Teorario di Fisica Tecnica
A cura di Tobia Piccoli
1
Indice
Equazione di conservazione della massa
Lavoro tecnico per una trasformazione isoterma di un gas ideale
Andamento di temperatura in una parete cilindrica con temperatura delle
pareti uniforme
Formula dell'umidità specica di una miscela di aria umida in funzione
dell'umidità relativa
Dimostrare che l'andamento della temperatura in una parete piana di spessore L e supercie innita, in condizioni stazionarie, è una funzione lineare
Ricavare l'equazione dell'umidicazione adiabatica e dimostrare che la trasformazione è approssimabilmente una isoentalpica
Formula della temperatura in funzione del tempo per il raredamento di
un corpo omogeneo immerso in un uido a temperatura costante, ipotizzando i
parametri concentrati
Lavoro tecnico per un compressione isoentropica di un gas ideale
Formula scambio termico radiativotra due superci nere
Relazione tra coeciente di eetto utile di una pompa di calore e quello di
una macchina frigorifera, supponendo che operino tra le stesse temperature
Ricavare l'equazione di Fourier in coordinate cartesiane per il caso stazionario
Lavoro di volume di un gas ideale per una trasformazione isoterma
Ricavare la formula del rendimento ideale di un ciclo Brayton-Joule in funzione del rapporto di compressione
Ricavare il calore specico di una politropica
Ricavare l'espressione del bilancio termico radiativo di una supercie diusa
Ricavare l'espressione del primo principio per sistemi aperti
Ricavare l'entalpia dell'aria umida
Ricavare il rendimento di un ciclo Otto in funzione del rapporto di compressione volumetrico
Ricavare l'espressione dell'equazione di Clapeyron
Funzionamento di uno psicrometro di Assman
Ricavare l'espressione della temperatura media logaritmica
2
Equazione di conservazione della massa
Si consideri un sistema aperto come in gura:
Si suppone che almeno nelle sezioni di ingresso ed uscita vi sia equilibrio
dτ entrerà nel sistema una massa dm1 e vi
τ0 , il sistema costituito dal sistema aperto
che contenga la massa dm1 . Si può immaginare
un tempo dτ . Così all'istante τ0 + dτ il sistema
termodinamico. In un certo intervallo
dm2 .
uscirà una massa
Si considera in
più un volumetto del sistema
che questa massa deuisca in
sarà quello della terza gura, ossia un sistema aperto più un volume nito
contenente la massa
dm2
(uscita anch'essa nel tempo
per il sistema della seconda gura), posta
´
Ms |τ0 = dm1 +
ρdV
V
Ms
dτ ).
Nel primo caso (cioè
la massa del sistema chiuso:
τ0
mentre nel caso successivo (terza gura) la massa sarà data da
´
Ms |τ0+dτ = dm2 +
V
ρdV
τ0 +dτ
Valendo per i sistemi chiusi il postulato di conservazione della massa, si
possono eguagliare le due espressioni:
dm1 − dm2 =
´
V
ρdV
τ0 +dτ
−
´
V
ρdV
τ0
E' possibile scomporre in serie di Taylor (solo i primi due termini) il volume
τ0 + dτ :
´
= V ρdV τ +
+dτ
aperto all'istante
´
V
ρdV
τ0
0
δ
δτ
´
V
ρdV
τ0
dτ
e sostituire nell'espressione precedente, ottenendo:
dm1 − dm2 =
´
δ
δτ
V
ρdV
τ0
dτ
e riarrangiando:
•
•
m1 − m2 =
´
δ
δτ
V
ρdV
τ0
Nel caso si abbiano più sezioni di ingresso edi uscita si generalizza:
P
i
•
mi =
δ
δτ
´
V
ρdV
