posizione di
arrivo, e supponiamo che, dall’inizio del moto al termine, abbia percorso 144 Km, in 2 ore: da
ciò non potremmo certamente dedurre che in ogni ora abbia percorso 72 km oppure che in
ogni secondo abbia percorso:
47
Mentre si definisce a c c e l e r a z i o n e m e d i a nell’intervallo di tempo Δt il rapporto a = Δv/Δt, che
rappresenta la variazione di velocità Δv nell’intervallo di tempo considerato. L’accelerazione media fornisce una
stima approssimativa della variazione di velocità, per l’appunto un valore medio, tanto più attendibile quanto più
piccolo è l’intervallo di tempo considerato.
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72
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e ciò perché abbiamo permesso che esso ha dapprima accelerato e poi rallentato il suo
moto.
Però potremmo dire che se quel punto avesse percorso in ogni secondo 20n metri, in 2 ore
avrebbe percorso 14400 m = 144 Km.
Quindi di 20 metri al minuto è la cosiddetta velocità media: essa differisce evidentemente
dalla velocità vera, detta i s t a n t a n e a 48, che il punto ha realmente assunto nei successivi
istanti del suo moto; velocità necessariamente diverse le une dalle altre e precisamente
crescenti nel primo periodo in cui il punto ha accelerato, costanti poi, e facilmente decrescenti
quanto il punto rallentava49.
1.7. L’equilibrio dei corpi
1.7.1. Tipologia.
In generale, l’equilibrio meccanico può essere di tre tipi:
s t a b i l e : se il corpo una volta spostato, anche di poco, dalla sua posizione di
equilibrio, vi ritorni. Una sfera posta all’interno di una ciotola semisferica, anche se
mossa ritornerà sempre nella posizione iniziale;
i n s t a b i l e : se il corpo una volta spostato (anche di poco) dalla sua posizione di
equilibrio, se ne allontani maggiormente. Una sfera posta su una struttura ad arco,
una volta spostata, si allontana ancora di più dalla posizione iniziale.
48
La v e l o c i t à i s t a n t a n e a viene anch’essa calcolata come rapporto tra la variazione di posizione e
l’intervallo di tempo, purché quest’ultimo sia di ampiezza infinitesima, o comunque sufficientemente breve
perché la velocità possa essere considerata costante all’interno di esso. In termini matematici, si calcola il limite
per Δt che tende a zero del rapporto Δs/Δt.
Mentre l ’a c c e l e r a z i o n e i s t a n t a n e a è definita come il limite, per Δt che tende a zero, del
rapporto Δv/Δt. In un moto uniformemente accelerato, accelerazione media e accelerazione istantanea
coincidono; in tutti gli altri tipi di moto, invece, l’accelerazione media rappresenta il valore medio
dell’accelerazione istantanea nell’intervallo di tempo considerato.
49
Quanto si è finora detto intorno alla velocità è applicabile tanto al moto rettilineo quanto a quello curvilineo,
con la sola differenza che nel rettilineo la direzione del moto è sempre la stessa, mentre in quello curvilineo la
direzione del moto varia di continuo, quindi non si può assegnare una volta per tutte, ma bisogna conoscerla
istante per istante.
Nel moto uniformo e rettilineo sono costanti la velocità e la direzione; nel moto rettilineo vario è costante solo la
direzione; in quello curvilineo uniforme è la sola direzione che varia.
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i n d i f f e r e n t e : se il corpo conserva la posizione che gli si dà spostandolo.
Una sfera posta su una superficie piana, una volta spostata rimane nella nuova
posizione.
1.7.1.1. Esercitazione.
1) IN QUALI CASI È RAPPRESENTATA UNA SITUAZIONE DI EQUILIBRIO STABILE?
A
B
C
CeA
RISPOSTA: “‘A”‘.
2) LA SFERA IN FIGURA IN QUALE POSIZIONE DI EQUILIBRIO SI TROVA
Stabile
RISPOSTA: “‘Instabile”‘.
Instabile
Indifferente
3) IN QUALI CASI È RAPPRESENTATA UNA SITUAZIONE DI EQUILIBRIO INDIFFERENTE?
A
B
C
AeC
RISPOSTA: “‘c”‘.
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4) IN
QUALE SITUAZIONE LA PALLINA, SE TOCCATA, SI ALLONTANERÀ MAGGIORMENTE DAL
PUNTO DI EQUILIBRIO?
A
B
A
C
B
CeA
C
RISPOSTA: “‘B”‘.
1.7.2. L’equilibrio dei corpi sottoposti a forze50.
Benché il concetto di equilibrio meccanico, richieda l’esposizione
dettagliata delle due equazioni fondamentali della statica51, noi, per
economicità didattica, ci limiteremo ad affermare che un corpo è in
e q u i l i b r i o se è fermo e persevera nel suo stato di quiete al
trascorrere del tempo.
È chiaro che una situazione del genere la si ottiene solo se la
risultante delle forze a cui il corpo è sottoposto è uguale a 0.
Ad esempio un sasso posato su un tavolo è sottoposto a due forze: una diretta verso il
basso, dovuta alla gravità, e l’altra diretta verso l’alto, dovuta alla presenza del tavolo
(reazione vincolare). Poiché le due forze hanno uguale intensità ma verso opposto, la
risultante è nulla e il sasso rimane fermo, in equilibrio.
1.7.2.1. Somme di
forze.
Per quanto riguarda la somme di forze, va ricordato che:
due forze con la stessa direzione (cioè appartenenti alla stessa retta) e con lo stesso
verso causano una forza risultante avente stessa direzione e verso uguali delle forze
componenti e come modulo la somma dei loro moduli;
F2
F1
Forza risultante
=
F1 F2
due forze con la stessa direzione (cioè appartenenti alla stessa retta), ma con verso
opposto originano una forza avente la stessa direzione delle forze componenti, il
verso della forza con modulo maggiore e intensità risultante dalla differenza dei
moduli. Qualora l’intensità delle due forze fosse uguale, la risultante sarà uguale a
0;
50
La parte della meccanica che ha per oggetto lo studio dell’equilibrio dei corpi sottoposti ad azioni di forze è
denominata s t a t i c a .
51
Un corpo rigido in equilibrio non deve né traslare, né ruotare e le sue condizioni di equilibrio sono le seguenti:
affinché il non corpo non trasli deve essere nulla la somma vettoriale di tutte le forze applicate al corpo
rigido comprese le reazioni vincolari (I e q u a z i o n e c a r d i n a l e d e l l a s t a t i c a );
affinché il corpo non ruoti (intorno ad un asse fisso) deve essere nulla la somma vettoriale di tutti i
momenti (I I e q u a z i o n e c a r d i n a l e d e l l a s t a t i c a ).
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F2
F1
F2
F1
Forza risultante
F1 F2
=
=
Forza risultante
F1 F2 = 0
la somma di due forze aventi il punto di applicazione in comune si ottiene
applicando il metodo del parallelogramma: dati due vettori (rappresentanti due
forze), a partire da essi si costruisce un parallelogramma tracciando dalla punta di
ciascun vettore la retta parallela all’altro. La diagonale del parallelogramma
costruito rappresenta il vettore della forza risultante.
F1
Forza risultante
=
F2
=
1.7.3. L’equilibrio dei corpo sospesi.
1.7.3.1. Nozione
di baricentro.
Il b a r i c e n t r o o c e n t r o d i g r a v i t à , è il punto di applicazione della
risultante delle forze gravitazionali che agiscono su un corpo materiale.
Per un corpo rigido, infatti, la forza di gravità, che determina il peso del corpo, deve essere
pensata come la risultante di tutte le singole forze elementari agenti sulle singole particelle
che compongono il corpo.
Il centro di gravità è dunque il punto in
pensare concentrato tutto il peso del corpo.
cui
si
può
In alcuni casi il baricentro può essere determinato in base a considerazioni geometriche:
per es. il baricentro di un triangolo di cartoncino è il punto di incontro delle mediane; il
baricentro di un parallelepipedo rettangolo omogeneo è il punto di incontro delle diagonali; il
baricentro di una sfera coincide col suo centro.
1.7.3.2. Condizioni
di equilibrio
Un corpo sospeso a un punto S (centro di sospensione) è in equilibrio (o ritorna in
equilibrio) se il baricentro si trova sulla verticale condotta per S.
A riguardo possono presentarsi tre situazioni:
quando il punto di sospensione si trova sopra al baricentro l’equilibrio risulta
stabile. È il caso comune di un quadro appeso al muro;
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Punto di
sospensione
Baricentro del
quadro
quando il punto di sospensione si trova sotto il baricentro, l’equilibrio è instabile.
È il caso (non comune) di un quadro fissato al muro con un chiodo nel bordo
inferiore. Appena lo si tocca inizia a ruotare fino a portarsi nella condizione di
equilibrio stabile;
Baricentro del
quadro
Punto di
sospensione
quando il punto di sospensione coincide con il baricentro l’equilibrio è indifferente.
Se si appoggia il baricentro di un triangolo di cartoncino sulla punta di un’asta
verticale, il triangolo rimane in equilibrio, anche se lo ruotiamo.
Baricentro del
triangolo
Punto di
sospensione
1.7.4. L’equilibrio dei corpi appoggiati.
Un corpo appoggiato sta in equilibrio (o ritorna in equilibrio) se la verticale abbassata dal
sua baricentro cade entro la base (o piano) d’appoggio.
Corpo non in
equilibrio
Corpo in
equilibrio
È chiaro dunque che un corpo, quanto più ha il baricentro basso o una base di appoggio
ampia, tanto più è in condizioni di equilibrio stabili e, quindi difficilmente soggetto a cadere.
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1.7.4.1. Esercitazione.
1) QUALE AUTOCARRO SI CAPOVOLGERÀ PUÒ FACILMENTE?
2
3
Tutti e tre
RISPOSTA: “‘2”‘. Ciò in quanto più un veicolo è alto, meno è stabile, perché è più facile
che, quando subisce una forte inclinazione, la verticale passante per il suo baricentro cada
fuori dal suo piano di appoggio. Per migliorare la stabilità di un veicolo, oltre che conferirgli
la massima base di appoggio, occorre abbassare il suo baricentro.
1
1.8. I fluidi: il loro moto e il moto all’interno di essi
1.8.1. Introduzione.
In generale i f l u i d i sono considerati i materiali che hanno la capacità di variare con
continuità la loro forma adattandosi al contenitore, ed ecco perché i liquidi, i vapori e i gas
sono trattati come fluidi.
I liquidi sono caratterizzati dall’avere volume proprio e densità molto simili a quelle dei
solidi, il che significa che a livello microscopico si hanno comunque piccole distanze tra le
molecole e elevate forze di interazione. Questa è la differenza fondamentale con gli aeriformi
che invece hanno una densità piccola e quindi una bassa interazione molecolare che li rende
espandibili in qualsiasi volume.
In generale le affinità con i solidi finiscono qui. I fluidi infatti possono subire deformazioni
elastiche come i solidi, ma anche di scorrimento e quindi deformazioni plastiche. Ciò è
particolarmente evidente per i liquidi ed è sempre dovuto alle caratteristiche microscopiche
dei fluidi, per le quali le molecole che li compongono non hanno posizioni fisse nello spazio
ma possono muoversi le une rispetto alle altre con velocità relative diverse52.
La m e c c a n i c a d e i f l u i d i 53 ha molte applicazioni in diversi campi, come
l’ingegneria navale, l’aeronautica o lo studio della circolazione del sangue (emodinamica).
Trova molte applicazioni anche nella vita quotidiana; ci basti pensare che il carburatore della
52
Altre caratteristiche dei fluidi e in particolare dei liquidi sono l’omogeneità e l’isotropia. L’o m o g e n e i t à
riguarda la composizione del fluido cioè esso deve essere costituito da una sola specie molecolare. Ovviamente
lo studio della meccanica dei fluidi si complica notevolmente per i fluidi non omogenei. L’i s o t r o p i a è una
caratteristica più generale e riguarda le proprietà di deformazione, elasticità, propagazione, etc., che devono
essere le stesse in ogni direzione. Un’eccezione ai liquidi ordinari che posseggono queste due importanti
proprietà, sono alcune sostanze che presentano fasi intermedie tra solida e liquida generalmente chiamati cristalli
liquidi, usati in molte applicazioni tecnologiche.
53
La m e c c a n i c a d e i f l u i d i è il ramo della fisica che studia le proprietà dei fluidi, cioè liquidi,
vapori e gas, e anche alcune fasi di sostanze che non hanno struttura cristallina come i solidi, pseudocristallina
come i liquidi e che non sono aeriformi: sono i cosiddetti materiali amorfi. La meccanica dei fluidi si compone di
due grandi sotto-branche: la f l u i d o s t a t i c a , il cui il ruolo fondamentale è dato dall’idrostatica, che si
occupa dei fluidi a riposo. Storicamente è il primo passo verso lo studio della meccanica. la d i n a m i c a
dei
fluidi
o
f l u i d o d i n a m i c a (tra cui, specializzando, aerodinamica, idrodinamica,
oleodinamica) che si occupa dei fluidi in movimento.
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nostra autovettura, la pompa di scarico della nostra lavatrice, l’aspirapolvere, tutto il circuito
idrico della nostra casa sono progettati e realizzati tenendo conto di leggi quali il principio di
Archimede, l’equazione di Bernoulli, la legge di Torricelli, etc..
1.8.2. Alcune nozioni di base.
Prima di affrontare le leggi basilari della meccanica dei fluidi è necessario appropriarsi di
alcune nozioni basilari.
1.8.2.1. Il
peso specifico.
1.8.2.1.1. Peso specifico assoluto.
Il p e s o s p e c i f i c o a s s o l u t o , è la proprietà di una sostanza, espressa dal
rapporto tra il peso di un corpo omogeneo costituito da tale sostanza e il suo volume (nel
Sistema Internazionale l’unità di misura è il N/m3, ma comunemente, anche se
impropriamente, è adottato il g/cm3):
Ps
P
V
Pertanto conoscendo il peso di un corpo, nonché il peso specifico del materiale di cui è
composto è possibile conoscere il suo volume:
V
P
Ps
Allo stesso modo conoscendo il volume di un corpo, nonché il peso specifico del materiale
di cui è composto è possibile conoscere il suo peso:
P V Ps
1.8.2.1.2. Peso
specifico relativo.
In alcuni casi è utile confrontare il peso di un corpo con quello dell’acqua; si ricorre allora
al p e s o s p e c i f i c o r e l a t i v o , definito come il rapporto tra il peso di un corpo e
quello di un uguale volume di acqua distillata alla temperatura di 4 °C.
1.8.2.1.3. Esercitazione.
In relazione al peso specifico bisogna ricordare che:
a parità di peso avrà volume maggiore il corpo composto da un materiale con peso
specifico minore;
a parità di peso avrà volume minore il corpo composto da un materiale con peso
specifico maggiore;
a parità di volume avrà un peso maggiore il corpo composto da un materiale con
peso specifico maggiore;
a parità di volume avrà un peso minore il corpo composto da un materiale con peso
specifico minore.
1) HA VOLUME MAGGIORE 1 KG DI FERRO (PS = 7,8 G/CM3 ) O 1 KG DI ORO (PS = 19,3 G/CM3)?
Hanno lo stesso volume
Ha volume maggiore il ferro
Ha volume maggiore l’oro
Dipende dalla loro forma
RISPOSTA: “‘Ha volume maggiore il ferro”‘.
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2) HA VOLUME MINORE 1 KG DI FERRO (PS = 7,8 G/CM3 ) O 1 KG DI ORO (PS = 19,3 G/CM3)?
Hanno lo stesso volume
Ha volume minore il ferro
Ha volume minore l’oro
Dipende dalla loro forma
RISPOSTA: “‘Ha volume minore l’oro”‘.
3) PESANO DI PIÙ 10 CM3 DI FERRO (PS = 7,8 G/CM3 ) O 10 CM3 DI MERCURIO (PS = 13,56 G/CM3)?
Hanno lo stesso peso
10 cm3 di ferro
10 cm3 di mercurio
RISPOSTA: “‘10 cm3 di mercurio”‘.
4) SAPENDO CHE IL CORPO A È COMPOSTO DI FERRO (PS = 7,8 G/CM3) E IL CORPO B È COMPOSTO
3
DI ARGENTO (10,5 G/CM ), QUALI DEI DUE CORPI PESA DI MENO?
A
A
B
B
Hanno lo stesso peso
RISPOSTA: “‘A”‘.
5) PESANO DI PIÙ 10 KG DI FERRO (PS = 7,8 G/CM3) O 10 KG DI SUGHERO (PS = 0,25 G/CM3)?
Pesa di più il sughero
Pesa di più il ferro
Hanno lo stesso peso
Dipende dal volume
RISPOSTA: “‘Hanno lo stesso peso”‘.
1.8.2.2. La densità.
1.8.2.2.1. La
densità assoluta.
Per d e n s i t à a s s o l u t a si intende il rapporto tra la massa di un corpo e il volume
occupato da esso (nel sistema di misura internazionale la densità si misura in kg/m³; nel
sistema CGS in g/cm³ o equivalentemente il g/ml).
D
m
V
Quindi a parità di massa avrà densità maggiore il corpo che occupa un volume minore.
Mentre a parità di volume avrà densità maggiore il corpo che ha una massa maggiore.
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80
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1.8.2.2.1.1. Esercitazione.
1) QUALI DEI DUE CORPI HA DENSITÀ MAGGIORE?
5 Kg
5 Kg
A
B
A
B
Tutte e due i corpi hanno la stessa densità
RISPOSTA: “‘A”‘.
2) QUALI DEI DUE CORPI HA DENSITÀ MAGGIORE?
5 Kg
3 Kg
A
B
A
B
Tutte e due i corpi hanno la stessa densità
RISPOSTA: “‘A”‘.
1.8.2.2.2. La
densità e la temperatura.
Va evidenziato che, tanto per i solidi che per i liquidi e i gas, la densità dipende dalla
temperatura in quanto, generalmente, il volume di un solido (liquido o gas) varia al variare
della temperatura.
Un esperimento didattico per verificare ciò consiste nel prendere una sfera metallica, di
massa nota, che passi appena attraverso un anello metallico.
Se la sfera viene scaldata sufficientemente, non passerà più attraverso l’anello poiché con
il riscaldamento ha subito un aumento di volume e quindi di raggio.
Si può però facilmente verificare che la sua massa non ha subito alcuna variazione. Si ha
pertanto una diminuzione della densità quando la temperatura aumenta.
Questo comportamento è caratteristico di moltissime sostanze, indipendentemente dallo
stato fisico in cui si trovano: c o n l ’ a u m e n t a r e d e l l a t e m p e r a t u r a l a
d e n s i t à d i m i n u i s c e 54.
54
Un’eccezione notevole è costituita dall’acqua a temperatura compresa tra 0°C e circa 4°C; in questo intervallo
un aumento di temperatura provoca una diminuzione del volume e quindi un aumento della densità.
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1.8.2.2.2.1. Esercitazione.
QUALE PERIODO DELL’ANNO I BINARI FERROVIARI POTRANNO SUBIRE UN SENSIBILE
AUMENTO DI VOLUME E, QUINDI DEFORMARSI?
1) IN
Inverno
RISPOSTA: “‘In estate”‘.
Primavera
Estate
Autunno
2) QUALE DELLE DUE SFERE DI FERRO SUBIRÀ UNA DIMINUZIONE DI DENSITÀ?
Ghiaccio
A
B
A
B
Nessuna delle due sfere subirà una diminuzione di densità
Le due sfere subiranno la stessa diminuzione di densità
RISPOSTA: “‘A”‘.
1.8.2.2.3. La
densità relativa.
Si definisce invece d e n s i t à r e l a t i v a il rapporto tra la densità assoluta del corpo e
quella dell’acqua distillata alla temperatura di 4 °C, e ciò equivale ad assumere quest’ultima
come unità di misura.
