Antonio Del Donno Introduzione alla Teoria delle Stringhe

Università degli Studi di Salerno
Tesi di Laurea Triennale
Antonio Del Donno
Introduzione alla Teoria delle Stringhe
Facoltà di S.M.F.N. - Dipartimento di Fisica
Relatore: Gaetano Lambiase
Co-Relatore : Massimo Blasone
Fisciano (SA) - 19/05/2016
Abstract
La Teoria delle Stringhe è una delle più eccitanti e contemporaneamente controverse aree di studio della fisica teorica moderna.
Il presente lavoro di tesi si propone come introduzione alla teoria ed
ai suoi primi principi di base. Si inizia con il discutere brevemente
alcuni concetti fondametali della meccanica (classica) di una particella puntiforme, e si procede alla discussione della teoria nella sua
prima formulazione bosonica , che verrà presentata sottolineando e
discutendo le più importanti implicazioni fisiche che ne emergono.
Aspetti di quatizzazione canonica e nella gauge di cono luce sono
stati altresi’ discussi.
Contents
1 Introduzione
1.1 Breve Storia della Fisica Moderna e della Teoria delle Stringhe
1.2 Le Interazioni Fondamentali ed il Modello Standard . . . . . .
1.2.1 I Blocchi Costituenti della Materia . . . . . . . . . . .
1.3 Perchè Teoria delle Stringhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Richiami di Meccanica Classica e Relativistica per una Particella
Puntiforme
2.1 Il Principio di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Vincoli Olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 L’Azione Classica per una Particella Puntiforme . . . . . . . . . .
2.3 L’Azione Relativistica per una Particella . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Estensione a Metriche Più Generali . . . . . . . . . . . . .
3 Estenzione a Stringhe 1-Dimensionali
3.1 Dinamica Di una Stringa 1-dimensionale Classica . .
3.2 Dinamica di una Stringa 1-dimensionale Relativistica
3.2.1 Area Funzionale di una Superficie Spaziale . .
3.2.2 L’azione per una Stringa Relativistica . . . .
3.2.3 Derivazione delle Equazioni del Moto . . . . .
3.3 Parametrizzazioni Più Generali . . . . . . . . . . . .
3.3.1 La Parametrizzazione di τ . . . . . . . . . . .
3.3.2 La Parametrizzazione di σ . . . . . . . . . . .
3.4 Vincoli all’Equazione delle Onde . . . . . . . . . . . .
3.5 Soluzioni Generali all’Equazione delle Onde . . . . .
3.6 Risoluzione dell’Equazione delle Onde nella Gauge del
3.6.1 Calcolo della Massa . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Correnti Conservate e Momento Angolare . . . . . . .
10
10
10
11
12
14
15
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. . . . . . . 18
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. . . . . . . 22
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Cono di Luce 30
. . . . . . . 32
. . . . . . . 33
4 Alcune Nozioni di Teoria Quantistica dei Campi
4.1 L’Equazione D’Onda di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Quantizzazione Di Campi Scalari Liberi . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Oscillatore Armonico Quantistico : Diagonalizzazione Algebrica
4.4 Quantizzazione del Campo Scalare di Klein-Gordon . . . . . . .
4.4.1 La Lagrangiana di Klein-Gordon : . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Regole di Commutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Spazio degli Stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Energia dello Stato di Vuoto . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Rappresentazione nelle Coordinate del Cono di Luce . . . . . .
5 Quantizzazione della Particella Relativistica
5.1 La Particella Relativistica nella Gauge del Cono di Luce
5.2 Le Rappresentazioni di Schrodinger ed Heisenberg . . . .
5.3 Quantizzazione della Particella Relativistica . . . . . . .
5.4 Costruzione dello Spazio degli Stati . . . . . . . . . . . .
3
5
5
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9
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45
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6 Quantizzazione della Stringa nella Gauge del Cono di Luce
6.1 Coordinate di Stringa ed Operatori nel Cono di Luce . . . . . . .
6.2 Costruzione dell’Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Relazioni di Commutazione ed Evoluzione Temporale degli Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Espansione in Modi di Vibrazione Fondamentali . . . . . . . . . .
6.4.1 Stringhe Aperte ad Estremi Liberi . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Stringhe Chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Stringhe ed Oscillatori Armonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Lagrangiana ed Hamiltoniana del Sistema . . . . . . . . .
6.5.2 Equivalenza all’Azione di Nambu-Goto . . . . . . . . . . .
6.5.3 Equivalenza fra Stringhe ed Oscillatori . . . . . . . . . . .
6.6 Gli Operatori Trasversi di Virasoro . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Invarianza Relativistica e Dimensioni Spazio-temporali . . . . . .
6.8 Lo Spazio degli Stati di Stringa Bosonica . . . . . . . . . . . . . .
6.8.1 Spazio degli Stati per Stringhe Aperte . . . . . . . . . . .
6.8.2 Spazio degli Stati per Stringhe Chiuse . . . . . . . . . . .
54
54
55
7 Conclusioni
72
A Identificazione del Parametro T nell’azione di Nambu-Goto
74
B Teorema di Noether e Correnti Conservate
75
C Coordinate del Cono di Luce
77
55
57
57
60
60
60
61
63
64
66
68
68
70
1. Introduzione
1.1
Breve Storia della Fisica Moderna e della
Teoria delle Stringhe
Alla fine del diciannovesimo secolo si iniziò a pensare che gli studi della fisica
fossero ormai giunti al capolinea . La meccanica Newtoniana era perfettamente
in grado di descrivere la dinamica di qualsiasi tipo di oggetto , dal moto di
rivoluzione di un pianeta , ad una mela che cade. Le equazioni di Maxwell
sommarizzavano in modo elegante la relazione tra cariche stazionarie ed in moto
e provvedevano anche una descrizione matematica completa per la radiazione
elettromagnetica. Boltzmann completò i suoi lavori relativi alla cinetica chimica
ed alle leggi della termodinamica , dando cosı̀ una spiegazione quasi completa
delle reazioni chimiche e di un primo mondo microscopico .
Nel 1900 Lord Kelvin annunciò : ” There is nothing new to be discovered
in physics right now ” non c’è nulla di nuovo da scoprire nella fisica in questo
momento . Successivamente , qualche anno dopo , un brillante giovane fisico di
nome ”Albert Einstein” sviluppò la sua teoria della relatività ristretta : un lavoro
destinato a rivoluzionare le leggi della fisica e la nostra concezione della realtà.
Nella teoria di Einstein , spazio e tempo non sono più considerati come oggetti
rigidi , ma vengono rimpiazzati da una struttra più flessibile , dinamica , nota
come spazio-tempo . Quasi parallelamente alla formalizzazione della relatività
ristretta , Max Plank ed Einstein svilupparono la ”Teoria Quantistica” , cambiando radicalmente la visione del mondo microscopico . Albert Einstein stesso
non fu’ mai in grado di accettare completamente la sua teoria a causa delle implicazioni non deterministiche direttamente interessate . Meccanica Quantistica e
Relatività Ristretta arrivarono sulla scena quasi parallelamente , e il primo istinto
naturale fù di cercare di unificare le due teorie , nel tentativo di formalizzare una
”Meccanica Quantistica Relativistica” . Suddetta teoria anticipò l’esistenza delle
antiparticelle, identiche alla particelle di materia ordinaria per massa , ma con
numeri quantici additivi opposti . Con il passare del tempo la meccanica quantistica relativistica appariva come un’ottima candidata per la descrizione accurata
e profonda di tutti i fenomeni naturali fino ad ora osservati . Tuttavia , non
molto dopo la formalizzazione di suddetta teoria , Einstein completò il suo lavoro
più importante : la teoria della Relatività Generale. In questa teoria la gravità
non è più considerata come una forza , ma come curvatura dello spazio-tempo
già descritto dalla relatività ristretta. Ancora una volta l’istinto naturale fù di
cercare l’unificazione . Tuttavia una teoria quantistica della gravità risultò ”fuori
portata”. La ”quantizzazione” del campo gravitazionale portava inevitabilmente
a risultati non fisici. Meccanica Quantistica e Relatività Generale furono i due
grandi pilastri scientifici del ventesimo secolo :
• La Meccanica Quantistica fornisce una descrizione completa del mondo microscopico (moto delle particelle elementari , decadimenti radioattivi e proprietà fondamentali della materia);
5
• La Relatività Generale descrive il mondo macroscopico , dal moto dei pianeti
e delle galassie , all’evoluzione del cosmo.
Le due teorie , che prese singolarmente funzionano alla perfezione , sono tra di
loro incompatibili.
1.2
Le Interazioni Fondamentali ed il Modello
Standard
Sono passati anni dalla formalizzazione delle due teorie appena accennate. Oggi
la nostra comprensione del mondo, sia microscopico che macroscopico , è basata
sul Modello Standard delle particelle e delle interazioni , che descrive ed identifica
4 differenti forze fondamentali :
• la forza Gravitazionale
• la forza Elettromagnetica
• la forza Debole
• la forza Forte
riportate nell’ordine in cui sono state osservate sperimentalmente per la
prima volta.
La forza di gravità ,come precedentemente discusso , è stata descritta
dapprima utilizzando la meccanica Newtoniana , dove viene interpretata
come forza a tutti gli effetti , e successivamente dalla Relatività Generale
, dove non viene più interpretata come forza , ma bensı̀ come proprietà
topologica dello spazio-tempo.
La forza elettromagnetica , inizialmente descritta dalla teoria classica
di Maxwell, è stata successivamente spiegata e correttamente interpretata
con la formulazione della prima teoria quantistica relativistica di campo :
l’Elettrodinamica Quantistica (QED).
La forza debole , responsabile dei processi di decadimento radioattivo
β , deve la sua prima ed elegante descrizione analitica ad Enrico Fermi.
Successivamente alcuni ricercatori furono in grado di trovare uno schema
comune in grado di unificare le forze deboli con le forze elettromagnetiche
, portando quindi a formulare la cosiddetta ”Teoria Elettrodebole”.
La quarta ed ultima forza o interazione fondamentale , è la forza forte .
La forza forte è responsabile della stabilità dei protoni , dei neutroni
, e di diverse altre particelle composte in generale note come Adroni. I
costituenti elementari di tali stati composti vengono detti Quarks. Tali
Quarks sono confinati a costituire tali stati composti a causa delle proprietà
stesse dell’interazione forte.
La teoria quantistica descrittiva dell’interazione Forte è detta Cromodinamica Quantistica , che affiancata dalla Teoria Elettrodebole è da considerarsi
fra i più importanti risultati contenuti nel Modello Standard .
1.2.1
I Blocchi Costituenti della Materia
Allo stato attuale delle conoscenze , il mondo microscopico è caratterizzato
da due classi separate di particelle , classificate a seconda del loro spin in
• particelle di materia (spin semi-intero 21 , 32 , . . . ) , ovvero fermioni
• particelle di interazione (spin intero 0, 1, 2, . . . ) , ovvero bosoni.
Le particelle di materia sono a loro volta suddivise in Leptoni e Quarks.
Elettroni , Muoni e Tauoni sono leptoni , e cosi i corrispettivi neutrini ad essi
collegati. Si hanno quindi un totale di 12 leptoni :
• elettrone → antielettrone
neutrino elettronico → antineutrino elettronico
• muone → antimuone
neutrino muonico → antineutrino muonico
• tauone → antitauone
neutrino tauonico → antineutrino tauonico
I Quarks sono identificati in base a due numeri quantici : il Sapore ed il Colore.
Fino ad ora sono stati osservati 6 differenti sapori :
(up, down)
(charme, strange)
(top, bottom)
a ciascuno dei quali è attribuibile un colore Red,Green o Blue.
Esistono di conseguenza 6 · 3 = 18 quarks di materia e altrettanti di antimateria. Il numero complessivo di particelle fermioniche elementari è quindi 48 (36
quarks + 12 leptoni).
Come accennato , le particelle responsabili delle interazioni fra fermioni sono
bosoni. All’interazione elettromagnetica , ad esempio , è associato il fotone .
Leggermente più complicata è l’interazione debole , alla quale sono associati 3
differenti bosoni di interazione : il W + , il W − e lo Z 0 . All’interazione forte ,
infine , sono associati 8 bosoni di massa nulla , detti Gluoni.
Complessivamente, il Modello Standard contiene 48 particelle di materia e 12
particelle di interazione . Nella pagina successiva segue un’illustrazione schematica dei mattoni alla base della teoria del modello standard , incolonnati per gruppo
di appartenenza.
Figure 1.1: Il Modello Standard delle particelle elementari
1.3
Perchè Teoria delle Stringhe
Dal punto di vista storico la teoria fu inizialmente introdotta per spiegare l’interazione
forte fra adroni . L’idea cruciale alla base, è che particelle specifiche corrispondano
ad altrettanto specifici stati quantistici di oscillazione di stringhe . Con una descrizione del genere un singolo oggetto 1-dimensionale ha l’abilità di descrivere le
differenze fra la miriade di particelle osservate sperimentalmente . Tuttavia , dieci
anni dopo la prima proposta della teoria delle stringhe venne formalizzata la cromodinamica quantistica (QCD) , una nuova teoria che si proponeva esattamente
lo stesso obbiettivo : una descrizione accurata dei meccanismi dell’interazione
forte. Di seguito , anche a causa di alcuni problemi tecnici annessi , la teoria
delle stringhe venne temporaneamente abbandonata dalla comunità scientifica
. Oggi la teoria è considerata fra le più probabili in grado di fornire una descrizione unificata delle 4 interazioni fondamentali precedentemente accennate .
In particolare , non sono presenti problemi di rinormalizzabilità con l’interazione
gravitazionale , poichè essa è naturalmente inclusa nella teoria (sono previsti stati
vibrazionali corrispondenti a particelle di massa nulla e di spin 2 , identificabili
con un ipotetico gravitone) .
Lo scopo del presente lavoro di tesi è di offrire una panoramica introduttiva della teoria delle stringhe , in quella che è nota come formulazione bosonica.
Come verrà successivamente mostrato , tale formulazione non è in grado di ricondurre a stati quantistici identificativi di particelle di materia , e dunque non sarà
sufficiente a provvedere ad una descrizione completa dei costituenti fondamentali dell’universo. La risoluzione di questo problema tuttavia esula dal contesto ,
poichè situata ad un livello di competenze superiore rispetto a quello della presente opera che si propone come conclusiva di un ciclo di studi triennale.
2. Richiami di Meccanica
Classica e Relativistica per una
Particella Puntiforme
prima di procedere con la costruzione e la formalizzazione di una teoria alla base
della quale sono presenti oggetti estesi 1-dimensionali , è opportuno esaminare le
basi della meccanica Lagrangiana , sia classica che relativistica , limitandosi ad
oggetti puntiformi . In questo capitolo verranno ricavate le equazioni del moto si
una particella puntiforme al più soggetta ad un potenziale di tipo conservativo ,
utilizzando il Principio di Hamilton come strumento principale.
2.1
Il Principio di Hamilton
Si definisce funzione Lagrangiana di un sistema , la grandezza definita come
L(q, q̇, t) = T (q, q̇, t) − V (q, t)
(2.1)
dove T e V sono l’energia cinetica e potenziale del sistema , e q, q̇ denotano rispettivamente le coordinate generalizzate e le loro derivate temporali. Si considerino
inoltre uno stato iniziale q(t1 ) ed uno stato finale q(t2 ) , e si supponga di voler
descrivere la dinamica del sistema a partire dalla sua Lagrangiana.
si definisce ”Azione” , l’integrale :
S=
Z t2
L(q, q̇, t)dt
(2.2)
t1
il principio di Hamilton asserisce che la traiettoria effettiva del sistema è tale
da minimizzare il funzionale di azione S. In altre parole , la traiettoria descritta
dalla curva q(t) è un punto stazionario per S ,e le equazioni del moto si ottengono
dalla condizione
Z t2
δS = δ
L(q, q̇, t)dt = 0
t1
2.1.1
Vincoli Olonomi
Nella sua definizione più generale , un vincolo olonomo è una relazione tra le
coordinate generalizzate che può essere sintetizzata in questa forma :
f (q1 , q2 , ..., qn , t) = 0
(2.3)
Ad esempio , una particella vincolata a muoversi sulla superficie di una sfera è
soggetta ad un vincolo olonomo , ma se ha la possibilità di staccarsi dalla sfera
ed evolvere in caduta libera sotto l’influenza della gravità , il vincolo diventa
anaolonomo .
10
2.2
L’Azione Classica per una Particella Puntiforme
Sia dato un sistema dinamico soggetto a soli vincoli olonomi e descritto da N
coordinate generalizzate qi (t) che evolve tra due stati identificati da qi (t1 ) e qi (t2 )
nell’intervallo temporale [t1 , t2 ] . L’azione S assume la forma :
S ≡ S(qi (t)) =
Z t2
t1
L(q1 , ..., qN , q˙1 , ..., q˙N )dt
(2.4)
Si applica quindi il principio di Hamilton all’azione S , con l’obbiettivo di calcolare
le equazioni del moto del sistema .
δS = δ
Z t2
t1
δS =
L(q1 , ..., qN , q˙1 , ..., q˙N )dt
Z t2 X ∂L
t1
i
(2.5)
∂L
δqi +
δ q˙i dt
∂qi
∂ q˙i
poichè
d
d
d
(δq) = q δ + δ q̇ = δ q
dt
dt
dt
si ha,
δS = δ
Z t2
t1
L(q1 , ..., qN , q˙1 , ..., q˙N )dt =
Z t2 X ∂L
t1
i
∂L d
(δqi ) dt
δqi +
∂qi
∂ q˙i dt
(2.6)
integrando per parti il secondo termine a destra, e sfruttando il fatto che δqi (t1 ) =
δqi (t2 ) = 0 , dove i = 0, . . . , N , si ottiene facilmente:
δS =
Z t2 X ∂L
t1
i
d ∂L
δqi −
δqi dt
∂qi
dt ∂ q˙i
(2.7)
Per ottenere le equazioni del moto , imponiamo che l’azione S sia stazionaria. In
altre parole , deve risultare δS = 0 indipendentemente dalla particolare variazione
δqi .
segue che :
∂L
d ∂L
−
=0
∂qi dt ∂ q˙i
(2.8)
ovvero le famose equazioni di Eulero-Lagrange per le N coordinate generalizzate
qi .
2.3
L’Azione Relativistica per una Particella
Per una particella puntiforme relativistica in moto attraverso uno spazio-tempo di
dimensione D , la dinamica è data dalle cosiddette geodesiche sullo spazio-tempo.
L’azione deve essere relativisticamente invariante , di conseguenza può dipendere da sole quantità scalari . La più semplice grandezza scalare definibile in
meccanica relativistica è il quadri-intervallo , o intervallo spaziotemporale , che
per definizione è il prodotto della velocità della luce per il tempo misurato da
un orologio in un sistema di riferimento solidale con la particella della quale si
vuole descrivere la dinamica. Indicando il quadri-intervallo infinitesimo con ds ,
si costruisce l’azione 1
Z
Sr = −α ds
(2.9)
dove si ricorda che 2 :
ds =
q
dx2 + dy 2 + dz 2 − dt2
Per determinare la costante di proporazionalità α è possibile fare un semplice
confronto fra l’azione classica descrittiva di una particella libera e l’azione relativistica appena definita . Limitandosi per semplicità al considerare il caso di
una singola dimensione spaziale , l’azione relativistica sarà :
Sr = −α
Z
ds = −α
Z
Z
√
2
2
dx − dt = −α
s
dx
1−
dt
2
(2.10)
approssimando ,
v2
Sr ' −α
1−
2
Si noti che nel limite classico S ' Sr , a patto di identificare la costante α con la
massa; di conseguenza , si pone α = m.
Adesso che Lagrangiana ed azione sono ben definite è possibile procedere con
la determinazione delle equazioni del moto. Detta xµ la traiettoria della particella
, parametrizzata da un parametro τ , la linea d’universo sarà descritta da xµ (τ ).
Per uno spazio-tempo piatto, il quadri-intervallo può essere scritto come :
Z ds2 = −Gµν dxµ dxnu
(2.11)
dove Gµν è il tensore rappresentativo della metrica di Minkowski. Poichè la
traiettoria è parametrizzata da τ , è possibile parametrizzare anche il quadriintervallo in maniera analoga . Si ha :
ds2 = −Gµν
dxµ dxν 2
dτ = −Gµν x˙µ x˙ν dτ 2
dτ dτ
(2.12)
Sostituendo l’espressione appena ricavata per ds2 all’interno dell’equazione (2.9)
, si ottiene :
S = −m
Z q
−Gµν x˙µ x˙ν dτ 2 = −m
Z q
−Gµν x˙µ x˙ν dτ
(2.13)
Un importante proprietà di tale azione è l’inviarianza rispetto al tipo di parametrizzazione scelta. Ciò è in accordo con il fatto che la lunghezza del quadri-intervallo
ds non può dipendere dalla particolare parametrizzazione scelta per il cammino.
1
2
α è una costante
nella definizione non compare c2 dt2 ,in quanto si è scelto di porre h̄ = c = 1
Dimostrazione: Si supponga di modificare il parametro τ con un nuovo parametro
τ 0.
Si ha :
dxµ dτ 0
dxµ
=
dτ
dτ 0 dτ
sostituendo dτ xµ nell’equazione (2.13) , si ha :
Sr = −m
Z
s
−Gµν
(2.14)
dxµ dxν dτ 0
dτ 0 dτ 0 dτ
2
(2.15)
dτ
s
dxµ dxν 0
dτ
dτ 0 dτ 0
che è del tutto equivalente all’azione di partenza .
Sr = −m
Z
−Gµν
(2.16)
Si è quindi liberi di scegliere una parametrizzazione appropriata in modo da
semplificare l’azione , e di conseguenza le equazioni che immediatamente seguono
dalla sua variazione. Nel caso specifico una riparametrizzazione particolare è in
grado di semplificare notevolmente i calcoli.
Si consideri l’integrale
Sr0
1Z
=
dτ e(τ )−1 Gµν x˙µ x˙ν − m2 e(τ )
2
(2.17)
L’azione cosı̀ definita non presenta più la radice quadrata , e consente la descrizione della dinamica di particelle a massa nulla , non chiara a partire dall’azione
(2.13) , poichè risulterebbe S = 0.
E’ facile dimostrare come l’azione Sr e l’azione Sr0 siano del tutto equivalenti.
Si consideri infatti la sua variazione rispetto ad una funzione ausialiaria e(τ )
δSr0
1Z
dτ e(τ )−1 Gµν x˙µ x˙ν − m2 e(τ )
=δ
2
1Z
1
=−
dτ 2 Ẋ 2 δe + m2 δe
2
e
Z
1
δe
=−
dτ 2 Ẋ 2 + m2 e2
2
e
0
imponendo che la variazione di Sr sia nulla indipendentemente dalla variazione
δe , si ottiene l’equazione del moto per la funzione e(τ ) :
s
e=
−Ẋ 2
m2
(2.18)
Inserendo l’espressione appena ricavata per e nell’espressione originale di Sr0 ,
risulta :
2 − 1
2
1Z
Ẋ
0
Sr =
dτ
2Ẋ 2
2
2
m
= −m
Z
−Ẋ 2
dτ q
−Ẋ 2
= −m
= −m
Z
Z q
q
dτ −Ẋ 2
−Gµν x˙µ x˙ν dτ
del tutto equivalente all’azione (2.9).
2.3.1
Estensione a Metriche Più Generali
A partire dalla particolare parametrizzazione scelta è possibile ricavare le equazioni
del moto per una particella relativistica in moto su uno spazio-tempo di sfondo
arbitrario semplicemente modificando l’espressione esplicita del tensore metrico
Gµν .
Si consideri l’equazione (2.17) . Se si sceglie il parametro τ in modo tale da
avere e(τ ) = 1, si ottiene :
Sr0
1Z
dτ Gµν x˙µ x˙ν − m2
=
2
(2.19)
Facendo variare l’azione (2.18) rispetto ad x˙µ (τ ) si ottiene tale equazione
−2ẍν Gµν (x) − 2∂k Gµν (x)ẋk ẋν + ∂µ Gkν (x)ẋk ẋν = 0
(2.20)
che può essere riscritta in modo più compatto come :
ẍµ + Γµkl ẋk ẋl = 0
(2.21)
dove Γµkl sono i simboli di Christoffel , direttamente connessi alla geometria dello
spazio tempo nel quale la particella libera è in moto.
3. Estenzione a Stringhe
1-Dimensionali
Un motodo differente per trovare le equazioni del moto per una corda 1-dimensionale
non relativistica , è utilizzare il formalismo Lagrangiano . La scelta di utilizzare il
formalismo Lagrangiano al posto della classica equazione di Newton è stata presa
principalmente per uniformarsi al formalismo di base utilizzato in quest’opera
. Inoltre , il formalismo Lagrangiano si presta meglio all’estensione alla teoria
relativistica , che immediatamente seguirà nella sezione successiva .
3.1
Dinamica Di una Stringa 1-dimensionale Classica
L’energia cinetica totale della stringa è semplicemente la somma dei contributi
infinitesimi di ogni segmento di essa stessa , in altre parole :
1 Z a ∂y 2
µdx,
(3.1)
T =
2 0 ∂t
dove 0 ed a sono identificativi dei punti iniziale e finale della corda e µ è la densità
di massa . L’energia potenziale può essere ricavata concentrandosi su un segmento
infinitesimo della corda. Considerato il segmento [x, x + dx] , se immaginiamo di
poter istantaneamente allungare la corda da (x, y) ad (x + dx, x + dy) , si ha che
il cambio infinitesimo in lunghezza del segmento di corda considerato equivale a :
q
∆l =
=
dx2 + dy 2 − dx
v