ed in condizioni di usso stazionario:
P
i
•
mi = 0
3
Lavoro tecnico per una trasformazione isoterma di un gas ideale
Dati due stati della trasformazione:
lt = −
´2
1
v dp = −RT
´2
1
dp
p
= RT ln pp12 = RT ln vv21
4
Andamento di temperatura in una parete cilindrica con temperatura delle pareti uniforme
Sia un cilindro cavo di lunghezza L, raggio esterno
peratura della supercie interna
Ts1
r2 , raggio interno r1 , temTs2 ,
e temperatura della supercie esterna
queste ultime supposte uguali in tutti i punti delle relative superci. L'equazione
di Fourier in coordinate cilindriche, per questo caso, si scrive come:
1 d
r dr
dr dT
dr = 0
che integrata diventa:
dT
dr
=
C1
kr
re-integrando:
T (r) =
C1
k
ln r + C2
Con le ipotesi iniziali si ha:
T (r1 ) =
T (r2 ) =
C1
k
C1
k
ln r1 + C2
ln r2 + C2
Che risolta permette di trovare le costanti:
−Ts2
C1 = k Ts1
r
ln 1
r2
C2 = Ts2 −
Ts1 −Ts2
r
ln r1
ln r2
2
che sostituite nella soluzione dell'equazione dierenziale iniziale, permettono
di ottenere l'andameto della temperatura lungo la parete:
T (r) =
TS1 −TS2
r
ln r1
2
ln rr2 + Ts2
5
Piani T - s e p - h ciclo inverso a vapore e formula del coeciente
di eetto utile
Si denisce il calore assorbito, detto eetto frigorifero, come:
qo = h2 − h1
il lavoro tecnico, necessario per la compressione isoentropica del uido dalla
pressione
p0 alla
pressione
p1 ,
è:
|l23 | = h3 − h2
ed il coeciente di eetto utile per il ciclo sarà:
εf r =
q0
|l23 |
=
h2 −h1
h3 −h2
6
Formula dell'umidità specica di una miscela di aria umida in funzione dell'umidità relativa
Date:
mv
ma ; umidità specica,
nel volume di aria umida
x=
mv
massa vapor d'acqua e
ma
massa aria secca
mv
ms ; umidità relativa, ms massa di vapore che nelle stesse condizioni
(T,V) sarebbe presente in saturazione
ϕ=
quindi:
x=
mv
ma
=
ρv
ρa
=
pv V R a T
R v T pa V
=
R a pv
Rv pa
pv
= 0.622 p−p
v
si riscrive l'umidità relativa come:
ϕ=
mv
ms
=
pv V R v T
R v T ps V
=
pv
ps ;
ps
pressione di saturazione
da cui:
pv = ϕps
che sostituita nell'espressione dell'umidità specica permette di ottenere:
ϕps
x = 0.622 p−ϕp
s
7
Dimostrare che l'andamento della temperatura in una parete piana
di spessore L e supercie innita, in condizioni stazionarie, è una
funzione lineare
Partendo dall'equazione di Fourier, posta nulla la genereazione di calore e
supposte note le temperature a parete
d2 T
dx2
Ts1 e Ts2 :
=0
integrando:
dT
dx
= C1
ed integrando nuovamente:
T (x) = C1 x + C2
Si impongono quindi le condizioni al contorno:
T = Ts1 ; per x = 0
T = Ts2 ; per x = L
che permettono di scrivere il sistema:
Ts1 = C2
Ts1 = C1 L + C2
che sostituite nell'equazione integrale restituiscono l'andamento della temperatura:
x
T (x) = (Ts2 − Ts1 ) L
+ Ts1
funzione di x e chiaramente lineare
8
Ricavare l'equazione dell'umidicazione adiabatica e dimostrare
che la trasformazione è approssimabilmente una isoentalpica
Si parte scrivendo il sistema delle equazioni di bilancio; i termini con pedice
2
sono riferiti alla sezione di uscita, mentre quelli con pedice
1
sono riferiti a
quella di ingresso:
•
•
•
•
ma2 h2 − ma1 h1 − ml hl = Q Equazione dell0 energia
•
•
ma2 − ma1 = 0
Conservazione della massa di aria secca