Poiché 1 centimetro cubo di acqua a 4 °C pesa esattamente 1 grammo, la densità relativa di
una sostanza è numericamente uguale alla densità assoluta espressa in grammi al centimetro
cubo.
La densità relativa può essere determinata in vari modi. I corpi solidi, che hanno densità
maggiore di quella dell’acqua, vengono pesati dapprima in aria e quindi in acqua, in
condizioni di completa immersione. La densità relativa si ottiene dividendo il peso in aria per
la diminuzione di peso del corpo immerso (vedi Principio di Archimede).
Per determinare la densità relativa dei fluidi si utilizzano invece strumenti appositi, detti
densimetri. Nel caso siano necessarie misure molto accurate, si procede determinando la
massa di un volume noto di liquido o di gas in condizioni controllate di temperatura.
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82
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1.8.2.3. Il
Scienza e tecnica
concetto di pressione in generale.
La p r e s s i o n e è una grandezza fisica, definita come il rapporto tra la forza agente
normalmente (ossia perpendicolarmente) su una superficie e la superficie stessa.
p
F
F
S
S
S
Tale formula è facilmente verificabile nella realtà. Ad esempio immaginiamo di porre, su
una vaschetta contenente sabbia inumidita e su diverse facce, due oggetti aventi la forma di un
parallelepipedo (es. una scatola di latte) e lo stesso peso; un volta rimossi gli oggetti, ci
accorgeremo che l’impronta più profonda viene lasciata dall’oggetto che è stato appoggiato
\
sulla faccia più piccola. Ciò dimostra che, a parità di peso,
minore è la superficie di appoggio, maggiore è la
pressione.
Per non limitarci ad un solo esempio, supponiamo che
una persona di peso pari a 70 Kg stia in piedi su della neve
fresca. Se la persona calza un normale paio di scarpe è molto probabile che egli sprofondi
nella neve (deformandola). Se invece egli indossa un paio di sci o di racchette da neve, molto
probabilmente egli non sprofonderà più nella neve (o almeno lo farà in modo molto minore).
Cosa è cambiato nei due casi? Il peso della persona (quindi la forza che agisce sulla neve) è
rimasto pressoché invariato mente a variare è stata la base di appoggio sulla neve. Ancora una
volta si evince che la pressione dipende oltre che dalla forza anche dalla superficie su cui la
forza agisce.
1.8.2.3.1. Esercitazione.
Nel risolvere gli esercizi che attengono al concetto di pressione, dobbiamo ricordare
dunque:
che a parità di forza, la pressione è maggiore dove la superficie di appoggio è
minore;
che a parità di superficie di appoggio, la pressione è maggiore dove la forza è
maggiore.
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1) QUALE DEI DUE CORPI SUBISCE UNA PRESSIONE MAGGIORE?
A
B
A
B
Entrambi subiscono la stessa pressione
RISPOSTA: “‘A”‘.
2) QUALE DEI DUE CORPI SUBISCE UNA PRESSIONE MAGGIORE?
A
B
A
B
Entrambi subiscono la stessa pressione
RISPOSTA: “‘A”‘.
3) CHI DEI DUE ESERCITA MAGGIORE PRESSIONE SULLA NEVE?
Il padre
Il figlio
Entrambi esercitano all’incirca la stessa pressione in quanto la lunghezza degli sci
è proporzionale al loro peso
RISPOSTA: “Entrambi esercitano all’incirca la stessa pressione in quanto la lunghezza degli
sci è proporzionale al loro peso”.
1.8.2.3.2. La compressibilità dei corpi in genere e dei fluidi in particolare: la legge di BoyleMariotte
I corpi, quando vengono compressi, diminuiscono solitamente di volume, in misura diversa
a seconda del loto stato e della pressione cui vengono sottoposti. I gas in particolare si
comprimono con facilità: basti dire che in un bombola d’acciaio del volume di dieci litri è
possibile comprimere con una forte pressione, un volume d’aria superiore a mille litri.
La legge sulla compressibilità degli aeriformi è stata scoperta è verificata da due fisici
Boyle e Mariotte e perciò si chiama l e g g e d i B o y l e - M a r i o t t e . Essa dice che: a
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temperatura costante, il volume di un gas è inversamente
p r o p o r z i o n a l e a l l a p r e s s i o n e c u i v i e n e s o t t o p o s t o . Pertanto
raddoppiando la pressione a cui è sottoposto un gas, il suo volume si riduce della metà.
Anche i corpi solidi sono, in misura diversa, comprimibili. A tutti è noto infatti che il
sughero e la gomma facilmente si comprimono: anche il legno, il cartone ed altre simile
sostanze, possono venire compressi, ma in misura minore; i metalli in genere si comprimono
ancor meno. In genere un corpo solido si comprime tanto più, quanto più è poroso, ossia
presenta pori o spazi vuoti all’interno della sua massa.
I liquidi invece sono pochissimo comprimibili. È stato ad esempio rilevato che,
comprimendo l’acqua in un recipiente, il suo volume si riduce di un ventiduemillesimo per
ogni aumento di pressione apri ad un’atmosfera. Occorrono perciò 22 atmosfere per ridurre di
un litro il volume di un metro cubo d’acqua.
1.8.3. La pressione idrostatica.
La p r e s s i o n e i d r o s t a t i c a è la forza esercitata da un fluido in quiete, per effetto
del suo peso, sull’unità di superficie delle pareti del recipiente che lo contiene o dei corpi in
esso immersi55. La pressione idrostatica agisce sempre in direzione perpendicolare alla
superficie premuta.
La l e g g e d i S t e v i n o esprime la pressione idrostatica che un liquido esercita sul
fondo di un recipiente in funzione della densità del liquido, dell’accelerazione di gravità e
dell’altezza del liquido:
Dove è la densità del liquido, g e l’accelerazione di gravità e h e la profondità. Pertanto
la pressione idrostatica cresce con la profondità e con l’aumentare della densità del liquido.
1.8.4. La pressione atmosferica.
L’aria sommerge la terra come un immenso oceano e noi viviamo e comminiamo sul fondo
di esso. Perciò come sentiremo la pressione dell’acqua sovrastante se comminassimo in fondo
al mare, camminando sulla superficie della terra, siamo soggetti alla pressione della massa
d’aria che circonda e sommerge la terra. Questa pressione dicesi p r e s s i o n e
atmosferica.
La misurazione della pressione esercitata dall’aria è una conquista degli ultimi secoli. Gli
antichi non possedevano questo concetto: i Greci non l’avevano, i Romani non l’avevano, e
nemmeno i Cinesi, che pure si sa conoscessero molte cose. Fu un italiano a farne la scoperta,
Torricelli.
Egli valutò la pressione che l’aria esercitava, attraverso un elemento che trovò essere
sensibile a tale peso. Acquisì pertanto il concetto che l’aria che respiriamo esercitava altresì
un peso come tutti gli altri corpi soggetti all’attrazione gravitazionale della Terra.
55
Nel Sistema Internazionale (SI), l’unità di misura della pressione è il pascal, che equivale alla pressione
esercitata perpendicolarmente dalla forza di un newton su una superficie di 1 m2. Comunemente usata è anche
l’atmosfera (atm), definita come la pressione esercitata da una colonna di mercurio liquido alta 760 mm.
Un’atmosfera corrisponde a 101,325 kilopascal (kPa) ed è approssimativamente uguale al valore della pressione
atmosferica sul livello del mare.
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Come fu fatto questo esperimento? Torricelli riempì di mercurio
(Hg) una bacinella, prese poi un tubicino di vetro e lo riempì anch’esso
di mercurio. Quindi capovolse il tubicino nella bacinella avendo cura
di non farvi entrare dell’aria.
Cosa poté osservare? Che il tubo non si svuotò completamente del
mercurio contenuto, ma anzi in gran parte il mercurio continuava a
permanere nel tubo stesso nonostante lo avesse capovolto. Nella parte
superiore del tubo, lasciata libera da quella parte di mercurio che si era riversata nella
bacinella, non essendoci aria (era stato attento a non farla entrare, quando aveva capovolto il
tubo nella bacinella), Torricelli immaginò che vi fosse il vuoto, in seguito definito vuoto
torricelliano. In realtà, non si era creato un vuoto assoluto, poiché in quello spazio vi erano i
vapori di mercurio che, anche se in piccola parte, pure si formano.
Per ottenere il vuoto assoluto, bisognerebbe poter aspirare da un contenitore tutti gli atomi
contenuti, cosa che neanche i più potenti apparati, oggi, riescono a realizzare. Comunque
faccia, vi sarà sempre qualche atomo che vaga in quel vuoto. L’unico vuoto presente in natura
è quello che troviamo nell’universo, e precisamente in quelle regioni in cui la quantità di
atomi presenti è così bassa, che tra un atomo e l’altro intercorre un certa distanza (in questi
luoghi dell’universo, infatti, la possibilità che due atomi siano in rotta di collisione è
praticamente pari a zero).
Questo esperimento cosa dimostrò? Dimostrò che l’aria esercitava una pressione sulla
superficie libera del mercurio contenuto nella bacinella tale da compensare il peso del
mercurio nella colonnina. Era il peso dell’aria ad impedire alla colonnina di svuotarsi
completamente.
In definitiva, Torricelli non aveva fatto altro che inventare una bilancia per pesare l’aria: su
un piatto c’era l’aria col suo peso, sull’altro piatto c’era il mercurio nella colonnina.
Pertanto, la pressione atmosferica
esercitato da 760 mm di mercurio.
era
pari
al
peso
A questo punto possiamo aggiungere che 760 mm di mercurio rappresentano un valore
medio, poiché altri fattori contribuiscono a variare questo valore. Innanzitutto bisogna dire
che tale misurazione è riferita al livello del mare, poiché come oramai ben sappiamo, la
pressione diminuisce rapidamente con la quota. Anche la temperatura contribuisce a
modificare il valore reale, dato che il mercurio può dilatarsi o restringersi a seconda della
temperatura dell’aria. Inoltre, la pressione, al livello del mare, può subire delle variazioni da
luogo a luogo, (variazioni locali), fondamentali per le previsioni del tempo, in quanto
connesse alle aree di alta e bassa pressione.
Quindi, quando parliamo di pressione pari a 760 mm di mercurio, intendiamo sempre
riferirci a condizioni medie, al livello del mare, con una temperatura di 0 gradi centigradi.
1.8.5. Portata.
La p o r t a t a è la quantità di fluido che attraversa una sezione con area “A” nell’unità di
tempo (si misura in m3/s).
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In una tubazione in cui si abbiano due sezioni di diversa area, l a p o r t a t a
e n t r a n t e e d u s c e n t e r i m a n e c o s t a n t e e quindi accadrà che ove ci fosse un
restringimento, lì di conseguenza aumenterà la velocità del fluido.
Pertanto m a g g i o r e e l a s e z i o n e d e l
velocità del liquido che scorre.
condotto,
minore
è
la
1.8.6. La perdita di carico.
La p e r d i t a d i c a r i c o in un circuito idraulico è la differenza di pressione tra
ingresso ed uscita del circuito, corretta per la differenza di elevazione, dovuta al moto del
fluido nel circuito. Si esprime generalmente per i liquidi in metri di colonna d’acqua, e per i
gas in mbar.
Tra le cause della perdita di carico in un circuito idraulico rileviamo:
la resistenza dovuta alle pareti scabre del tubo;
la resistenza dovuta ai cambiamenti di direzione del tubo, che obbligando il fluido a
deviare, generano all’interno del liquido dei moto vorticosi fra le particelle del
fluido in movimento;
la resistenza dovuta al cambiamento di sezione del condotto;
la resistenza dovuta alla viscosità interna del liquido.
Queste varie resistenze comportano una perdita di carico, perdita che può anche portare
all’annullamento del carico stesso. Se infatti all’attacco premente di una pompa, capace di
dare all’acqua una pressione di 5 atm, noi collegassimo una lunga conduttura di canape,
continuamente interrotta da raccordi e divisori, ed inoltre con frequenti strozzature e
cambiamenti di direzione, potremmo giungere all’annullamento della pressione in
corrispondenza dell’orifizio terminale di efflusso, e l’acqua uscirebbe da esso con velocità
pressoché nulla e perciò con un’energia trascurabile. Il carico sarebbe andato perduto.
Le esperienze pratiche dimostrano che queste perdite sono tanto maggiori quanto maggiore
è la velocità del liquido e quanto minore è il diametro del condotto.
1.8.7. Il rapporto tra pressione e velocità: il principio di Bernoulli.
Vediamo ora quali rapporti esistono, nei fluidi in movimento fra la
pressione e la velocità.
Consideriamo allo scopo un recipiente cilindrico, simile a quello in
figura, contente dell’acqua compressa per mezzo dello stantuffo.
In corrispondenza della parte interna dell’orifizio di uscita, l’acqua
oltre alla pressione dello stantuffo, risente anche della pressione dovuta
al pesa della colonna AB sovrastante. Perciò la pressione dell’acqua nella parte bassa del tubo
è leggermente superiore a quella esistente nella parte alta.
Queste due pressione rappresentano un’energia che l’acqua possiede, tanto è vero che
l’acqua esce dal cilindro attraverso l’orifizio con forza, perché a ciò vi è spinta dalla forte
pressione interna.
Questa pressione interna dicesi statica, perché l’acqua all’interno può considerarsi ferma, e
l’energia che l’acqua possiede, dice pure energia statica o potenziale.
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La pressione statica considerata, è pertanto somma di due pressione: l’una dovuta ad una
forza esterna e l’altra all’altezza dell’acqua (c.d. altezza geodetica).
Appena oltre il foro di uscita, l’acqua viceversa non ha più pressione, perché liberamente
può espandersi nell’aria (la pressione atmosferica non viene considerata perché agisce
ovunque e perciò non modifica la legge del fenomeno); essa ha invece acquistato una velocità
che prima non aveva; e perciò, in luogo della pressione statica, si parlerà qui di pressione
dinamica, dovuta al movimento del liquido.
L’energia statica o di posizione, posseduta dall’acqua all’interno del cilindro, non è quindi
andata perduta, perché anche la velocità di un oggetto rappresenta dell’energia,
meccanicamente utilizzabile per fare lavoro; tanto è vero che, introducendo un dita nella vene
fluida che esce con violenza dall’orifizio, esso tende ad essere trascinato dall’acqua.
In altri termini è accaduto, secondo il principio che in natura l’energia non si crea e non
distrugge, ma sempre si conserva e si trasforma, una trasformazione di energia: la pressione si
è cambiata in velocità, l’energia statica o di posizione si è trasformata in energia dinamica o di
movimento.
Il fenomeno appena descritto, è il p r i n c i p i o d i B e r n o u l l i , (o anche effetto di
Bernoulli) in forza del quale un fluido ideale su cui non viene applicato un lavoro, per ogni
incremento della velocità si ha simultaneamente una diminuzione della pressione o un
cambiamento nell’ energia potenziale gravitazionale del fluido.
In altri termini i n b a s e a l p r i n c i p i o d i B e r n o u l l i , a l l a
variazione di velocità corrisponde un’opposta variazione
della pressione.
Il flusso d’acqua che esce da un rubinetto è l’esempio più classico della validità del
principio di Bernoulli. All’aumentare della velocità del flusso in caduta, che subisce l’effetto
dell’accelerazione di gravità, diminuisce la pressione del flusso d’acqua. Questa diminuzione
di pressione è evidenziata dalla riduzione del diametro del flusso a causa della crescente
differenza di pressione con quella atmosferica.
1.8.8. La legge di Pascal.
Una delle caratteristiche fondamentali di un fluido a riposo è che la forza esercitata su
ciascuna delle particelle che lo costituiscono ha uguale intensità in tutte le direzioni. Il fatto si
comprende facilmente perché, se le cosiddette forze interne fossero diverse, ciascuna
particella si muoverebbe nella direzione della loro risultante, e il fluido non sarebbe in quiete.
Come conseguenza, la forza per unità di area, o pressione, esercitata dal fluido contro le
pareti di un qualsiasi recipiente che lo contiene è in ogni punto perpendicolare alle pareti
stesse. Se così non fosse, le componenti tangenziali delle forze provocherebbero uno
scorrimento del fluido.
Questa proprietà venne espressa per la prima volta in forma leggermente più estesa dal
matematico e filosofo francese Blaise Pascal, nel 1647. La l e g g e d i P a s c a l afferma
che la pressione applicata a u n f l u i d o c o n t e n u t o i n u n r e c i p i e n t e s i
trasmette in ugual misura a tutte le direzioni e a tutte le
p a r t i d e l c o n t e n i t o r e , posto che possano essere trascurate le differenze di
pressione dovute al peso del fluido: questa legge ha importantissime applicazioni in idraulica.
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Consideriamo un recipiente contenente un liquido (per esempio dell’acqua) dotato di un
pistone ben aderente alla superficie interna del contenitore ed a contatto con il liquido.
Supponiamo che sul pistone agisca una certa forza:
Supponiamo di praticare dei fori nel recipiente (e nel pistone stesso). Ovviamente, se si
aumenta la forza che agisce suo pistone, il liquido fuoriesce con maggior “‘intensità”‘ dal
recipiente.
L’esperienza mostra quindi che la pressione è aumentata non solo sulla superficie a
contatto con il pistone, ma anche in corrispondenza dei fori. L’aumento di pressione è lo
stesso in tutti i punti del liquido e corrisponde a quello esercitato dal pistone.
Il fenomeno è dunque descritto dalla legge di Pascal: “la pressione esercitata sulla
superficie di un liquido si trasmette inalterata su tutte le superfici a contatto con il liquido”
La legge di Pascal vale anche per i gas e può essere enunciata in un modo più generale: “la
pressione esercitata sulla superficie di un fluido si trasmette inalterata su tutte le superfici a
contatto con il fluido”.
Chiariamo meglio quanto asserito con l’esempio del torchio idraulico. Consideriamo il
recipiente mostrato in sezione in cui è contenuto un liquido (di solito olio) ed in cui sono
presenti due pistoni di superficie diversa :
Sia
la superficie del primo pistone e
esercitata (dall’alto in basso) una forza
quella del secondo. Sul primo pistone venga
. A causa di questa forza, il secondo pistone risente
della forza
dal basso in alto). Applichiamo la legge di Pascal. Secondo questa legge la
pressione si esercita in maniera uguale su tutte le superficie a contatto con il liquido. Per
questo motivo, la pressione che esercita il primo pistone e che vale:
è la stessa esercitata (dal basso verso l’alto) sul secondo pistone:
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Da queste formule siamo in grado di ricavare la forza incognita
le due formule):
che vale (confrontando
.Consideriamo il caso concreto in cui si abbia :
Sostituendo nella formula precedente risulta infine :
Questo risultato può essere compreso in maniera intuitiva con la seguente osservazione. La
pressione su
vale :
Siccome questa pressione si trasmette inalterata sulla superficie, avremo che su ogni
centimetro quadrato di
sarà :
compare una forza F = 2N . Poiché , la forza complessiva su
Abbiamo ricavato il sorprendente risultato che con una piccola forza
grande forza
si ottiene una
.
La legge di Pascal può quindi essere sfruttata nelle applicazioni di ingegneria per sollevare
con piccoli forzi grandi pesi. Innumerevoli sono i congegni che sfruttano questo principio. Fra
i tanti: il crick idraulico, freni delle auto, presse ed elevatori ecc. ecc.
L’elevatore idraulico è costituito da un condotto a U riempito di un liquido incomprimibile. Le due estremità del condotto
hanno sezioni molto diverse: per il principio di Pascal, una forza relativamente piccola esercitata sullo stantuffo a sezione
minore si traduce in una forza più grande sullo stantuffo a sezione maggiore. Nella figura, una piccola pompa azionata
manualmente è sufficiente per sollevare un’automobile. La pompa però deve essere azionata più volte, perché le lunghezze
della corsa dei due stantuffi sono diverse: il loro rapporto è inversamente proporzionale al rapporto fra le aree delle sezioni.