2
u
u
∂y
u
dxt1 +  
∂x

− 1
Nel limite di piccole oscillazioni 5 è lecito approssimare ∆l con il primo termine
del suo sviluppo in serie , da cui otteniamo :
2

1 ∂y
∆l '   dx
2 ∂x
(3.2)
Il lavoro speso per allungare/contrarre la stringa del quantitativo ∆l è T0 ∆l , di
conseguenza l’energia potenziale è data da :

2
1 Z a  ∂y 
V =
T0
dx
2 0
∂x
(3.3)
da cui la Lagrangiana
1
L(t) =
2
5 ∂y 2
∂x
Z a
0

µ
2

2
∂y 
∂y
− T0   dx
∂t
∂x
<< 1
15
(3.4)
Prima di procedere con il calcolo delle equazioni del moto è opportuno notare che
la Lagrangiana appare definita in termini della sua densità L. In altre parole :
L=
Z
Ldx
(3.5)
Di conseguenza , l’azione Sc complessiva , sarà della forma
Z
Sc =
Ldxdt
è interessante notare come la Lagrangiana della corda dipenda contemporanea, ∂y , x, t) . Le quantità x e t , sono quindi sostanzialmente equivmente da (y, ∂y
∂t ∂x
alenti come parametri della densità di Lagrangiana. Ciò fa si che essi non siano
coinvolti nella variazione del funzionale d’azione neanche in modo implicito6 , e
quindi la variazione andrà fatta solo su y e sulle sue derivate parziali. Procediamo
quindi con il calcolo delle equazioni del moto . L’azione per la corda è :
2


2
1 Z tf Z a  ∂y 
∂y
dt
µ
Sc =
− T0   dx
2 ti
∂t
∂x
0
(3.6)
notiamo come la funzione integranda
L ≡ L(
∂y ∂y
, )
∂t ∂x
, per cui
δSc =
Z tf
dt
Z a
ti
0


∂L
∂L
dx δ ẏ + 0 δy 0 
∂ ẏ
∂y
(3.7)
se definiamo le quantità
otteniamo :
δSc =
Poichè δ
∂y(h)
∂h
=
∂
δy(h)
∂h
δSc =
Z tf Z a
ti
0
Pt =
∂L x ∂L
;P = 0,
∂ ẏ
∂y
Z tf
Z a
dt
ti
dx[P t δ ẏ + P x δy 0 ]
(3.8)
0
, si ha
Pt
Z tf Z a
∂
∂
(δy)dxdt +
P x (δy)dxdt
∂t
∂x
ti
0
integrando per parti ,
δSc = −
6
Z tf
ti
dt
Z a
0
Z a
Z tf
tf
a
∂P t ∂P x
x
 dx
dx
+
δy +
P t δy 
dx
+
P
δy


∂t
∂x
0
ti
ti
0


(3.9)
E’ sufficiente notare che la variazione (sia spaziale che temporale) di y deve essere nulla al
bordo del dominio di integrazione
Il secondo termine a destra può essere reso nullo finche fissiamo condizioni
iniziali e finali tali da rendere nulli i valori di y in quei punti , mentre il terzo
termine a destra è nullo fissate le condizioni al contorno di Neumann. L’equazione
(3.9) si riduce quindi a :
δSc = −
Z tf
dt
ti
Z a
0
∂P t ∂P x
+
δy
dx
∂t
∂x
(3.10)
Per trovare le equazioni del moto è sufficiente richiedere che la variazione di Sc sia
nulla . Poichè deve essere δSc = 0 indipendentemente da y , si ha che l’espressione
in parentesi quadra deve essere nulla :
∂P t ∂P x
+
=0
∂t
∂x
(3.11)
osservando l’equazione (3.6) è semplice verificare che nel caso specifico
Pt = µ
∂y
∂y x
; P = −T0
∂t
∂x
per cui ,
∂ 2y
∂ 2y
=
T
0
∂t2
∂x2
che non è altro che l’equazione delle onde .
µ
(3.12)
3.2
Dinamica di una Stringa 1-dimensionale Relativistica
L’azione per una stringa relativistica dovrà essere un funzionale della traiettoria della stringa stessa. In modo simile a come una particella traccia una ”linea
d’universo” indicativa della sua traiettoria , una stringa traccerà una superfice
caratteristica a seconda della sua dinamica : un ”foglio d’universo”. L’azione
per una particella puntiforme relativistica è proporzionale alla distanza propria della linea d’universo (quadri-intervallo) , quindi si suppone che l’azione
per una stringa relativistica sia proporzionale all’area propria definita dal foglio
d’universo. L’azione che risulta dalla seguente ipotesi è detta di Nambu-Goto .
3.2.1
Area Funzionale di una Superficie Spaziale
Qui segue una breve parentesi matematica propedeutica alla costruzione del foglio
d’universo.
Una curva nello spazio ordinario può essere parametrizzata utilizzando un singolo parametro. Passando a dimensionalità successive , come nel caso specifico ,
è neccessario utilizzare un numero maggiore di parametri per poter interamente
definire il concetto di traiettoria (in questo caso si parla più dettagliatamente
di superfice spazzata). Una superificie , essendo un oggetto 2-dimensionale ,
richiede appunto due parametri per essere completamente descritta ed identificata. In generale, la superficie parametrizzata può essere descritta dall’insieme
delle funzioni
~x(ζ 1 , ζ 2 ) = x1 (ζ 1 , ζ 2 ), x2 (ζ 1 , ζ 2 ), x3 (ζ 1 , ζ 2 )
(3.13)
dove i parametri ζ 1 e ζ 2 possono essere visti come coordinate sulla superfice.Come
precedentemente anticipato , nel ricavare le equazioni del moto di una stringa
relativistica si procederà in modo del tutto analogo a quanto fatto con l’azione
analoga per una particella. L’unica richiesta aggiuntiva consiste nel passare a
dimensionalità successive , e quindi richiedere che l’azione sia proporzionale non
al quadri-intervallo spaziotemporale ds , bensı̀ all’area superficiale infinitesima
spazzata dalla stringa durante la sua dinamica , ovvero dA = dζ 1 dζ 2 . Con
questa ”posizione” , in generale , l’area spazzata sarà rappresentata da un parallelogramma .
Detti dv~1 , dv~2 i lati del parallelogramma , si ha
dv~1 =
∂~x 2
∂~x 1
dζ dv~2 =
dζ
∂ζ1
∂ζ2
da cui l’area differenziale dA
dA = dv~1 × dv~2
=
∂~x 1 ∂~x 2
dζ ×
dζ
∂ζ1
∂ζ2
Noto che il modulo di un prodotto vettoriale può essere espresso come
|x × y| =
q
(x · x)(y · y) − (x · y)2
l’area differenziale infinitesima dA diventa :
1
dA = dζ dζ
2
s
∂~x ∂~x
·
∂ζ 1 ∂ζ 1
∂~x ∂~x
∂~x ∂~x
· 2 −
·
2
∂ζ ∂ζ
∂ζ 1 ∂ζ 2
(3.14)
Si consideri ora l’elemento di linea ds2 = d~x · d~x . Il differenziale totale di ~x si
ottiene come
X ∂~
x i
d~x =
dζ
i
i ∂ζ
da cui si ha
7
:
ds2 =
∂~x ∂~x i j
·
dζ dζ ≡ Gij (ζ)dζ i dζ j
∂ζ i ∂ζ j
(3.15)
Il determinante del tensore Gij restituisce l’area differenziale dA definita precedentemente , per cui , per quanto ipotizzato , si ha :
A=
3.2.2
Z
q
dζ 1 dζ 2 det(Gij )
(3.16)
L’azione per una Stringa Relativistica
Quanto ricavato nella sezione precedente può essere utilizzato per calcolare l’azione
di una corda relativistica , poichè il foglio d’universo tracciato da una corda non
è nient’altro che una superfice nello spazio tempo. I parametri ζ vengono sostituiti con σ e τ per convernzione . Assegnato uno spaziotempo di dimensione D
di coordinate xµ , una superficie verrà descritta da una funzione di mappatura
X µ (τ, σ) . Dato quindi un punto (τ, σ) nello spazio dei parametri , questo verrà
mappato come coordinate dello spazio tempo attraverso la funzione X µ
(X 0 (τ, σ), X 1 (τ, σ), . . . , X µ (τ, σ))
Verrà successivamente mostrato come τ, σ siano relativi rispettivamente alla posizione temporale e spaziale della corda. Seguendo lo stesso procedimento illustrato nella sezione precedente otteniamo :
A=
Z
s
dτ dσ
∂X µ ∂Xµ
·
∂σ
∂σ
∂X µ ∂Xµ
∂X µ ∂Xµ
·
−
·
∂τ
∂τ
∂τ
∂σ
(3.17)
tuttavia quest’espressione risulta incorretta. Essendo τ di tipo tempo , ed essendo
σ di tipo spazio , l’espressione sotto radice assumerà sempre segno negativo ,
restituiendo quindi superfici immaginarie . Per ovviare a questo inconveniente
si aggiunge un segno meno all’espressione sotto radice , definendo quindi l’area
propria come :
A=
7
Z
s
dτ dσ
∂X µ ∂Xµ
∂X µ ∂Xµ
·
−
·
∂τ
∂σ
∂σ
∂σ
∂X µ ∂Xµ
·
∂τ
∂τ
(3.18)
nella seconda equivalenza è stato introdotto il tensore metrico Gij , definito come Gij =
∂ζ i ~x · ∂ζ j ~x
Seguendo l’idea che l’azione sia proporzionale all’area spazzata dalla corda durante la sua dinamica , si introduce un’azione proporzionale all’area propria appena definita :
S = −T
Z
s
dτ dσ
∂X µ ∂Xµ
∂X µ ∂Xµ
·
−
·
∂τ
∂σ
∂σ
∂σ
∂X µ ∂Xµ
·
∂τ
∂τ
(3.19)
di più facile lettura utilizzando la seguente notazione :
Ẋ µ ≡
S = −T
Z
∂X µ
∂τ
dτ dσ
X 0µ ≡
r
Ẋ · X 0
2
∂X µ
∂σ
− Ẋ
2 (3.20)
X0
2
(3.21)
l’azione cosı̀ definita è nota come azione di Nambu-Goto . Tale azione restituisce
l’area del foglio d’universo spazzato dalla corda durante il suo moto nello spaziotempo .
Noto che un elemento di linea dello spaziotempo può essere definito come
−ds2 = dX µ dXµ = γµν dX µ dXµ = γµν
8
∂X µ ∂X ν α β
dζ dζ
∂ζ α ∂ζ β
come precedentemente si introduce la metrica indotta
ηαβ = γµν
∂X µ ∂X ν
∂ζ α ∂ζ β
e si esprime nuovamente il tutto in funzione del determinante del tensore ηαβ :
S = −T
Z
q
dτ dσ − det(ηαβ )
(3.22)
Si noti come l’azione risultante si presti bene ad essere estesa a dimensionalità
superiori , e quindi a descrivere la dinamica di oggetti di dimensione D scelta a
piacere .
3.2.3
Derivazione delle Equazioni del Moto
Lo step successivo consiste nella ricerca delle equazioni del moto , seguenti dalla
minimizzazione del funzionale appena formalizzato . L’azione espressa in termini
della densità di lagrangiana è
S=
Z σ
0
dσ
Z τ2
L(Ẋ µ , X 0µ )dτ
(3.23)
τ1
dove è chiara l’identificazione della densità di lagrangiana con il contenuto dell’equazione
(3.22). L’azione variata è
δS =
Z τ2
τ1
8
dτ
Z σ
0
∂L ∂(δX µ )
∂L ∂(δX µ )
+
dσ
∂X 0 µ ∂σ
∂ Ẋ µ ∂τ
Gli indici α, β variano fra 1 e 2 , ed inoltre ζ 1 = τ, ζ 2 = σ
(3.24)
le derivate della densità di Lagrangiana contenute in parentesi sono , semplicemente :
(Ẋ · X 0 )Xµ0 − (X 0 )2 Ẋµ
∂L
q
=
−T
∂ Ẋ µ
(Ẋ µ Xµ0 )2 − (Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
(Ẋ · X 0 )Ẋµ − (Ẋ)2 Xµ0
∂L
q
=
−T
∂X 0µ
(Ẋ µ X 0 )2 − (Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
µ
che per semplicità di scrittura verranno da qui in poi indicate come
Pµτ
(Ẋ · X 0 )Xµ0 − (X 0 )2 Ẋµ
∂L
≡
= −T q
∂ Ẋ µ
(Ẋ µ Xµ0 )2 − (Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
Pµσ ≡
(Ẋ · X 0 )Ẋµ − (Ẋ)2 Xµ0
∂L
q
=
−T
∂X 0µ
(Ẋ µ X 0 )2 − (Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
µ
segue quindi l’azione variata
δS =
Z σ
dσ
Z τ2
τ1
0
h
i
dτ Pµτ δ Ẋ µ + Pµσ δX 0µ .
(3.25)
Effettuando una semplice integrazione per parti , si ottiene :
δS = −
Z σ
0
dσ
Z τ2 τ1
Z τ2
h
iσ
∂ σ
∂ τ
µ
Pµ +
Pµ δX +
dτ Pµσ δX 0µ 