•
•
•
ma2 x2 − ma1 x1 − ml = 0
Conservazione della massa d0 acqua
•
essendo la trasformazione adiabatica si ha
Q = 0 perchè è il calore scambiato
con l'ambiente. Inoltre dall'equazione di conservazione della massa di aria secca:
•
•
•
•
•
ma2 = ma1 ⇒ ma2 = ma1 = ma
e quindi il sistema si può riscrivere ridurre a:
(
•
•
ma (h2 − h1 ) = ml hl
•
•
ma (x2 − x1 ) = ml
ossia:
hl =
h2 −h1
x2 −x1
Essendo le entalpie dell'aria e dell'acqua dello stesso ordine di grandezza,
mentre
x2 − x1 è molto più piccolo (almeno 3
hl , dimostrando che la trasformazione
trascurare
9
ordini di grandezza), si può
è pressochè isoentalpica
Formula della temperatura in funzione del tempo per il raredamento di un corpo omogeneo immerso in un uido a temperatura
costante, ipotizzando i parametri concentrati
Si suppone che la temperatura del corpo sia uniforme e la capacità termica
del uido di rareddamento sia elevata (così da poter considerare
T∞
costante).
Applicando il primo principio della termodinamica:
•
•
−E out = E st
•
dove
•
E out
è la potenza termica uscente dal sistema (quindi negativa) e
E st
la variazione di energia del sistema. Essendo la potenza uscente dovuta a convezione,si può scrivere:
−hAs (T − T∞ ) = ρV c dT
dτ
si applica un cambio di variabile:
dθ
dτ
θ = T − T∞ ⇒
=
dT
dτ
e si può riscrivere il bilancio come:
dθ
dτ
s
= − hA
ρV c
che si risolve per separazione di variabili e si integra:
´θ
dθ
s
= − hA
ρV c
θi θ
s
ln θθi = − hA
ρV c τ
θ
θi
´τ
0
dτ
hAs
= e−[ ρV c ]
e quindi l'andamento della temperatura nel tempo è:
T −T∞
Ti −T∞
hAs
= e−[ ρV c ]
10
Lavoro tecnico per un compressione isoentropica di un gas ideale
Dalla denizione di lavoro tecnico:
´2
1
´2 1
vdp = p1k v1 1 p− k dp
k−1
k−1
k−1 1
k
p2
k
k
k
k
k
− p1
= k−1 p1 v1 p1
−1 =
k−1 p1 v1 p2
lt = −
1
11
k
k−1
RT1
p2
p1
k−1
k
−1
Formula scambio termico radiativo tra due superci nere
Date due superci nere di area
Ei
e
Ej ,
Ai e Aj , temperatura Ti e Tj
e potere emissivo
la potenza termica che lascia la supercie i ed incide sulla supercie j
è:
qi→j = Ebi Ai Fij
mentre la potenza che lascia la suercie j ed incide sulla supercie i vale:
qj→i = Ebj Aj Fji
quindi la potenza netta scambiata sarà semplicemente:
qij = qi→j − qj→i
e sostituendo le espressioni precedenti:
qij = Ebi Ai Fij − Ebj Aj Fji
per la reciprocità si ha
Ai Fij = Aj Fji
qij = Ai Fij (Ebi − Ebj ) = Ai Fij σ
Ti4
12
da cui si ottiene la formula:
− Tj4
Relazione tra coeciente di eetto utile di una pompa di calore
e quello di una macchina frigorifera, supponendo che operino tra le
stesse temperature
Le denizioni sono:
εf r =
Q0
|Ln | ; coeciente di eetto utile frigorifero
εp.c. =
con
Q0
Q1
|Ln | ; coeciente di eetto utile della pompa di calore
calore sottratto nel ciclo alla sorgente fredda,
ciclo alla sorgente calda e
|Ln |
Q1 calore
ceduto nel
lavoro netto speso per il funzionamento del frig-
orifero. Per ricavare la relazione basta mettere a onfronto i due coecienti:
εp.c. =
Q1
|Ln |
=
Q0 +|Ln |
|Ln |
= εf r + 1
13
Ricavare l'equazione di Fourier in coordinate cartesiane per il caso
stazionario
L'equazione permette di ricavare il campo di temperatura di un sistema.