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1.8.9. Principio dei vasi comunicanti.
Principio dei v a s i c o m u n i c a n t i è quel principio fisico secondo il quale un liquido
contenuto in due contenitori comunicanti tra loro raggiunge
lo stesso livello.
L’acqua come tutti i liquidi, non ha una forma propria ma
assume la forma del recipiente che la contiene. Per questo
motivo, se si versa un liquido in vasi tra loro in
comunicazione anche se di forma diversa (purché di
diametro non molto piccolo per evitare che intervengano
altri principi fisici come la capillarità), esso si dispone allo stesso livello in ognuno dei
contenitori stessi.
1.8.9.1. Applicazioni
L’uomo utilizza il principio dei vasi comunicanti per
diverse applicazioni di cui si riportano di seguito alcuni
esempi:
1.8.9.1.1. Impianti
idrici.
Sfruttando il Principio dei vasi comunicanti è possibile
condurre l’acqua potabile negli edifici perché il serbatoio
generale dell’acqua nelle città e nei paesi è situato in posizione elevata e collegato, mediante i
tubi della rete di distribuzione, con tutti i punti di utilizzo.
1.8.9.1.2. Canali
artificiali
L’acqua dei i mari e degli oceani della Terra sono allo stesso livello (tranne piccole
differenze). Costruendo canali artificiali come il Panama o il Canale di Suez, l’acqua riempie
il canale portandosi allo stesso livello dei mari messi in comunicazione, consentendo alle
imbarcazioni di poter navigare da una estremità all’altra del canale.
1.8.9.1.3. Travaso
I liquidi si possono travasare da un recipiente all’altro per s i f o n a m e n t o . Si colloca il
recipiente pieno a un livello superiore a quello da riempire. I due recipienti si mettono in
comunicazione per mezzo di un tubo, si fa in modo che il tubo sia pieno di liquido, si immette
il tubo nel recipiente da cui prelevare liquido e avviene il travaso perché il liquido nel
recipiente posto più in basso cerca di raggiungere lo stesso livello di quello posto più in alto.
L’applicazione ha un uso che molti avranno osservato nel travaso del vino, dell’acqua negli
acquari, dello scarico dei bagni e nel rifornimento delle auto di Formula 1.
1.8.10. Il galleggiamento dei corpi: il principio di Archimede.
Il p r i n c i p i o d i A r c h i m e d e , principio fondamentale che regola l’equilibrio dei
corpi galleggianti ed enunciato dal celebre inventore e matematico greco Archimede, afferma
che u n o g g e t t o i m m e r s o p a r z i a l m e n t e o t o t a l m e n t e i n u n
fluido è sottoposto a una spinta dal basso verso l’alto, di
intensità pari al peso del volume di fluido spostato.
La spinta idrostatica, ossia la forza che agisce sul corpo dal basso verso l’alto, è diretta in
verso opposto rispetto alla forza peso, e quindi riduce l’effetto di quest’ultima. Come
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conseguenza di ciò, il peso di un corpo immerso nell’acqua, o in generale in un fluido, appare
inferiore a quello dello stesso corpo nell’aria.
La s p i n t a i d r o s t a t i c a è data da:
m
S A DgV g V mg
V
dove D è la densità del fluido, g l’accelerazione di gravità e V è il volume del corpo
immerso (o della sua parte immersa).
Ad esempio, se si immerge in acqua un cubo di metallo di volume pari a 100 cm3 – cui
corrisponde un volume di liquido del peso di circa 1 N – il peso in acqua del cubo risulterà
ridotto rispetto al suo peso in aria di una quantità pari circa a 1 N.
Dal principio di Archimede si può dedurre che un corpo galleggia in un liquido solo se ha
densità media minore di quella del liquido stesso. L’acqua, ad esempio, ha una densità di circa
1 g/cm3; un corpo di densità inferiore a questo valore, immerso totalmente in acqua, risente di
una forza idrostatica maggiore del proprio peso e subisce pertanto una spinta totale diretta
verso la superficie del liquido.
L’equilibrio viene raggiunto quando il peso della porzione di acqua spostata dalla porzione
di corpo immersa eguaglia esattamente il peso dell’intero corpo. Così, quando un pezzo di
legno con densità pari a sei decimi di quella dell’acqua galleggia, significa che sono immersi
sei decimi del suo volume.
In altri termini essendo la densità del legno minore di quella dell’acqua, un blocchetto di
legno subisce una spinta di intensità superiore al suo peso; esso quindi galleggia emergendo di
una porzione tale che il peso dell’acqua spostata sia pari al peso dell’intero blocchetto in aria.
In base al principio di Archimede si può comprendere perché la parte immersa della carena
delle navi è maggiore nelle navi a pieno carico che in quelle vuote: più aumenta il peso della
nave, maggiore è la quantità d’acqua che deve essere spostata per fornire la spinta idrostatica
atta a garantire il galleggiamento.
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Per lo stesso motivo, le imbarcazioni che navigano in acqua dolce non hanno la stessa
portata di quelle che si muovono in mare: l’acqua dolce è meno densa di quella salata, e,
fissato il peso della nave, per ottenere la medesima spinta idrostatica occorre spostare un
volume di acqua dolce maggiore di quella salata.
Ne consegue che una medesima imbarcazione, in acqua dolce, sarebbe immersa per una
frazione di carena più alta, con ovvie conseguenze di pericolo in caso di condizioni
atmosferiche avverse.
1.8.10.1. Esercitazione.
1) SAPENDO
CHE I DUE CORPI HANNO LO STESSO VOLUME E SONO COMPOSTI DELLO STESSO
MATERIALE, IN QUALE CASO IL DINAMOMETRO MISURA UNA FORZA MAGGIORE?
B
A
A
B
Tutte e due i dinamometri misureranno la stessa forza
RISPOSTA: “‘B”‘.
2) SAPENDO CHE IL CORPO A HA UNA DENSITÀ DI 0,9 G/CM3 E IL CORPO B UNA DENSITÀ DI 3,2
3
G/CM , QUALE DEI DUE GALLEGGERÀ SULL’ACQUA?
A
A
B
B
Entrambi
RISPOSTA: “‘A”‘.
1.8.11. Le forze che agiscono su un corpo in moto in un fluido.
Ogni corpo in moto in un fluido è sottoposto,
essenzialmente, a quattro forze aerodinamiche: I)
forza peso; II) spinta; III) portanza; IV) resistenza
1.8.11.1. La spinta
La s p i n t a rappresenta la forza propulsiva che
consente il moto dell’oggetto.
Un aereo genera la spinta propulsiva attraverso l’espulsione dei gas sotto pressione dal
motore a getto diretti sul retro del velivolo. La spinta è quindi proporzionale alla massa d’aria
aspirata moltiplicata per la velocità media del flusso d’aria che attraversa il motore.
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Una nave genera la propria spinta propulsiva attraverso le eliche che spingono l’acqua
nella direzione opposta alla marcia. La spinta risultante muove quindi l’imbarcazione nella
direzione uguale e contraria a quella del flusso d’acqua generato dall’elica.
1.8.11.2. La portanza (e la deportanza).
1.8.11.2.1. Il
principio di Bernoulli
Prima di affrontare il concetto di portanza (e deportanza) è necessario enunciare il
principio di Bernoulli.
Secondo tale principio la pressione esercitata da un flusso d’aria (o da un fluido)
diminuisce all’aumentare della velocità. In altri termini a l l ’ a u m e n t a r e d e l l a
velocità del fluido la pressione statica esercitata da esso
diminuisce.
1.8.11.2.2. La
portanza
La p o r t a n z a è rappresentabile come la risultante di tutte
le forze normali (cioè perpendicolari) alla direzione del flusso
d’aria (o del fluido) esterno e d i r e t t e v e r s o l ’ a l t o .
La portanza è la forza responsabile della sostentazione di un
aeroplano: è infatti opposta alla forza peso. Dal punto di vista
tecnico la si ottiene costruendo ali con il dorso (c.d. estradosso)
più “‘panciuto”‘ del ventre (c.d. intradosso).
In questo modo le particelle d’aria che passano sul dorso dell’ala devono fare un percorso
più lungo di quelle sul ventre, quindi hanno una velocità maggiore e (in forza del principio di
Bernoulli) dunque una pressione minore rispetto a quelle che attraversano il ventre dell’ala.
La differenza di pressione che in tal modo si genera, produce un flusso da aria dal basso
verso l’alto, è dunque una forza, opposta alla forza peso, che andrà a sostenere l’aereo.
D’altronde le ali producono anche una r e s i s t e n z a i n d o t t a . Ciò in quanto, come
vista in precedenza il flusso d’aria tenderà a passare dall’intradosso all’estradosso laddove
questo è possibile, ossia all’estremità alari. In questi punti l’aria acquista una componente di
velocità perpendicolare alla direzione del volo che, sommandosi alla componente parallela
(velocità di volo) genera un movimento vorticoso che dissipa energia creando resistenza.
1.8.11.2.3. La
deportanza
La d e p o r t a n z a è rappresentabile come la risultante di tutte le forze normali (cioè
perpendicolari) alla direzione del flusso d’aria (o del fluido) esterno e d i r e t t e v e r s o
il basso.
La deportanza è utilizzata in ambito automobilistico quando i veicoli raggiungono velocità
elevate, per impedire che le ruote si stacchino dal suolo.
Per crearla, si applicano allora degli appositi alettoni, che sfruttano lo stesso principio delle
ali degli aeromobili, ma in senso opposto. Per ottenere ciò, il profilo alare è inclinato in modo
da deviare l’aria verso l’alto.
L’alettone posizionato in tal modo, d’altronde a u m e n t a a n c h e l a s t a b i l i t à
e l ’ a d e r e n z a del veicolo. Per contro la presenza dell’alettone, genera (per lo stesso
motivo illustrato per le ali degli aerei, benché in maniera inversa) anche una r e s i s t e n z a
indotta.
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1.8.11.2.3.1. Esercitazione.
1) QUALE DELLE MACCHINE PROPOSTE HA UNA MAGGIORE DEPORTANZA?
A
C
B
A
B
C
Tutte hanno la deportanza
RISPOSTA: “‘A”‘.
2) QUALE DELLE MACCHINE PROPOSTE HA UNA MAGGIORE ADERENZA AL SUOLO?
A
A
C
B
B
C
Tutte hanno la deportanza
RISPOSTA: “‘A”‘.
3) QUALE DELLE MACCHINE PROPOSTE HA UNA MAGGIORE STABILITÀ?
A
C
B
A
B
C
Tutte
hanno
deportanza
la
RISPOSTA: “‘A”‘.
1.8.11.3. La
resistenza.
La r e s i s t e n z a è definita come la forza aerodinamica agente in direzione parallela (e
con verso opposto) alla direzione del moto. Tra i vari fattori
che la determinano il principale è la forma dell’oggetto. In
particolare:
i corpi sferici sono soggetti producono una
resistenza media;
i corpi con spigoli vivi prestano un’alta resistenza;
mentre una superficie appositamente curvata (come
le ali di un aereo) rende minima la resistenza; A
riguardo si ricordi, come evidenziato in precedenza,
che anche le ali e gli alettoni benché corpi
aerodinamici producono una r e s i s t e n z a i n d o t t a .
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1.8.11.3.1. Esercitazione.
1) QUALE
DEI SEGUENTI CORPI ESERCITA UNA RESISTENZA MAGGIORE SE INVESTITO DA UN
FLUSSO D’ARIA?
A
A
B
B
C
C
Tutti eserciteranno la stessa resistenza.
RISPOSTA: “‘A”‘.
2) IN FIGURA SONO RAPPRESENTATE TRE VERSIONI (A, B, C) DELLA STESSA AUTOVETTURA.
LE TRE VERSIONI SI DIFFERENZIANO SOLO PER LA PRESENZA E L’INCLINAZIONE
DELL’ALETTONE. QUALE DELLE TRE VETTURE AVRÀ LA MINORE RESISTENZA
ALL’AVANZAMENTO?
A
C
B
B
C
Tutti eserciteranno la stessa resistenza.
RISPOSTA: “‘C”‘. Ciò in quanto tanto nell’ipotesi A, in cui l’alettone produce deportanza,
che nell’ipotesi B, in cui l’alettone produce portanza, verrà contestualmente prodotta una
resistenza indotta che frenerà l’avanzamento dell’auto.
A
3) IN QUALE POSIZIONE L’ALA AVRÀ LA MINORE RESISTENZA ALL’AVANZAMENTO?
Aria
A
A
B
B
C
C
Tutti eserciteranno la stessa resistenza.
RISPOSTA: “‘A”‘.
1.9. L’elettricità
1.10. L’elettricità.
L’ e l e t t r i c i t à è una proprietà fondamentale della materia, che si manifesta con
fenomeni di attrazione o di repulsione tra corpi dotati di carica elettrica. A livello
microscopico tali fenomeni sono riconducibili alle particelle cariche dell’atomo: i protoni nel
nucleo, spesso interessati da soli fenomeni stazionari, e gli elettroni che, avendo maggiore
mobilità, danno luogo anche a correnti. Più in generale, è l’insieme dei fenomeni fisicochimici causati dalle dette interazioni.
Insieme al magnetismo, costituisce l’interazione fondamentale detta elettromagnetismo.
L’elettricità è responsabile di ben noti fenomeni fisici, come il fulmine, il campo elettrico e la
corrente elettrica (con cui è comunemente confusa) e rappresenta l’elemento essenziale di
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alcune applicazioni industriali come l’elettronica e la potenza elettrica. L’elettricità è
diventata il migliore “servitore” dell’uomo e il simbolo del mondo moderno. Illumina le
abitazioni, fa funzionare le fabbriche e rende vicini i popoli più lontani. Ha contribuito a
rivelare i segreti delle stelle, degli atomi e della vita stessa.
1.10.1. La carica elettrica.
La c a r i c a e l e t t r i c a è una di quelle entità che può essere misurata, pesata ed
utilizzata, ma non può essere definita in termini facilmente comprensibili, perché, come per lo
spazio, il tempo e la massa, non è facile darne una esauriente definizione. Forse il modo
migliore di definirla è di osservarne gli effetti. Un oggetto dotato di una carica elettrica
esercita una forza a una certa distanza su un altro oggetto avente una carica elettrica.
Contrariamente alla forza di gravità, la quale fa sì che un oggetto ne attragga un altro, gli
oggetti con una carica elettrica possono sia attrarsi sia respingersi l’un l’altro. Inoltre, la
gravità è in rapporto diretto con la massa degli oggetti in questione, mentre la carica elettrica e
la massa non sono in rapporto quando gli oggetti sono immobili.
Gli esperimenti dimostrano che vi sono due diversi tipi di carica elettrica. Il primo di questi
è denominato carica p o s i t i v a o c a r i c a + , ed è associato ai nuclei degli atomi di
tutte le materie. Il secondo è la carica n e g a t i v a o c a r i c a - , ed è proprio di tutti gli
elettroni che circondano il nucleo dell’atomo. In genere, la carica positiva del nucleo è
esattamente uguale alla somma delle cariche negative degli elettroni che lo circondano. Il
verso delle forze, che agiscono tra gli oggetti aventi una carica elettrica, dipende dal tipo di
carica su questi oggetti.
Ad esempio, se due oggetti hanno lo stesso tipo di carica, siano entrambi positivi o
entrambi negativi, gli oggetti si respingono. Quando i due oggetti hanno carica opposta, essi si
attraggono l’uno con l’altro. Questa forza elettrica d’attrazione, tra i nuclei positivi e gli
elettroni negativi, lega questi ultimi al nucleo. In un certo senso, l’elettricità tiene insieme il
mondo.
La quantità complessiva di cariche elettriche resta praticamente costante nel mondo.
Poiché i due tipi di carica hanno effetti opposti, il risultato normale complessivo è di
neutralità elettrica, o apparente mancanza di carica. Pertanto, al fine di osservare gli effetti di
carica in quantità abbastanza grandi di materia, sarà necessario turbare l’equilibrio normale e
produrre un eccesso di carica nell’oggetto nel modo voluto.
1.10.2. Conduttori e isolanti elettrici.
Dal punto di vista elettrico, è possibile classificare, grosso modo, tutte le sostanze
componenti la materia in due grandi gruppi.
I tipi di sostanze che contengono un numero relativamente grande di elettroni liberi, che si
possono muovere da un atomo all’altro, sono denominati c o n d u t t o r i e l e t t r i c i .
Le sostanze nelle quali gli elettroni non sono liberi di muoversi sotto una sollecitazione
moderata sono denominate i s o l a n t i e l e t t r i c i .
La maggior parte dei metalli è conduttrice di elettricità sebbene in modo diverso dai
conduttori usati dal settore chimico, come le soluzioni acquose degli acidi, delle basi o dei
sali. D’altro canto, la maggior parte delle sostanze non metalliche è elettricamente isolante.
Non esiste né un conduttore perfetto né un isolante perfetto, ma in pratica, un certo numero di
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sostanze serve assai bene a questo scopo. Ad esempio, l’argento, il rame, l’alluminio e persino
l’acciaio sono spesso adatti come conduttori, mentre il vetro, la porcellana, la maggior parte
delle materie plastiche e l’aria secca sono buoni isolanti.
Una particolare classe di materiali, detti s u p e r c o n d u t t o r i , manifesta un
comportamento singolare nei confronti della conduzione elettrica: quando la temperatura è
prossima allo zero assoluto, la resistenza elettrica si annulla e la conducibilità tende a valori
infiniti. Ne segue che una corrente circolante in un materiale superconduttore non si estingue,
ma continua a fluire indefinitamente, senza dissipazione di energia.
1.10.3. Corrente elettrica.
1.10.3.1. Nozione.
Anche l’elettricità come il calore, tende a passare, per contatto, da un corpo più elettrizzato
ad un altro meno elettrizzato, finché non si stabilisce tra i due corpi una stato di equilibrio.
Questo passaggio di elettricità prende il nome di c o r r e n t e e l e t t r i c a . In
particolare per c o r r e n t e e l e t t r i c a si intende un flusso ordinato di cariche elettriche
tra due punti di un corpo conduttore aventi un diverso potenziale elettrico.
Come il calore passa da un corpo all’altro tanto più rapidamente quanto maggiore è la
differenza di temperatura fra due corpi e minore è la resistenza che essi oppongono al
passaggio del calore stesso, così la corrente elettrica è tanto più intensa quanto maggiore è la
differenza di concentrazione elettrica nei corpi posti a contatto e quanto minore è la resistenza
che essi presentano al passaggio dell’elettrictà.
1.10.3.1.1. La
corrente elettrica nei solidi e nei fluidi
La corrente elettrica si propaga nei solidi, nei liquidi e nei gas secondo leggi diverse.
1.10.3.1.1.1. Nei
solidi
Nei solidi è dovuta al moto di elettroni liberi che, per effetto del campo elettrico esistente
fra due punti a diverso potenziale elettrico, migrano dal punto a potenziale minore verso
quello a potenziale maggiore.
Il moto di cariche negative in un senso equivale idealmente a un analogo moto di cariche
positive nel verso opposto; poiché convenzionalmente si assume come verso positivo
dell’intensità di corrente quello delle cariche positive, si dice che la corrente fluisce dal polo
positivo (cioè dai punti a potenziale maggiore) al polo negativo (corrispondente ai punti a
potenziale minore).
Nella maggior parte dei casi, il flusso della corrente elettrica attraverso un conduttore
solido segue le leggi di Ohm. È proprio sulla base della grandezza definita nella seconda
legge di Ohm – la r e s i s t i v i t à – che si suddividono i materiali nelle tre categorie dei
conduttori, degli isolanti e dei semiconduttori.
1.10.3.1.1.2. Nei
liquidi e nei gas.