∂τ
∂σ
τ1
0

(3.26)
Il secondo termine a destra dell’equazione può essere eliminato indipendentemente
dal particolare tipo di condizioni al contorno fissate .
• Utililizzando le condizioni di Dirichlet si rendono fissi gli estremi della corda
, di conseguenza la variazione δX 0µ = 0.
• Alternativamente , fissando le condizioni al bordo di Neumann, si ottiene
esattamente lo stesso risultato , poichè il lasciare liberi gli estremi della
σ
 , ovvero :
corda si traduce nell’annullamento di Pµσ 
0
Pµσ (τ, 0) = Pµσ (τ, σ) = 0
(3.27)
l’azione variata risultante è quindi :
δS = −
Z σ
0
dσ
Z τ2 τ1
∂ σ
∂ τ
Pµ +
P δX µ
∂τ
∂σ µ
(3.28)
poichè δS deve essere 0 indipendentemente dai particolari valori degli estremi di
integrazione , si conclude che
∂Pµτ
∂Pµσ
+
= 0.
∂τ
∂σ
(3.29)
Tali equazioni del moto sono valide sia per corde aperte che chiuse , poichè la
derivazione sostenuta è del tutto generale , e non è stata fatta alcuna ipotesi sulla
particolare morfologia della corda stessa .
3.3
Parametrizzazioni Più Generali
In questa sezione verrà affrontato il problema del definire una parametrizzazione
generale per la stringa , con l’obbiettivo di risolvere in modo completo le equazioni
del moto appena ricavate . Si vedrà come la scelta di suddetta parametrizzazione
sia fondamentale per provvedere una descrizione quantistica della stringa relativistica , poichè si ottiene un espressione che ingloba tutti i suoi possibili stati
di oscillazione in funzione di alcuni coefficienti di fondamentale importanza nel
momento della quantizzazione stessa.
3.3.1
La Parametrizzazione di τ
L’azione di Nambu-Goto è chiaramente un invariante per riparametrizzazione.
Ciò fa si che in prima approssimazione le equazioni del moto associate all’azione
possano essere risolte richiamando particolari parametrizzazioni in grado di semplificare notevolmente i calcoli . In particolare esiste una parametrizzazione
parziale adatta a questo scopo , che interviene sulla sola coordinata temporale
della stringa , fissandola ad una costante. Tuttavia , questa particolare gauge
non consente una risoluzione completa delle equazioni del moto .
Da qui in poi , in modo del tutto generale , verranno esaminate gauge per le
quali τ è uguale ad una combinazione lineare di coordinate di stringa , e quindi
non è fissato ad una costante.
Tale combinazione lineare è espressa da una relazione del tipo
ηµ X µ (τ, σ) = λτ
(3.30)
che chiaramente comprende anche il particolare caso della gauge statica sopra
citato.
Presi due punti che soddisfano contemporaneamente la condizione di gauge
dettata , si ha
ηµ (xµ1 − xµ2 ) = 0.
(3.31)
Ciò implica che ogni vettore che collega punti dello spazio ηµ xµ è ortogonale ad ηµ .
L’insieme dei punti che soddisfano la condizione forma un iperpiano ortogonale
ad ηµ , e di conseguenza anche le coordinate di stringa X µ (τ, σ).
Tuttavia , le stringhe devono essere identificabili come oggetti di tipo spazio o
al più di tipo luce , ma non come oggetti di tipo tempo. Tale richesta si traduce
nell’imporre che l’intervallo δX µ si di tipo spazio per ogni due punti presi sulla
stringa. Nella gauge scelta , per garantire che l’intervallo sia di tipo spazio , o al
più di tipo tempo , si impone che ηµ sia nullo.
Dimostrazione : Sia ηµ ≡ (η0 , ~η ) un vettore nullo in uno spazio tempo di
Minkowski D-dimensionale. Essendo η nullo è automaticamente nullo il suo
quadrato
ηµ η µ = 0 ⇐⇒ |η0 |2 − |~η |2 = 0 ⇐⇒ η0 = ±|~η |
~ senza perdita di generalità assumiamo che |η0 | = eta
= 1. poichè un qualsiasi
quadrivettore bµ deve soddisfare la condizione
bµ ηµ = b0 η0 − ~b · ~η = 0 ⇐⇒ b0 − ~b · ~η = 0 ⇐⇒ b0 = ~b · ~η
dove |~η | = 1. Poichè |~η | = 1 , si ha
~
η
· ~b ≤ ~b ⇐⇒ b0 ≤ ~b
(3.32)
da ciò segue che bµ può essere solo nullo o di tipo spazio.
La parametrizzazione prima introdotta può essere quindi modificata in
ηµ X µ (σ, τ ) = λ̃(ηµ pµ )τ
(3.33)
dove λ̃ è una nuova costante che rimpiazza λ e pµ è un momento conservato ben
definito per una stringa ad estremi liberi. Dall’analisi dimensionale si conclude
che la costante λ̃ deve avere le dimensioni di una velocità su un tempo :
λ̃ ∼
c
T
λ̃ ∼
1
T
se per semplicità si pone c = 1, si ha
Per ragioni storiche è di frequente utilizzo la notazione
T =
1
2πα0
0
dove la costatante α è noto come ”Universal Regge Slope”, e alla quale mi riferirò
come ”parametro di intercetta”.
Per stringhe aperte si ha
0
λ̃ = 2α ,
da cui :
η · X(τ, σ) = 2α0 (n · p)τ
Ciò fissa la particolare generale di τ cercata.
(3.34)
3.3.2
La Parametrizzazione di σ
Si procede adesso a generalizzare la parametrizzazione di σ.Nella gauge statica,
σ è parametrizzata imponendo densità di energia P τ 0 costante lungo tutta la
lunghezza della stringa.Per rendere il tutto più generale a situazioni dove nµ è
arbitrario, si richiede che
nµ P τ µ = n · P τ = costante.
(3.35)
Per distringuere fra stringhe aperte e chiuse si considerano range di variazione
diversi per σ , rispettivamente di
• [0, π] per stringhe aperte
• [0, 2π] per stringhe chiuse.
Imporre densità di energia costante lungo tutta la superficie della stringa , equivale a richedere che
n · P τ (σ, τ ) = α(τ )
(3.36)
integrando ambo i membri dell’equazione si ottiene
Z βπ
dσn · P τ (σ, τ ) =
Z βπ
dσα(τ ) = βπα(τ )
(3.37)
0
0
dove β = 1, 2 , rispettivamente per stringhe aperte e chiuse.
Poichè per definizione
Z βπ
dσ(n · P τ (σ, τ )) = n · p
(3.38)
0
si ottiene
n · p = βπα(τ ) ⇐⇒ α(τ ) =
n·p
βπ
(3.39)
Utilizzando simultaneamente l’equazione del moto relativistica per una stringa
aperta o chiusa , e la condizione ricavata dalla parametrizzazione scelta , si ottiene
∂
∂
∂
(nµ P τ µ ) +
(nµ P τ µ ) = 0 ⇐⇒
(nµ P τ µ ) = 0
∂τ
∂σ
∂σ
(3.40)
da cui segue che n · P σ è una costante.
Per sommarizzare , le condizioni di gauge scelte sono

n · X(τ, σ)
0
= α (n · p)τ
2π
n · p =
n · Pτ
β
(3.41)
3.4
Vincoli all’Equazione delle Onde
Dalla parametrizzazione generale sviluppata nella sezione precedente si procede
alla risoluzione dell’equazione del moto associata all’azione relativistica di NambuGoto.
Si considerino le espressioni esplicite dei momenti :
Pµτ ≡
Pµσ
(Ẋ · X 0 )Xµ0 − (X 0 )2 Ẋµ
∂L
q
=
−T
∂ Ẋ µ
(Ẋ µ Xµ0 )2 − (Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
(Ẋ · X 0 )Ẋµ − (Ẋ)2 Xµ0
∂L
q
≡
= −T
∂X 0µ
(Ẋ µ Xµ0 )2 − (Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
1
dove T = − 2πα
0 . Si ha:
Pµσ = n · P σ =
1 (ẊX 0 )∂τ (n · X) − Ẋ 2 ∂σ (n · X)
q
2πα0
(Ẋ µ Xµ0 )2 − (Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
(3.42)
Il vincolo imposto dalla parametrizzazione è
n · X(σ, τ ) = βα0 (n · p)τ,
Da cui segue che
∂σ (n · X) = 0.
Inserendo quanto ottenuto all’interno dell’equazione (3.42) si ottiene :
Pµσ =
1
(Ẋ · X 0 )∂τ (n · X)
q
2πα0 (Ẋ µ X 0 )2 − (Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
(3.43)
µ
Poichè si è assunto che n · P σ = 0 , l’equazione è soddisfatta se e soltanto se
Ẋ · X 0 = 0
(3.44)
Da questa condizione segue che
Pµτ ≡
∂L
−(X 0 )2 Ẋµ
1
−(X 0 )2 Ẋµ
q
q
=
−T
=
2πα0 −(Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
∂ Ẋ µ
−(Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
Pµσ ≡
−(Ẋ)2 Xµ0
−(Ẋ)2 Xµ0
∂L
1
q
q
=
−T
=
∂X 0µ
2πα0 −(Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
−(Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
Utilizzando le equazioni di vincolo imposte dalla parametrizzazione si ottiene
che
n·p=
2π
2π 1
(X 0 )2 ∂τ (nẊ)
q
n · Pτ =
β
β 2πα0 −(Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
(3.45)
Tenendo conto dell’equazione (3.41) , segue immediatamente che
∂τ (n · X) = βα0 (n · p).
(3.46)
Si conclude che deve essere
n·p=
2π 1
(X 0 )2 β(n · p)
q
⇐⇒
β 2πα0 −(Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
(3.47)
(X 0 )2
⇐⇒ q
=1
−(Ẋµ Ẋ µ )2 (X 0 )2
(3.48)
Ẋ 2 + X 02 = 0.
(3.49)
(Ẋ ± X 0 )2 = Ẋ 2 + X 02 + ẊX 0 ,
(3.50)
da cui segue che
Poichè
e poichè vale l’equazione (3.45) , si ha
(Ẋ ± X 0 )2 = 0.
(3.51)
Dall’equazione (3.49) segue che
q
−Ẋ 2 X 02 =
√
X 02 X 02 = X 02
(3.52)
Condizione che consente di semplificare notevolmente le espressioni dei momenti:
Pτµ =
1
Ẋ µ
2πα0
1 Ẋ 2 X 0µ
1
=
−
X 0µ
2πα0 X 02
2πα0
Utilizzando l’equazione del moto , si ottiene :
P σµ =
1
∂
∂
1
−
X 0µ +
Ẋ µ = 0 ⇐⇒ Ẍ µ = X µ00
0
∂σ
2πα
∂τ 2πα0
L’equazione delle onde.
(3.53)
3.5
Soluzioni Generali all’Equazione delle Onde
Qui di seguito verranno risolte le equazioni del moto per entrambi i tipi di stringhe
relativistiche , sia aperte che chiuse, a partire della più generale delle soluzioni
all’equazione delle onde . Quanto segue in questa sezione è di fondamentale
importanza , poichè il capitolo relativo alla quantizzazione di stringa trattato
in quest’opera , è interamente basato su quanto verrà sviluppato nelle pagine
successive.
Stringhe aperte con estremi liberi : La soluzione più generale all’equazione
delle onde può essere espressa in termini di due distinte soluzioni in evoluzione
in ”direzioni opposte” :
1
X µ (τ, σ) = (f µ (τ + σ) + g µ (τ − σ))
2
(3.54)
Utilizzando le consizioni al contorno di Neumann , che impongono l’annullarsi di
∂σ X µ (τ, σ)|0,π ,
si ha :
1
∂σ X µ (τ, σ = 0) = (f 0µ (τ ) − g 0µ (τ )) = 0
2
(3.55)
g 0µ (τ ) = f 0µ (τ ) ⇐⇒ f µ (τ ) = g µ (τ )
(3.56)
1
∂σ X µ (τ, σ = π) = (f 0µ (τ + π) + f 0µ (τ − π)) = 0
2
(3.57)
da cui segue che
Si ha inoltre
da cui segue che
f µ (τ + π) + f (τ − π) = 0
(3.58)
La seconda condizione in particolare esprime il fatto che la soluzione è periodica di 2π rispetto a τ , per cui è possibile sviluppare f 0µ in serie di Fourier.
Si ha
X µ (τ, σ) =
∞
X
1 µ
f0 + f1µ τ +
[Aµn cos(nτ ) + Bnµ sin(nτ )] cos(nσ)
2
n=1
(3.59)
Per attribuire un interpretazione fisica più chiara ai coefficienti moltiplicativi nello
sviluppo di Fourier , poniamo
i
(Bnµ + iAµn )einτ − (Bnµ + −Aµn )e−inτ ] =
2
√
i 2α0 †µ inτ
= − √ [an e − aµn e−inτ ]
n
Aµn cos(nτ ) + Bnµ sin(nτ ) = −
(3.60)
µ
dove a†µ
n , an sono complessi coniugati , e come verrà mostrato in seguito sono ricollegabili ad operatori di creazione e distruzione non dissimili agli analoghi introdotti per l’oscillatore armonico quantistico. Può essere inoltre fornita un’interpretazione
fisica più chiara della costante f1µ , infatti :
P µτ =
∞
X
1
1
µ
µ
Ẋ
=
[f
+
(B µ n cos(nτ ) − Aµn n sin(nτ ))]
2πα0
2πα0 1 n=1 n
(3.61)
Integrando su σ , si ottiene
µ
P =
Z π
P τ µ dτ =
0
1 µ
f1 π ⇐⇒ f1µ = 2α0 P µ
0
2πα
(3.62)
dove P µ è il momento totale della stringa. Infine , si identifica la costante f0µ
con il centro di massa X0µ , della stringa , in modo da ottenere un’espressione
semplificata e di più chiara interpretazione fisica per X µ (τ, σ):
µ
X (τ, σ) =
X0µ
∞
√ X
†µ inτ
µ −inτ cos(nσ)
0
+ 2α P τ − i 2α
(an e − an e
) √
n
n=1
0
µ
(3.63)
Per semplificare ulteriormente la notazione , si pone
 µ
√

α
=
2α0 P µ

0

√
αnµ = αnµ n


√
 †µ
αn = αn†µ n
Per risolvere l’equazione delle onde è necessaria la conoscenza delle derivate
spaziali e temporali di X µ (τ, σ), che possono essere facilmente calcolare a partire
dall’equazione (3.62).
Con le definizione appena imposte , si ha :

√
√
P
µ
1 µ −inτ
µ
0 αµ τ + i 2α0

+
cos(nσ)
X
(τ,
σ)
=
X
2α

n6=0 n αn e
0
0

√
P
µ
µ
−inτ
0
(3.64)
Ẋ = 2α n αn cos nσe

√

P
 0µ
µ
−inτ
X = −i 2α0 αn sin(nσ)e
Di conseguenza , si ottiene
(Ẋ µ ± X 0µ ) =
√
X
2α0
αnµ e−in(τ ±σ)
(3.65)
n∈Z
Spesso la soluzione all’equazione delle onde viene espressa in funzione di
soluzione in evoluzione lungo la stessa direzione , ma in verso opposto (onde
viaggianti verso destra e sinistra). In altre parole :
X µ (τ, σ) = XLµ (τ + σ) + XRµ (τ − σ)
(3.66)
Da qui in poi verranno sottintese le dipendenze temporali e spaziali per comodità
di scrittura. Espandendo in serie di Fourier :

X µ
L
 µ
XR
=
=
µ
XL,0
2µ
XR,0
2
+
+
q
0
α0 µ
P̃ + i α2
2
q
0
α0 µ
P + i α2
2
α̃µ −in(τ +σ)
n6=0 n e
P
αµ −in(τ −σ)
n6=0 n e
P
(3.67)
Le condizioni di Neumann sono comunque valide e possono mostrare qualcosa di
interessante dal punto di vista dell’interpretazione fisica , per cui si procede con
il calcolare le derivate rispetto a σ :
∂ µ α0 µ
X = P̃ +
∂σ L
2
s
α0 X †µ −in(τ +σ)
α e
2 n6=0 n
(3.68)
∂ µ
α0 µ
X =− P −
∂σ R
2
s
α0 X µ −in(τ −σ)
α e
2 n6=0 n
(3.69)
e si impone che
∂ µ
∂ µ 
=0
(3.70)
XL +
X 
∂σ
∂σ R σ=0
Combinando le equazioni (3.68) e (3.69) con l’equazione (3.70) si ottiene

s
0
µ
µ
α (P − P̃ ) +
α0 X µ
(αn − αn?µ )e−inτ = 0
2 n6=0
(3.71)
Da cui , si conclude che :

P µ
= P̃ µ
αµ = α†µ
n
n
(3.72)
Essendo questi coefficienti relativi rispettivamente al moto di sinistra e di
destra della stringa , rispetto al centro di massa , si conclude che il moto è
simmetrico rispetto ad esso. Ciò , dal punto di vista fisico , impone che una stringa
aperta con estremi liberi abbiamo moto sinistro e destro combinati a formare
onde stazionarie. Si noti inoltre come le condizioni imposte dalle equazioni (3.71)
riconducano alla soluzione per X µ (τ, σ) proposta dall’equazione (3.63).
Stringhe Chiuse : Nel caso di stringhe chiuse vi sono due condizioni aggiuntive di cui tener conto :
• E’ presente una naturale periodicità spaziale : X µ (τ, σ) ∼ X µ (τ, σ + 2π)
• I momenti P µ , P̃ µ , relativi al moto destro e sinistro sono automaticamente
equivalenti.
Di conseguenza , attuando un espansione non dissimile dalla precedente, si ha

X µ
L
 µ
XR
Pµ =
=
=
Z 2π
µ
XL,0
2µ
XR,0
2
+
+
P τ µ (τ, σ)dσ =
0
Pµ =
α̃µ
n −in(τ +σ)
n6=0 n e
P
αµ
n −in(τ −σ)
n6=0 n e
(3.73)
1 Z 2π √ 0 µ
2
dσ 2α α0 = 0 α0µ
0
2πα 0
α
(3.74)
q
0
α0 µ
P + i α2
2
q
0
α0 µ
P + i α2
2
P
2 µ
2
α0 ⇐⇒ P̃ µ = 0 α̃0µ ⇐⇒ α̃0µ = α0µ
0
α
α
(3.75)
1
X (τ, σ) =
XLµ (τ + σ) + XRµ (τ − σ) =
2
µ
s
√
α0 X e−inτ µ inσ
= X0µ + 2α0 α0µ τ + i
(αn e + α̃nµ e−inτ )
2 n6=0 n
(3.76)
3.6
Risoluzione dell’Equazione delle Onde nella
Gauge del Cono di Luce
Benchè l’equazione delle onde sia stata risolta sia per stringhe aperte che chiuse,
bisogna ancora verificare che i vincoli precedentemente imposti siano soddisfatti.
Quest’operazione può essere agevolmente fatta nella gauge del cono di luce, in
modo tale da risolvere l’equazione e contemporaneamente soddisfare i vincoli imposti.Le soluzioni delle equazioni del moto nella gauge del cono di luce implicano
l’utilizzo delle coordinate del cono di luce per rappresentare il moto della stringa.
L’utilizzo di tale sistema di coordinate,come mostrato in appendice D, implica
l’utilizzo delle coordinate X + ed X − al posto di X 0 ed X 1 . Si tratta sostanzialmente di cambio di coordinate, ma il passaggio vero e proprio alla gauge è più
sostanziale , e consiste nell’imporre che
n · X = X+
(3.77)
il quadrivettore nµ che soddisfa tale condizione è di coordinate ( 21 , 12 , 0, 0),
infatti
1 n · X = √ X 0 + X 1) = X +
2
1 n · P = √ P 0 + P 1) = P +
2
(3.78)
Segue che:
2π Z σ
dσP τ + (τ, σ)
β 0
dove β = 2, 1 rispettivamente in caso di stringhe aperte o chiuse.
X + (τ, σ) = βα0 p+ τ
p+ σ =
(3.79)
La seconda equazione esprime il fatto che la densità di p+ è costante lungo la
stringa. La strategia di base dell’utilizzo della gauge del cono di luce risiede nel
mostrare che non c’è dinamica lungo la direzione X − , e che tutta la dinamica è
concentrata nel set delle cosiddette coordinate trasverse X I = (X 2 , X 3 , . . . , X D ).
Utilizzando le equazioni di vincolo , nella gauge del cono di luce si ha
0
0
0
−2(Ẋ + ± X + )(Ẋ − ± X − ) + (Ẋ I ± X I )2 = 0
(3.80)
0
Poichè X + = 0 e poichè Ẋ + = βα0 p+ , si ottiene
0
Ẋ − ± X − =
1
I
I0 2
(
Ẋ
±
X
)
2βα0 p+
(3.81)
equazione che tuttavia non è ben definita per p+ = 0.
Il momento p+ è una quantità definita positiva , che tuttavia in alcune situazioni può essere nulla. Ciò accade , ad esempio . nel caso in cui si ha una
particella di massa nulla che si muove esattamente nella direzione negativa X 1 .
Poichè tale situazione è di scarsa occorrenza , e poichè il formalismo del cono di
luce richiede che p+ sia una quantità strettamente positiva , si supporrà p+ > 0.
0
Le equazioni di qui sopra consentono di determinare Ẋ − e X − in termini delle
X I e di una costante di integrazione additiva. Il ruolo cruciale della gauge e delle
coordinate del cono di luce , è il consentirci di risolvere la dinamica in funzione
delle derivate di X − .
Questa scelta è cruciale sulla metrica di Minkowski , poichè X − è un elemento
fuori diagonale , che di conseguenza non compare sotto radice . La dinamica
completa della stringa è quindi descritta e determinata dalle quantità
(X I (τ, σ), p+ , X0− )
dove con X0− è stata indicata la costante proveniente dall’integrazione di X − .
Stringhe Aperte ( β = 2): Si considerino le soluzioni per le coordinate
trasverse a partire dalla soluzione generale precedentemente ricavata:
X I (τ, σ) = X0I +
√
√
X 1
2α0 α0I + i 2α0
αnI e−inτ cos(nσ)
n
n6=0
A causa della condizione di gauge imposta , si ha che
√
X + (τ, σ) = 2α0 p+ τ = 2α0 α0+ τ.
(3.82)
(3.83)
Nella gauge del cono di luce , le oscillazioni contenute nel termine di espansione
di Fourier di X + sono automaticamente nulle!