Si fanno le ipotesi di isotropia e indeformabilità del sistema e si considera un
volume di controllo innitesimo interno al sistema.
attraverso le facce del volume di controllo si potranno avere scambi di calore,
ma avendo considerato indeformabile il sistema, il lavoro sarà nullo. Il bilancio
delle potenze è:
•
•
•
•
E in + E out + E g = E st
dove:
•
E in
potenza termica entrante per conduzione (quindi positiva)
•
E out
potenza termica uscente per conduzione (negativa)
•
Eg
potenza termica genereata all'interno del sistema, uniforme nel volume
•
E st
variazione nel tempo dell'energia del sistema
Con riferimento alla schematizzazione iniziale si avrà:
•
E in = qx + qy + qz
•
E out = − (qx+dx + qy+dy + qz+dz )
•
•
•
E g = qg dV = qg dxdydz
14
•
δT
E st = ρdV cv δT
δτ = ρcv δτ dxdydz
e quindi il bilancio diventa:
•
qx + qy + qz − (qx+dx + qy+dy + qz+dz ) + qg dxdydz = ρcv δT
δτ dxdydz
si esprimono quindi le potenze uscenti dal volumedi controllo in funzione di
quelle entranti, mediante una serie di Taylor troncata al secondo termine:
δqx
δx dx
δqy
δx dy
δqz
δz dz
qx+dx = qx +
qy+dy = qy +
qz+dz = qz +
sostituendo nell'espressione precedente e semplicando, il bilancio diventa:
x
− δq
δx dx −
δqy
δx dy
−
δqy
δx dy
•
+ qg dxdydz = ρcv δT
δτ dxdydz
per la legge di Fourier si può scrivere:
qx = −k dydz
qy = −k dxdz
qz = −k dxdy
δT
δx
δT
δy
δT
δz
sostituendo nel bilancio e rielaborando si ottiene l'equazione di Fourier nel
caso stazionario:
δ
δx
k δT
δx +
δ
δy
k δT
δy
+
δ
δz
•
δT
k δT
δz + qg = ρcv δτ
in forma vettoriale:
•
∇ • (k∇T ) + qg = ρcv δT
δτ
Nell'ipotesi di stazionarietà diventa:
δ
δx
k δT
δx +
δ
δy
k δT
δy
+
δ
δz
•
k δT
δz + qg = 0
•
∇ • (k∇T ) + qg = 0
e senza generazione di calore:
δ
δx
k δT
δx +
δ
δy
k δT
δy
+
δ
δz
k δT
δz = 0
e se k è costante:
δ2 T
δx2
+
δ2 T
δy 2
+
δ2 T
δz 2
=0
in termini vettoriali:
∇ • (k∇T ) = 0
∇2 T = 0
che è l'equazione di Fourier in coordinate cartesiane
15
Lavoro di volume di un gas ideale per una trasformazione isoterma
Dalla denizione di lavoro di volume:
l=
´2
1
pdv
equazione dei gas perf etti
=
´
RT dv
v
16
= RT
´2
1
dv
v
= RT ln vv21 = RT ln p21//RT
RT
p
Ricavare la formula del rendimento ideale di un ciclo BraytonJoule in funzione del rapporto di compressione
η=
ln
+
q23
con
lT
pressore,
lT −|lc |
+
q23
=
q−
=1+
41
+
q23
=1−
−
|q41
|
+
q23