Nei liquidi e nei gas, la carica elettrica non è trasportata da soli elettroni, ma anche da
atomi o molecole ionizzati, vale a dire da ioni positivi e negativi; di conseguenza, la
conduzione di elettricità è in generale un fenomeno più complesso.
1.10.3.2. L’intensità di
corrente.
Il flusso di carica elettrica in un conduttore può essere paragonato al moto di un fluido che
scorre in un tubo; sulla base di questa analogia si definisce l’intensità di flusso, ovvero
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l’i n t e n s i t à d e l l a c o r r e n t e e l e t t r i c a , come la quantità di carica Δq che
attraversa nell’unità di tempo una qualsiasi sezione del conduttore. In formule: i = Δq/Δt. Nel
Sistema internazionale, l’intensità di corrente rappresenta una grandezza fondamentale e si
misura in ampere (A), vale a dire in coulomb/secondo.
1.10.3.3. La
corrente continua.
Se l’intensità della corrente elettrica è unidirezionale e costante nel tempo, si parla di
c o r r e n t e c o n t i n u a o s t a z i o n a r i a (DC, direct current).
La corrente continua è quella che
attraversa un conduttore cui sia applicata
una differenza di potenziale costante: il
numero di cariche che attraversano una
sezione del conduttore rimane lo stesso
durante tutta la durata del flusso. È continua, ad esempio, la corrente generata da una pila
elettrica o da una dinamo.
1.10.3.4. La
corrente alternata.
Se il numero di cariche che attraversa una sezione di un conduttore nell’unità di tempo non
è costante, ma variabile, si parla, appunto, di corrente variabile.
In particolare, si dice c o r r e n t e
a l t e r n a t a , e si indica con la sigla AC
(dall’inglese, Alternating Current), un
flusso di cariche che varia periodicamente
la propria intensità e il proprio verso tra
un valore massimo i0 e un valore minimo
–i0.
È il tipo di corrente che circola nei circuiti domestici e industriali: viene prodotta nelle
centrali elettriche da appositi generatori chiamati alternatori, e inviata alle linee di
trasmissione, fino ai luoghi di utilizzazione.
1.10.3.4.1. Caratteristiche
fisiche di una corrente alternata
L’andamento di una corrente alternata può essere molto semplice, come quello di un’onda
sinusoidale, di un’onda quadra o a dente di sega, oppure avere una forma complessa, come
quella che si ottiene mediante una conversione in corrente delle diverse armoniche che
costituiscono la voce. I parametri che caratterizzano una corrente alternata sono la frequenza o
pulsazione, l’ampiezza (il valore massimo dell’intensità) e la fase (lo scostamento temporale
rispetto alle pulsazioni di una corrente alternata, di identica frequenza, assunta come
riferimento).
1.10.3.4.2. Vantaggi
della corrente alternata
L’uso preferenziale della corrente alternata rispetto a quella continua per applicazioni
domestiche e industriali si deve alla maggiore praticità ed efficienza degli alternatori rispetto
ai generatori di corrente continua e alla maggiore efficienza di trasmissione sulle lunghe
distanze. Quest’ultima caratteristica è resa possibile da strumenti chiamati trasformatori che,
sfruttando il fenomeno dell’induzione elettromagnetica, modificano la tensione associata alla
corrente, riducendo la dissipazione di energia lungo le linee di trasmissione. Il meccanismo di
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dissipazione, infatti, è quello dell’effetto Joule, che aumenta con il quadrato dell’intensità di
corrente; riducendo l’intensità di corrente, quindi, si riduce sensibilmente anche l’effetto
dissipativo.
Nelle applicazioni industriali e domestiche, la corrente alternata ha una forma sinusoidale,
con una frequenza di 50 Hz (numero di cicli al secondo) in Europa e di 60 Hz negli Stati
Uniti.
1.10.4. La resistenza.
La r e s i s t e n z a è la grandezza fisica che esprime la proprietà di una sostanza di
opporsi al flusso di corrente elettrica.
Secondo la prima legge di Ohm, la
resistenza di un circuito elettrico, o più in
generale di un conduttore, può essere definita
come il rapporto tra la differenza di
potenziale applicata e l’intensità di corrente
che lo attraversa.
L’unità di misura della resistenza prende il
nome di ohm (Ω): 1 Ω rappresenta la
resistenza di un conduttore attraversato dalla
corrente di 1 ampere quando ai suoi capi
viene applicata la differenza di potenziale di
1 volt.
Due o più resistori collegati in serie sono attraversati dalla stessa
corrente elettrica. Nel complesso, equivalgono a un unico resistore di
resistenza pari alla somma delle singole resistenze. In un sistema di
resistori collegati in parallelo, invece, la corrente elettrica si ripartisce
nei diversi rami del circuito, con un’intensità inversamente
proporzionale al valore della resistenza. Il sistema, in questo caso,
equivale a un unico resistore di resistenza pari al reciproco della somma
dei reciproci delle resistenze.
La resistenza che un conduttore offre al
passaggio di corrente dipende dalla natura
del materiale di cui è costituito, dalle sue
caratteristiche geometriche e dalle condizioni di temperatura. Per un dato valore di
temperatura, essa è proporzionale alla lunghezza l e inversamente proporzionale alla sezione
S. In formule: R = r l/S Dove r rappresenta la resistività del materiale.
1.10.5. Circuito elettrico.
1.10.5.1. Nozione.
Il c i r c u i t o e l e t t r i c o è una catena di elementi conduttori connessi in vario modo,
attraversati da una corrente elettrica, generalmente alimentata da uno dei componenti detto
generatore. Un circuito si dice chiuso se la catena di conduttori non presenta interruzioni e
consente il flusso della corrente elettrica; si dice aperto se presenta un’interruzione che
impedisce il flusso della corrente.
Un esempio di circuito è quello costituito da una centrale elettrica (il generatore), dalle
linee ad alta tensione che distribuiscono la corrente a un centro abitato, e da tutto il complesso
di apparecchi, elettrodomestici, dispositivi di uso domestico e industriale che funzionano
grazie ad essa.
L’analisi fisica del comportamento di un circuito elettrico prevede che ogni elemento
venga contrassegnato con un parametro specifico, che rende conto delle sue caratteristiche
fisiche dominanti (resistenza, se si tratta di un elemento essenzialmente resistivo, capacità, se
si tratta di un elemento capacitivo, induttanza, se prevale in esso l’effetto induttivo); queste
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grandezze vengono quindi messe in relazione mediante l’applicazione di leggi e principi di
validità generale, come le leggi di Kirchhoff, i principi di conservazione e le leggi di Ohm.
1.10.5.2. Il
funzionamento.
1.10.5.2.1. La differenza di potenziale e la tensione elettrica.
Per comprendere bene il funzionamento di un circuito elettrico, opereremo un’analogia con
funzionamento di un circuito idraulico. Si supponga di essere sul piazzale di manovra della
Caserma e prendere una motopompa P e di collegarla alle sue estremità con una tubazione
piena d’acqua.
In questa condizione non succede nulla, ma se mette in
funzione la motopompa P, l’acqua contenuta nella tubazione
inizia a muoversi circolando nel senso indicato in figura.
L’acqua si muove quindi per effetto della pompa, la quale
non altro che spingere ogni particella d’acqua nella
tubazione, o meglio, la pompa crea una differenza di
pressione.
La pressione, infatti, nel punto A è maggiore che in B per cui l’acqua si muove da A a B
nel senso indicato dalla freccia.
Ora si esami il più semplici circuito elettrico.
Si supponga si prendere una batteria di quelle
attualmente in commercio e di collegarla,
tramite due fili di rame, ad lampadina L.
Fatti i collegamenti si nota che la lampadina
L si accende. La spiegazione di questo
fenomeno è descritta nelle considerazione Nel circuito idraulico è la differenza che crea il moto,
mentre nel circuito nel circuito elettrico e la differenza
che seguono.
di potenziale.
Il rame contiene nel suo intimo delle
cariche negative (gli elettroni) facilmente libere e movibili. La batteria ha due polarità, una
positiva e l’altra negativa; la polarità negativa respinge gli elettroni i quali vengono attratti dal
polo positivo della batteria.
Ne nasce, quindi un moto di elettroni lungo il fil di rame. È chiaro c’è un’analogia
notevole tra moto dell’acqua provocato all’interno del circuito idraulico dalla pompa P e il
moto degli elettroni creati all’interno del circuito elettrico dalla batteria.
In particolare ciò che crea il flusso di elettroni e la d i f f e r e n z a d i p o t e n z i a l e
V, spesso chiamata t e n s i o n e . La differenza di potenziale si misura in volt (V).
1.10.5.2.2. Le
legge di Ohm
Torniamo a riesaminare il circuito idraulico di cui sopra. Abbiamo vista che la pompa
creare una differenza di pressione tra i punti A e B, origine del moto d’acqua.
Supponiamo che la differenza di pressione tra i punto A e B sia di 5 Bar, è ovvio che nel
tubi circolerà una certa quantità di acqua al secondo (portata), per esempio 2 litri/secondo.
Supponiamo ora di raddoppiare la pressione, portandoci a 10 Bar.: cosa succederà nel
tubo? Passerà senz’altro una certa quantità di acqua al secondo pari al doppio di quella di
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prima, cioè 4 litri al secondo. Analogamente se noi dimezzassimo la pressione tra i punti A e
B la portata risulterà dimezzata, cioè 1 litro al secondo.
In altri termini mantenendo fermo tutte le altre condizioni (lunghezza, sezione e scabrezza
del tubo) la portata è proporzionale al differenza di pressione.
Ora torniamo al nostro circuito elettrico elementare. Avevamo visto che la differenza di
potenziale esistente tra i due A e B faceva nascere una moto di cariche negative (elettroni) le
quali si spostano dal punto B percorrendo il filo di rame (ricordiamo che il numero di cariche
che attraverso la sezione del filo dell’unità di tempo è
chiamata intensità di corrente).
Supponiamo ora di avere nel nostro circuito elettrico
elementare una batteria di 5 volt la quale fa passare nel nostro
filo di rame, e quindi nella nostra lampadina, una corrente di
1 ampere. Se raddoppiassimo la tensione la tensione fra i
punti A e B inserendo, per esempio, una batteria di volt, è chiaro che nel circuito, alla stessa
maniera di quanto avveniva nel circuito idraulico, passerò ora una corrente doppia di quella di
prima, cioè 2 ampere.
Quindi lo stesso discorso di proporzionalità visto nel circuito idraulico elementare è valido
anche nel circuito elettrico elementare. Ciò vuol dire che a parità di tutte le altre condizioni tra
la differenza di potenziale fornita dalla batteria e la corrente che passa nel circuito esiste un
rapporto di proporzionalità.
Tuttavia va evidenziato che, le cariche elettriche, per passare da A verso B incontreranno
una certa difficoltà, cioè un certa resistenza, così come le gocce d’acqua nel circuito idraulico.
La misura della difficoltà che il circuito composto dal filo di rame e la lampadina oppone al
moto degli elettroni, è chiamata resistenza.
Tutto ciò è s i n t e t i z z a t o n e l l a p r i m a l e g g e d i O h m (dal nome del
fisico tedesco Georg Ohm che la formulò) che l’intensità della corrente di un circuito è
direttamente proporzionale alla tensione fornita dal generatore e inversamente proporzionale
alla resistenza complessiva del circuito.
In termini algebrici, la legge di Ohm può essere espressa nella formula i = V/R, dove i
indica l’intensità di corrente, misurata in ampere, V la tensione ai capi del generatore,
espressa in volt, e R la resistenza del circuito, misurata in ohm.
1.10.5.3. Componenti
di un circuito elettrico.
Esistono diversi tipi di c o m p o n e n t i c i r c u i t a l i , ciascuno con caratteristiche e
funzioni specifiche. Un primo criterio di classificazione consiste nel suddividerli in
componenti attivi e componenti passivi.
Fanno parte della prima categoria soltanto i generatori: la loro funzione è quella di
mantenere la differenza di potenziale ai capi del circuito, per garantire il flusso della corrente
elettrica. Senza un generatore, la differenza di potenziale iniziale che attiva la corrente
verrebbe in breve tempo colmata, rendendo impossibile l’ulteriore funzionamento del circuito
e dei suoi componenti. Sono esempi di generatori elettrici la pila (che sfrutta l’energia chimica
delle reazioni che avvengono al suo interno per mantenere la differenza di potenziale nel
circuito) e la dinamo (che sfrutta effetti magnetici per produrre corrente continua).
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Tutti gli altri elementi di un circuito sono da considerarsi passivi, poiché non producono
energia elettrica come il generatore, ma la impiegano per eseguire funzioni specifiche. Si
chiama r e s i s t o r e qualunque elemento passivo del circuito che opponga resistenza al
passaggio della corrente, secondo quanto prescritto dalla prima legge di Ohm. Anche solo un
tratto del filo conduttore di un circuito può essere considerato un resistore: mentre fluiscono al
suo interno, gli elettroni di conduzione trovano ostacolo al loro moto negli urti con gli ioni
fissi del reticolo cristallino; questo effetto che si oppone al fluire della corrente viene appunto
quantificato dal parametro chiamato resistenza. Altri esempi di resistori sono il filamento di
una lampadina o la resistenza di un asciugacapelli.
Il c o n d e n s a t o r e è un altro elemento passivo di un circuito, costituito da una coppia
di conduttori affacciati detti armature, separati da un mezzo dielettrico opportuno. La sua
funzione è quella di accumulare carica elettrica sulle armature e, quindi, di immagazzinare
parte dell’energia elettrica erogata dal generatore. Il parametro caratteristico che quantifica la
capacità del condensatore di immagazzinare carica elettrica si chiama appunto capacità, ed è
definita come il rapporto tra la quantità di carica accumulata sulle armature e la tensione
applicata ai capi del condensatore.
Si chiama i n d u t t o r e , infine, un elemento del circuito in cui prevale, fra tutti, l’effetto
induttivo, vale a dire la tendenza a farsi attraversare da una corrente di verso opposto a quella
circolante nel circuito, secondo le leggi dell’induzione elettromagnetica. Il parametro che
quantifica questo effetto prende il nome di induttanza.
1.10.5.4. Collegamenti
tra elementi di un circuito
I diversi elementi del circuito possono essere connessi l’uno all’altro in due modi: in serie
o in parallelo.
Il c o l l e g a m e n t o i n s e r i e consiste in una connessione continua, che non crea
diramazioni: due conduttori connessi in questo modo sono attraversati dalla stessa intensità di
corrente e hanno una differenza di potenziale complessiva data dalla somma delle singole
differenze di potenziale presenti ai capi di ciascun conduttore.
Il collegamento i n p a r a l l e l o ,
invece, consiste nel disporre gli elementi
conduttori con le estremità coincidenti,
in modo che il circuito presenti una
doppia diramazione; in questo caso la
corrente elettrica si divide equamente tra
i due rami disposti in parallelo, secondo
leggi ben determinate, mentre la
differenza di potenziale ai capi dei due
componenti è la stessa.
Il sistema più semplice per collegare componenti elettrici diversi consiste
nel disporli uno dopo l’altro, in quello che viene chiamato un “‘circuito in
serie”‘. Con questo genere di collegamento, se uno degli elementi si guasta
(nell’illustrazione, una lampadina), anche l’altro smette di funzionare in
quanto non più attraversato da corrente (il circuito è stato interrotto). In
alternativa, è possibile collegare ciascuna lampadina indipendentemente, in
modo che se una delle due si guasta, l’altra continua comunque a
funzionare. In questo caso il circuito è detto “‘in parallelo”‘.
In base al tipo di collegamenti
realizzati tra i componenti, si creano all’interno del circuito configurazioni diverse. Per
identificarle, si parla di “nodo” per indicare un punto del circuito in cui convergono tre o più
rami conduttori; si dice “maglia” un percorso chiuso all’interno del circuito; in generale un
circuito può contenere più di una maglia.
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Geometria piana
Capitolo 2°
Geometria piana
2.1. Nozioni inizali
2.1.1. La geometria euclidea come sistema di postulati e teoremi.
La g e o m e t r i a p i a n a (o euclidea) si occupa delle proprietà (forma, posizione,
estensione) delle superfici e delle figure piane.
La geometria euclidea definisce come concetti primitivi il punto, la retta e il piano, e
assume la veridicità di alcuni a s s i o m i (o postulati1), gli Assiomi di Euclide. Da questi
assiomi vengono quindi ricavati dei t e o r e m i 2 anche complessi, come il Teorema di
Pitagora.
2.1.2. Le figure geometriche, il luogo geometrico ed i concetti di perimetro e di area.
Elementarmente, si chiama f i g u r a un qualsiasi insieme, non vuoto, di punti. La parte di
piano occupata dalla figura prende il nome di s u p e r f i c i e .
Una figura si dice c o n v e s s a se, considerati due suoi qualsiasi punti, il segmento che li
unisce è contenuto nella figura.
Si dice c o n c a v a se esistono almeno due punti per i quali il segmento che li unisce non è
interamente contenuto nella figura.
La figura F è convessa, per qualsiasi coppia di punti interni a F il segmento che li unisce è interamente nella figura; la
figura G è concava perché unendo i punti P e Q si ha un segmento che cade in parte esternamente alla figura
In geometria il l u o g o g e o m e t r i c o , o, più semplicemente, un luogo, è l’insieme dei
punti del piano o dello spazio euclideo che hanno in comune una determinata proprietà.
Esempi di luoghi geometrici sono:
la circonferenza è il luogo dei punti la cui distanza da un punto dato è costante;
l’asse di un segmento: luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento;
la bisettrice di un angolo: luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.
Ogni figura geometrica piana presenta:
un p e r i m e t r o : rappresenta la misura della lunghezza del contorno della figura;
ed un’a r e a : rappresenta la misura dell’estensione della superficie che occupa la
figura sul piano.
1
Con il termine postulato si intende in filosofia una proposizione che è ammessa o che si chiede di ammettere
come vera senza dimostrarla, al fine di rendere possibile una dimostrazione.
2
Un teorema è una proposizione che viene provata, mediante un ragionamento, deducendola da altre
proposizioni, ammesse come vere o già dimostrate.
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Geometria piana
2.1.3. Unità di misure per le lunghezze.
Nel sistema internazionale unità di misura3 delle lunghezze è il metro che ha i seguenti
multipli e sottomultipli:
c h i l o m e t r o = kilometro = km = 103 m = 1000 m
e t t o m e t r o = hm = 102 m = 100 m
d e c a m e t r o = dam = 101 m = 10 m
metro = m
d e c i m e t r o = dm = 10−1 m = 0,1 m = 1/10 m
c e n t i m e t r o = cm = 10−2 m = 0,01 m = 1/100 m
m i l l i m e t r o = mm = 10−3 m = 0,001 m = 1/1000 m
Per trasformare una misura di lunghezza da un’unità ad un’altra sua multipla o
sottomultipla, si deve rispettivamente dividere o moltiplicare per 10, 100, 1000, e cosi via.
2.1.4. Unità di misure per le superfici.
Nel sistema internazionale unità di misura delle superfici è il m e t r o q u a d r a t o . Per
trasformare una misura di superficie da un’unità ad un’altra sua multipla o sottomultipla, si
deve rispettivamente dividere o moltiplicare per 100, 10000, 1000000, e cosi via.
Ci sono poi altre unità di misura delle superfici:
a r a : 1 ara = 100 m2;
e t t a r o : 1 ettaro = 10.000 m2.
2.1.5. Gli enti fondamentali.
Gli e n t i f o n d a m e n t a l i della geometria piana sono: il punto, la retta (vedi cap. succ.)
e il piano.