√
+
+

= 2α0 α0+ τ

X = 2αp τ √
√
P∞ 1 − −inτ
−
−
0 α− τ + i 2α0
(3.84)
+
X
=
X
cos(nσ)
2α
0
0
n6=0 n αn e

√
√

P
 −
1 I −inτ
X = X0I + 2α0 α0I τ + i 2α0 ∞
cos(nσ)
n6=0 n αn e
X − è di fatto una combinazione lineare di X 0 , X 1 , per cui soddisfa l’equazione
delle onde e le condizioni al contorno soddisfatte da tutte le altre coordinate.
In breve , si ha :
X − (τ, σ) = X0− +
da cui :
√
√
X 1
2α0 α0− + i 2α0
αn− e−inτ cos(nσ)
n6=0 n
0
Ẋ − ± X − =
√
(3.85)
αn− e−in(τ ±σ)
(3.86)
√
X
αnI e−in(τ ±σ)
2α0
(3.87)
2α0
X
n∈Z
0
Ẋ I ± X I =
n∈Z
utilizzando l’equazione (3.85) il tutto può essere risolto in funzione della componente oscillatoria ”-” :
√
X
1 X I I −i(p+q)(τ ±σ)
2α0
αn− e−in(τ ±σ) = +
α α e
2p p,q∈Z p q
n∈Z
=
=
1 X I I
α α e−in(τ ±σ)
2p+ p,n∈Z p n−p
1 X X I I
α
α
e−in(τ ±σ)
2p+ n∈Z pinZ p n−p
da cui risulta naturale l’identificazione
√
1 X I
2α0 αn− = +
α αI
2p p∈Z n−p p
(3.88)
(3.89)
Ciò rappresenta una soluzione completa all’equazione delle onde , poichè si
ha un espressione esplicità per i coefficienti αn− in funzione di αnI . La soluzione
generale è fissata specificando i valori di p+ , X0− , X0I e delle costanti αnI , che di
fatto determinano completamente X I (τ, σ), X + (τ, σ).
L’equazione appena ricavata consente di calcolare i coeffiecienti αn− che determinano completamente X − (τ, σ) nota la costante di integrazione X0− .
Spesso ci si riferisce alla combinazione di coefficienti nell’equazione (3.89) come
modi trasversi di Virasoro :
L⊥
n ≡
1X I
α αI
2 p∈Z n−p p
(3.90)
Tali modi , come verrà mostrato , sono di fondamentale importanza nella teoria
quantistica di stringa .
3.6.1
Calcolo della Massa
E’ istruttivo ed interessante calcolare la massa della stringa in funzione del particolare stato di oscillazione . Tale operazione può essere svolta utilizzando i modi
di Virasoro appena definiti.
Partendo dall’equazione relativistica nel cono di luce si ha
m2 = −p2 = 2p+ p− − pI pI
(3.91)
per n = 0 l’equazione (3.89) assume la forma :
√
2α0 α0− = 2α0 p− =
1 ⊥
L
p+ 0
(3.92)
da cui segue che
1 ⊥
L
(3.93)
α0 0
Esprimendo l’operatore L⊥
0 a partire dalla definizione fornita dall’equazione (3.90)
, si ottiene
2p+ p− =
2p+ p− =
∞
∞
1 1 I I X
1 X
†I I
I I
I
α
α
+
α
α
=
p
p
+
n(a†I
n an )
α0 2 0 0 n=1 n n
α0 n=1
(3.94)
che sostituita nell’equazione (3.91) restituisce la massa della stringa in funzione
della costante α0 e dei modi di oscillazione
m2 = 2p+ p− − pI pI =
∞
1 X
I
n(a†I
n an )
α0 n=1
(3.95)
3.7
Correnti Conservate e Momento Angolare
Il momento angolare è una grandezza fisica di interesse nella descrizione di sistemi
fisici sia classici che quantistici , e consiste in una particolare corrente conservata
dell’azione di Nambu-Goto . L’oggetto di questa sezione sarà dimostrare che nel
tentativo di ricavare una corrente conservata , applicando il teorema di Noether
successivamente ad una simmetria di Lorentz sulla Lagrangiana , si ottiene una
corrente conservata identificabile come momento angolare della stringa .
Per definizione una trasformazione , o simmetria , di Lorentz è una trasformazione di coordinate su un quadrivettore xµ che lascia invariata la grandezza
γµν xµ xν , o in modo del tutto equivalente , si tratta di una trasformazione infinitesimale
X µ → X µ + δX µ
µ
(3.96)
µν
dove δX = Xν , e dove µν è un tensore completamente antisimmetrico .
Con queste definizioni è possibile dimostrare che la densità di Lagrangiana
L è un invariante di Lorentz, ovvero è invariante sotto la particolare classe di
trasformazioni appena introdotta.
Ogni termine nell’azione di Nambu-Goto è della forma
ηµν
∂X µ ∂X ν
∂ξ α ∂ξ β
(3.97)
la variazione infintesima di tale termine è nulla , infatti
ν
∂X µ ∂X ν
∂X µ ∂
∂
µ ∂X
(δX
)
+
(δX ν )
=
η
µν
∂ξ α ∂ξ β
∂ξ α
∂ξ β
∂ξ α ∂ξ β
∂X ρ ∂X ν
∂X µ ∂X ρ
∂X µ ∂X ν
= νρ α
+ µρ α
→ δ ηµν α
=0
∂ξ ∂ξ β
∂ξ ∂ξ β
∂ξ ∂ξ β
Si procede quindi alla costruzione della conservate utilizzando questa simmetria di Lorentz.
δ ηµν
Mediante il teorema di Noether si calcola la corrente conservata
a
jµν
=
∂L
δX µ = Pµa µν Xν
µ
∂(∂a X )
(3.98)
sfruttando il fatto che il tensore µν è antisimmetrico , si ha
1
a
jµν
= µν (Xµ Pνa − Xν Pµa )
2
(3.99)
Il ruolo del tensore antisimmetrico µν è del tutto irrilevante nella definizione della
corrente conservata ricercata , di conseguenza , la corrente conservata si definisce
come
a
Jµν
= Xµ Pνa − Xν Pµa
(3.100)
poichè P può essere visto come densità di momento , si conclude che J è identificabile come densità di momento angolare del sistema . Il momento angolare del
sistema si ottiene integrando J sulle linee di τ costante
J=
Z π
0
dσ(Xµ Pνa
−
Xν Pµa )
1 Zπ µ ν
=
(X Ẋ − X ν Ẋ µ )dσ
0
2πα 0
(3.101)
Utilizzando l’espansione in modi fondamentali proposta nella sezione precedente , e sviluppando alcuni elementari calcoli , è possibile dimostrare che
J µν = xµ0 pν − xν0 pµ + i
∞
X
1 ν µ
µ
)
(α−n αn − αnν α−n
n
n=1
(3.102)
Il momento angolare della stringa dipende quindi dai coefficienti αnµ , in altre
parole , come verrà successivamente mostrato , dipende da operatori di creazione
e distruzione non dissimili dai canonici di un oscillatore armonico quantistico.
Concludo il capitolo osservando che
d µν
J =0
dτ
(3.103)
di conseguenza , il momento angolare di una stringa bosonica è una costante del
moto.
4. Alcune Nozioni di Teoria
Quantistica dei Campi
Qui di seguito si procederà con l’illustrare i primi fondamentali risultati di base
della teoria quantistica dei campi , indispensabili per comprendere i concetti di
base della teoria quantistica di stringa . Sebbene in quest’opera non si entrerà
troppo nello specifico , limitandosi al caso di stringhe bosoniche , è comunque
neccessario sviluppare alcuni concetti neccessari per una comprensione più completa di quest’argomento. Si discuterà la quantizzazione di campi bosonici neutri
, utilizzando la prima versione relativistica dell’equazione di Shrödinger , ovvero
l’equazione di Klein-Gordon .
4.1
L’Equazione D’Onda di Klein-Gordon
Il primo tentativo di unificazione fra teoria quantistica e teoria relativistica è
sostanzialmente una generalizzazione relativistica dell’equazione di Schrödinger.
In unità naturali , l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo è :
ih̄
∂
ψ = Ĥψ
∂t
(4.1)
equivalentemente , identificando l’operatore Hamiltoniano con l’energia:
ih̄
∂
ψ = Eψ
∂t
(4.2)
Ciò consente di vedere l’energia dal punto di vista operatriale come
E → ih̄
∂
.
∂t
L’equazione di Einstein per l’energia è
E 2 = c2 p2 + m2 c4
Ricordando che in meccanica quantistica l’impulso è descritto dal punto di vista
operatoriale dall’equazione :
~
p̂ = i∇
(4.3)
si ha :
E 2 = p2 + m2 ⇐⇒ −
∂2
= −∇2 + m2
∂t2
∂2
− ∇2 + m2 = 0
∂t2
applicando l’equazione (4.5) ad una generica funzione φ(~r, t) , si ottiene :
(4.4)
∂2
− ∇2 + m2 φ(~r, t) = 0
∂t2
(4.5)
35
(4.6)
Tale equazione può essere riscritta in modo più sintetico e coerente con la notazione tensoriale utilizzata nel testo , come :
(∂µ ∂ µ + m2 )ψ = 0
(4.7)
dove sono sottintese la metrica di Lorentz come sfondo spazio-temporale e la
convenzione di Einstein per gli indici ripetuti.
L’equazione appena scritta descrive una particella libera , ovvero non soggetta
a forze esterne. La soluzione è di conseguenza del tipo onda piana
φ(~r, t) = e−ip
µr
µ
Inoltre , è immediato constatare che :
• ∂t φ = −iEφ
~ = i~pφ
• ∇φ
Utilizzando entrambe le informazioni appena ricavate e l’equazione d’onda di
Klein-Gordon , si ha :
q
∂2
2
2
2
2
2
−∇ +m φ(~r, t) = 0 ⇐⇒ E −~p −m = 0 ⇐⇒ E = ± p~2 + m2 (4.8)
∂t2
Appare immediatamente chiaro come l’equazione di Klein-Gordon generi automaticamente stati energetici negativi. Questa caratteristica portò in prima battuta ad abbandonare l’equazione , che oltretutto forniva una descrizione incorretta dello spettro di emissione ed assorbimento dell’atomo di Idrogeno. Tuttavia
, successivamente l’equazione venne trovata corretta nella descrizione di particelle bosoniche di spin nullo , e di conseguenza mantenuta come utile strumento
d’azione in teoria quantistica dei campi . Successivamente si trovò che gli stati
ad energia negativa suggeriti dall’equazione non sono necessariamente un probelma . Tuttavia , l’equazione di Klein-Gordon porta inevitabilmente a densità
energetiche negative nel caso di particelle libere.
Ciò può essere mostrato in modo esplicito considerando la usuale corrente di
probabilità definibile a partire dall’equazione di Schrödinger
~ + iφ∇φ
~ ?
J~ = −iφ? ∇φ
il cui gradiente restituisce
~ · J~ = −iφ? ∇2 φ + iφ∇2 φ?
∇
utilizzando l’equazione di Klein-Gordon
∇2 φ = ∂t2 φ + m2
si ha :
2
2 ?
~ · J~ = −i φ? ∂ φ − φ ∂ φ
(4.9)
∇
∂t2
∂t2
Noto che in meccanica quantistica sussiste un’equazione di continuità per la probabilità , della forma
∂ρ ~ ~
+∇·J =0
∂t
è immediata l’identificazione
∂ 2φ
∂ρ
∂ 2 φ?
= i φ? 2 − φ 2
∂t
∂t
∂t
da cui :
∂φ?
ρ=i φ
−φ
∂t
∂t
? ∂φ
ricordando che
∂φ
= −iEφ
∂t
(4.10)
(4.11)
∂φ?
= iEφ
∂t
si ha
ρ = i(−iEφ? φ − iEφφ? ) = 2E
→
q
ρ = −2 p~2 + m2 < 0
(4.12)
Si conclude che l’equazione di Klein-Gordon restituisce inevitabilmente densità di
probabilità negative , che chiaramente non hanno alcun significato fisico , poichè
la probabilità deve essere un oggetto definito positivo.
Per risolvere tale problema è necessario quantizzare φ , procedimento che sarà
oggetto della sezione successiva.
4.2
Quantizzazione Di Campi Scalari Liberi
Il processo di quantizzazione di un campo impone l’introduzione di alcune regole
di commutazione fra operatori. In meccanica quantistica classica , ad esempio ,
il processo di quantizzazione canonica si riferisce all’imposizione della relazione
fondamentale di commutazione fra gli operatori di posizione e di impulso :
[x̂, p̂] = i
(4.13)
Una procedura del tutto simile si utilizza per quantizzare campi scalari , con
un metodo noto come Seconda Quantizzazione. Nella teoria quantistica dei campi
posizione e momento tornano ad essere considerati come parametri , mentre la
funzione d’onda viene promossa ad operatore. Il processo del rendere operatoriale
una funzione d’onda , o più in generale un campo , segue immeditamente dopo
aver imposto delle regole di commutazione con il suo complesso coniugato.
A questo punto un campo verrà interpretato come operatore , poichè agisce su
uno stato creando o distruggere particelle , rispettivamente se ci stiamo riferendo
ad esso o al suo complesso coniugato . Nella sezione immediatamente successivo
verrà brevemente illustrato il processo di diagonalizzazione algebrica di un oscillatore armonico quantistico , essenziale per il successivo passaggio di quantizzazione
del campo scalare di Klein-Gordon , ed oltre.
4.3
Oscillatore Armonico Quantistico : Diagonalizzazione Algebrica
L’oscillatore armonico è uno dei problemi classici della meccanica quantistica ,
oltretutto di fondamentale importanza , poichè nelle prossimità di un punto di
equilibrio ogni potenziale è quantomeno approssimabile come armonico.
L’Hamiltoniano descrittivo del sistema è
p2
1
H=
+ mω 2 x2
2m 2
dove ω =
q
(4.14)
k
.
m
Esiste un metodo semplice ed elegante per descrivere lo spazio degli stati
dell’oscillatore armonico quantistico .
Introdotti gli operatori :
r
a=
a† =
s
mω
1
x+i
p
2h̄
2mωh̄
r
s
mω
1
x−i
p
2h̄
2mωh̄
detti rispettivamente di distruzione e di creazione , si ha che
s
x=
h̄
(a + a† )
2mω
s
p = −i
mωh̄
(a − a† )
2
Inoltre , come è semplice verificare , vale la regola di commutazione [a, a† ] = 1.
In termine degli operatori appena definiti , l’Hamiltoniana assume la forma :
1
h̄ω
(aa† + a† a) = h̄ω a† a +
.
2
2
H=
(4.15)
Definito l’operatore
N̂ = â† â
che soddisfa l’equazione agli autovalori
N̂ |ψn i = n |ψn i
(4.16)
è possibile esprimere l’Hamiltoniana in termini di N̂ come
1
Ĥ = h̄ω N̂ +
(4.17)
2
poichè gli autostati dell’Hamiltoniano soddisfano l’equazione
1
Ĥ |ψn i = h̄ω N̂ +
|ψn i
(4.18)
2
si ottiene immediatamente lo spettro energetico
1
En = h̄ω(n + ).
2
Gli operatori di distruzione e di creazione vengono definiti tali in quanto consentono di salire o scendere di stato energetico a partire da uno stato ψn , secondo
le seguenti relazioni di facile verifica :
• â |ψn i =
√
n |ψn−1 i
√
• â† |ψn i = n + 1 |ψn+1 i
Poichè il potenziale armonico del problema specifico è una quantità definita positiva che al più puo esser nulla , si è certi che una ripetuta applicazione dell’operatore
di distruzione â porterà inevitabilmente ad uno stato di energia minima , tale che
â |ψ0 i = 0
(4.19)
ricordando l’espressione esplicita di â è possibile calcolare esplicitamente la funzione d’onda e l’energia di tale stato. Si ha :
h̄
d
mωx
d
ψ0 + (mωx)ψ0 = 0 ⇐⇒
ψ0 = −
ψ0
dx
dx
h̄
(4.20)
l’equazione differenziale è facilmente risolvibile per separazione di variabili, e la
soluzione è
mω 2
ψ0 (x) = Ae− 2h̄ x
(4.21)
Dove A è una costante di normalizzazione , calcolabile imponendo
2
hψ0 |ψ0 i = 1 ⇐⇒ |A|
Z +∞
− mω
x2
h̄
e
−∞
mω
dx = 1 ⇐⇒ A =
πh̄
1
4
(4.22)
per cui , si ha
1
mω 4 − mω x2
e 2h̄
ψ0 (x) =
(4.23)
πh̄
Lo stato energetico corrispondente si ottiene inserendo ψ0 nell’equazione agli autovalori con Ĥ espresso in funzione di â† â
h̄ω
1
ψ0 = E0 ψ0 →
ψ0 = E0 ψ0
h̄ω a a +
2
2
†
(4.24)
segue quindi che
E0 =
h̄ω
2
(4.25)
Come già anticipato dall’equazione (4.18).
A questo punto è possibile costruire l’intero spazio degli stati semplicemente
mediante applicazioni ripetute dell’operatore di creazione â† .
Di fatto , si ha :
ψn = An (â† )n ψ0
dove An è una costante di normalizzazione da determinare.
(4.26)
4.4
Quantizzazione del Campo Scalare di KleinGordon
Il procedimento precedentemente illustrato viene spesso utilizzato in teoria quantistica dei campi , con l’unica e sostanziale differenza che uno stato |ni non è più
identificato come uno stato di particella singola, ma bensi come stato di un campo con n particelle. L’operatore di creazione aggiunge una particella al campo
, mentre l’operatore di distruzione la sottrae. Di conseguenza , qui di seguito si
applica quanto visto per l’oscillatore armonico quantistico ad un campo scalare
reale che soddisfi l’equazione di Klein-Gordon:
∂µ ∂ µ φ + m2 φ = 0.
(4.27)
Una soluzione dell’equazione sarà:
φ(~r, t) = e−i(Et−~p·~r)
identificando il tempo come componente zero del quadrivettore xµ , e passando
ad unità naturali , si ha :
• E → k 0 = ωk
• p~ → ~k
in questo modo il campo φ viene espresso come sola funzione del quadrivettore
xµ , come :
0 ~
φ(xµ ) = φ(x) = e−i(ωk x −k·~x)
(4.28)
a questo punto è possibile esprimere φ in termini della sua espansione di Fourier
φ(x) =
Z
h
i
d3 k
0 ~
0 ~
φ(~k)e−i(ωk x −k·~x) + φ? (~k)ei(ωk x −k·~x)
3√
(2π) 2 2ωk
(4.29)
Come anticipato , in teoria quantistica dei campi gli operatori di posizione e di
impulso tornano ad essere trattati come parametri , mentre la funzione d’onda
viene promossa ad operatore.
Questa operazione può essere fatta identificando:
• φ(~k) → â(~k)
• φ? (~k) → aˆ† (~k)
dove â(~k) e aˆ† (~k) agiscono in modo del tutto simile agli operatori di creazione
e distruzione dell’ oscillatore armonico quantistico precedentemente discusso .
L’equazione (4.16) prende quindi la forma
φ(x) =
Z
h
i
d3 k
0 ~
0 ~
â(~k)e−i(ωk x −k·~x) + â† (~k)ei(ωk x −k·~x) .
3√
(2π) 2 2ωk
Per imporre le regole di commutazione necessarie a concludere l’identificazione
operatoriale del campo φ è necessaria l’espressione analitica del suo momento
coniugato.
Il calcolo di questo richiede la conoscenza esplicita della densità di Lagrangiana
in questione.
4.4.1
La Lagrangiana di Klein-Gordon :
Consideriamo il campo φ(x).
Per sua definizione , essendo un campo scalare , è invariante sotto trasformazioni di Lorentz. In altre parole
φ(x0 ) = φ(x).
Poichè la densità di Lagrangiana deve essere un invariante sotto trasformazioni
di Lorentz , e poichè ci si aspetta di ricavare un equazione d’onda lineare , la
∂φ ∂φ
densità di Lagrangiana potrà contenere solo termini dell’ordine di φ2 e di ∂x
µ.
µ ∂x
Una possibile densità di Lagrangiana è quindi :
1h
∂µ ∂ µ − m2 ]φ
(4.30)
2
sostituendo L nelle equazioni di Eulero-Lagrange per una Lagrangiana L ≡
L(φ, ∂µ φ) , si ha
L=
∂
∂L
∂L
∂φ
∂
−
+ m2 φ = 0
=0→−
µ
∂xµ ∂(∂xµ φ )
∂φ
∂xµ ∂x
ovvero
∂µ ∂ µ φ + m2 φ = 0
(4.31)
La densità di Lagrangiana (4.17) restituisce esattamente l’equazione di KleinGordon.
4.4.2
Regole di Commutazione
Calcoliamo quindi il momento coniugato al campo φ, come :
Π(x) =
∂L
⇐⇒ Π(x) = ∂0 φ
∂(∂0 φ)
(4.32)
calcoliamo quindi Π(x) a partire dall’espansione di Fourier di φ(x) dell’equazione
(4.16):
∂0 φ(x) =
h
i
d3 k
0 ~
0 ~
φ(~k)e−i(ωk x −k·~x) + φ? (~k)ei(ωk x −k·~x)
3√
(2π) 2 2ωk
Z
∂0 φ̂(x) = ∂0
= −i
Z
Z
(4.33)
h
i
d3 k
0 ~
0 ~
â(~k)e−i(ωk x −k·~x) + â† (~k)ei(ωk x −k·~x)
3√
(2π) 2 2ωk
d3 k
r
i
ωk h ~ −i(ωk x0 −~k·~x)
0 ~
+ â† (~k)ei(ωk x −k·~x)
â(k)e
2
(4.34)
(2π)
è possibile dimostrare che , a partire dalle equazioni (4.16) e (4.21) , sussistono
le seguenti regole di commutazione , dette di ”ugual tempo”:
3
2
[φ̂(x), Π̂(y)] = iδ(x − y) = −iδ(y − x)
(4.35)
ˆ
[φ̂(x), φ̂(y)] = [Π̂(x), (Π)(y)]
=0
(4.36)
La denominazione ”Ugual Tempo” sussiste poichè stiamo supponendo di ”osservare” i campi allo stesso istante temporale . In altre parole x0 = y 0 . Tuttavia ,
in generale ~x 6= ~y .
4.5
Spazio degli Stati
Ora che gli operatori di campo sono stati correttamente identificati come operatori
di creazione e di distruzione , è possibile costruire lo spazio (di Fock) degli stati
seguendo un procedimento del tutto simile a quello utilizzato per l’oscillatore
armonico quantistico. L’applicazione dell’operatore di distruzione φ(~k) = â(~k)
sullo stato corrispondente al vuoto , ovvero all’assenza di particelle , restituisce :
â(~k) |0i = 0
(4.37)
uno stato di particella singola è invece espresso dalla relazione
|ki = â† |0i
(4.38)
è quindi possibile costruire lo spazio di Fock applicando operatori di creazione
differenti sullo stato di vuoto :
|k1 , k2 , . . . , kn i = aˆ1 † (k~1 )aˆ2 † (k~2 ) . . . aˆn † (k~3 ) |0i
(4.39)
dove l’operatore â† (k~i ) crea una particella di momento k~i . Analogamente al caso
non relativistico è possibile definire l’operatore
N = â† (~k)â(~k)
di autovalore n(~k) indicativo del numero complessivo
Edi particelle con momento
~k sullo stato dove misuriamo N . In termini di n(k~i ) lo spazio di Fock assume
la forma :
~
n
E
Y
(â† )n(kj )
~
~
~
q
(4.40)
n(k1 )n(k2 ) . . . n(kn ) =
j=1
n(k~j )!
del quale è possibile calcolare il numero complessivo di particelle integrando N
su tutti i possibili stati di momento :
N̂ =
d3 k
Z
q
(2π)3 2ωk
â† (~k)â(~k)
(4.41)
Lo step successivo consiste nel controllare che lo spazio degli stati appena costruito
sia normalizzato. In altre parole , occorre controllare che ogni singolo stato
costruito verifichi la condizione :
hk|ki = 1
(4.42)
Partiamo quindi dallo stato di vuoto , supponendo che esso sia normalizzato. Per
normalizzare stati di particelle successivi procediamo utilizzando gli operatori di
creazione e distruzione e le regole di commutazione ad essi associate. Ricordando
che
â† (~k) |0i = |ki ⇐⇒ hk| = h0| â† (~k)
si ha :
hk|k 0 i = h0| a(~k)a† (k~0 ) |0i = h0| a(~k)a† (~k) + δ(~k − k~0 ) |0i
= h0| a(~k)a† (~k) |0i + h0| δ(~k − k~0 ) |0i = δ(~k − k~0 )
4.5.1
Energia dello Stato di Vuoto
E’ possibile dimostrare che l’operatore Hamiltoniano del sistema è esprimibile in
funzione dell’operatore N̂ come
Ĥ =
d3 k
Z
q
(2π)3 2ωk
ωk N̂ (~k) +
1
2
(4.43)
A partire da questa equazione si dimostrare che l’ipotesi di normalizzazione dello
stato di vuoto porta conseguentemente ad una divergenza dell’energia.
Ricordando che l’energia totale di uno stato k~i è definita da hki | Ĥ |ki i , si ha
:
h0| Ĥ |0i = h0|
d3 k
Z
q
(2π)3 2ωk
ωk N̂ (~k) +
d3 k
1
ωk Z
q
|0i =
2
2
(2π)3 2ωk
(4.44)
Chiaramente diverge , poichè l’integrale è esteso a tutto lo spazio dei momenti.
E’ tuttavia opportuno ricordare che in fisica non vengono misurate energie ”pure”
, ma piuttosto differenze di energie. L’energia appena calcolata verrà quindi
considerata come zero , e l’Hamiltoniana ridefinita come
H → H − h0| H |0i
4.6
(4.45)
Rappresentazione nelle Coordinate del Cono
di Luce
La rappresentazione delle equazioni del moto di un campo scalare in coordinate
del cono di luce ha delle conseguenze importanti , poichè appare chiaro a vista
che l’equazioni rappresentativa è esattamente la stessa descrittiva dello spazio
degli stati che emerge dalla quantizzazione di una particella relativistica di massa
m. indichiamo con ~xt un vettore le cui componenti sono le cosiddette coordinate
trasverse xI :
~xt = (x2 , x3 , . . . , xd )
(4.46)
in questa notazione , il set di coordinate dello spaziotempo diventa (x+ , x− , ~xt ).
L’equazione di Klein-Gordon trasformata nelle coordinate appena introdotte , è
−2
∂ ∂
∂ ∂
+ I I − m2 φ(x+ , x− , ~xt ) = 0
+
−
∂x ∂x
∂x ∂x
(4.47)
Per semplificare l’equazione trasformiamo secondo Fourier la dipendenza spaziale
del campo , cambiando
x− → p +
xI → p I
inoltre , indichiamo con p~t il vettore le cui cui componenti sono i momenti trasversi
pI . In questo modo la trasformata di Fourier prende la forma :
φ(x+ , x− , ~xt ) =
Z
dp+ Z dD−2 p~t −ix− p+ +i~xt ·~pt
e
φ(x+ , p+ , p~t )
2π
(2π)D−2
(4.48)
Inserendo l’espressione trasformata di φ nell’equazione (4.47) si ottiene
∂
− 2 + (−ip+ ) − pI pI − m2 φ(x+ , p~t , p+ ) = 0
∂x
i
∂
1
− + (pI pI + m2 ) φ(x+ , p~t , p+ ) = 0
+
∂x
2p
(4.49)
l’equazione appena ottenuta si presenta strutturalmente analoga all’equazione di
Schrodinger , in quanto la derivata temporale appare al primo ordine , in opposizione all’equazione di Klein-Gordon. Nel capitolo successivo suddetta equazione
verrà ricavata nella quantizzazione della particella puntiforme relativistica ,
5. Quantizzazione della Particella
Relativistica
Qui di seguito verrà discussa la quantizzazione della particella relativistica , indispensabile per avere una comprensione più chiara della quantizzazione di stringa
bosonica , che sarà oggetto del capitolo successivo. La quantizzazione della particella relativistica verrà eseguita nella Gauge del cono di luce , basata sulle
coordinate del cono di luce brevemente richiamata in appendice E.
5.1
La Particella Relativistica nella Gauge del
Cono di Luce
Il punto di partenza per la quantizzazione è l’azione relativistica per una particella
puntiforme non soggetta a forza esterne (Capitolo 2) :
S=
Z
Ldτ = −m
Z τf
τi
se per semplicità si pone:
−ηµν
s
−ηµν
dxµ dxν
dτ dτ
(5.1)
dxµ dxν
= −ẋ2 ,
dτ dτ
si ha ,
S=
Z
√
−m −ẋ2
(5.2)
ricordando che il momento coniugato ad una Lagrangiana si ottiene semplicemente come :
∂L
(5.3)
pµ =
∂ ẋµ
si ottiene
√
∂
mẋµ
pµ =
(−m
−ẋ) = √ 2 .
(5.4)
µ
∂ ẋ
−ẋ
Da qui si ottengono immediatamete le equazioni di Eulero-Lagrange per la Lagrangiana L :
dpµ
=0
(5.5)
dτ
Passiamo ora alla Gauge del cono di luce: Per semplicità di scrittura ,
da adesso in poi verrà adottata la notazione (x0 , x1 , x2 , x3 ) , per cui il set di
coordinate del cono di luce sarà indicato come (x− , x+ , x2 , x3 ). Per definire questa
particolare Gauge , imponiamo che la coordinata x+ sia proporzionale a τ :
1 +
p τ
m2
(5.6)
ẋ+
p+ = m √
−ẋ
(5.7)
x+ =
dall’equazione (5.4) si ottiene che
45
combinando l’equazione (5.7) con l’equazione (5.6) , si ottiene :
1 p+
1
m d +
x =√
⇐⇒ ẋ2 + 2 = 0
p+ = √
m
−ẋ dτ
−ẋ m
(5.8)
In virtù di quanto ottenuto è quindi opportuno ridefinire il momento coniugato
definito dall’equazione (5.4) come :
pµ = m2 ẋµ
(5.9)
per quanto fosse a priori auspicabile la presenza di un termine dell’ordine di m
, invece che del suo quadrato , e chiaro come la presenza di m2 segua dalla particolare parametrizzazione di x+ , effettuata con l’obbiettivo di rendere adimensionale τ . Utilizzando l’ultimo membro dell’equazione (5.8) , è possibile riscrivere
l’equazione (5.9) come
p2 + m2 = 0.
(5.10)
tale equazione è nota come condizione del guscio di massa.
Utilizzando le coordinate del cono di luce12 , l’equazione assume la forma
−2p+ p− + pI pI + m2 = 0 ⇐⇒ p− =
1
(pI pI + m2 ).
+
2p
(5.11)
L’equazione (5.9) per la componente (−) è quindi,
p− = m2
dx−
.
dτ
(5.12)
Poichè p− è una costante indipendente da τ , l’equazione differenziale è di semplice
risoluzione , e si ottiene :
p−
x− = x−
+
τ
(5.13)
0
m2
dove x−
0 è una semplice costante di integrazione. Per completare il cambio di
coordinate devono essere identificate le componenti xI .
L’equazione (5.9) per suddette componenti è :
pI = m2
dxI
dτ
(5.14)
che integrata restituisce un risultato strutturalmente analogo all’equazione (5.13):
xI = xI0 +
pI
τ
m2
(5.15)
Il cambio di coordinate (x0 , x1 , x2 , x3 ) → (x− , x+ , x2 , x3 ) è completo .
Riassumendo ,