lavoro specico ottenuto dalla turbina,
q23
lc
lavoro assorbito dal com-
calore assorbito dal primo scmbiatore (o camera di combustione
per le turbine a gas) e
q41 il
calore ceduto all'ambiente dal secondo scambiatore
(non presente nelle turbine a gas a ciclo aperto). Visto che
+
q23
= h3 − h2 = cp (T3 − T2 )
−
q41
= h1 − h4 = cp (T1 − T4 )
sostituendo nella precedente espressione:
η =1−
T4 −T1
T3 −T2
=1−
T1
T2
T4
T1
T3
T2
−1
−1
per le trasformazioni isoentropiche di compressione ed espansione, posto il
rapporto di compressione
T2
T1
=
T3
T4
rp =
p2
p1 si ha:
k−1
= rp k
girando i primi due membri dell'uguaglianza appena vista:
T4
T1
=
T3
T2
che sostituendo nell'espressione del rendimento trovata:
η =1−
T1
T2
T3
T2
T3
T2
−1
−1
=1−
T1
T2
=1−
1
k−1
rp k
17
Ricavare il calore specico di una politropica
Per le trasformazioni politropiche vale la legge
pv n = cost
, con
n
costante
della politropica
Per una trasformazione quasi statica il calore scambiato vale:
q12 = cv (T2 − T1 ) +
´2
1
pdv
l'integrale vale:
´2
1
pdv =
p2 v2 −p1 v1
1−n
=
R(T2 −T1 )
1−n
ricordando che:
R = cv (k − 1)
e sostituendo gli ultimi due risultati nella prima formula:
q = cv k−n
1−n (T2 − T1 )
da cui si ottiene il calore specico della politropica (ricordando la denizione
di calore specico)
cn = cv k−n
1−n
18
Ricavare l'espressione del bilancio termico radiativo di una supercie grigia diusa
Si considera la supere nella gura sopra; il volume di controllo (indicato con
la tratteggiatura na) coincide con la supercie stessa. Per il primo principio si
avrà che la poenza radiata netta che lascia la supercie sarà:
qi = Ai (Ji − Gi )
dalla denizione della radiosità:
Ji = Ei + ρi Gi ⇒ Gi =
Ji −Ei
ρi
=
Ji −Ei
1−αi
per l'ipotesi di supercie grigia e diusa vale la legge di Kirchho, quindi:
αi = εi
Ei = εi Eb,i
sostituendo nell'espressione dell'irradianza:
Gi =
Ji −εi Eb,i
1−εi
che combinata con l'equazione iniziale:
q i = Ai J i −
il termine
Ji −εi Eb,i
1−εi
=
Ai εi (Eb,i −Ji )
1−εi
=
Eb,i −Ji
1−εi
A1 εi
1−εi
A1 εi si dice resistenza superciale alla radiazione
19
Ricavare l'espressione del primo principio per sistemi aperti
Si considera il sistema aperto della prima gura (nelle restanti due sono
rappresentati i sistemi ausiliari di cui ci si serve per la dimostrazione):
si ssano le sezioni 1 e 2 in modo che almeno in queste vi sia equilibrio
termodinamico.