Esiste una simbologia convenzionale condivisa dagli studiosi per indicare questi enti: per
indicare un punto usiamo una lettera maiuscola, A, B, C, …; per indicare una retta usiamo una
lettera minuscola, a, b, c, …; per indicare un piano usiamo una lettera greca: α , β ,γ , ... .4
Rappresentazione grafica degli enti fondamentali della geometria
3
Le u n i t à d i m i s u r a sono uno standard per la misurazione di quantità fisiche. In fisica e in metrologia, è
necessaria una definizione chiara e univoca di tali quantità, al fine di garantire l’utilità e la riproducibilità dei
risultati sperimentali, che è alla base del metodo scientifico. Per esempio, si misuri il peso di una mela con una
bilancia, se la bilancia legge 100 e l’unità di misura in base alla quale è stata calibrata la bilancia sono i grammi,
sapremo che la nostra mela pesa 100 grammi.
4
Ricordiamo l’a l f a b e t o g r e c o , per gli studenti che hanno poca familiarità con esso:
L e t t e r e g r e c h e m i n u s c o l e : α (alfa), β (beta), γ (gamma), δ (delta), ε (epsilon), ζ (zeta), η (eta), θ
(theta), ι (iota), κ (kappa), λ (lambda), μ (mi), ν (ni), ξ (xi), ο (o micron), π (pi o pi greca), ρ (rho), σ (sigma), τ
(tau), υ (ipsilon), ϕ (fi), χ (chi), ψ (psi), ω (o mega).
L e t t e r e g r e c h e m a i u s c o l e : Α , Β , Γ , Δ , Ε , Ζ , Η , Θ , Ι , Κ , Λ , Μ , Ν , Ξ , Ο , Ρ , Π, Σ , Τ , Υ, Φ ,
Χ,Ψ,Ω.
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Geometria piana
2.1.5.1. Punto.
Il p u n t o è un ente geometrico privo di dimensione: cioè non ha lunghezza, né altezza, né
profondità. Esso possiede una posizione nello spazio.
La distanza fra due punti è il segmento che li unisce.
Due o più punti si dicono a l l i n e a t i quando appartengono alla stessa retta.
Punti allineati
2.1.5.2. Piano.
Per p i a n o intendiamo una superficie piana che si estende indefinitamente in tutti i sensi.
A riguardo occorre evidenziare che:
esistono quanti piani si vogliano;
per un punto passano infiniti piani;
per due punti passa un numero infinito di piani;
tre punti allineati sono intersecati da infiniti piani;
un piano è individuato da una retta e un punto non appartenente ad essa;
un piano è individuato da due rette incidenti.
per tre punti non allineati passa un piano e uno solo. In altri termini tre punti non
allineati sono intersecati da un solo piano;
Tre punti non allineati sono intersecati da un solo piano
se due punti di una retta giacciono su un piano, allora anche tutti gli altri punti della
retta giacciono su questo piano.
Se i punti A e B giacciono sul piano π , tutti i punti della retta r, che contiene i punti A e B, giacciono sul piano π
2.1.5.2.1. Relazioni
tra piani.
2.1.5.2.1.1. Paralleli.
Due piani α e β sono tra loro p a r a l l e l i , quando su uno di tali piani, ad esempio α
giacciono due rette a b paralleli a due rette c d dell’altro piano β.
Piani paralleli
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Geometria piana
2.1.5.2.1.2. Incidenti
o secanti.
Due piani si dicono i n c i d e n t i o s e c a n t i , se hanno in comune una retta.
Piani incidenti o secanti
2.1.5.2.1.3. Perpendicolari.
Due piani si dicono p e r p e n d i c o l a r i , se incontrandosi secondo una retta, forma angoli
diedri5 retti.
Piani perpendicolari
Nello spazio per un punto esterno a un piano è possibile condurre infiniti piani
perpendicolari al piano.
Due piani entrambi perpendicolari ad uno stesso piano, sono tra loro paralleli.
L’intersezione di tre piani nello spazio non può mai essere uguale a due punti.
2.1.6. Similitudine, equivalenza, congruenza (o uguaglianza) e l’isoperimetria.
2.1.6.1. Similitudine,
Due figure piane sono simili quando hanno la stessa forma.
Affinché due figure siano simili, è necessario, che i loro angoli interni abbiano la stessa
ampiezza.
Pertanto saranno sempre figure simili:
poligoni regolari con lo stesso numero di lati (es. un esagono regolare è sempre
simile ad esagono regolare);
triangoli rettangoli isosceli (infatti due triangoli rettangoli isosceli avranno sempre
un angolo di 90° e gli altri due di 45°);
triangoli equilateri (i quali hanno sempre tre angoli di 60°);
i quadrati;
le circonferenze.
Mentre, ad esempio, un trapezio scaleno non è detto che sia sempre simile ad un’altro
trapezio scaleno in quanto gli angoli corrispondenti potrebbero essere anche diversi tra loro.
5
Si definisce d i e d r o ciascuna delle due parti in cui lo spazio resta diviso da due semipiani aventi la stessa
origine.
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Geometria piana
2.1.6.2. Equivalenza.
Due figure sono e q u i v a l e n t i quando hanno la s t e s s a a r e a , ossia la stessa
estensione.
2.1.6.3. Isoperimetria.
Due figure piane sono
perimetro.
2.1.6.4. Congruenza o
isoperimetriche
quando hanno
lo
stesso
uguaglianza
Due figure piane sono c o n g r u e n t i o u g u a l i quando hanno la s t e s s a f o r m a e
la stessa area.
In altri termini due figure piane sono uguali se per mezzo di un movimento rigido ogni
punto dell’una si sovrappone a un punto dell’altra. È sottinteso che due figure uguali sono
equivalenti, simili e isoperimetriche.
La congruenza gode delle seguenti proprietà:
p r o p r i e t à r i f l e s s i v a : ogni figura è uguale a se stessa;
p r o p r i e t à s i m m e t r i c a : se una figura è uguale a un’altra, questa è uguale
alla prima;
p r o p r i e t à t r a n s i t i v a : due figure uguali a una terza sono uguali fra loro.
2.2. Rette, semirette e segmenti
2.2.1. Rette.
2.2.1.1. Premessa:
la linea.
Prima di affrontare il concetto di retta, è opportuno soffermarci su quello di linea, essendo
la retta la linea più comune
La l i n e a è un insieme, ordinato di punti; ha la sola dimensione della lunghezza.
Una linea è6 c h i u s a quando un suo punto, muovendosi in un verso qualunque, può
tornare nella posizione iniziale; ne sono esempi meridiani, paralleli e l’orbita terrestre.
Una linea è a p e r t a quando non si verifica la predetta condizione.
linea chiusa e aperta
2.2.1.2. Nozione.
Per r e t t a si intende il susseguirsi di punti all’infinito che seguono sempre una medesima
direzione7.
6
Convenzionalmente per indicare una linea si usano, le lettere minuscole dell’alfabeto latino (
).
Essendo una linea anche la retta viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell’alfabeto
latino (
).
7
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108
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
Retta
Da ciò si evince:
che la retta non ha né inizio né fine;
esistono un numero infinite di rette;
per due punti distinti di un piano passa una sola retta;
per un punto di un piano passano infinite rette;
i punti di ogni retta sono ordinati secondo due versi l’uno opposto all’altro;
se due rette hanno in comune due punti, vuol dire che hanno in comune infiniti
punti;
fra due punti, A e B di una retta sono compresi un numero infinito di punti,
appartenenti ad r.
2.2.1.3. Posizione
della retta.
Una retta è in p o s i z i o n e o r i z z o n t a l e quando coincide con il profilo dell’acqua
stagnante.
Mentre una retta è in p o s i z i o n e v e r t i c a l e quando coincide con il profilo del filo al
piombo.
Una retta è in p o s i z i o n e i n c l i n a t a quando non né in posizione orizzontale né
verticale.
2.2.1.4. Complanari
e sghembe.
2.2.1.4.1. Sghembe
Due rette si dicono s g h e m b e se non hanno punti in comune e non appartengono allo
stesso piano.
Rette sghembe
2.2.1.4.2. Complanari
Due rette si dicono c o m p l a n a r i se appartengono ad uno stesso piano8.
Due rette complanari (e non coincidenti9) se non sono incidenti sono necessariamente
parallele e viceversa.
8
9
È chiaro che due rette nello spazio che non hanno punti in comune possono essere complanari.
Due rette sono c o i n c i d e n t i quando hanno tutti i punti in comune.
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109
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
Rette complanari
2.2.1.4.2.1. Parallele.
Due rette sono p a r a l l e l e se appartengono allo stesso piano e non hanno nessun punto in
comune10.
L’insieme delle rette parallele ad una retta data individua una direzione.
Rette parallele
Il postulato di Euclide afferma che per un punto esterno ad una retta si può condurre una
sola retta parallela alla retta data.
La distanza fra due rette parallele è il segmento di perpendicolare condotto da un punto
qualsiasi di una retta all’altra retta.
La relazione di parallelismo nell’insieme delle rette di un piano gode delle proprietà:
r i f l e s s i v a : una retta è parallela a se stessa;
s i m m e t r i c a : se una retta r è parallela ad un’altra s, anche essa sarà parallela ad
r;
t r a n s i t i v a : se una retta r è parallela ad un’altra s e questa è parallela ad una
terza retta t, le due rette r e t sono parallele tra di loro.
Due rette parallele tagliate da una trasversale.
Quando sul piano due rette qualsiasi a e b vengono tagliate da un trasversale t, si originano
8 angoli.
Due rette tagliate da un trasversale
Le rette a e b dividono il piano in due semipiani esterni ed una striscia interna fra le due
rette.
10
chiameremo i n t e r n i gli angoli che si trovano dentro la striscia (3, 4, 5, e 6);
chiameremo e s t e r n i quelli che si trovano fuori della striscia (1, 2, 8, 7).
Per indicare la relazione di parallelismo si usa il simbolo “//”.
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110
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
La retta t divide il piano in due parti.
chiameremo c o n i u g a t i gli angoli che stanno dalla stessa parte. In particolare
sono coniugati i n t e r n i le coppie: 4 - 5; 3 - 6. Mentre sono coniugati e s t e r n i le
coppie: 1 - 8; 2 - 7;
chiameremo a l t e r n i gli angoli che stanno da parti opposte rispetto alla retta t. In
particolare sono alterni i n t e r n i le coppie: 3 - 5; 4 - 6. Mentre sono alterni
e s t e r n i le coppie: 2 - 8; 1 - 7.
chiameremo c o r r i s p o n d e n t i gli angoli che si trovano contemporaneamente
sopra oppure sotto le rette a e b (intuitivamente: tali che trascinando la retta b sopra
la retta a si sovrappongono). Sono corrispondenti pertanto le coppie: 1 - 5; 2 - 6; 4 8; 3 - 7.
Nel caso in cui le due rette “a” e “b” siano parallele, si verifica l’interessante fatto che:
le coppie di angoli alterni sono uguali;
le coppie di angoli coniugati sono supplementari ;
le coppie di angoli corrispondenti sono uguali .
2.2.1.4.2.2. Incidenti
o concorrenti.
Due rette si dicono i n c i d e n t i o c o n c o r r e n t i se hanno un punto (ed uno solo) in
comune e, non sono perpendicolari tra loro.
Due rette non perpendicolari intersecandosi formano due angoli acuti e due ottusi. La
somma dei quattro angoli sarà sempre 360°.
Rette incidenti
Due rette incidenti sono p e r p e n d i c o l a r i
dividono il piano in quattro angoli congruenti11.
o
o r t o g o n a l i se intersecandosi
Tali angoli risultano quindi essere quattro angoli retti.
Il punto di intersezione tra una retta e la sua perpendicolare si chiama “p i e d e ”.
Rette perpendicolari
Per un punto assegnato passa una ed uno sola retta perpendicolare ad retta data.
11
Per indicare la relazione di perpendicolarità si usa il simbolo ““.
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111
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Geometria piana
È chiaro che nello stesso piano due rette perpendicolari, ad una retta data o ad un piano,
sono parallele tra loro.
La relazione di perpendicolarità nell’insieme delle rette di un piano gode solo della
proprietà simmetrica, ma non riflessiva né transitiva.
2.2.1.5. Divergenti
e convergenti.
Due rette che prolungate in un determinato senso, tendono ad allontanarsi sempre più l’una
dall’altra si chiamano d i v e r g e n t i .
Due rette che, prolungate in un determinato senso, tendono ad incontrarsi in un punto si
chiamano c o n v e r g e n t i .
2.2.1.6. Fascio
di rette.
Si dice f a s c i o d i r e t t e nel piano un insieme di infinite rette aventi un punto in
comune oppure nessuno (essendo quindi parallele).
Un fascio di rette si dice p r o p r i o se le infinite rette hanno tutte in comune un punto
detto centro del fascio.
Fascio proprio di rette.
Un fascio i m p r o p r i o si definisce come un insieme di infinite rette parallele.
Fascio improprio di rette
2.2.1.6.1. Teorema
di Talete
Secondo il T e o r e m a d i T a l e t e se un fascio di rette parallele (fascio improprio) è
tagliato da due trasversali i segmenti determinati su di una trasversale sono proporzionali ai
segmenti corrispondenti dell’altra.
Teorema di Talete
2.2.1.7. Relazioni
tra le rette e gli altri enti geometrici.
2.2.1.7.1. Relazioni tra rette e piani
Una retta è e s t e r n a a d u n p i a n o se non ha nessun punto in comune con esso.
Una retta si dice g i a c e n t e s u u n p i a n o se ha due punti in comune con esso. In altri
termini se una retta passa per due punti di un piano, giace tutta sul piano. Ogni retta giacente
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112
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
sul piano, divide lo stesso in due parti dette b a n d e . In particolare quando la retta divide il
piano in due parti uguali, ciascuna di esse dicesi s e m i p i a n o .
Mentre una retta si dice i n c i d e n t e a d u n p i a n o se ha un solo punto in comune con
esso. In particolare, una retta ed un piano incidenti si dicono p e r p e n d i c o l a r i se la retta
è perpendicolare a qualsiasi retta del piano passante per il punto in comune con la retta data.
Una retta si dice p a r a l l e l a a d u n p i a n o se non ha punti in comuni con il piano.
Per una retta passano infiniti piani. Per due rette incidenti o parallele passa un solo piano.
Per una retta ed un punto esterno ad essa passa uno e uno solo piano. La proiezione di una
retta su un piano, non perpendicolare ad essa, è una retta.
2.2.1.7.2. Relazioni
tra rette e punti.
La p r o i e z i o n e d i u n p u n t o s u u n a r e t t a è un punto.
La d i s t a n z a t r a u n p u n t o e u n a r e t t a è il segmento perpendicolare condotto
dal punto alla retta.
Il segmento PH, appartenente alla perpendicolare a r passante per P, è la distanza di P dalla retta r
Dati nel piano n punti, a tre a tre non allineati, le rette che li congiungono due a due sono:
n (n - 1)/2. Per esempio dati nel piano 4 punti, a tre a tre non allineati, le rette che li uniscono
a due a due, sono:
2.2.1.7.3. Relazioni
tra rette e segmenti
Si dice p r o i e z i o n e d i u n s e g m e n t o AB s o p r a u n a r e t t a r, il segmento che
ha per estremi le proiezioni dei punti A e B sulla retta stessa.
La proiezione di un segmento su una retta è sempre minore o uguale al segmento, mai
maggiore di quest’ultimo.
In particolare la proiezione di un segmento su una retta può essere minore del segmento
dato solo se il segmento è obliquo rispetto alla retta.
Mentre la proiezione di un segmento su una retta può ridursi ad un punto, solo se il
segmento è perpendicolare alla retta.
Proiezione di un segmento su una retta
2.2.2. Semirette.
Si dice s e m i r e t t a la parte di retta costituita da un punto di essa, detto origine della
semiretta, e da tutti i punti che stanno dalla stessa parte rispetto all’origine. Dunque la semiretta
ha inizio ma non ha fine.
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113
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
Semiretta
Due semirette sono o p p o s t e se hanno la stessa origine e appartengono alla stessa retta.
2.2.3. Segmenti.
2.2.3.1. Nozione.
Il s e g m e n t o è la parte di retta delimitata da due punti, che si dicono estremi del
segmento. Uno dei due punti si dice o r i g i n e e l’altro t e r m i n e .
Segmento
Misurare la lunghezza di un segmento significa, confrontarla con la lunghezza di un altro
segmento, scelto come unità di misura, e determinare il numero che esprime quante volte la
lunghezza del segmento dato contiene l’unità di misura o un suo multiplo o un suo
sottomultiplo.
Il p u n t o m e d i o è il punto interno al segmento che lo divide in due parti congruenti.
M è il punto medio del segmento AB in quanto AM≅MB
Si dice a s s e d i u n s e g m e n t o la retta perpendicolare al segmento e passante per il
punto medio del segmento.
La retta r è l’asse del segmento AB in quanto è perpendicolare alla retta per AB e passa per il punto medio di AB.
2.2.3.2. Relazioni
tra segmenti.
Due segmenti sono c o n s e c u t i v i se hanno in comune soltanto un estremo.
Due segmenti sono a d i a c e n t i quando sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta.
AB e BC sono segmenti consecutivi; DE e EF sono segmenti adiacenti
I segmenti AB e BC sono consecutivi perché hanno in comune solo il punto B che è un estremo di entrambi; DE e FG non
sono consecutivi perché hanno in comune solo il punto F ma esso non è estremo del segmento DE; HI e LM non sono
consecutivi perché non hanno nessun punto in comune
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114
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
I segmenti AB e BC sono adiacenti perché hanno in comune solo l’estremo B e giacciono sulla stessa retta; i segmenti DE e
FG non sono adiacenti; i segmenti HI e LM non sono adiacenti.
Due segmenti sono u g u a l i o c o n g r u e n t i , quando, sovrapponendosi, gli estremi
dell’uno coincidono con gli estremi dell’altro.
Due segmenti sono c o i n c i d e n t i se hanno entrambi gli estremi in comune.
Due segmenti sono s o v r a p p o s t i se tutti i punti del primo appartengono al secondo.
Due segmenti sono i n c i d e n t i se hanno in comune un punto che non è un estremo. A
loro volta due segmenti incidenti, sono p e r p e n d i c o l a r i se intersecandosi formano
quattro angoli retti.
2.2.3.3. Operazione
con segmenti.
2.2.3.3.1. Somma di due segmenti.
La s o m m a d i d u e s e g m e n t i AB e CD è il segmento AD che si ottiene
trasportando con un movimento rigido il segmento CD in modo che AB e CD siano adiacenti,
con l’estremo B coincidente con C. Scriviamo AB + CD = AD , usando l’usuale simbolo di
addizione.
Il segmento AD è la somma dei segmenti AB e CD
2.2.3.3.2. Differenza
di due segmenti.
La d i f f e r e n z a d i d u e s e g m e n t i AB e CD, con AB>CD, è il segmento DB che si
ottiene sovrapponendo AB e CD facendo coincidere l’estremo A con l’estremo C. Scriviamo
AB – CD = DB.
Il segmento DB è la differenza tra i segmenti AB e CD
2.2.3.3.3. Multiplo di un segmento.
Il m u l t i p l o secondo m, numero naturale diverso da zero, d i u n s e g m e n t o AB è il
segmento AC che si ottiene sommando m volte il segmento AB.
In figura AC ≅ 3AB
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115
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
Se m=0, il multiplo secondo m di qualsiasi segmento AB è il segmento nullo, ove per
segmento nullo intendiamo un qualsiasi segmento in cui gli estremi coincidono, cioè il
segmento ridotto al solo punto A.
2.2.3.3.4. Sottomultiplo
di un segmento.
Il sottomultiplo secondo n, numero naturale diverso da 0, di un segmento AB è un
segmento AC tale che
segmento
. Si può anche scrivere
. In generale il
si ottiene dividendo AB in n parti uguali e ottenendo il segmento AD
e poi prendendo m segmenti congruenti ad AD.
Il segmento AC è congruente a di AB, cioè AC ≅ AB , infatti AB è stato diviso in 4 parti uguali e AC è costituito da 7 di
queste parti.