1 +
+


x = m 2 p τ −
p
x− = x−
0 + m2 τ


I
 I
x = xI0 + mp 2 τ
12
dove I = 2, 3 ed è stato sottinteso l’utilizzo della convenzione di Einstein per gli indici
ripetuti
Le equazioni appena ricavate mostrano come il momento sia completamente
determinato fissati p+ e pI , mentre il moto nella direzione x− è determinato
I
fissando il valore di x−
0 . Allo stesso modo , il moto nelle direzioni x è determinato
I
I
fissando il valore delle costanti x0 , poichè supponiamo che p siano delle costanti
note. Segue che il set di variabili dinamiche indipendenti , nella particolare gauge
I
+
scelta , è (xI , x−
0 , p , p ).
5.2
Le Rappresentazioni di Schrodinger ed Heisenberg
Tradizionalmente, esistono due approcci principali per descrivere l’evoluzione
temporale di un sistema quantomeccanico :
• La Rappresentazione di Schrodinger
• La Rappresentazione di Heisenberg
Nella Rappresentazione di Schrödinger , lo stato di un sistema evolve
nel tempo , mentre gli operatori non contengono dipendenza temporale . In
presenza di un potenziale non dipendente dal tempo è immediato mostrare come
l’equazione di Schrödinger
i
∂
Ψ(~r, t) = ĤΨ(~r, t)
∂t
(5.16)
sia decomponibile in due equazioni separate ,
Ĥψ(~r) = Eψ(~r)
(5.17)
φ(t) = φ0 e−iĤt
(5.18)
dove Ψ(~r, t) = ψ(~r)φ(t), e dove le equazioni sono descrittive rispettivamente
dell’evoluzione spaziale e temporale della funzione d’onda Ψ. L’evoluzione temporale di uno stato |Ψ(~r, t)i è quindi regolata dall’Hamiltoniano del sistema dalla
relazione
|Ψ(~r, t)i = |ψ(~r)i e−iĤt
(5.19)
Nella Rappresentazione di Heisenberg un particolare stato fisico è fissato
nel tempo, e viene ripristinata la dipendenza temporale degli operatori tipica
della meccanica classica . Ad esempio , nel passare dalla rappresentazione di
Schrödinger a quella di Heisenberg , gli operatori q e p , opportunamente modificati , diventano q(t) e p(t). E’ inoltre possibile dimostrare che assegnati due
operatori η e γ nella rappresentazione di Schrödinger , per cui vale la regola di
commutazione
[η, γ] = φ
(5.20)
tale regola di commutazione resta invariata nel passaggio alla rappresentazione
di Heisenberg , ovvero :
[η(t), γ(t)] = φ(t)
(5.21)
segue quindi che
[q(t), p(t)] = i.
(5.22)
Nella rappresentazione di Heisenberg l’evoluzione temporale di un operatore ξ(t)
è fissata dall’equazione
∂ξ(t)
dξ(t)
= ξ(t), Ĥ(q(t), p(t), t) + i
.
i
dt
∂t
(5.23)
Il valor medio di un operatore di Schrödinger ξ su uno stato |ψ(~r, t)i è definito
come
Z
hψ(~r, t)| ξ |ψ(~r, t)i =< ξ >ψ = d~rψ ? (~r, t)ξψ(~r, t)
(5.24)
ω
utilizzando l’equazione (5.19) per l’evoluzione temporale , si ha :
< ξ >ψ =
Z
d~rψ ? (~r)eiĤt ξe−iĤt ψ(~r)
ω
Il passaggio alla rappresentazione di Heisenberg segue ponendo
eiĤt ξe−iĤt ≡ ξ(t)
da cui :
5.3
dξ(t)
ˆ Ĥ]
= i[eiĤt Ĥξe−iĤt − eiĤt ξ Ĥe−iĤt ] = −i[ξ,
dt
(5.25)
Quantizzazione della Particella Relativistica
Il set di coordinate precedentemente scelto per descrivere la particella nella Gauge
I
+
del Cono di Luce , è (xI , x−
0 , p , p ) , dove sussistono le relazioni


x+




x−
= m12 p+ τ
p−
= x−
0 + m2 τ
I

xI = xI0 + mp 2 τ




 −
p = 2p1+ [pI pI + m2 ]
il primo passo per la quantizzazione è la definizione operatoriale del set di variabili dinamiche indipendenti . Parametrizzando la traiettoria con τ , si passa
ad interpretare il set di coordinate indipendenti come operatori di Heisenberg .
Postuliamo che :
• [xI , pJ ] = iδ IJ
+
• [x−
0 , p ] = −i
Tali regole di commutazione sono fondamentali e di base .Di fatto , i rimanenti
operatori del set sono esprimibili come combinazione lineare d. Ad esempio , si
ha :
+
p+
p + p − x−
p− p+
0p
[x+ , x− ] = [ x−
+
−
−
]=
(5.26)
m 0
m2
m2
m2
Resta da identificare l’Hamiltoniana del sistema espressa in funzione dei nuovi
operatori definiti , in modo da poter utilizzare l’equazione del moto di Heisenberg
per descriverne l’evoluzione temporale .
In meccanica quantistica , la funzione d’onda di una particela libera di energia
E , e momento p~ , è :
ψ(t, ~x) = exp(−i(Et − p~ · ~x)) = exp i(p0 x0 + p~ · ~x) = exp(pµ xµ )
(5.27)
come è facile verificare , questa funzione d’onda soddisfa l’equazione di Schrödinger
unidimensionale
∂ψ0
i
= Eψ0 ,
(5.28)
∂t
di conseguenza è naturale identificazione operatoriale di E come
E→i
∂
∂t
(5.29)
In modo del tutto simile , nella gauge del cono di luce ci si aspetta che
i
∂ψ
= ELC ψ
∂x+
(5.30)
avendo fissato x+ come variabile di temporale del cono di luce.
Segue quindi che
∂ (i(p0 x0 +~p·~x)
e
= −p+ ψ
∂x+
(5.31)
−p+ = ELC
(5.32)
da cui si conclude che
poichè −p+ = p− si ha p− = ELC , ed in definitiva
∂
= p−
∂x+
(5.33)
Tuttavia , essendo l’Hamiltoniana parametrizzata con τ , ci si aspetta che essa
descriva anche l’evoluzione dinamica del sistema rispetto a τ stesso. Avendo
definito
p+ τ
x+ = 2 ,
m
si ottiene
p+ 1
∂
p+ ∂
p+
1
= 2 + →
= 2 + = 2 p−
(5.34)
τ
m x
∂τ
m ∂x
m
Si postula che l’Hamiltoniana sia della forma :
H(τ ) =
p+ p−
1
=
(pI (τ )pI (τ ) + m2 )
2
m
2m2
(5.35)
Per quanto discusso nella sezione precedente , nella rappresentazione di Heisenberg l’evoluzione temporale di un operatore O è descritta dall’equazione
i
dO
∂
= i O + [H, O]
dt
∂t
(5.36)
dO
= [H, O]
dt
(5.37)
che si riduce a
i
nel caso in cui l’operatore O non sia possieda dipendenza temporale esplicita. Nel
caso in questione abbiamo a disposizione un set di 7 operatori di Heisenberg , e
l’evoluzione temporale di ognuno di essi è descritta dalle equazioni (5.36),(5.37).
Qui di seguito si procede con il calcolare le regole di commutazione , e quindi
l’evoluzione temporale , di ognugno degli operatori definiti dalla gauge del cono
di luce . Iniziando con p+ , pI , si ha :
i
dp+
= [p+ , H] = 0
dτ
dpI
= [pI , H] = 0
dτ
Entrambi questi commutatori sono nulli poichè H ≡ H(pI ) e poichè tutte le
componenti del momento commutano fra loro . Le due equazioni suggeriscono
che i momenti p+ e pI sono delle costanti del moto , ovvero :
i