Quindi si va a considerare prima lo stato termodinamico del
sistema in un istante
τ0
e poi in un istante
τ0 + dτ :
Eτ0 +dτ − Eτ0 = Q − Ltot
dove:
Eτ0 +dτ
E τ0
Q
è l'energia del sistema chiuso ausiliario all'istante
è l'energia del sistema chiuso ausiliario all'istante
è il calore scambiato dal sistema con l'ambiente in
Ltot
τ0 + dτ
τ0
dτ
è il lavoro totale scambiato dal sistema con l'ambiente in
dτ
Per sviluppare i termini di questo bilancio, si denisce una generica energia
associata al sistema aperto
poi
ec
l'energia cinetica,
ep
(ESA )τ0
cui non si pone alcuna limitazione. Posti
l'energia potenziale e
u
l'energia interna, si hanno:
Eτ0 = (u1 + ec1 + ep1 ) dm1 + (ESA )τ0
Eτ0 +dτ = (u2 + ec2 + ep2 ) dm2 + (ESA )τ0 +dτ
sviluppando quest'ultimo termine in serie di Taylor (no al secondo termine,
essendo gli altri innitesimi di ordine superiore) si ha:
(ESA )τ0 +dτ = (ESA )τ0 +
δ
δτ
(ESA )τ0 dτ
sostituendo nell'espressione precedente:
Eτ0 +dτ = (u2 + ec2 + ep2 ) dm2 + (ESA )τ0 +
δ
δτ
(ESA )τ0 dτ
e quindi in quella iniziale:
δ
(u2 + ec2 + ep2 ) dm2 +(ESA )τ0 + δτ
(ESA )τ0 dτ −(u1 + ec1 + ep1 ) dm1 −(ESA )τ0 =
Q − Ltot
(u2 + ec2 + ep2 ) dm2 − (u1 + ec1 + ep1 ) dm1 +
δ
δτ
(ESA )τ0 dτ = Q − Ltot
per quanto riguarda il lavoro:
Ltot = Lt + Lem − |Limm |
dove
uido e
Lt è il lavoro tecnico, Lem è il lavoro fatto dal sistema per espellere il
Limm è il lavoro fatto sul sistema per immettere il uido. Per calcolare
i lavori di immissione ed emissione si consideri la gura seguente:
20
supponendo che le pressioni delle sezioni
distino ad un
dx1 tale
che
1 e 1aus
siano uguali e che le sezioni
dm1 = ρSdx1 :
|Limm | = p1 S1 dx1 = p1 v1 dm1
|Lem | = p2 S2 dx2 = p2 v2 dm2
che sostituite nel bilancio:
(u2 + ec2 + ep2 ) dm2 − (u1 + ec1 + ep1 ) dm1 +
p2 v2 dm2 + p1 v1 dm1
δ
δτ
(ESA )τ0 dτ = Q − Lt −
δ
(u2 + ec2 + ep2 + p2 v2 ) dm2 − (u1 + ec1 + ep1 − p1 v1 ) dm1 + δτ
(ESA )τ0 dτ =
Q − Lt
ricordando che la denizione di entalpia è
•
•
h = u + pv ,
(h2 + ec2 + ep2 ) m2 − (h1 + ec1 + ep1 ) m1 +
21
δ
δτ
e dividento per
•
•
(ESA )τ0 = Q − Lt
dτ
:
Ricavare l'entalpia dell'aria umida
Come noto l'aria umida è una miscela di vari gas e vapor d'acqua. L'entalpia
totale di questa miscela è:
H = ma ha + mv hv
dove i pedici
a indicano l'aria secca ed i pedici v
il vapor d'acqua. dividendo
per la massa di aria secca:
h = ha + xhv
h
J
kg
i
Fissando l'entalpia nulla a
273.15K si può valutare l'entalpia specica dell'aria
secca come:
ha = cpa t = 1.006t ;cpa
calore specico a pressione costante secca dell'aria ,
valore medio
per il vapore invece:
hv = r0 + cpv t = 2501 + 1.875t ; r0 calore
Quindi l'entalpia dell'aria umida vale:
h = 1.006t + (2501 + 1.875t) x
h
kJ
kg
i
22
latente di evaporazione a
0°C
Ricavare il rendimento di un ciclo Otto in funzione del rapporto
di compressione volumetrico
Si deniscono i punti chiave del ciclo Otto:
0
ne espulsione - inizio aspirazione
1
ne aspirazione - inizio compressione
2
ne compressione - inizio combustione
3
ne combustione - inizio espansione
4
ne espansione - inizio scarico
5
ne scarico - inizio espulsione
Il rendimento vale:
η=
ln
+
q23
=
+
−
q23
+q41
+
q23
=1+
−
q41
+
q23
=1−
−
|q41
|
+
q23
sotto le ipotesi di aria standard:
+
q23
= u3 − u2 = cv (T3 − T2 )
−
q41
= u4 − u1 = cv (T1 − T4 )
η =1−
T4 −T1
T3 −T2