2.3. Angoli
2.3.1. Nozione.
Si dice a n g o l o ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi
l’origine in comune; le semirette si dicono l a t i dell’angolo; l’origine comune alle due
semirette si dice v e r t i c e dell’angolo.
Per indicare gli angoli si usano diverse convenzioni:
•
se si conoscono i nomi delle semirette che ne costituiscono i lati;
•
A B se si conoscono i nomi del vertice e di due punti sui lati;
•
α ,β ,γ ,... una lettera greca per indicare direttamente l’angolo.
Figura 1: Le semirette r e s, aventi l’origine V comune individuano due regioni del piano dette angolo
Si dice b i s e t t r i c e di un angolo la semiretta che ha origine nel vertice dell’angolo e che
divide l’angolo in due angoli congruenti. Dunque la bisettrice di un angolo è equidistante ai
lati dell’angolo, ed è interna all’angolo.
La semiretta c di origine O è la bisettrice dell’angolo
, sono congruenti gli angoli
e
.
2.3.2. Misurazione dell’ampiezza degli angoli.
Gli angoli si misurano in gradi sessagesimali.
Si chiama g r a d o s e s s a g e s i m a l e la trecentosessantesima parte dell’angolo giro,
ossia la novantesima parte di un angolo retto. Si indica con il simbolo °
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116
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
Il grado ha solo due sottomultipli:
m i n u t o p r i m o (o primo): sessantesima parte del grado. Pertanto sessanta
minuti formano un grado. Si indica con il simbolo ′;
m i n u t o s e c o n d o (o secondo): sessantesima parte del primo. Pertanto
sessanta secondi formano un primo, ed un grado è formato da 3600 secondi. Si
indica con il simbolo ′′.
Si ricordi che l’ampiezza degli angoli viene misurata con il g o n i o m e t r o
rapportatore.
2.3.2.1. Misura degli
o
angoli in forma normale
La misura di un angolo deve essere sempre espressa in forma
n o r m a l e cioè dobbiamo scriverla in questa forma:
gradi° primi′ secondi′′
dove g r a d i è un numero naturale;
p r i m i è numero naturale compreso tra 0 e 59;
mentre s e c o n d i deve essere un numero (anche decimale) minore o al più uguale
a 59
Vediamo un esempio di misura di un angolo espressa in forma normale ed uno che non lo
è:
102° 43′ 59′′
è espresso in forma normale perché rispetta le condizioni che abbiamo visto in precedenza!
102° 71′ 91′′
La precedente misura non è espressa in forma normale perché il numero che indica i primi
non è più piccolo di 60, e il numero che indica i secondi non è più piccolo di 60.
Che facciamo in questo caso? Impareremo a scrivere le misure degli angoli in forma
normale!
Partiamo da un esempio tramite il quale spiegheremo i passaggi da seguire per ridurre in
forma normale la misura di un angolo.
90° 99′ 88′′
Possiamo notare che la misura dell'ampiezza dell'angolo non rispetta le condizioni che
abbiamo imposto prima. Partiamo dai secondi, 88'' è un numero maggiore di 59, calcoliamo la
divisione intera per 60, in questo modo calcoleremo quanti primi ci sono in 88''.
Il resto 28′′ va sostituito al posto di 88′′. Il quoziente 1 è il numero di primi e va invece
sommato ai primi dell’angolo ottenendo 99′ + 1′ = 100′
90° 99′ +1′ 28′′ = 90° 100′ 28′′
Regola: se i secondi superano il valore 59'' allora si effettua la divisione per 60. Il
quoziente della divisione va sommato ai primi, mentre il resto è il nuovo valore dei secondi.
Attenzione, non abbiamo ancora concluso perché la misura non è ancora espressa in forma
normale. I primi superano 59 . Ok, possiamo quindi pensare di ripetere il ragionamento che
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
abbiamo utilizzato per i secondi! Dividiamo per 60 i primi così da determinare quanti gradi ci
stanno in 100'.
Il quoziente è il numero che andrà sommato ai gradi, mentre il resto è il valore da sostituire
nei primi:
90° 100′ 28′′ = 90° + 1° 40′ 28′′ = 91°40′ 28′′
Regola: Se i primi superano la cifra 59, effettuiamo la divisione intera per 60, il quoziente
è il numero che va sommato ai gradi, mentre il resto è il nuovo valore per i primi.
Un altro esempio
Vogliamo scrivere in forma normale 7201’’. Naturalmente i secondi hanno un valore molto
più grande 59, dividiamo quindi per 60, otterremo che il quoziente intero è 120′, mentre il
resto è 1′′, di conseguenza:
720′′= 120′′ 1′′
Per completare, dobbiamo scrivere in forma normale i primi. Dividiamo 120' per 60, al
quoziente associamo 2°, il resto invece è 0′.
720′′= 120′′ 1′′ = 2° 0’ 1’
2.3.2.1.1. E
se abbiamo a che fare con numeri decimali per i gradi e per i primi?
Ecco il procedimento per superare questo "piccolo scoglio".
Vogliamo esprimere in forma normale l'ampiezza dell'angolo:
120,523°
La parte intera, cioè 120°, saranno i gradi della forma normale.
Prendiamo in considerazione ora la parte decimale, 0,523°, moltiplichiamo per 60,
ottenendo: 0,523° 60 = 31,38′
Possiamo scrivere dunque:
120,523° = 120° 31,38′
Ancora non abbiamo finito, dobbiamo trasformare anche i primi seguendo lo stesso
procedimento, la parte intera dei primi, 31′, sarà quella da considerare nella forma normale.
Prendiamo in esame la parte decimale 0,38 e moltiplichiamo per 60, così da ottenere i
secondi: 0,38’ 60 = 22,8′′, in definitiva:
120,523° = 120° 31′ 22,8′′
Da questo esempio possiamo trarre la seguente regola: se i gradi sono numeri decimali
allora si prende per grado la parte intera (quello che sta prima della virgola). La parte
decimale invece verrà moltiplicata per 60, otterremo un nuovo numero, la sua parte intera sarà
il valore da associare ai primi, l'eventuale parte decimale invece verrà moltiplicata per 60 ed il
risultato saranno i secondi della misura dell'angolo espresso in forma normale.
2.3.2.2. Operazioni.
Si ricordi che per passare da gradi a primi o, da primi a secondi, bisogna moltiplicare per
60. Es.:
.
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118
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Geometria piana
Mentre per passare da secondi a primi o, da primi a gradi, bisogna dividere per 60. Es.:
2.3.2.2.1. Addizione
Per effettuare l’addizione dei gradi, si scrivono l’uno sotto l’altro, incolonnando le unità
dello stesso ordine. Si sommano quindi gli addendi, iniziando dall’ordine più basso e, dal
risultato ottenuto, si effettua l’eventuale riporto all’ordine superiore.
Si voglia eseguire l’addizione:
39°
64’
97”
A questo punto bisogna riportare il risultato, all’ordine superiore. Si procede in questo
modo:
97” = 1’ + 37”, quindi al posto dei minuti secondi si scrive 37” e al numero 64’ si aggiunge
1’, ottenendo 65’, che corrisponde a:
65’ = 1° + 5’, per cui in luogo di 65’ si scrive 5’ e al numero 39° si aggiunge 1°.
A operazione avvenuta si ha dunque:
39° 64’ 97” = 40° 5’ 37”
2.3.2.2.2. Sottrazione.
La sottrazione degli angoli si esegue in modo analogo all’addizione:
Se accade che un termine di un certo ordine del minuendo sia minore del corrispondente
termine del sottraendo, si dovrà trasformare un’unità dall’ordine immediatamente superiore
del minuendo in un’unità dell’ordine inferiore, rendendo così possibile la sottrazione.
Per comprendere il concetto, eseguiamo la seguente sottrazione:
Notiamo subito che non possiamo eseguire 6’ – 24’; occorre perciò aggiungere 60’, cioè un
1° e otteniamo 66’. Contemporaneamente togliamo 1° da 15°; ne rimangono 14°.
Pertanto la prima sottrazione indicata si trasforma in:
2.3.2.3. Moltiplicazione
di un angolo per un numero intero
Per moltiplicare un angolo per un numero interno dobbiamo moltiplicare separatamente i
gradi, i primi, e i secondi per il numero intero ed eventualmente ridurre in forma normale.
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119
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2.3.2.4. Divisione
Geometria piana
di un angolo per un numero intero positivo
Al fine di esplicitare il procedimento da adottare quando bisogna dividere un angolo per un
numero intero positivo, riportiamo alcuni esempi.
Esempio 1.
Vogliamo procedere alla seguente divisione:
44° 35’ 24” : 6
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120
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Geometria piana
Il risultato è dunque 7° 25’ 54’’
Esempio n. 2
Vogliamo effettuare questa divisione:
95° 12’ 40” : 8
Il risultato è dunque 11°54’ 5’’
2.3.3. Classificazioni.
2.3.3.1. In
relazione al fatto di contenere o meno i prolungamenti dei lati: concavo e
convesso.
Un angolo si dice c o n c a v o quando contiene al suo interno i prolungamenti dei suoi lati.
Un angolo si dice c o n v e s s o quando non contiene al suo interno i prolungamenti dei suoi
lati.
Angolo concavo e convesso
2.3.3.2. In
relazione alla loro ampiezza.
2.3.3.2.1. Nullo e giro.
Un angolo si dice n u l l o se è costituito solo da due semirette sovrapposte. Un angolo
n u l l o ha un’ampiezza uguale a zero gradi. L’angolo nullo ha i lati sovrapposti e non ha
punti interni, a differenza dell’angolo giro che ha i lati sovrapposti e contiene tutti i punti del
piano.
Un angolo si dice g i r o , se la sua ampiezza misura 360°. Affinché un angolo possa essere
giro è necessario sia concavo e che i suoi lati coincidano.
Angolo giro e nullo.
2.3.3.2.2. Retto.
Un angolo si dice r e t t o se la sua ampiezza misura 90° (ossia la metà di un angolo piatto).
L’angolo retto ha i lati perpendicolari.
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121
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Geometria piana
L’angolo retto è la metà di un angolo piatto: A B è piatto, A C ≅ C B sono retti.
2.3.3.2.3. Piatto
Un angolo si dice p i a t t o se i suoi lati sono uno il prolungamento dell’altro. In altri
termini i lati dell’angolo piatto sono semirette opposte.
Un angolo piatto misura 180°.
Angolo piatto
2.3.3.2.4. Uguali.
Due angoli sono u g u a l i quando, sovrapponendoli, i lati dell’uno coincidono con i lati
dell’altro. Ossia quando hanno la stessa ampiezza.
2.3.3.3. In
relazione alla loro ampiezza rispetto a quella di un angolo retto: acuti e ottusi
Un angolo si a c u t o se è di ampiezza minore dell’angolo retto (minore di 90°).
Un angolo si o t t u s o invece se è di ampiezza maggiore di un angolo retto, ma minore di
un angolo piatto (più di 90° e meno 180°). Dunque un angolo acuto è sempre minore di un
angolo ottuso.
L’angolo acuto è minore di un angolo retto, l’angolo ottuso è maggiore di un angolo retto.
2.3.3.4. In
relazione alla loro posizione reciproca.
2.3.3.4.1. Consecutivi
e adiacenti
Due angoli sono c o n s e c u t i v i se hanno il vertice e un lato comune e giacciono da parte
opposta rispetto al lato comune.
Due angoli sono a d i a c e n t i se sono consecutivi e se i lati non comuni giacciono sulla
stessa retta.
Gli angoli α e β sono consecutivi; gli angoli γ e δ sono adiacenti
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122
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Geometria piana
Nella figura gli angoli
e
sono consecutivi perché hanno il vertice e il lato b in comune;
e
non sono
consecutivi perché non hanno il vertice in comune;
e
non sono consecutivi perché non giacciono da parti opposte
rispetto al lato in comune a”.
I due angoli
e
sono adiacenti, perché sono consecutivi e i lati a e c sono uno il prolungamento dell’altro; i due angoli
ed
non sono adiacenti in quanto d non è il prolungamento di f; gli angoli
e
sono adiacenti in quanto f è il
prolungamento di e.
Le bisettrici di due angoli adiacenti sono perpendicolari.
2.3.3.4.2. Opposti
al vertice.
Due angoli sono o p p o s t i a l v e r t i c e quando i lati dell’uno sono il prolungamento
dei lati dell’altro. Essi sono uguali e congruenti.
Gli angoli formati dalle semirette a sinistra sono opposti al vertice; gli angoli formati dalle semirette a destra non lo sono.
2.3.3.5. In
relazione al valore della loro somma.
2.3.3.5.1. Complementari
Due angoli sono c o m p l e m e n t a r i quando la loro somma è uguale a un angolo retto
(90°).
Gli angoli A C e C B sono complementari perché la loro somma è l’angolo retto A B.
Il complementare di un angolo acuto è un altro angolo acuto.
2.3.3.5.2. Supplementari
Due angoli sono s u p p l e m e n t a r i quando la loro somma è uguale a un angolo piatto
(180°).
Gli angoli A C e C B sono supplementari perché la loro somma dà l’angolo piatto A B.
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123
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
Il supplementare di un angolo ottuso è un angolo acuto e viceversa.
2.3.3.5.3. Esplementari.
Due angoli sono e s p l e m e n t a r i quando la loro somma è uguale a un angolo giro
(360°).
Gli angoli A C e C A sono esplementari perché la loro somma è l’angolo giro.
2.3.4. Particolari relazioni.
2.3.4.1. Somme.
La somma di un angolo retto e un angolo acuto è un angolo ottuso. La somma di un angolo
retto e un angolo ottuso è un angolo concavo.
2.3.4.2. Differenze.
La differenza di un angolo ottuso e un angolo retto è un angolo acuto.
La differenza di un angolo retto e un angolo acuto è un angolo acuto.
La differenza di due angoli retti è un angolo nullo.
La differenza di due angoli piatti è un angolo nullo.
2.3.4.3. Semiampiezza.
La meta di un angolo acuto è un angolo acuto.
La metà di un angolo ottuso è un angolo acuto.
La metà di un angolo retto è un angolo acuto.
2.4. Poliganali e Poligoni
2.4.1. Poligonali.
Si chiama s p e z z a t a una figura formata da una sequenza ordinata di segmenti uno
consecutivo all’altro.
I segmenti che formano la spezzata si chiamano l a t i , gli estremi dei segmenti si chiamano
vertici.
Ogni vertice è quindi in comune a due lati, ad eccezione del primo vertice del primo
segmento e dell’ultimo vertice dell’ultimo segmento che possono appartenere a un solo
segmento.
La linea ABCDE è una spezzata, perché formata da segmenti consecutivi. I segmenti AB, BC, CD, DE sono i lati della
spezzata, i punti A, B, C, D, E sono i vertici.
Una spezzata si dice c h i u s a se il primo estremo del primo segmento coincide con
l’ultimo estremo dell’ultimo segmento; si dice a p e r t a se il primo estremo e l’ultimo
estremo sono distinti.
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124
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Geometria piana
Le figure F1 e F2 sono spezzate aperte in quanto hanno il primo e l’ultimo vertice che non coincidono; Le figure F3 e F4
sono spezzate chiuse in quanto tutti i vertici appartengono a due lati consecutivi.
Una spezzata si dice i n t r e c c i a t a se almeno due suoi lati si intersecano in punti diversi
dagli estremi; Si dice s e m p l i c e o n o n i n t r e c c i a t a se ogni coppia di lati non
consecutivi non a punti in comune.
La figura F1 è un spezzata aperta intrecciata (gli estremi A e D non coincidono, i lati CD e AB si intersecano); la figura F2 è
una spezzata chiusa intrecciata (ogni vertice è in comune a due lati, i lati AB e DE si intersecano); la figura F3 è una
spezzata aperta semplice (gli estremi A ed F non coincidono, non ci sono lati non consecutivi che si intersecano); la figura
F4 è una spezzata chiusa semplice (ogni vertice è in comune a due lati, non ci sono lati non consecutivi che si intersecano).
Si chiama p o l i g o n a l e una spezzata chiusa non intrecciata.
2.4.2. Poligoni.
2.4.2.1. Nozione.
Si chiama p o l i g o n o la figura formata da una poligonale e dalla parte finita di piano da
essa delimitata.
Il poligono può essere:
c o n v e s s o : se è una figura convessa, cioè se il segmento che ha per estremi due
suoi punti qualsiasi è interamente contenuto nel poligono12;
c o n c a v o : se è una figura concavo, cioè se esistono almeno due punti per i quali
il segmento che li unisce non è contenuto interamente nel poligono13.
Il poligono P1 è convesso perché comunque si prendono due suoi punti interni, il segmento che li unisce è interno al
poligono; il poligono P2 è concavo perché il segmento AB cade in parte all’esterno del poligono.
Nel seguito quando parleremo di poligoni intendiamo sempre poligoni convessi.
In un poligono chiamiamo:
12
13
È chiaro che un poligono è convesso se ogni angolo interno è convesso
È chiaro che un poligono è concavo se ha almeno un angolo interno concavo.
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125
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Geometria piana
l a t i (l) del poligono i lati della poligonale. In ogni poligono ciascun lati è minore
della somma dei rimanenti;
Esempio
Tre lati di un quadrilatero misurano rispettivamente 88, 5, 34 cm. Il quarto lato potrà
misurare cm…
a) 126
b) 127
c) 137
d) 143
Per risolvere l’esercizio basta quindi trovare tra le risposte il valore che è minore della somma
dei lati dati. La somma dei tre lati dati è 88+5+34=127
Dunque la risposta corretta A ossia 126, in quanto nelle altre risposte sono indicati valori
uguali o superiori a 127
v e r t i c i : i vertici della poligonale;
c o n t o r n o : del poligono la poligonale stessa;
p e r i m e t r o : del poligono la somma dei lati (ossia il segmento che si ottiene
sommando tutti i lati);
p u n t i i n t e r n i : i punti del poligono non situati sul contorno;
p u n t i e s t e r n i : tutti i punti del piano che non sono interni e non appartengono
al contorno;
c o r d e d e l p o l i g o n o : ogni segmento che unisce due qualsiasi punti del
contorno del poligono che non appartengono allo stesso lato.
d i a g o n a l i (d): ogni corda che unisce due vertici non consecutivi14. Il numero
delle diagonali di un poligono di n lati si determina con la formula:
;
Esempio
Quante sono le diagonali di un poligono con 80 vertici?
Il segmento AB è una diagonale del poligono poiché unisce i vertici non consecutivi A e B; il segmento DC è una corda
poiché unisce due punti posti su due lati distinti del poligono
14
Si ricordi che l’unico poligono a non avere diagonali è il triangolo.
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126
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2.4.2.2. Angoli
Geometria piana
interni ed esterni.
Sono chiamati a n g o l i i n t e r n i o a n g o l i d e l p o l i g o n o ognuno degli angoli
che ha per lati le semirette che contengono due lati consecutivi del poligono e ha per vertice il
vertice del poligono in comune a quei due lati.
Sono chiamati a n g o l i e s t e r n i ciascun angolo adiacente ad un angolo interno. Si
ricordi inoltre che in un poligono ogni angolo esterno è sempre il supplementare del suo
angolo interno.
Nella figura a sinistra sono indicati gli angoli interni al poligono, nella figura di destra sono indicati gli angoli esterni,
ognuno di essi è adiacente a un angolo interno.
Si osservi che per ogni angolo interno esistono due angoli esterni, congruenti tra di loro
perché opposti al vertice, ovvero perché supplementari dello stesso angolo.
Ogni angolo interno ha due angoli esterni adiacenti ad esso
La s o m m a d e g l i a n g o l i i n t e r n i di ogni poligono convesso è uguale a tanti
angoli piatti, quanti sono i suoi lati (n), meno due:
.
Esempio
Qual è la somma degli angoli interni di un poligono con 21 lati?
Dunque per calcolare il numero degli angoli, conoscendo la somma degli angoli interni,
bisogna applicare la formula inversa della formula precedente:
Esempio
Se la somma degli angoli interni di un poligono è di 1080°, quanti angoli ha il poligono?