pI (τ )
= pI
p+ (τ ) = p+
per l’operatore xI (τ ) si ottiene
1
dxI
= xI (τ ),
pI pJ + m 2
i
dt
2m2
(5.38)
poichè
[xI , pJ ] = iδ IJ ,
e poichè
[xI , pI pJ ] = [xI , pJ ]pJ + pJ [xI , pJ ],
si ha
pI
pI
dxI
= 2 ⇐⇒ xI (τ ) = xI0 + 2 τ
dt
m
m
−
in accordo con quanto ci si aspetta. Per x si ha
i
1
dx−
0
= [x−
(pI pI + m2 )] = 0
0,
dt
2m2
(5.39)
(5.40)
I
poichè [x−
0 , p ] = 0.
Segue che x−
0 è una costante del moto.
Restano da valutare p− (τ ), x− (τ ), x+ (τ ).
Per definizione p− è una funzione delle sole pI , per cui il suo commutatore
con l’Hamiltoniana è automaticamente nullo . Gli operatori x+ , x− sono entrambi
definiti nella rappresentazione di Schrodinger e presentano dipendenza temporale
esplicita, per cui è necessario impiegare l’equazione (5.23) per descrivere la loro
evoluzione temporale.
dx−
∂x−
i
=i
+ [x− , H]
(5.41)
dτ
∂τ
poichè
p−
x− ≡ x−
+
τ
0
m2
−
e poichè x−
0 e p commutano entrambi con l’Hamiltoniana , si ottiene
i
∂x−
dx−
=i
dτ
∂τ
(5.42)
per cui
dx−
p−
p−
dx−
=i 2 →
= 2
dτ
m
dτ
m
+
procedendo analogamente per x si ottiene
i
i
dx+
∂ p+
p+
dx+
=i
=
τ
→
dτ
∂τ m2
dτ
m2
(5.43)
(5.44)
5.4
Costruzione dello Spazio degli Stati
Dopo aver fornito una descrizione completa di come agiscono gli operatori e della
loro evoluzione temporale , lo step successivo consiste nella costruzione dello
spazio degli stati . Gli stati sono identificati dagli autovalori di un set massimale
di operatori che commutano. Per il set di operatori precedentemente introdotto ,
un sistema massimale commutante può essere costituito soltanto da un elemento
della coppia (p+ , x− ) e della coppia (xI , pI ). Poichè è conveniente lavorare nello
spazio dei momenti , qui di seguito si utilizzerà la coppia (p+ , pI ). Uno stato
generico di momento di particella sarà identificato dal ket |p+ , p~t i , dove p+ è
l’autovalore corrispondente dell’operatore p̂+ e p~t è il momento transverso , le cui
componenti sono gli autovalori dell’operatore p̂I :
E
p̂+ p+ , p~t = p+ p+ , p~t
E
E
; p̂I p+ , p~t = pI p+ , p~t
E
(5.45)
Per scrivere l’equazione di Schrodinger per la particella puntiforme consideriamo
stati formati da sovrapposizione tempo-dipendente dei vettori di base |p+ , p~t i 13 :
|Ψ, τ i =
Z
dp+ d~pt ψ(τ, p+ , p~t ) p+ , p~t
E
(5.46)
dove ψ(τ, p+ , p~t ) è la funzione d’onda associata allo stato |Ψ, τ i scritta nello spazio
dei momenti . Osserviamo che il prodotto
D
E
p+ , p~t Ψ, τ =
Z
D
E
dp+ d~pt ψ(τ, p+ , p~t ) p+ , p~t p+ , p~t = ψ(τ, p+ , p~t )
(5.47)
L’equazione di Schrodinger per lo stato |Ψ, τ i è
i
∂
|Ψ, τ i = Ĥ |Ψ, τ i
∂t
(5.48)
utilizzando l’equazione (5.53) e l’espressione dell’Hamiltoniana ottenuta nell’equazione
(5.42) , otteniamo
Z
dp+ d~pt i
E
∂
1
+
I I
2
+
ψ(τ, p+ , p~t ) −
(p
p
+
m
)ψ(τ,
p
,
p
~
)
p
,
p
~
t
t = 0
∂τ
2m2
(5.49)
che , poichè i vettori di base |p+ , p~t i sono linearmente indipendenti , si riduce ad
i
∂
1
ψ(τ, p+ , p~t ) =
(pI pI + m2 )ψ(τ, p+ , p~t )
∂τ
2m2
(5.50)
ovvero l’equazione di Schroedinger nello spazio dei momenti per una particella
relativistica. Lo stato di particella nello spazio dei momenti precedentemente
introdotto è del tutto simile agli stati di particella singola nella teoria quantistica
dei campi scalari accennata nel capitolo precedente. Di fatto , vi è una naturale
identificazione degli stati quantistici di una particella relativistica di massa m con
gli stati di particella singola di un campo scalare di massa m :
E
+
p , p
~t
13
⇐⇒ a†p+ ,~pt |ki
L’integrale è necessario poichè p+ , p~t sono variabili continue
(5.51)
tale identificazione sussiste poichè gli stati di particella singola corrispondono alle
variabili sulle qualli agiscono gli operatori di creazione e distruzione nella teoria
quantistica dei campi scalari. La corrispondenza descritta nell’equazione (5.58)
fa si che gli stati di particella singola della teoria scalare , e gli stati di particella relativistica siano fra di loro indistinguibili. L’unica sostanziale differenza
consiste nella descrizione di stati di particelle multiple.Applicando ripetutamente
operatori di creazione relativi a particelle differenti sullo stato di vuoto è infatti
possibile creare stati corrispondenti a multipletti di particelle :
|k1 , k2 , . . . , kn i = aˆ1 † (k~1 )aˆ2 † (k~2 ) . . . aˆn † (k~3 ) |0i
(5.52)
In questo senso è quindi possibile affermare che la teoria dei campi scalari è
più completa. Concludiamo il capitolo osservando che anche le funzioni d’onda
descrittive delle due teorie sono in corrispondenza fra loro. Ciò è facilmente
osservabile riproponendo l’equazione per un campo scalare nella gauge del cono
di luce introdotta nel capitolo precedente :
i
ricordando che x+ =
1
∂
−
(pI pI + m2 ) φ(x+ , p~t , p+ ) = 0
∂x+ 2p+
p+ τ
m2
(5.53)
, si ottiene
∂
1
i
−
(pI pI + m2 ) φ(τ, p+ , p~t )
2
∂τ
2m
da cui si conclude che
φ(τ, p+ , p~t ) ≡ ψ(τ, p+ , p~t ).
(5.54)
6. Quantizzazione della Stringa
nella Gauge del Cono di Luce
Qui di seguito si procederà con lo sviluppare la sezione più importante di quest’opera.
Come verrà a breve mostrato , i risultati che si ottengono dalla quantizzazione della stringa bosonica sono di estremo interesse fisico , e costituiscono uno dei primi
passi vincenti di una teoria che nella sua versione globale ha tutte le potenzialità
per descrivere appieno l’universo in cui viviamo .
6.1
Coordinate di Stringa ed Operatori nel Cono
di Luce
Richiamando brevemente i risultati ottenuti nel Capitolo 3 , le coordinate di
stringa nella gauge del cono di luce si ottengono a partire da
X + = 2α0 p+ τ
(6.1)
risolvendo per X − in termini delle coordinate transverse X I si ha :
Ẋ − ± X
0−
=
1 I
0I 2
Ẋ
±
X
2βα0 p+
(6.2)
dove β è indicativo del tipo di stringa considerata. Rispettivamente , si ha β = 2
per stringhe aperte , e β = 1 per stringhe chiuse. Da qui , temporaneamente, si
considereranno solo stringhe aperte.
A partire dall’equazione (6.2) si ottiene
Ẋ − =
1 I I
0I
0I
X
Ẋ
Ẋ
+
X
4α0 p+
(6.3)
da cui è facilmente calcolabile il momento coniugato P τ − . Per passare alla teoria
quantistica è necessario scegliere ed utilizzare un set massimale di operatori per
i quali vengono definite delle appropriate regole di commutazione . Nella gauge
del cono di luce il set di operatori usualmente scelto è
τI
+
X I (σ), x−
0 ,P ,p
(6.4)
il set di operatori scelti è ”di Schrödinger” , nel senso che non compare alcun
tipo di dipendenza temporale nella definizione di essi . La dipendenza temporale
degli operatori può tuttavia essere facilmente descritta passando alla rappresentazione di Heisenberg accennata nel capitolo precedente. Si considerano quindi
operatori dipendenti dal tempo in modo implicito a causa del passaggio di rappresentazione , e si procede con il descrivere le relazioni di commutazione appropriate
del set e l’evoluzione temporale di ciasuno degli elementi costitutivi di esso.
Si inizia con l’assumere che non vi siano interferenze per misure contemporanee
su punti differenti della stringa :
[X I (σ), P τ J (σ)] = iη IJ δ(σ − σ 0 )
54
(6.5)
e si procede con il definire le opportune regole di commutazione fra gli operatori
del gruppo :
[X I (σ), X J (σ)] = [P I (σ), P J (σ)] = 0
(6.6)
+
[x−
0 , p ] = −i
(6.7)
+
gli operatori x−
0 e p commutano con tutti gli altri operatori. Ricordando che nel
passaggio dalla rappresentazione di Schrödinger alla rappresentazione di Heisenberg le regole di commutazione fra gli operatori non cambiano , è possibile passare
immediatamente le relazioni di commutazione di ugual tempo , in modo del tutto
simile a quanto fatto per i campi scalari. Si ha :
6.2
[X I (τ, σ), P τ J (τ, σ)] = iη IJ δ(σ − σ 0 )
(6.8)
+
[x−
0 (τ ), p (τ )] = −i
(6.9)
Costruzione dell’Hamiltoniana
L’Hamiltoniana del sistema definisce l’evoluzione τ della stringa.
Per quanto visto dalla quantizzazione della particella puntiforme , p− genera
traslazioni su X + . Nella gauge del cono di luce si ha
X + = 2α0 p+ τ
da cui :
∂
∂
= 2α0 p+
∂τ
∂X +
l’Hamiltoniana che genera l’evoluzione temporale sarà
X + = 2α0 p+ τ ⇐⇒
H = 2α0 p+ p− = 2α0 p+
Z π
(6.10)
dσP τ (τ, σ)
(6.11)
0
ma
P
τ−
0
0
1
π
X IX I
−
τI τI
=
Ẋ = + P P +
2πα0
2p
(2πα0 )2
per cui, l’Hamiltoniana assume la forma
H = πα
0
Z π
0
6.3
0
0
X I (τ, σ)X I (τ, σ)
dσ P (τ, σ)P (τ, σ) +
(2πα0 )2
τI
τI
(6.12)
Relazioni di Commutazione ed Evoluzione
Temporale degli Operatori
a partire dall’equazione di Heisenberg , l’hamiltoniana genera le equazioni del moto descrittive dell’evoluzione temporale degli operatori identificativi delle variabili
dinamiche classiche
dO
= [O, H]
(6.13)
i
dτ
nel caso specifico gli operatori sono contemporaneamente funzioni di τ, σ , mentre
+
l’Hamiltoniana è costante su τ . E’ immediato verificare che gli operatori x−
0 ,p
sono entrambi costanti del moto , poichè il loro commutatore con l’Hamiltoniana
è nullo. Calcoliamo l’evoluzione temporale delle coordinate trasverse X I :
I
I
I
iẊ (τ, σ) = [X (τ, σ), H] = X (τ, σ), πα
0
Z π
τI
τI
dσP (τ, σ)P (τ, σ)
(6.14)
0
poichè
[X I (τ, σ), P τ J (τ, σ)] = iη IJ δ(σ − σ 0 )
(6.15)
si ha
iẊ I (τ, σ) = 2πα0
Z π
dσ 0 P τ J (τ, σ 0 )iη IJ δ(σ−σ 0 ) ⇐⇒ Ẋ I (τ, σ) = 2πα0 P τ J (6.16)
0
in accordo con il fatto che
1
Ẋ µ (τ, σ).
2πα0
Nel passaggio dalla teoria classica alla teoria quantistica di stringa , le condizioni
al bordo diventano vincoli sugli operatori. In particolare , le condizioni al bordo
di Neumann
π

(6.17)
∂σ X I (τ, σ)
 =0
P τµ =
0
possono essere prese alla lettera imponendo che l’operatore X I (τ, σ) abbia valore
nullo agli estremi aperti della stringa. Nella discussione delle parametrizzazioni
più generali per descrivere la dinamica relativistica di una stringa , è stata ricavata
l’equazione
0
(6.18)
(Ẋ I ± X I )2 = 0
che resta valida ed oltretutto utile nell’ambito quantistico . E’ utile calcolare i
commutatori
[X I (τ, σ), Ẋ J (τ, σ)] = 2πα0 iη IJ δ(σ − σ 0 )
(6.19)
d
d
0
[X I (τ, σ), Ẋ J (τ, σ)] = [X I (τ, σ), Ẋ J (τ, σ)] = 2πα0 iη IJ δ(σ − σ 0 ) (6.20)
dσ
dσ
e calcolare quindi il commutatore associato al vincolo imposto dalla parametrizzazione più generale del capitolo 4 :
0
0
[(Ẋ I (τ, σ) ± X I (τ, σ)), (Ẋ J (τ, σ 0 ) ± X J (τ, σ 0 ))]
poichè
0
(6.21)
0
[Ẋ I (τ, σ), Ẋ J (τ, σ 0 )] = [X I (τ, σ), X J (τ, σ 0 )] = 0
si ha :
0
0
0
0
[(Ẋ I ±X I )(τ, σ), (Ẋ J ±X J )(τ, σ 0 )] = [Ẋ I (τ, σ), X J (τ, σ 0 )]±[X I (τ, σ), Ẋ J (τ, σ 0 )]
esaminando il primo termine si ottiene
0
0
[Ẋ I (τ, σ), X J (τ, σ 0 )] = −[X I (τ, σ), Ẋ J (τ, σ 0 )] = 2πα0 iη IJ
d
δ(σ − σ 0 )
dσ
(6.22)
da cui segue che
0
0
[(Ẋ I ± X I )(τ, σ), (Ẋ J + X J )(τ, σ 0 )] = 4πα0 iη IJ
0
0
d
δ(σ − σ 0 )
dσ
[(Ẋ I ± X I )(τ, σ), (Ẋ J ∓ X J )(τ, σ 0 )] = 0
0
∀σ, σ ∈ [0, π].
(6.23)
(6.24)
6.4
Espansione in Modi di Vibrazione Fondamentali
Può essere utile riportare le relazioni di commutazione appena definite in una forma discrizzata. Per far ciò utilizziamo l’espansione in modi fondamentali descritta
nel capitolo 4 , e determiniamo le relazioni di commutazione per i coeffiecienti αnI
in modo tale da promuoverli ad operatori quantistici.
6.4.1
Stringhe Aperte ad Estremi Liberi
La soluzione all’equazione delle onde con le condizioni al bordo di Neumann è :
X I (τ, σ) = xI0 +
inoltre si ha
√
√
X 1
2α0 α0I τ + i 2α0
αnI cos(nσ)e−inτ
n
n6=0
0
(Ẋ I (τ, σ) ± X I (τ, σ)) =
√
X
2α0
αnI e−in(τ ±σ)
(6.25)
(6.26)
n∈Z
dove il range di variazione di σ è [0, pi]. Può essere utile definire un unica funzione
di range di variazione [0, 2π] identificativa rispettivamente di
0
(Ẋ I (τ, σ) + X I (τ, σ)), σ ∈ [0, π]
0
(Ẋ I (τ, σ) − X I (τ, σ)), σ ∈ [−π, 0]
per far ciò iniziamo con il valutare l’equazione () in −σ :
√
X
0
αnI e−in(τ +σ)
(Ẋ I (τ, −σ) − X I (τ, −σ)) = 2α0
(6.27)
n∈Z
il range di variazione di σ è ora fissato a [−π, 0]. Definita la funzione
√ X I −in(τ +σ)
AI (τ, σ) ≡ 2α
αn e
(6.28)
n∈Z
si ha AI (τ, σ + 2π) ≡ AI (τ, σ) , e di conseguenza :
AI (τ, σ) =

(Ẋ I (τ, σ) + X 0 I (τ, σ)), σ
∈ [0, π]
(Ẋ I (τ, σ) − X (τ, σ)), σ ∈ [−π, 0]
0I
(6.29)
come verrà a breve mostrato , AI (τ, σ) è utile nel determinare le relazioni di
commutazione per i coefficienti αnI . Per determinare tali relazioni è necessario
calcolare il commutatore
[AI (τ, σ), AJ (τ, σ 0 )]
per diversi intervalli di variazione di σ, σ 0 :


[(Ẋ I




[(Ẋ I
0
0
+ X I )(τ, σ), (Ẋ J + X J )(τ, σ 0 )], σ, σ 0 ∈ [0, π]
0
0
+ X I )(τ, σ), (Ẋ J − X J )(τ, −σ 0 )], σ ∈ [0, π], σ 0 ∈ [−π, 0]
0
0


[(Ẋ I − X I )(τ, −σ), (Ẋ J + X J )(τ, σ 0 )], σ ∈ [−π, 0], σ 0 ∈ [0, π]



