I vettori

I vettori
A cura di
dott. Francesca Fattori Speranza ([email protected])
dott. Francesca Paolucci
GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI
Si definiscono grandezze SCALARI quelle grandezze caratterizzate solo da
un valore numerico o modulo come: tempo, massa, temperatura, densità,
energia, pressione, etc.
Si definiscono grandezze VETTORIALI quelle grandezze caratterizzate da
un modulo, una direzione e un verso, come per esempio: posizione, velocità,
accelerazione, forza, campo elettrico, campo magnetico, etc.
Queste grandezze sono rappresentate da vettori.
Proprietà dei vettori
r r
Due vettori A e B sono uguali se hanno lo stesso modulo, la stessa direzione
e lo stesso verso.
Si definisce vettore nullo quel vettore che ha modulo zero e direzione
indeterminata:
r r
A=0
r
r
Si definisce vettore opposto ad un vettore A , il vettore A' di modulo uguale
ma verso opposto:
r
r
A' = − A
Operazioni con i vettori
Addizione
Sottrazione
r r r
R = A+ B
r r r r
r
R = A − B = A + (− B )
Proprietà della somma (algebrica)
commutativa
associativa
r r r r
A+ B = B + A
r r r
r r
r
A + (B + C ) = (A + B ) + C
Moltiplicazione per uno scalare
r
r
R = kA
Proprietà della moltiplicazione per uno scalare
distributiva rispetto alla somma di vettori
r r
r
r
k ( A + B ) = kA + kB
distributiva rispetto alla somma di scalari
r
r
r
(k + h ) A = kA + hA
associativa rispetto al prodotto di scalari
r
r
(kh )A = k (hA)
I versori
Un versore è un vettore di modulo unitario. Si definisce come
r
v
vˆ = r
v
e viene utilizzato per definire una direzione e su di essa un verso.
Per esempio, le direzioni e i versi positivi di una terna di assi cartesiani sono
definite dai versori iˆ, ˆj, kˆ .
Prodotto scalare
r r
Il prodotto scalare tra due vettori A e B è definito come:
r r
A ⋅ B = AB cosθ
Il risultato è uno scalare.
Proprietà del prodotto scalare
commutativa
distributiva
r r r r
A⋅ B = B ⋅ A
r r r
r r r r
A ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C
Componenti vettoriali
r
Il vettore A può essere rappresentato come somma dei vettori Ax iˆ , Ay ˆj e
Az kˆ , dove Ax , Ay e Az rappresentano le proiezioni del vettore lungo gli assi
cartesiani:
r
A = A iˆ + A ˆj + A kˆ
x
y
z
r
Il modulo del vettore A può quindi essere espresso in funzione delle sue
componenti come:
r
A = A = Ax2 + Ay2 + Az2
Prodotto scalare e componenti vettoriali
r r
Il prodotto scalare tra due vettori A e B può essere scritto come:
r r
A ⋅ B = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ ⋅ B x iˆ + B y ˆj + Bz kˆ =
(
)(
= Ax iˆ ⋅ B x iˆ + Ax iˆ ⋅ B y ˆj + Ax iˆ ⋅ Bz kˆ +
+ Ay ˆj ⋅ B x iˆ + Ay ˆj ⋅ B y ˆj + Ay ˆj ⋅ B x kˆ +
+ Az kˆ ⋅ B x iˆ + Az kˆ ⋅ B y ˆj + Az kˆ ⋅ Bz kˆ =
= Ax B x iˆ ⋅ iˆ + Ax B y iˆ ⋅ ˆj + Ax Bz iˆ ⋅ kˆ +
+ Ay B x ˆj ⋅ iˆ + Ay B y ˆj ⋅ ˆj + Ay B x ˆj ⋅ kˆ +
+ Az B x kˆ ⋅ iˆ + Az B y kˆ ⋅ ˆj + Az Bz kˆ ⋅ kˆ =
= Ax B x + Ay B y + Az Bz
avendo tenuto conto che:
iˆ ⋅ iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1
iˆ ⋅ ˆj = iˆ ⋅ kˆ = ˆj ⋅ kˆ = 0
Quindi, il prodotto scalare di un vettore per se stesso è:
r r
A ⋅ A == Ax Ax + Ay Ay + Az Az = A2
)
Prodotto vettoriale
r r
Il prodotto vettoriale tra due vettori A e B è definito come:
r r r
C = A× B
r
r
r
Il risultato del prodotto
vettoriale
tra
A
e
B
è
un
vettore
C
ortogonale al
r r
piano generato da A e B il cui verso è descritto nelle figure seguenti:
r
Il modulo del vettore C è dato da:
r r r
C = A × B = AB sin θ
Proprietà del prodotto vettoriale
r r
r r
A × B = −B × A
r r r
r r r r
A × (B + C ) = A × B + A × C
r r
r r r
r
k (A × B ) = (kA) × B = A × (kB )
r r r
A ⋅ (A × B ) = 0
r r r
B ⋅ (A × B ) = 0
Se due vettori sono paralleli o se almeno uno dei due vettori è nullo, allora il
loro prodotto vettoriale è nullo.
Se due vettori sono mutuamente perpendicolari, il modulo del loro prodotto
vettoriale è il prodotto dei moduli.
Esempio di uso delle componenti
A = 3, B = 1, α = 30°, β = 60°
r r r
 C x = Ax + B x
C = A+ B ⇒ 
C y = Ay + B y
r
con C = C x iˆ + C y ˆj .
Calcoliamo
3 3
2
3
Ay = A sin α =
 Cx = 2
2
⇒
1
C y = 3
B x = B cos β =
2
3
B y = B sin β =
2
r
quindi si ha C = 2iˆ + 3 ˆj .
Ax = A cos α =
Per calcolare il modulo:
r
C = 4+3 = 7
Per calcolare la direzione:
C x = C cos γ ⇒ γ = arccos
Cx
2
= arccos
≅ 41°
C
7
Esempio di applicazione del prodotto scalare: il lavoro di una forza
Nel caso in cui la forza sia costante (ricordarsi che la forza è un vettore!)
possiamo scrivere:
r r
L = F ⋅ ∆s
ovvero
L = F∆s cos θ
Quindi, il lavoro non è altro che il prodotto della proiezione della forza lungo
lo spostamento per lo spostamento stesso.
Esempio di applicazione del prodotto vettoriale: il momento di una forza
Chiamiamo momento di una forza la tendenza di una forza a provocare una
rotazione e definiamo il suo modulo come prodotto del modulo della forza
per la distanza tra la retta di applicazione e l’asse di rotazione:
M = Fd
(d = braccio della forza).
La stessa forza F applicato in un punto qualsiasi lungo la retta tratteggiata in
figura, produce lo stesso momento.
Possiamo quindi scrivere il modulo del momento come:
M = Fr sin θ
con d = r sin θ .
Se consideriamo quest’equazione da un punto di vista matematico,
riconosciamo che il secondo membro è il modulo del prodotto vettoriale tra il
raggio vettore che congiunge l’asse di rotazione al punto di applicazione
della forza e la forza stessa:
r r
M = Fr sin θ = r × F
Ciò suggerisce di introdurre una definizione più generale di momento di una
forza (come vettore):
r r r
M = r ×F
In questo senso, la direzione del vettore momento coincide con l’asse di
rotazione (quindi sappiamo che la rotazione avviene su un piano ortogonale
al momento). Il verso del vettore mi indica in verso di rotazione, secondo la
regola della mano destra.