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127
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Geometria piana
La s o m m a d e g l i a n g o l i e s t e r n i del poligono convesso uguaglia due angoli
piatti (cioè 360°), qualunque sia il numero dei lati15.
2.4.2.3. Classificazioni.
2.4.2.3.1. In
base alle caratteristiche dei lati e degli angoli
Un poligono a seconda delle caratteristiche dei suoi lati e due suoi angoli si dice:
e q u i l a t e r o : se ha tutti i lati uguali (es. rombo);
e q u i a n g o l o : se ha tutti gli angoli uguali (es. rettangolo);
r e g o l a r e : quando tutti i suoi lati e tutti i suoi angoli sono uguali, cioè se
equilatero e equiangolo (es. i triangolo equilatero è il quadrato). Esempi di poligoni
regolari sono il triangolo equilatero ed il quadrato. È chiaro che tutti i poligoni
regolari sono sempre convessi;
i r r e g o l a r e : se non è regolare. Esempi di poligoni irregolari sono il rombo
generico (i lati sono uguali, gli angoli no), il rettangolo generico (gli angoli sono
uguali, i lati no) ed il trapezio.
2.4.2.3.2. In
base al numero dei lati.
N° lati
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Nome
Triangolo
Quadrilatero
Pentagono
Esagono
Ettagono
Ottagono
Ennagono
Decagono
Endecagono
Dodecagono
Tridecagono
Tetradecagono
Pentadecagono
Esadecagono
Eptadecagono
Ottadecagono
Ennadecagono
Icosagono
2.4.2.4. Poligono
regolari.
2.4.2.4.1. Perimetro.
Il perimetro di un poligono regolare si trova moltiplicando la misura del lato per il numero
dei lati. Es. nel pentagono il perimetro sarà uguale a:
. È dunque il lato sarà:
15
Mentre la somma degli angoli interni ed esterni di un poligono di n lati si determina moltiplicando il numero
dei lati per la misura di un angolo piatto:
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128
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Geometria piana
2.4.2.4.2. Somma
degli angoli interni di un poligono regolare.
La somma degli angoli interni di un poligono regolare si ottiene moltiplicando 180° per il
numero dei lati (n) e sottraendo 360°, cioè la somma degli angoli esterni:
.
2.4.2.4.3. Apotema.
L’a p o t e m a è la distanza di ciascun lato del poligono con il centro della circonferenza e
coincide con il raggio della circonferenza inscrivibile nel poligono. Risulta essere una
proprietà specifica di ciascun poligono regolare.
Tanto è vero che ogni poligono regolare il rapporto tra l’apotema e il lato e numero
costante. Pertanto l’apotema si trova moltiplicando la misura del lato per il numero fisso:
Pentagono
Esagono
Ottagono
Decagono
ap/l = 0,688
ap/l = 0,866
ap/l = 1,207
ap/l = 1,539
2.4.2.4.4. L’area.
L’area di un poligono regolare si trova moltiplicando il perimetro per l’apotema e
dividendo il prodotto per due. Pertanto:
2.4.2.5. Poligoni
inscritti e circoscritti.
Il centro della circonferenza inscritta e circoscritta a un poligono regolare è detto c e n t r o
del poligono.
2.4.2.5.1. Poligoni
inscritti.
Un poligono è i n s c r i t t o in una circonferenza quando tutti i suoi vertici toccano
interamente la circonferenza.
I vertici di ogni poligono iscritto sono equidistanti dal centro.
Il raggio della circonferenza circoscritta è detto r a g g i o d e l p o l i g o n o r e g o l a r e .
Il c i r c o c e n t r o 16 di un poligono inscritto in una circonferenza è il centro della
circonferenza inscritta.
Se un poligono è inscritto in una circonferenza, tutti i suoi angoli interni sono angoli alla
circonferenza17.
Poligono inscritto.
2.4.2.5.2. Poligoni
circoscritti.
Un poligono è c i r c o s c r i t t o a una circonferenza quando tutti i suoi lati toccano
esternamente la circonferenza.
I lati di ogni poligono circoscritto a una circonferenza sono equidistanti dal centro.
16
Il c i r c o c e n t r o è il punto di incontro degli assi di simmetria dei lati.
Si chiama a n g o l o a l l a c i r c o n f e r e n z a un angolo con il vertice su una circonferenza e i lati o
entrambi secanti, o uno secante e l’altro tangente alla circonferenza.
17
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129
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Geometria piana
Ogni poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente al triangolo avente per base il
perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza.
Si ricordi che il raggio della circonferenza inscritta corrisponde all’apotema del poligono
regolare, perché partendo dal vertice tocca tutti i vertici.
Poligono circoscritto
2.4.2.5.2.1. L’area
del poligono circoscritto.
Dato che, come evidenziato in precedenza, l’apotema coincide con il raggio (r) della
circonferenza inscrivibile nel poligono, allora avremo che:
2.4.2.6. Poligoni
simili.
A riguardo si ricordi due poligoni sono simili se hanno lo stesso numero di lati, gli angoli
corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti proporzionali.
2.4.2.7. Poligoni
equicomposti.
Due poligoni sono e q u i c o m p o s t i o e q u i s c o m p o n i b i l i quando possono essere
divisi in uno stesso numero di poligoni rispettivamente uguali.
In particolare un poligono regolare di n lati si può scomporre in triangoli fra loro
congruenti in numero uguale al numero dei lati.
2.5. Triangoli
2.5.1. Nozione.
Per t r i a n g o l o si intende quella parte del piano delimitata da una poligonale chiusa,
costruita congiungendo tre punti distinti, detti v e r t i c i , con tre segmenti, che prendono il
nome di l a t i . In un triangolo, oltre ai lati e ai vertici, si distinguono i seguenti elementi:
a l t e z z a ( relativa a quel vertice o altezza relativa a quel lato): il segmento di
perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto .Poiché il triangolo ha tre lati,
avrà in tutto tre altezze18;
Altezze di un triangolo
18
In un triangolo scaleno le tre altezze sono diverse tra loro. In un triangolo isoscele due hanno la stessa misura.
In un triangolo equilatero le tre altezze hanno la stessa misura. In un triangolo rettangolo le due altezze
coincidono con i cateti. La somma dell’altezze di un triangolo è sempre minore del perimetro.
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130
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Geometria piana
b a s e : è uno qualsiasi dei suoi lati;
b i s e t t r i c e : il segmento che biseca l’angolo (di un dato vertice) e termina nel
lato opposto. Quindi ogni triangolo possiede tre bisettrici. In un triangolo isoscele
la bisettrice condotta per il vertice opposto alla base coincide con l'altezza e la
mediana condotte per quel vertice;
Bisettrici di un triangolo
m e d i a n a : il segmento che uscendo dal vertice divide il lato opposto in due parti
uguali. In altri termini, si chiama mediana qualunque il segmento che unisce il
punto medio del lato con il vertice opposto. Quindi ogni triangolo ha tre mediane.
Al riguardo si ricordi che:
o un triangolo isoscele ha due mediane tra loro congruenti;
o se in un triangolo l'altezza e la mediana relativa a uno stesso lato
coincidono, allora il triangolo è isoscele o equilatero;
o in un triangolo rettangolo la misura della mediana relativa all'ipotenusa è
uguale alla metà della misura dell'ipotenusa;
Mediane di un triangolo
a s s e : l’asse di un lato è il segmento di perpendicolare passante per il suo punto
medio. Quindi ogni triangolo ha tre assi. Si ricordi che l’asse viene detto d i
s i m m e t r i a quando divide la figura in due parti uguali.
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131
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
Al riguardo si ricordi che:
in ogni triangolo la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale a
180° (piatto). Dunque la somma di due angoli interni è sempre minore di un angolo
piatto;
in ogni triangolo la somma degli angoli esterni di un triangolo è sempre uguale a
360° (giro);
in ogni triangolo ciascun angolo esterno è congruente alla somma degli angoli
interni ad esso non adiacenti;
in ogni triangolo ciascun angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli
interni non adiacenti;
in ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e sempre
maggiore della differenza;
ogni triangolo è equivalente a metà di parallelogramma avente stessa base e stesse
altezza del triangolo.
2.5.2. I punti notevoli.
Al riguardo si ricordi innanzitutto che nel triangolo equilatero ortocentro, incentro e
baricentro si incontrano nello stesso punto.
2.5.2.1. Ortocentro.
Il punto di incontro delle tre a l t e z z e si dice o r t o c e n t r o .
In un triangolo acutangolo l’ortocentro è interno al triangolo.
Mentre in un triangolo ottusangolo l’ortocentro è esterno al triangolo.
In un triangolo rettangolo l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto (in quanto
due altezze coincidono con i cateti).
Ortocentro
2.5.2.2. Incentro.
Il punto di incontro delle tre b i s e t t r i c i prende il nome i n c e n t r o .
L’incentro è sempre equidistante dai tre lati.
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132
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Geometria piana
L’incentro è sempre interno al triangolo.
L’incentro è anche il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.
Incentro
2.5.2.3. Baricentro
o centroide.
Il punto di incontro delle tre m e d i a n e prende il nome di b a r i c e n t r o
centroide.
o
Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti tali che quella compresa tra il vertice e il
baricentro è doppio dell’altra.
Si ricordi inoltre che il baricentro (al pari dell’incentro) è sempre interno al triangolo.
Baricentro
2.5.2.4. Circocentro.
Il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo si chiama c i r c o c e n t r o .
Il circocentro è sempre equidistante dai vertici.
In un triangolo ottusangolo il circocentro è sempre esterno al triangolo.
In un triangolo acutangolo il circocentro è interno.
In un triangolo rettangolo il circocentro coincide con il punto medio dell’ipotenusa.
Circoncentro
Il circocentro è anche il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.
2.5.2.5. Excentro
L’e x c e n t r o di un triangolo è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni del
triangolo e la bisettrice dell’angolo interno non adiacente ad essi.
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133
Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
Excentro
2.5.3. Classificazioni.
2.5.3.1. In
base ai lati.
Un triangolo, in base ai lati, può essere equilatero, isoscele o scaleno.
2.5.3.1.1. Equilatero
Un triangolo è e q u i l a t e r o , se ha i tre lati e i tre angoli uguali. È chiaro pertanto che
l’ampiezza di ciascuno degli angoli di un triangolo equilatero è 60°.
Triangolo equilatero.
Congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo equilatero,
al suo interno si ottengono quattro triangoli equilateri più piccoli
Ricordate che tra tutti i tipi di triangoli solo quello equilatero è
un poligono regolare, in quanto ha tutti gli angoli e i lati uguali;
Ricordate inoltre che in un triangolo equilatero tutti i punti
notevoli coincidono
In un triangolo equilatero l’altezza, la bisettrice e la mediana rispetto a qualsiasi lato
coincidono. Si ricordi inoltre che il triangolo equilatero ammette tre assi di simmetria.
Le tre altezze di un triangolo equilatero, che sono anche mediane, assi e bisettrici, sono assi di simmetria del triangolo e il
punto O in cui si incontrano è il centro della circonferenza inscritta (incentro) e circoscritta (circocentro).
2.5.3.1.2. Isoscele.
Un triangolo è i s o s c e l e se ha solo due lati uguali.
Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono sempre acuti (ossia minore di 90° gradi)i
e congruenti (ossia di uguale ampiezza).
In un triangolo isoscele la bisettrice condotta per il vertice opposto alla base coincide con
l'altezza e la mediana condotte per quel vertice
In un triangolo isoscele, l’angolo al vertice può essere sia, acuto, sia ottuso, che retto.
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134
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Geometria piana
Il triangolo isoscele possiede un solo asse di simmetria.
Si ricordi che un triangolo isoscele può essere contemporaneamente anche rettangolo se gli
angoli interni misurano 45°, 45° e 90°
Triangolo isoscele.
2.5.3.1.3. Scaleno
Un triangolo è s c a l e n o se ha i tre lati disuguali.
Ricordate che se un triangolo ha due angoli disuguali, all'angolo maggiore sta opposto il
lato maggiore.
Triangolo scaleno
2.5.3.2. In
base agli angoli.
Un triangolo, in base agli angoli, può essere rettangolo, acutangolo e ottusangolo.
2.5.3.2.1. Rettangolo.
Un triangolo è r e t t a n g o l o se ha un angolo retto19. Gli altri due angoli sono acuti e
complementari.
I lati che comprendono l’angolo retto si dicono c a t e t i ed il lato opposto all’angolo retto
si dice i p o t e n u s a . L’ipotenusa è sempre maggiore di ciascun cateto.
Se in un triangolo rettangolo un cateto è congruente a metà ipotenusa, allora si può
concludere che un angolo interno del triangolo è di 60°
Un t r i a n g o l o r e t t a n g o l o i s o s c e l e ha i cateti uguali. È chiaro quindi che
quando un triangolo rettangolo è anche isoscele, allora rappresenta la metà di un quadrato.
19
Al riguardo è chiaro che non potrà mai esistere un triangolo con due angoli retti, in quanto la somma dei tre
angoli interni deve corrispondere a 180° e nessuno dei tre può essere un angolo nullo.
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
Triangolo rettangolo
2.5.3.2.2. Acutangolo.
Un triangolo è a c u t a n g o l o se ha tutti gli angoli acuti.
Triangolo acutangolo
2.5.3.2.3. Ottusangolo.
Un triangolo è o t t u s a n g o l o se ha un angolo ottuso.
Triangolo ottusangolo
2.5.4. Il perimetro.
Il p e r i m e t r o del triangolo si trova sommando le misure dei tre lati. Pertanto
;
;
;
.
2.5.5. L’area.
2.5.5.1. Formula
generale.
L’a r e a d i u n t r i a n g o l o q u a l s i a s i si ottiene moltiplicando la misura di un lato
(base) per quella dell’altezza ad esso relativa e dividendo per 2 il risultato ottenuto. Ossia:
2.5.5.2. Formula per
il triangolo rettangolo.
L’area del triangolo rettangolo è data dal semiprodotto dei due cateti :
2.5.5.3. Formula per
il triangolo rettangolo isoscele.
L’area del triangolo rettangolo isoscele è uguale al semiquadrato del lato:
2.5.5.4. Formula per
il triangolo equilatero.
L’altezza di un triangolo equilatero è cateto di un triangolo rettangolo, avente per
ipotenusa il lato (l) e per altro cateto metà del lato (l/2).
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Geometria piana
Triangolo equilatero
Pertanto applicando il teorema di Pitagora, abbiamo:
Dunque l’a r e a d i u n t r i a n g o l o e q u i l a t e r o può essere anche calcolata con
seguente formula:
ma essendo tutti i lati uguali possiamo anche scrivere
. Ora sostituendo h con la
formula di cui sopra avremo:
2.5.5.5. Formula di
Erone.
Attraverso la f o r m u l a d i E r o n e , è possibile calcolare l’area di un triangolo quando
sono note le misure dei lati. In particolare secondo tale formula l’area si ottiene estraendo la
radice quadrata dal prodotto del suo semiperimetro per le differenze fra il semiperimetro e
ciascuno dei tre lati:
ponendo
(semiperimetro) si ottiene:
2.5.6. Il teorema di Pitagora.
Il t e o r e m a d i P i t a g o r a afferma che la somma dei quadrati dei due numeri che
esprimono la lunghezza dei cateti è uguale al quadrato del numero che da la lunghezza
dell’ipotenusa.
In altri termini secondo il teorema di Pitagora in ogni triangolo rettangolo, l’area del
quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui
cateti.
Pertanto:
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
la misura dell’ipotenusa c di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice
quadrata della somma dei quadrati delle misure dei due cateti a e b: c a 2 b 2 ;
la misura del cateto b di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice
quadrata della differenza fra il quadrato della misura dell’ipotenusa c e il quadrato
della misura del cateto a: b c 2 a 2 ;
la misura del cateto a di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice
quadrata della differenza fra il quadrato della misura dell’ipotenusa c e il quadrato
della misura del cateto b: a c 2 b 2 .
Si ricordi inoltre che l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo, noti i due
cateti a e b di e l’ipotenusa c: si calcola con la seguente formula:
2.5.6.1. Generalizzazioni
del teorema di Pitagora.
Operando una generalizzazione del teorema di Pitagora si può affermare che “In un
triangolo rettangolo il poligono regolare di n lati costruito sull’ipotenusa è equivalente alla
somma dei poligoni regolari di n lati costruiti sui due cateti”.
Oppure si può affermare che “In ogni triangolo rettangolo, l’area del semicerchio costruito
sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei semicerchi costruiti sui cateti”.
2.5.6.2. Le terne pitagoriche.
Quando tre numeri soddisfano il teorema di Pitagora vengono detti “t e r n a
p i t a g o r i c a ”. In particolare per terna pitagorica si intende una terna di numeri a, b e c, con
a > b > c, per i quali è valida la relazione a2 = b2 + c2.
La prima terna è costituita dai numeri 3, 4 e 5. Considerando i tre numeri come le misure
dei lati di un triangolo rettangolo, se 3 e 4 sono le misure dei cateti, l’ipotenusa sarà
sicuramente 5. Infatti applicando il teorema di Pitagora:
ipotenusa2 = cateto2 + cateto2;
cioè ipotenusa2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
da cui ipotenusa è
Le altre terne base si ottengono chiaramente, moltiplicando i singoli numeri della prima
terna
per due, per tre, per quattro e così via:
;
;
Una terna pitagorica si dice p r i m i t i v a quando i suoi termini sono numeri primi tra loro
Una terna pitagorica si dice d e r i v a t a quando i suoi termini non sono numeri primi fra
loro:
2.5.7. Relazioni fra triangoli e circonferenze.
Per quanto attiene le relazioni fra i triangoli e le circonferenze si ricordi:
ogni triangolo è inscrivibile ad una circonferenza, in quanto per tre punti non
allineati passa sempre una e una sola circonferenza;
ogni triangolo iscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo in cui
l’ipotenusa è uguale al diametro;
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Geometria piana
in un triangolo rettangolo la somma delle misure dei cateti è uguale alla somma tra
la misura dell’ipotenusa e il diametro del cerchio iscritto.
2.5.8. I criteri di similitudine dei triangoli.
In geometria, i c r i t e r i d i s i m i l i t u d i n e d e i t r i a n g o l i sono dei teoremi
tramite i quali è possibile dimostrare la similitudine fra triangoli, nel caso alcuni loro angoli o
lati siano congruenti o proporzionali
Esistono alcuni criteri che permettono di determinare se due triangoli sono simili:
1. due triangoli sono simili se hanno i due angoli ordinatamente uguali20 (di
conseguenza avranno uguale anche il terzo angolo).
2. due triangoli sono simili se un angolo di uno di essi è uguale ad un angolo dell’altro
e se sono proporzionali i lati che li comprendono;
3. due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali.
2.5.9. I criteri di congruenza dei triangoli.
In geometria, i c r i t e r i d i c o n g r u e n z a d e i t r i a n g o l i sono dei teoremi tramite
i quali è possibile dimostrare la congruenza fra triangoli, nel caso alcuni loro angoli o lati
siano congruenti. I criteri di congruenza sono tre.
1. due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente due lati e l’angolo fra essi
compreso congruenti;
2. due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente un lato ed i due angoli ad
esso adiacenti congruenti;
3. due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente tutti i lati congruenti
2.5.9.1. Nel
caso dei triangoli rettangoli.
Nel caso dei triangoli rettangoli, un angolo è sempre noto: quello retto. In più, grazie al
teorema di Pitagora, avendo due lati è sempre possibile determinare il terzo. Di conseguenza, i
tre criteri possono essere semplificati:
1. due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno due cateti congruenti;
2. due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno uno degli angoli acuti e
l’ipotenusa, oppure un cateto, congruenti;
20
Corollari: I) una retta parallela ad un lato di un triangolo stacca dal triangolo un triangolo simile a quello dato;
II) due triangoli isosceli aventi uguale l’angolo al vertice o uno di quelli alla base, sono simili; III) due triangoli
rettangoli aventi uguale un angolo acuto sono simili.