0
0

[(Ẋ I − X I )(τ, −σ), (Ẋ J − X J )(τ, −σ 0 )], σ, σ 0 ∈ [−π, 0]
(6.30)
Il primo e l’ultimo commutatore dell’euazione (6.30) sono gia stati calcolati , ed
è inoltre immediato dimostrare che il secondo e il terzo commutatore sono nulli ,
in virtù del fatto che
0
0
[(Ẋ I ± X I )(τ, σ), (Ẋ J ∓ X J )(τ, σ 0 )] = 0.
(6.31)
Il tutto può essere quindi sommarizzato come
[AI (τ, σ), AJ (τ, σ 0 )] = 4πα0 iη IJ
d
δ(σ − σ 0 )
dσ
∀σ, σ 0 ∈ [−π, π].
Dalla definizione di AI (τ, σ) come
√ X I −in(τ +σ)
AI (τ, σ) ≡ 2α
αn e
(6.32)
(6.33)
n∈Z
, si ha
√ X I −in(τ +σ) X J in(τ +σ) d
= 4πα0 iη IJ δ(σ − σ 0 )
αn e
,
2α0
αn e
dσ
n∈Z
n∈Z
(6.34)
√
X X
d
J
2α0
e−in(τ +σ) e−im(τ +σ) [αnI , αm
] = 4πα0 iη IJ δ(σ − σ 0 )
dσ
n∈Z m∈Z
X
0
0
J
IJ
e−in (τ +σ) e−im (τ +σ) [αnI 0 , αm
0 ] = 2πiη
n0 ,m0 ∈Z
d
δ(σ − σ 0 )
dσ
(6.35)
moltiplicando ad ambo i membri per
1 Z 2π 0 inσ0
1 Z 2π
imσ
dσe
·
dσ e
2π 0
2π 0
si ha al primo membro :
X
1 Z 2π
1 Z 2π 0 inσ0
imσ
−in0 (τ +σ) −im0 (τ +σ) I
J
dσe
·
dσ e
e
e
[αn0 , αm0 ]
2π 0
2π 0
n0 ,m0 ∈Z
(6.36)
J
= e−i(m+n)τ [αnI , αm
]
ed al secondo membro
d
1 Z 2π
dσeimσ einσ = −nη IJ δm+n,0 = mη IJ δm+n,0
iη
2π 0
dσ
IJ
(6.37)
combinando il primo ed il secondo membro si ottiene
J
J
] = ei(m+n)τ mη IJ δm+n,0
] = mη IJ δm+n,0 ⇐⇒ [αnI , αm
e−i(m+n)τ [αnI , αm
(6.38)
= mη IJ δm+n,0
note le relazioni di commutazione fra gli αnI passo a calcolare i commutatori
fra αnI ed xI0 . Noto che
[X I (τ, σ), Ẋ I (τ, σ)] = 2πα0 iη IJ
d
(σ − σ 0 )
dσ
da cui
Z 2π
0
Z 2π
d
[X (τ, σ), Ẋ (τ, σ)] = 2πα iη
(σ − σ 0 ) ⇐⇒
dσ
0
√
⇐⇒ [xI0 + 2α0 α0I τ, Ẋ J (τ, σ 0 )] = 2α0 iη IJ
I
0
I
IJ
utilizzando l’espansione in modi di X J (τ, σ) , si ha
√
X
0
[xI0 + 2α0 α0I τ, Ẋ J (τ, σ 0 )] =
[xI0 , αnJ ] cos(n0 σ 0 )e−in τ
(6.39)
n0 ∈Z
dividendo la sommatoria in termini positivi e negativi si ottiene
[xI0 , α0J ] +
∞ X
0
0
J
ein τ cos(n0 σ 0 ) = 2α0 iη IJ
xI0 , αnJ 0 e−in τ + α−n
(6.40)
n0 =1
moltiplicando ambo i membri per
1Zπ
dσ cos(nσ)
π 0
si ottiene
Z π
0
dσ
0
xI0 , αnJ 0 e−in τ
+
0
J
α−n
ein τ
cos(n0 σ 0 ) cos(nσ) = 0
(6.41)
da cui
J
J
[xI0 , αnJ e−inτ + α−n
einτ ] = [xI0 , αnJ ]e−inτ + [xI0 , α−n
]einτ = 0
L’equazione deve essere valida per qualsiasi valore di τ ,ed inoltre ,nel limite in
cui τ tende a 0 si ottiene :
J
[xI0 , αnJ ] + [xI0 , α−n
]=0
(6.42)
si richiede quindi che i due addendi siano singolarmente uguali a zero :

[xI , αJ ]
0
=0
−n ] = 0
n
[xI , αJ
0
(6.43)
è tuttavia necessario notare che in virtù dell’equaione (6.40) , per n = 0 si ha
[xI0 , α0J ] = 2α0 iη IJ
(6.44)
dalla definizione di α0J segue l’aspettata relazione di commutazione definita dall’equazione
(6.5). Le relazioni di commutazione trovate sono identificative di un set di operatori di creazione e di distruzione . Ricordando la definizione degli αnµ come

αµ
√ µ
na
√ n †µ
nan
n =
αµ =
−n
si noti inoltre che sono l’uno l’Hermitiano coniugato dell’altro .
Poichè
J
[αnI , α−n
] = mδm,n η IJ
si ha :
[aIn , aJ−n ]
r
=
m
δm,n η IJ = δm,n η IJ
n
(6.45)
(6.46)
(6.47)
l’equazione (6.47) indica che gli operatori aIm , a†I
m soddisfano le regole di commutazione del set canonico di operatori di creazione e distruzione di un oscillatore
armonico quantistico . Ciò suggerisce che questi operatori sono appunto operatori
di creazione e di distruzione. L’espansione in modi di X I (τ, σ) in funzione di tali
operatori è :
X I (τ, σ) = xI0 +
6.4.2
∞
√
√
X
inτ cos(nσ)
2α0 pI τ + i 2α0
(aIn e−inτ − a†I
) √
n e
n
n=1
(6.48)
Stringhe Chiuse
Nel caso di stringhe chiuse si hanno relazioni di commutazione separate per gli
oscillatori descrittivi del moto della parte destra e della parte sinistra della stringa
, in accordo con la separazione adottata e descritta nel capitolo 3 . Il calcolo è
del tutto analogo , e si ottiene :

[α̃I
J
m , α̃n ]
[αI , αJ ]
n
m
= mδm+n,0 η IJ
= mδm+n,0 η IJ
(6.49)
separatamente gli oscillatori destri e sinistri corrispondono a stringhe aperte ad
estremi liberi. In altre parole , la teoria di stringa chiusa contiene esattamente due
copie identiche della teoria di stringa aperta , escludendo il modo di oscillazione
relativo ad n = 0 che risulta univocamente fissato . Si osserva inoltre che
J
[α̃nI , αm
]=0
6.5
Stringhe ed Oscillatori Armonici
Qui di seguito verrà dimostrato come stringhe aperte e chiuse siano identificabili
come oscillatori armonici . Come ricavato nella sezione precedenete , gli oscillatori
αnI soddisfano relazioni di commutazione del tutto analoghe a quello descrittive
del set canonico di operatori di creazione e distruzione di un oscillatore armonico
quantistico. Qui si procederà a dimostrare l’equivalenza fra stringhe ed oscillatori
armonici partendo dalle proprietà di base dell’oscillatore armonico semplice .
6.5.1
Lagrangiana ed Hamiltoniana del Sistema
Indicando con qn (t) il set di coordinate generalizzate descrittive dell’oscillatore
armonico semplice, si ha :
Ln = T − V =
da cui
pn (t) =
1
n
q˙n (t)2 − qn2 (t)
2n
2
1
q˙n (t) ⇐⇒ q˙n (t) = npn (t)
n
(6.50)
(6.51)
L’Hamiltoniana del sistema è:
Hn = pn q̇n − Ln =
n 2
(pn + qn2 )
2
(6.52)
Confrontando l’espressione ottenuta per l’Hamiltoniana con quella canonica dell’oscillatore
armonico semplice , si conclude che n prende il posto della frequenza ω. Come
mostrato nel capitolo 4 , l’Hamiltoniana può essere scritta in funzione degli operatori di creazione e distruzione a, a† , come :
1
H =ω a a+
2
da cui
†
(6.53)
1
(6.54)
2
noto che [a, a† ] = 1 si procede con calcolare l’evoluzione temporale degli operatori
di creazione e distruzione utilizzando l’equazione del moto di Heisenberg.
Hn = n a†n an +

i dan
dt
†
i dan
dt
= [an , Hn ] = nan (t) ⇐⇒ ȧn (t) = −inan (t) ⇐⇒ an (t) = an e−int
= [a† , Hn ] = na† (t) ⇐⇒ a˙n † (t) = ina† (t) ⇐⇒ a† (t) = a† eint
(6.55)
6.5.2
Equivalenza all’Azione di Nambu-Goto
Si consideri l’azione di Nambu-Goto per X I (τ, σ)
S=
Z
1 Z
0
0
dτ
dσ(Ẋ I Ẋ I − X I X I )
0
4πα
(6.56)
è facile convincersi del fatto che il primo termine è rappresentativo del contenuto
cinetico ed il secondo del contributo potenziale della Lagrangiana. Il momento
canonico coniugato è
∂L
1
P τI =
=
Ẋ I
(6.57)
0
2πα
∂ Ẋ
Le equazioni del moto del sistema seguono annullando la variazione del funzionale
di azione S :
Z
1 Z
0
0
(6.58)
δS = δ
dτ
dσ(Ẋ I Ẋ I − X I X I )
0
4πα
Z π
1 Z
0
=
dσ(∂τ (δX I )Ẋ I − ∂σ (δX I )X I )
dτ
0
2πα
0
Z
Z π
1
0I
00
I π
=−
dτ (X δX )|0 +
dσδX I (Ẍ I − X I )
0
2πα
0
Fissando a zero la variazione agli estremi del dominio di integrazione spaziale , si
ottiene semplicemente l’equazione delle onde per le coordinate trasverse X I :
Ẍ I = X
00 I
(6.59)
L’Hamiltoniana del sistema è
H=
Z π
dσH =
0
Z π
dσ(P τ I Ẋ I − L)
(6.60)
0
1
0
0
=
dσ πα P P +
X IX I
0
4πα
0
A partire da quest’azione è ugualmente possibile procedere con la quantizzazione
della teoria di stringa relativistica. Si sostituisca il set di variabili dinamiche X I
Z π
0
τI
τI
con una collezione di altre variabili dinamiche qnI , e si proceda poi ad espandere
X I su questo set di coordinate :
X I (τ, σ) = q I (τ ) +
√
2α0
∞
X
n=1
qnI (τ )
cos(nσ)
√
n
(6.61)
L’espressione ottenuta è la più generale che soddisfa le condizioni al bordo di
Neumann. Le derivate spaziali e temporali sono :

√
Ẋ I (τ, σ) = q̇ I (τ ) + 2 α0 P∞ q̇ I (τ ) cos(nσ)
√
n=1 n
n
(6.62)
√
P
0I
X (τ, σ) = −2α0 ∞ q I (τ ) n sin(nσ)
n=1 n
6.5.3
Equivalenza fra Stringhe ed Oscillatori
Sostituendo le derivate calcolate all’interno dell’equazione (6.60) , si ha :
Z πZ
H=
dτ dσ
I
q̇ (τ ) + 2
0
√
α0
∞
X
cos(nσ)
q̇nI √
n
n=1
∞ X
∞
X
−4α0
I
q̇ (τ ) + 2
√
α0
∞
X
cos(nσ)
q̇nI √
n=1
n
]
√
√
I
qnI (τ ) nsin(nσ)qm
(τ ) msin(mσ)
n=1 m=1
(6.63)
sfruttando il fatto che
Z π
cos(mσ) cos(nσ)dσ =
Z π
sin(nσ) sin(mσ) = 0
0
0
si ha :
S=
Z
dτ
∞
X
1 I
n I
1 I
I
I
(τ
)
q̇
(τ
)
−
q̇
qn (τ )qnI (τ )
q̇
(τ
)
q̇
(τ
)
+
n
n
4α0
2n
2
n=1
(6.64)
Confrontando l’azione appena ottenuta con l’azione definita precedentemente per
l’oscillatore armonico è chiaro che le coordinate qnI (τ ) sono coordinate di oscillatori armonici semplici. Questa è l’interpretazione fisica dei coefficienti di X I .
L’Hamiltoniana che si ottiene a partire da tale azione è
H = α 0 pI pI +
∞
X
n I I
(pn pn + qnI qnI )
2
n=1
(6.65)
Per descrivere l’evoluzione temporale delle coordinate qnI è sufficiente esprimerle in funzione degli operatori di creazione e distruzione definiti per l’oscillatore
armonico , aggiungendo la dipendenza temporale propria per il passaggio alla
rappresentazione di Heisenberg . Si ha :
i
inτ
)
qnI (τ ) = √ (aIn (τ )e−inτ − a?I
n (τ )e
2
(6.66)
utilizzando l’equazione del moto di Heisenberg , si ha
q̇nI (τ ) = i[H, qnI (τ )] = 2α0 pI (τ )
(6.67)
qnI (τ ) = xI0 + 2α0 P I τ
(6.68)
da cui segue che
Sostituendo l’espressione esplicita di qnI (τ ) all’interno dell’equazione per X I (τ, σ)
si ottiene nuovamente l’equazione (6.48) :
X I (τ, σ) = xI0 +
∞
√
√
X
inτ cos(nσ)
2α0 pI τ + i 2α0
(aIn e−inτ − a†I
) √
n e
n
n=1
(6.69)
per cui il processo di identificazione dei coefficienti αnI come operatori di creazione
e di distruzione è ora completo. Inoltre il set di variabili qnI introdotto è del tutto
identico a quello di un set di n oscillatori armonici semplici. E quindi del tutto
leggittimo affermare che una stringa si comporta come un oscillatore armonico .
6.6
Gli Operatori Trasversi di Virasoro
Dopo aver descritto completamente la dinamica delle coordinate trasverse X I
passo a considerare le altre coordinate del cono di luce e ad identificare le loro
relazioni con gli oscillatori . In particolare X + è semplice. Si ha
X + (τ, σ) = 2α0 p+ τ =
√
2α0 α0+ τ
(6.70)
Per X − utilizzo l’espansione in modi fondamentali :
X − (τ, σ) = x−
0 +
√
√
X 1
2α0 α0− τ + i 2α0
αn− e−inτ cos(nσ)
n
n6=0
(6.71)
nella descrizione della dinamica della stringa relativistica sono stati introdotti i
modi trasversi di Virasoro
1X I
L⊥
=
α αI
(6.72)
n
2 p∈Z n−p p
nella descrizione quantistica i modi di Virasoro divengono operatori , poichè
definiti in base agli oscillatori αnI che si è già visto essere identificativi degli operatori di creazione e di distruzione di un’oscillatore armonico quantistico. Come già
dimostrato , il modo L⊥
0 gioca un ruolo fondamentale nel calcolo della massa della
stringa. Allo stesso modo , nella teoria quantistica , l’operatore corrispondente
è essenziale nel calcolo della medesima grandezza. L’operatore può essere scritto
come
∞
∞
1
1X
1X
1X I I
I
α−p αp = α0I α0I +
α−p
αpI +
αI αI
(6.73)
L⊥
0 =
2 p∈Z
2
2 p=1
2 p=1 p −p
Per far si che l’operatore agisca nel modo corretto sullo stato di vuoto , è necessario che esso sia ”normalmente ordinato”. In teoria quantistica dei campi un
prodotto di campi quantistici , o in modo equivalente un prodotto di operatori
di creazione e distruzione ad essi associati , si dice normalmente ordinato quando
gli operatori di distruzione sono a destra degli operatori di creazione . Per ordinare normalmente l’operatore LI0 è sufficiente riscrivere l’ultimo termine nella
sommatoria come :
+
∞
∞
1X
1X
I
I
αpI α−p
=
(αI αI + [αpI , α−p
])
2 p=1
2 p=1 −p p
=
=
Si ha quindi
(6.74)
∞
∞
1X
1X
I
α−p
αp1 +
pη IJ
2 p=1
2 p=1
∞
∞
X
1X
1
I
α−p
αp1 + (D − 2)
p
2 p=1
2
p=1
∞
∞
X
1 I I X
1
I
I
L⊥
=
α
α
+
α
α
+
(D
−
2)
p
0
2 0 0 p=1 −p p 2
p=1
(6.75)
utilizzando la definizione di L⊥
0 si ha
0 I I
L⊥
0 ≡ αp p
∞
X
n=1
I
pa†I
p ap
(6.76)
l’ultimo termine dell’equazione (6.74) è divergente. Poichè L⊥
0 deve essere normalmente ordinato , si pone
∞
X
1
p
a = (D − 2)
2
p=1
(6.77)
dove a è detta costante di ordinamento. Utilizzando la definizione della funzione
ζ di Riemann e della Γ di Eulero insieme ad alcune nozioni elementari di calcolo
dei residui , è possibile dimostrare che
a=−
1
(D − 2)
24
(6.78)
Prima di passare alla costruzione dello spazio degli stati di stringa bosonica è
opportuno soffermarsi sulle relazioni di commutazione fra gli operatori trasversi
di Virasolo ed il set di coordinate di stringa . E’ possibile dimostrare che valgono
le seguenti relazioni di commutazione :
Per Stringhe Aperte :

J
J

[L⊥

m , αn ] = −nαn+m



[L⊥ , L⊥ ] = (m − n)L⊥
m+n
n
m
√
I
⊥
I
0


[Lm , x0 ] = −i 2α αm



 ⊥
[L0 , X I ] = i∂τ X I
+
(D−2)
(m3
12
− m)δm+n,0
(6.79)
Per Stringhe Chiuse :

J

[L̃⊥

m , α̃n ]





[L⊥ , αJ ]

 m n
J
= −nα̃n+m
J
= −nαn+m
q
α0 I
I
[L̃⊥
m , x0 ] = −iq 2 α̃m



α0 I
I


[L⊥
α

m , x0 ] = −i
2 m


 ⊥
⊥
I
[L̃0 + L0 , X (τ, σ)] =
(6.80)
−i∂τ X I
Per definizione :
Uno spazio vettoriale L di elementi x,y,z ed un’operazione binaria e bilineare
da L in L,si dice un algebra di Lie se sono verificate le seguenti condizioni :
• Antisimmetria : [x, y] = [−y, x], ∀x, y ∈ L
• Identità di Jacobi : [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0, ∀x, y, z ∈ L
Dalle relazioni di commutazione soddisfatte dagli operatori trasversi di Virasoro
appare chiaro che essi formano un’ Algebra di Lie.
6.7
Invarianza Relativistica e Dimensioni Spaziotemporali
Come ultima premessa prima di procedere con la costruzione dello spazio degli
stati , è opportuno soffermarsi ad osservare quel che accade nel tentativo di mantenere invarianza relativistica in teoria delle stringhe. Com’è stato mostrato nel
capitolo 3 , a partire dall’azione di Nambu-Goto è possibile applicare il teorema di Noether successivamente ad una generica trasformazione di Lorentz , nel
tentativo di costruire una particolare corrente conservata che presenti invarianza relativistica . Tale corrente conservata risulta identificabile come densità di
moemnto angolare del sistema. Sfruttando il teorema di Noether si dimostra
inoltre che il momento angolare totale del sistema è una costante del moto .
Si ricorda che il momento angolare J µν è esprimibile come
J µν = xµ0 pν − xν0 pµ − i
∞
X
1 µ ν
ν
αnµ ]
[α−n αn − α−n
n
n=1
(6.81)
dove i coefficienti , o oscillatori , αnI sono gli operatori di creazione e distruzione
definibili per un oscillatore armonico quantistico . E’ possibile dimostrare che
nella gauge del cono di luce le componenti trasverse del momento angolare devono
commutare , ovvero :
[J ±I , J ±J ] = 0.
(6.82)
E’ interessante osservare quel che accade nel richiedere che tali regole di commutazione siano soddisfatte
Per calcolare correttamente il commutatore è necessario avere l’operatore J −I
ordinato normalmente
I
I −
J −I = x−
0 p − x0 p − i
=
I
x−
0p
∞
X
1 − I
I
[α−n αn − α−n
αn− ]
n=1 n
(6.83)
∞
X
1 − I
1 I −
− I
I
[α−n αn − α−n
αn− ]
− (x0 p + p x0 ) − i
2
n=1 n
Espandendo il tutto utilizzando il modo trasverso di Virasoro L⊥
0 , si ha
∞
X
i
1
I
I
⊥
⊥
I
⊥
√
+
a)x
−
x
(L
+
a)
+
(L
(α−n
αnI − α−n
αn⊥ )
0
0
0
+
4α0 p+ 0 0
2α p n=1
(6.84)
Il calcolo dell commutatore (6.82) risulta in
I
J −I = x−
0p −
∞
X
1
J
I
αm
)·
(αI αJ − α−m
α0 (p+ )2 m=1 −m m
1
1 1
(D − 2) + a
· m 1 − (D − 2) +
24
m 24
[J −I , J −J ] = −
(6.85)
Tale commutatore è nullo se e soltanto se sono nulli i coefficienti racchiusi in
parentesi tonda , per cui si ha
1
1 1
m 1− (D−2) +
(D−2)+a
24
m 24
= 0 ⇐⇒