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139
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Geometria piana
3. due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno un cateto e l’ipotenusa
congruenti.
2.5.10. Triangoli equicomposti e figure equicomposte di triangoli.
Congiungendo tra loro i punti medi dei lati di un triangolo equilatero, questo risulta
scomposto in quattro triangoli equilateri congruenti tra loro.
Congiungendo tra loro i punti medi dei lati un triangolo isoscele si ottiene un triangolo
isoscele.
Congiungendo un punto qualunque dell’asse di un segmento con i suoi estremi si ottiene
sempre un triangolo isoscele.
I triangoli che si ottengono tracciando l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo
rettangolo sono sempre rettangoli.
I triangoli che si ottengono tracciando l’altezza relativa alla base di un triangolo isoscele
sono sempre rettangoli
I triangoli che si ottengono disegnando le diagonali di un rombo sono sempre rettangoli.
I triangoli che si ottengono tracciando una diagonale di un rettangolo sono sempre
rettangoli.
2.6. Quadrilateri
2.6.1. Introduzione.
Dicesi q u a d r i l a t e r o o anche quadrangolo un poligono avente quattro lati e quattro
angoli. Tutti i quadrilateri hanno quattro vertici e quattro angoli interni; la somma delle
ampiezze degli angoli interni di ogni quadrilatero convesso è uguale a 360°. Ogni quadrilatero
convesso possiede due diagonali, in quanto da ogni vertice si può condurre una sola diagonale
Quando il quadrilatero ha solo due lati opposti paralleli, allora è chiamato trapezio. Mentre
è detto parallelogramma quando ha tutti i lati opposti paralleli.
A sua volta:
un parallelogramma con i quattro lati congruenti è un rombo;
un parallelogramma che ha i quattro angoli interni congruenti (e quindi retti) è un
rettangolo;
un parallelogramma per il quale sono congruenti sia i lati che gli angoli interni (e
che quindi è sia un rombo che un rettangolo) è un quadrato.
Visualizzando i concetti appena esposti con l’ausilio dell’insiemistica, avremo che
l’insieme dei quadrilateri contiene l’insieme dei parallelogrammi e l’insieme dei trapezi. A
sua volta l’insieme dei parallelogrammi contiene l’insieme dei rettangoli, l’insieme dei rombi,
e l’insieme dei quadrati.
In particolare quest’ultimo insieme (quello dei quadrati) è formato dall’intersezione
dell’insieme dei rettangoli con l’insieme dei rombi, siccome ogni quadrato, come evidenziato
in precedenza, possiede, sia le caratteristiche di un rettangolo (in quanto ha i quattro angoli
interni congruenti e quindi retti), sia le caratteristiche di un rombo (in quanto ha tutti i lati
congruenti).
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140
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Geometria piana
Quadrilateri
Parallelogrammi
Rettangoli
Quadrati
Rombi
Trapezi
2.6.1.1. L’area dei
quadrilateri avente le diagonali perpendicolari.
L’a r e a d i u n q u a d r i l a t e r o a v e n t e l e d i a g o n a l i p e r p e n d i c o l a r i si
ottiene moltiplicando la misura delle diagonali e dividendo per due il prodotto ottenuto.
Pertanto:
2.6.2. Trapezio.
Il t r a p e z i o è un quadrilatero con due soli21 lati mutuamente paralleli. Questi due lati
sono necessariamente opposti e vengono chiamati b a s i del trapezio (in particolare base
maggiore e base minore); gli altri due lati vengono detti l a t i o b l i q u i del trapezio; la
distanza fra i due lati paralleli, lunghezza di ogni segmento che collega le basi o i loro
prolungamenti, ed è loro ortogonale, si dice a l t e z z a del trapezio.
In ogni trapezio sono supplementari gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo.
2.6.2.1. Classificazione
Esistono vari tipi di trapezi.
2.6.2.1.1. Rettangolo.
Si dice t r a p e z i o r e t t a n g o l o un trapezio per il quale i due angoli adiacenti ad un
lato obliquo sono angoli congruenti e quindi retti.
In altri termini un trapezio è rettangolo s e
perpendicolare alle basi.
ha
un
lato
obliquo
e
uno
Si ricordi che il trapezio rettangolo non possiede nessun asse di simmetria.
Trapezio rettangolo
21
In quanto nel caso in cui anche i due lati restanti (opposti) siano paralleli si ha un parallelogramma.
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141
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Geometria piana
2.6.2.1.2. Isoscele.
Si dice t r a p e z i o i s o s c e l e un trapezio per il quale i due angoli adiacenti a una base
sono congruenti (in questo caso sono congruenti anche i due angoli corrispondenti all’altra
base).
In altri termini un trapezio è isoscele s e h a d u e l a t i o b l i q u i u g u a l i .
Le diagonali del trapezio isoscele sono congruenti.
Un trapezio isoscele è circoscrittibile a una circonferenza quando il lato obliquo è uguale
alla semisomma delle basi. In un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza l’altezza è
congruente al diametro.
Si ricordi che il trapezio isoscele possiede un solo asse di simmetria.
Trapezio isoscele.
2.6.2.1.3. Scaleno.
Si dice t r a p e z i o s c a l e n o un trapezio che ha i lati obliqui disuguali.
Trapezio scaleno
2.6.2.2. Perimetro.
Il perimetro del trapezio si trova facendo la somma delle misure dei lati:
2.6.2.3. Area.
L’area del trapezio si può calcolare come il prodotto della semisomma delle lunghezze
delle due basi per l’altezza22. Pertanto:
2.6.3. Parallelogrammi.
2.6.3.1. Nozione.
In geometria un p a r a l l e l o g r a m m a è un quadrilatero nel quale tutti i lati opposti (e
non solo due come nei trapezi) sono paralleli.
In un parallelogramma distinguiamo: la b a s e che può essere considerato uno qualunque
dei lati; l’a l t e z z a che è la distanza tra il lato considerato quale base e il lato opposto
parallelo.
Ogni parallelogramma presenta le seguenti proprietà:
22
Infatti tale area è uguale a quella del triangolo ottenuto prolungando una base con un segmento congruente
all’altra base e tracciando un lato tra il vertice opposto al vertice ora all’interno della nuova base e la nuova
estremità di tale base (la cui lunghezza è la somma delle lunghezze delle due basi).
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142
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Geometria piana
una diagonale divide una parallelogramma in due triangoli uguali;
i lati opposti sono uguali;
gli angoli opposti sono uguali;
le diagonali si tagliano scambievolmente a metà;
gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari (la loro somma è pari a
180°).
Anche se come evidenziato, nell’insieme dei parallelogrammi rientrano i rombi, i
rettangoli e i quadrati, si ricordi che in generale quando si parla di parallelogramma si fa
riferimento a questa figura:
Parallelogramma
2.6.3.2. Il
perimetro.
Il p e r i m e t r o del parallelogramma si trova moltiplicando per 2 la somma delle misure
dei due lati consecutivi. Pertanto:
.
2.6.3.3. L’area.
L’a r e a di un parallelogramma è data dal prodotto di uno dei lati, preso come base, per
l’altezza a esso relativa. Pertanto:
2.6.3.4. Parallelogrammi
particolari.
2.6.3.4.1. Rombo o losanga.
2.6.3.4.1.1. Nozione.
Il r o m b o o l o s a n g a è un parallelogramma avente i quattro lati uguali e gli angoli
uguali a due a due (due sono acuti e due ottusi).
Le diagonali sono disuguali, si incontrano perpendicolarmente nel loro punto medio e,
sono bisettrici degli angoli.
Ogni lato del rombo rappresenta l’ipotenusa di triangolo rettangolo non isoscele avente per
cateti le semidiagonali del rombo. Pertanto conoscendo le misure delle diagonali è possibile
calcolare la misura del lato attraverso il teorema di Pitagora.
Ogni rombo possiede due assi di simmetria.
Ogni rombo è scomponibile in quattro triangoli congruenti.
Rombo
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143
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Geometria piana
2.6.3.4.1.2. Perimetro.
Il perimetro si trova moltiplicando per 4 la misura del lato. Pertanto:
.
2.6.3.4.1.3. L’area.
L’area si trova dividendo per il 2 il prodotto delle diagonali. Pertanto:
.
2.6.3.4.2. Rettangolo.
2.6.3.4.2.1. Nozione.
In geometria il sostantivo r e t t a n g o l o denota il quadrilatero con tutti gli angoli interni
congruenti (e quindi retti). Il rettangolo generico è un parallelogramma avente lati uguali a
due a due23.
In un rettangolo generico (quindi che non sia quadrato) le diagonali sono uguali, non
perpendicolari e non rappresentano le bisettrici degli angoli. Inoltre ogni diagonale
rappresenta l’ipotenusa di un triangolo rettangolo non isoscele; pertanto conoscendo base e
altezza si può calcolare la lunghezza della diagonale attraverso il teorema di Pitagora.
Il rettangolo possiede due assi di simmetria.
Rettangolo
2.6.3.4.2.2. Perimetro.
Il perimetro del rettangolo si trova moltiplicando per 2 la somma della base e dell’altezza.
Pertanto:
.
2.6.3.4.2.3. L’area.
L’area si trova moltiplicando la misura della base per la misura dell’altezza. Pertanto:
;
;
.
Pertanto se si raddoppia la base di un rettangolo e si dimezza l'altezza l'area rimane
invariata
2.6.3.4.3. Quadrato.
2.6.3.4.3.1. Nozione.
Il q u a d r a t o è un tipo particolare di rettangolo, caratterizzato dall’avere tutti i quattro
lati congruenti. Pertanto il quadrato è un parallelogramma avente i lati uguali e gli angoli retti.
Le d i a g o n a l i di un quadrato sono uguali, perpendicolari tra loro, bisettrici degli angoli
e si tagliano scambievolmente per metà. Inoltre ogni diagonale rappresenta l’ipotenusa di un
triangolo rettangolo isoscele; pertanto conoscendo la misura del lato si può calcolare la
lunghezza della diagonale attraverso il teorema di Pitagora.
23
Ciò in quanto se tutti i lati sono uguali si parla di quadrato, che è appunto un tipo particolare di rettangolo.
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Geometria piana
Quadrato
2.6.3.4.3.2. Perimetro.
Il perimetro si trova moltiplicando la misura del lato per 4. Pertanto:
;
.
2.6.3.4.3.3. L’area.
L’area del quadrato si trova moltiplicando la misura del lato per se stessa:
;
;
Dato che le diagonali del quadrato sono perpendicolari, allora, come visto in precedenza,
l’area può essere anche calcolata dividendo per 2 il prodotto delle diagonali (d). Pertanto:
;
;
.
2.6.3.4.3.4. Relazioni
con le circonferenze.
Il lato di un quadrato inscritto in una circonferenza è uguale alla misura del raggio
moltiplicato per il valore della radice di 2
, mentre la diagonale corrisponde al
diametro
. Il lato di un quadrato circoscritto a una circonferenza è uguale al diametro
della stessa.
2.6.4. Relazioni tra quadrilateri e circonferenze.
Un quadrilatero è c i r c o s c r i t t i b i l e ad una circonferenza quando la s o m m a d i
d u e l a t i o p p o s t i è u g u a l i a l l a s o m m a d e g l i a l t r i d u e . Da ciò si evince
che tra tutti i parallelogrammi solo il quadrato e il rombo sono circoscrivibili ad una
circonferenza
Affinché un quadrilatero si i n s c r i t t o in una circonferenza deve avere necessariamente
g l i a n g o l i o p p o s t i s u p p l e m e n t a r i . Da ciò si evince che tra tutti i
parallelogrammi solo il quadrato e il rettangolo sono inscrivibili in una circonferenza
2.7. Circonferenza
2.7.1. Nozione.
La c i r c o n f e r e n z a è una linea curva chiusa avente tutti i suoi punti equidistanti da un
punto interno detto centro. La parte di piano contenuta in una circonferenza, insieme alla
circonferenza stessa, prende il nome di c e r c h i o 24.
In essa distinguiamo:
24
r a g g i o : la distanza tra il centro e un punto qualsiasi della circonferenza;
d i a m e t r o : segmento che unisce due punti della circonferenza passante per il
centro. Ogni diametro divide la circonferenza in due semicirconferenze. Il
In altri termini il cerchio è quella porzione di piano delimitata da una circonferenza.
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Geometria piana
rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il
d i a m e t r o è u n a q u a n t i t à c o s t a n t e , indicata comunemente col simbolo
, o p i g r e c o , il cui valore è approssimativamente 3,14.;
Circonferenza
a r c o : porzione di circonferenza compresa tra due punti della circonferenza stessa.
c o r d a : segmento che congiunge due punti qualunque della circonferenza senza
passare per il centro;
Ogni corda sottende due archi (si leggono in senso antiorario AB e BA).
In una stessa circonferenza, corde congruenti sottendono archi congruenti.
s a e t t a : segmento perpendicolare tracciato dal centro della corda sulla
circonferenza.
2.7.2. Relazioni tra circonferenze e punti.
Un punto rispetto ad una circonferenza può essere:
esterno alla circonferenza se la distanza dal centro è maggiore del raggio;
sulla circonferenza se ala distanza dal centro è uguale al raggio;
interno alla circonferenza se la distanza dal centro è minore del raggio
P è esterno perché OP>r; A è interno perché OA<r; C appartiene alla circonferenza perché OC=r
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Geometria piana
2.7.3. Relazioni fra circonferenze e rette.
Si ricordi innanzitutto che i punti di intersezione che possono avere una retta e una
circonferenza vanno da 0 a 2.
2.7.3.1. Retta esterna
ad una circonferenza.
Una retta si dice e s t e r n a a d u n a c i r c o n f e r e n z a se non ha punti in comune con
la circonferenza.
Affinché una retta sia esterna ad una circonferenza è necessario e sufficiente che la
distanza della retta dal centro della circonferenza sia maggiore del raggio.
Retta esterna ad una circonferenza
Dato un punto P, esterno ad una circonferenza, si possono condurre per esso infinite rette
esterne.
Dato un punto P appartenente ad una circonferenza, non si può condurre nessuna retta
esterna;
2.7.3.2. Retta tangente
ad una circonferenza
Una retta si dice t a n g e n t e u n a c i r c o n f e r e n z a , quando in comune un solo punto
con la circonferenza.
Affinché una retta sia tangente ad una circonferenza è necessario e sufficiente, che la
distanza della retta dal centro della circonferenza sia uguale al raggio.
Retta tangente ad una circonferenza
Dato un punto P, appartenente ad una circonferenza, si può condurre per esso, una sola
retta tangente alla circonferenza.
Dato un punto P, esterno ad una circonferenza, si possono condurre per esso, due rette
tangenti alla circonferenza.
Dati in un piano una retta e un punto non appartenente ad essa, esistono infinite
circonferenze che risultano tangenti alla retta e passanti per il punto.
Dati in un piano un punto A su una retta e un punto B non appartenente alla retta, esiste
una sola circonferenza tangente alla retta in A e passante per il punto B.
2.7.3.3. Retta secante
una circonferenza.
Una retta si dice s e c a n t e o i n t e r n a u n a c i r c o n f e r e n z a se ha due punti in
comune con la circonferenza.
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Geometria piana
Affinché una retta sia secante o interna ad una circonferenza è necessario e sufficiente che
la distanza della retta dal centro della circonferenza sia minore del raggio
Dato un punto P, appartenente o esterno ad una circonferenza, si possono condurre per
esso infinite rette secanti.
Retta secante una circonferenza
2.7.4. Relazione fra circonferenze.
Due circonferenze possono essere tra loro:
s e c a n t i : quando si intersecano in due punti e la distanza fra i centri è minore
della somma delle misure dei raggi;
t a n g e n t i i n t e r n a m e n t e : quando hanno un solo punto in comune e la
distanza fra i centri è uguale alla differenza tra le misure dei raggi;
t a n g e n t i e s t e r n a m e n t e : quando hanno un solo punto in comune è la
distanza fra i centri è uguale alla somma delle misure dei raggi;
e s t e r n e : quando non hanno alcun punto in comune e la distanza fra i centri è
maggiore della somma dei raggi;
i n t e r n e : quando non hanno alcun punto in comune e la distanza fra i centri è
minore della differenza fra i raggi;
c o n c e n t r i c h e : quando sono interne e i due centri coincidono.
Relazioni fra circonferenze
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2.7.5. Lunghezza della circonferenza e dell’arco.
La lunghezza della circonferenza si trova moltiplicando la misura del diametro per :
Spesso però questa formula si indica non con il diametro, ma con il raggio, che è la sua
metà; quindi va moltiplicato per il doppio del , e si scriverà:
Per trovare la l u n g h e z z a d e l l ’ a r c o (L) si moltiplica il raggio (r) per 6,28, quindi si
divide il prodotto ottenuto per 360 e si moltiplica il quoziente per l’ampiezza dell’arco
espresso in gradi (a):
2.7.6. Cerchio.
Come evidenziato in precedenza il cerchio è la parte di piano delimitata dalla
circonferenza. Rispetto ad esso va ricordato che:
il diametro divide il cerchio in due parti uguali detti s e m i c e r c h i ;
due diametri perpendicolari dividono il cerchio in quattro parti dette q u a d r a n t i ;
la porzione di cerchio delimitata da un corda e dal corrispondente arco è il
segmento circolare;
la porzione di cerchio racchiusa fra due raggi e l’arco compreso dicesi s e t t o r e
circolare;
la parte di piano compresa tra due circonferenze concentriche di raggi diversi è la
corona circolare.
Parti del cerchio.
2.7.6.1. La
aeree.
2.7.6.1.1. L’area del cerchio.
Essendo il cerchio equivalente a un poligono regolare avente come perimetro la
circonferenza e per apotema il raggio, si ha:
r=
L’a r e a d e l c e r c h i o si trova anche moltiplicando la circonferenza (C) per il raggio e
dividendo il prodotto per 2. Pertanto:
2.7.6.1.2. L’area
della corona circolare
L’a r e a d e l l a c o r o n a c i r c o l a r e si trova sottraendo dall’area del cerchio
maggiore, l’area del cerchio minore:
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Concorso Vigili del Fuoco 2016
Geometria piana
oppure
2.7.6.1.3. L’area di un settore circolare.
L’a r e a d i u n s e t t o r e c i r c o l a r e si ottiene dividendo l’area del cerchio a cui esso
appartiene per 360° e, moltiplicando il quoziente ottenuto per l’ampiezza del corrispondente
angolo al centro espresso in gradi (a).
Oppure lunghezza dell’arco che limita il settore, moltiplicata per la lunghezza del raggio ed
il prodotto diviso per 2.
2.7.7. Angoli alla circonferenza e angoli al centro.
2.7.7.1. Angoli
alla circonferenza.
Si definisce a n g o l o a l l a c i r c o n f e r e n z a ogni angolo avente il vertice sulla
circonferenza e i lati passanti per altri due punti della circonferenza.
Gli angoli BCA, BDA, BEA sono angoli alla circonferenza che insistono sull’arco minore AB, ma sono inscritti nell’arco
maggiore BA. Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti fra loro e sono la metà
dell’angolo al centro corrispondenti. Se l’angolo BCA=40° allora BAO=80°
Ogni angolo alla circonferenza che insiste (inscritto) in mezza circonferenza è retto.
Gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (o inscritti nello stesso arco)
sono uguali.
Gli angoli alla circonferenza che insistono su archi uguali sono uguali (congruenti).
2.7.7.2. Angolo
al centro.
Si definisce a n g o l o a l c e n t r o ogni angolo avente il suo vertice nel centro di una
circonferenza.
Ogni angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza.
L’angolo convesso B A insiste sull’arco
. L’angolo concavo A B insiste sull’arco BA.
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