1 − 1
(D − 2) = 0
2) + a = 0
24
 1 (D −
24
(6.86)
E’ fondamentale notare come la prima delle due equazioni fissi le dimensioni
dello spazio-tempo a 26. In altre parole , per mantenere invarianza di Lorentz
in teoria delle stringhe è necessario assumere che lo spazio-tempo sia di dimensionalità maggiore rispetto allo spazio-tempo ordinario definito dalla meccanica
relativistica . E bene ricordare che per quanto tale condizione possa sembrare
assurda e di carattere più matematico che fisico , essa risulti da una teoria che
è gia di per se non realistica . Infatti , la teoria sviluppata in questo capitolo
è strettamente bosonica , e quindi limitata alla descrizione di una sola classe di
particelle , che oltretutto non sono costituenti della materia nel senso comune del
termine .
Per ottenere una descizione accurata e completa dell’universo in termine di
stringhe come oggetti costitutivi fondamentali , è necessario includere i fermioni
nella teoria . Una una trattazione completa e rigorosa della teoria di stringa
fermionica esula tuttavia dal contesto di una laurea triennale in fisica , per cui
mi limitero semplicemente ad osservare è che nello sviluppo di tale teoria le dimensioni dello spazio-tempo vengono fissate a 10 , e non più a 26 .
6.8
Lo Spazio degli Stati di Stringa Bosonica
Qui si procede con lo sviluppare la sezione finale di questa breve opera .
La costruzione dello spazio degli stati di stringa (sia aperte che chiuse) fornisce
diverse motivazioni per proseguire verso questa direzione a discapito dei problemi
di interpretazione incontrati nell’imporre le appropriate regole di commutazione
fra le componenti trasverse del momento angolare .
6.8.1
Spazio degli Stati per Stringhe Aperte
Come per la particella puntifrome , lo spazio degli stati di stringa bosonica può
essere identificato dalla coppia
E
+
p , p
~t
rappresentativa del ground state . Per definizione , si ha che
E
an p+ , p~ = 0
(6.87)
uno stato di stringa generico può essere costruito con ripetute applicazioni dell’operatore
di creazione aI†
n sullo stato di vuoto :
|λi =
25
∞ Y
Y
λn,I
(aI†
n )
(6.88)
n=1 I=2
dove λn,I è identificativo del numero di applicazioni di aIn . Lo spazio di Fock degli
stati sarà quindi descritto da infiniti vettori di base , linearmente indipendenti
fra loro . Per dare un interpretazione fisica dello spazio degli stati , considero
l’operatore M 2 utilizzando a = 1 come costante di ordinamento .
M2 =
1
α0
X
I
naI†
n an − 1
(6.89)
n=1∞
o in modo del tutto equivalente , esprimendo in termini dell’operatore ”numero”
N⊥ ,
1
M 2 = 0 (N ⊥ − 1).
(6.90)
α
L’operatore N ⊥ è normalmente ordinato , si ha quindi
E
N ⊥ p+ , p~t = 0.
L’azione di N ⊥ su uno stato generico è
N ⊥ |λi = Nλ⊥ |λi
dove
Nλ⊥ =
∞ X
∞
X
nλn,I
(6.91)
(6.92)
n=1 I=2
calcolando l’Hermitiano coniugato dell’equazione (6.82) e calcolando il prodotto
scalare hλ|λi si può mostrare come questo sia sempre positivo , di conseguenza
è ben definita una norma in grado di restituire una chiara interpretazione probabilistica. A partire da M 2 è possibile calcolare la massa di un qualsiasi stato
costruito a partire dal ground state definito dall’equazione (6.81). Iniziamo con
il calcolare la massa del ground state :
E
M 2 p+ , p~t = −
E
1
1 + E
1
+
⊥
p
,
p
~
=
−
p , p
~t ⇐⇒ M 2 = − 0
(N
−
1)
0
0
α
α
α
(6.93)
La massa cosı̀ calcolata risulta immaginaria , poichè la costante α0 è definita
positiva. Per quanto possa sembrare di essere arrivati ad una conclusione assurda , è possibile mostrare come tale stato a massa immaginaria corrisponda
ad un’ipotetica particella non prevista dal modello standard : il ”Tachione”. Si
ricorda inoltre che la teoria di stringa trattata in quest’opera è limitata al caso
bosonico , che è di per se non realistico .
Considero adesso il primo stato eccitato:
Fissato N ⊥ = 1 si ha M 2 = 0. Ognuno degli stati a massa nulla può essere
ottenuto facendo agire uno degli operatori aI†
1 sul ground state. Si hanno (D−2) =
24 possibili stati , la cui combinazione lineare forma un generico stato
|λi =
25
X
+
~t
χ1 aI†
1 p , p
E
(6.94)
I=2
Può essere dimostrato che un generico stato di fotone , in modo del tutto simile
, è descritto dalla combinazione lineare
D−1
X
χ1 ap+ ,~pt |0i
(6.95)
I+2
Poichè entrambi gli stati sono a massa nulla , e poichè sono entrambi identificati
dalle medesime componenti di momento , si conclude che
+
ap+ ,~pt |0i ⇐⇒ aI†
~t
1 p , p
E
(6.96)
La teoria di stringa bosonica include in modo naturale i fotoni , bosoni di interazione del campo elettromagnetico .
6.8.2
Spazio degli Stati per Stringhe Chiuse
Lo spazio degli stati generico di stringa chiusa è definibile come prodotto di uno
stato relativo agli oscillatori destri per uno relativo agli oscillatori sinistri
E
λ, λ̃
=
Y
∞ Y
25
Y
∞ Y
25
λn,I
(aI†
·
n )
n=1 I=2
λ̃m,J
(aJ†
p+ , p
~t
n )
E
(6.97)
m=1 J=2
in modo del tutto equivalente alla teoria di stringa aperta , i coefficienti λ sono
indicativi del numero di volte che agiscono gli operatori di creazione. Inoltre gli
operatori N ⊥ agiscono sugli stati di base con autovalori :

N ⊥
λ
Ñ ⊥
λ̃
∞
= ∞
I=2 nλn,I
n=1
P∞ P∞
= n=1 I=2 nλ̃n,I
P
P
(6.98)
E’ importante notare che gli stati di stringa aperta sono casi particolari di stati
di stringa chiusa.In altre parole , la teoria di stringa chiusa ingloba la teoria di
stringa aperta , che risulta quindi un suo caso particolare. E’ possibile dimostrare
che le regole di commutazione fra gli operatori di Virasoro implichino N ⊥ = Ñ ⊥ .
Lo spazio degli stati di stringa chiusa deve soddisfare questa condizione , per cui
gli stati per i quali tale relazione non vale ,sono da considerarsi un puro prodotto
matematico senza alcuna informazione di carattere ed interesse fisico.
Inizio con analizzare i primi stati di base . In modo del tutto analogo a quanto
accade nella teoria di stringa aperta , il ground state ha massa immaginaria ,
identificativa di un ipotetica particella ”tachione”
E
M 2 p+ , p~t = −
4 + E
p , p
~t
α0
(6.99)
Il primo stato eccitato si ottiene esplicando N ⊥ = Ñ ⊥ nell’equazione descrittiva
del quadrato della massa. In questo modo risulta M 2 = 0. Lo stato massless a
momento fissato più generale può essere scritto come
XX
I
J† +
RIJ aI†
~t
1 ã1 p , p
E
(6.100)
J
dove RIJ è una matrice di rango D − 2. Una qualsiasi matrice quadrata può
essere decomposta nella sua parte simmetrica ed antisimmetrica come
1
1
RIJ = (RIJ + RJI ) + (RIJ − RJI )
2
2
(6.101)
Definendo il primo membro a destra come SIJ ed il secondo membro a destra
come AIJ , si ha
RIJ = SIJ + AIJ
(6.102)
SIJ corrisponde alla parte simmetrica , mentre AIJ alla parte antisimmetrica .
La parte simmetrica può essere ulteriormente decomposta come
SIJ = SIJ
dove S = S II = δ IJ S.
1
1
−
δIJ S +
δIJ S
D−2
D−2
(6.103)
Il termine contenuto in parentesi è a traccia nulla , ed il termine rimanente è
semplicemente il prodotto di un numero per la matrice identità . Denotando la
S
, si ha
parte a traccia nulla come ŜIJ e ponendo S 0 = D−2
RIJ = ŜIJ + AIJ + S 0 δIJ
(6.104)
per cui il primo stato eccitato è descritto da tre diversi termini , ed è quindi
divisibile in tre gruppi differenti:
XX
I
J
J†
RIJ aI†
1 ã1
E
+
p , p
~t
=
XX
J† +
~t
ŜIJ + AIJ + S δIJ aI†
1 ã1 p , p
I
0
E
(6.105)
J
Gli stati descritti dal termine a traccia nulla ŜIJ sono del tutto simili agli stati
del ”gravitone”. Sotto certe restrittive condizioni , è infatti plausibile una teoria
quantistica del campo gravitazionale nella quale è possibile dimostrare come lo
spazio degli stati del gravitone si costruisca dal ground state , come :
D−1
X
|λi =
+
~t
χIJ aIJ†
p+ ,~
pt p , p
E
(6.106)
I,J=2
dove χIJ è della stessa tipologia di ŜIJ . A questo punto risulta chiara l’equivalenza
fra i due set di stati di base :
J† +
~t
aI†
1 ã1 p , p
E
⇐⇒ aIJ†
p+ ,~
pt |0i
(6.107)
La teoria di stringa chiusa include gli stati del gravitone . In altre parole viene
fornita una descrizione quantistica della gravità in modo automatico , poichè
l’informazione relativa all’interazione gravitazionale non è stata inserita in alcun
modo all’interno dello sviluppo della teoria. Senza alcun dubbio si tratta di un
risultato interessante. La teoria delle stringhe nasce come tentativo di spiegazione
dell’interazione nucleare forte , e indipendentemente da questo spiega la gravità.
Questo risultato preso singolarmente non fà della teoria delle stringhe una teoria
definitiva in grado di descrivere in modo completo il nostro universo , tuttavia si
tratta senza dubbio un indicazione positiva . .
7. Conclusioni
In questo lavoro di tesi sono stati trattati i risultati di base che emergono dalla
formulazione bosonica della teoria delle stringhe nella light-cone gauge. Il risultato più interessante di tale formulazione segue senza dubbio dalla costruzione
dello spazio degli stati, che mostra come la teoria delle stringhe sia una possibile candidata all’unificazione fra le interazioni fondamentali , primi stati eccitati
di stringhe aperte e chiuse con lo spazio degli stati del fotone e di un ipotetico
gravitone . Ad oggi , la teoria nella sua formulazione più generale , è in grado di
provvedere diversi interessanti risultati , fra cui :
• Una teoria quantistica consistente ed unificata delle 4 interazioni fondamentali
• Soluzioni ad alcuni importanti problemi della fisica teorica moderna , quali
la materia oscura è la gravità quantistica
• Predizioni qualitative riguardo proprietà fondamentali della natura
(Dimensioni spazio-temporali extra e supersimmetria)
• Fornisce nuove metodologie matematiche per lo sviluppo della fisica teorica.
Tuttavia la teoria non è di facile verifica sperimentale a causa della scala di
energie coinvolte , attualmente fuori portata anche dai più moderni acceleratori
di particelle in funzione. Per quanto esistano strade alternative per la confutazione della teoria (cosmologia , ricerca di stringhe cosmiche , supersimmetria)
, ad oggi non si hanno ancora delle risposte definitive. Indipendentemente della
fase di verifica sperimentale , la teoria delle stringhe è allo stato attuale la più
promettente teoria di unificazione , e merita sicuramente una posizione di rilievo
nello studio e nella comprensione dell’universo .
72
Bibliografia
• M.B.Green , J.H.Schwarz , E.Witten : Superstring Theory
• A.Svesko : A Detailed Introduction to String Theory
• Clifford V. Johnson : Introduction to String Theory and D-Branes
• Kevin Wray : An Introduction to String Theory
• N.Beisert : Introduction to String Theory
• David J. Griffiths : Introduction to Quantum Mechanics
• H.Goldstein , C.Poole , J.Safko : Classical Mechanics
• G. Lambiase, V.V. Nesterenko, Quark mass correction to the string potential, Phys.Rev. D54 (1996) 6387-6398
• H. Kleinert, G. Lambiase, V.V. Nesterenko, Hadronic string without tachyons:
Real inter-quark potential between a heavy and a light quark at all distances
, Phys.Lett. B384 (1996) 213-217
• G. Lambiase, V.V. Nesterenko, Nambu-Goto string with massive ends at
finite temperature, Phys.Lett. B398 (1997) 335-34
• L. Hadasz, G. Lambiase, V.V. Nesterenko, Casimir energy of a nonuniform
string, Phys.Rev. D62 (2000) 025011
73
A. Identificazione del Parametro
T nell’azione di Nambu-Goto
l’azione di Nambu-Goto è chiaramente invariante per riparametrizzazione. Consideriamo una riparametrizzazione parziale dove fissiamo τ costante. In questo
caso otteniamo
• τ (p) ≡ t(p) ∀P ∈ W.S.
• X 0 = ct ; X µ 6= 0 ⇐⇒ µ = 1
le condizioni risultanti dalla parametrizzazione parziale rappresentano corde statiche
,e per questo motivo la particolare gauge scelta viene detta statica . Parte spaziale
e temporale della funzione di mappa X µ vengono automaticamente separate :
~ ∂X
~
∂X 0 ∂ X
∂X µ
=
,
= 0,
∂σ
∂σ ∂σ
∂σ
~
∂X µ
∂X
∂X µ
=
= c,
∂τ
∂t
∂t
Immaginiamo adesso di trovarci nella situazione particolare in cui la corda risulta
allungata soltanto lungo X 1 . Con questa scelta si ha X 1 (0, 0) = 0; X 1 (0, σ) = l
9
. Si ha chiaramente che X 1 (τ, σ) ≡ f (σ) l’azione di Nambu-Goto è :
S = −T
Z
s
dτ dσ
= −T
∂X µ ∂Xµ
∂X µ ∂Xµ
·
·
−
∂τ
∂σ
∂σ
∂σ
Z
r
dτ dσ
Ẋ · X 0
2
− Ẋ
2 X0
∂X µ ∂Xµ
·
∂τ
∂τ
2
poichè
• Ẋ µ = (1, 0, . . . , 0) → Ẋ 2 = −1
• X 0µ = (0, dσ f, . . . , 0) → X 02 = (dσ f )2
• X 0 · Ẋ = 0
si ottiene :
S = −T
Z σ Z t2
t1
0
=
Z tf
t1
σ

dtf (σ)
 =
0
df
dτ dσ
dσ
Z tf
(A.1)
dt(−T l)
t1
poichè la Lagrangiana per un oggetto statico è semplicemente L = −V , si conclude che V = T l . E’ quindi chiaro come T sia identificabile come parametro di
tensione della corda.
9
Dove con ”l” è indicata la lunghezza complessiva della corda
74
B. Teorema di Noether e
Correnti Conservate
qui di seguito , successivamente ad una breve parte introduttiva , verrà enunciato
il teorema di Noether , risultato di fondamentale importanza in teoria dei campi.
Uno degli utilizzi più importanti della Lagrangiana è quello della ricerca di quantità conservate . In particolare , in presenza di simmetrie di una Lagrangiana vi
sono particolari quantità conservate , dette correnti . Con simmetria tipicamente
si intende una trasformazione continua al campo o alla Lagrangiana stessa,tale
da lasciare inalterate le equazioni del moto. Per fissare le idee , supponiamo di
variare le coordinate spaziotemporali xµ → xµ + µ , dove µ è una costante di
”piccola” magnitudine . La risultante variazione ad un campo φ(x) sarà
φ(x) → φ(x + )
. Poissiamo sviluppare l’espressione appena ricavata sfruttando il fatto che è
piccolo , ed arriviamo quindi a
φ(x + ) ' φ(x) + µ ∂µ φ(x)
da cui
δφ(x) = µ ∂µ φ(x)
assegnata una densità di Lagrangiana L ≡ L(φ, ∂µ φ) , la sua variazione sarà :
∂L
∂L
δφ +
δ(∂µ φ)
∂φ
∂(∂µ φ)
δL =
(B.1)
fissata una densità di Lagrangiana di questo tipo , le equazioni di Eulero-Lagrange
sono restituite dalla variazione dell’azione
S=
δS =
Z
d4 x
Z
d4 xL(φ, ∂µ φ)
(B.2)
∂L
∂L
δφ +
δ(∂µ φ)
∂φ
∂(∂µ φ)
(B.3)
che mediante una semplice integrazione per parti diventa:
=
Z
d4 x
∂L
∂L
− ∂µ
δφ
∂φ
∂(∂µ φ)
resistuendo le equazioni del moto :
∂L
∂L
= ∂µ
∂φ
∂(∂µ φ)
(B.4)
l’equazione appena ricavata di consente di riscrivere la (D.1) come
δL = ∂µ
∂L
∂L
+
∂µ δφ
∂(∂µ φ)
∂(∂µ φ)
75
(B.5)
che può essere ulteriormente semplificata esprimendo il secondo membro in temini
di derivata totale
∂L
δL = ∂µ
δφ
(B.6)
∂(∂µ φ)
sostituendo δφ = ν ∂ν φ, si ha
δL = ∂µ
∂L
∂ν φ ν
∂(∂µ φ)
in modo del tutto analogo alla variazione subita dal campo φ per mezzo di µ ,
la Lagrangiana
L → L + δL
dove δL = ∂ν (L)ν . Eguagliando i risultati ottenuti per δL , otteniamo
∂µ
∂L
∂L
∂ν φ − δνµ L ν = 0 ⇐⇒ ∂µ
∂ν φ − δνµ L = 0
∂(∂µ φ)
∂(∂µ φ)
(B.7)
l’espressione contenuta in parentesi è nota come tensore energia-momento
Tµν =
∂L
∂ν φ − δνµ L
∂(∂µ φ)
(B.8)
applicando quindi una trasformazione continua alla lagrangiana , tale da lasciare
invariata la lagrangiana stessa, abbiamo trovato alcune correnti conservate . Nello
specifico , è chiaro come la componente T00 del tensore energia-momento sia la
densità di Hamiltoniana , e quindi l’equazione (D.7) manifesta la conservazione
dell’energia totale del sistema.
C. Coordinate del Cono di Luce
In meccanica relativistica , un elemento di linea dello spazio-tempo con segnatura
di Minkowski è espresso come :
ds2 = dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2
(C.1)
dove si è adottata la convenzione negativa. Analogamente
−ds2 = −dt2 + −dx2 + dy 2 + dz 2
Le coordinate del cono di luce seguono semplicemente applicando la seguente
trasformazione di coordinate
1
t → x+ = √ (t + x)
2
(C.2)
1
x → x− = √ (t − x)
(C.3)
2
l’elemento di linea dello spazio di minkowski precedenemte definito , cambierà
seguendo la trasformazione di cordinate effettuata. Osserviamo che il prodotto
1
1
x+ x− = (t + x)(t − x) = (t2 − x2 )
2
2
(C.4)
2x+ x− = t2 − x2
(C.5)
segue quindi che
per cui :
ds2 = ds2 = dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 → ds2 = 2dx+ dx− − dy 2 − dz 2
(C.6)
o in modo del tutto analogo
−ds2 = −2dx+ dx− + dy 2 + dz 2 .
(C.7)
Per descrivere il nuovo sistema di coordinate è necessario modificare la metrica
ordinaria dello spazio tempo di Minkowski , che ricordiamo essere :
1 0
0
0
0 −1 0
0




0 0 −1 0 
0 0
0 −1


poichè le coordinate x+ ed x− sono relative agli elementi fuori diagonale G10
e G01 ,e poichè la metrica deve essere simmetrica , concludiamo che il tensore
rappresentativo è


0 1 0
0
1 0 0
0




0 0 −1 0 
0 0 0 −1
77