=1−
T1
T2
T4
T1
T3
T2
−1
−1
si deniscono quindi:
rT =
rv =
T2
T1 ; rapporto tra le temperature
v4
v1
v2 = v3 ; rapporto volumetrico di compressione
Applicando le trasformazioni dei gas perfetti alle due isoentropiche (1
3−4
T2
T1
) si ha:
=
v1
v2
k−1
= rvk−1 = rT =
v4
v3
k−1
=
T3
T4
⇒
T2
T1
Quindi l'espressione del rendimento si semplica in:
η =1−
T1
T2
=1−
1
rvk−1
23
=
T4
T3
−2
e
Ricavare l'espressione dell'equazione di Clapeyron
E' una relazione che lega il calore latente alle altre grandezze termodinamiche. Si considera un cambiamento di fase da liquido a vapore ed un ciclo
di Carnot innitesimo che operi tra le temperature
T
e
T − dT
si parte dal rendimento di un ciclo di carnot, che vale in questo caso:
ηc =
dL
Q1
=
dT
T1
il lavoro di un ciclo nel piao p-v corrisponde all'area racchiusa dalla curva
rappresentante il ciclo, quindi:
dL ' dp (vv − vl )
sostituendo nella precedente, e ricordando che nel ciclo considerato il calore
assorbito corrisponde a quello latente di evaporazione:
dp(vv −vl )
r
=
dT
T
ed esplicitando
r=
dp
dT T
r
si ricava l'equazione di Clapeyron
(vv − vl )
24
Funzionamento di uno psicrometro di Assman
E' uno strumento che permette di misurare l'umidità relativa di una portata
d'aria.
Costituito da due canali in cui scorre l'aria da misurare, che è mossa
da un ventilatore posto in cima allo strumento (sulla bocca di uscita). In ognuno dei canali è inserito un termometro, uno dei quali ha il bulbo sensore
ricoperto da una garza bagnata.
Si suppone che il termometro con la garza
sia investito da una massa d'aria con una certa umidità relativa. Inizialmente,
se la garza possiede la stessa temperatura dell'aria, non vi è scambio termico.
Appena l'acqua della garza inizia ad evaporare l'insieme termometro - garza si
rareddda, portandosiad unatemperatura infriore a quella dell'aria, quindi l'aria
comincerà a cedere calore alla garza per convezione. Il processo continuerà no
all'equilibrio, quando il calore ceduto per avporazione sarà uguale a quello acquisito per convezione.
la temperatura di equilibrio è detta di bulbo umido.
Nota anche la temperatura di bulbo secco (indicata dall'altro termometro) è
possibile trovare sul diagrama psicrometrico il punto che individua la condizione
di equilibrio del termometro bagnato,
t = tbb
e
ϕ = 100%,
perchè per la miscela
acqua aria la trasformazione è praticamente isoentalpica. Per questo punto si fa
quindi passare l'isoentalpica relativa: l'intersezione dell'isoterma di bulbo secco
con l'isoentalpica, rappresenta la condizione termodinamica della massa di aria
umida che è stata misurata.
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Ricavare l'espressione della temperatura media logaritmica
Si consideri una sezione innitesima di uno scambiatore di calore:
e si formulano le ipotesi di:
Adiabaticità dello scambiatore verso l'esterno
Conduzione assiale trascurabile lungo la parete del tubo
Variazioni trascurabili dell'energia cinetica e potenziale
Calori specici costanti
Trasmittanza costante
Si applica il primo principio ai tre volumi di controllo (tubo caldo, tubo
freddo e scambiatore completo):
•
dq = −mc cp,c dTc = −Cc Tc
•
dq = mf cp,,f dTf = Cf Tf
dq = U ∆T dA
tenendo presente che
∆T = Tc − Tf
e dierenziando:
d (∆T ) = dTc − dTf
sostituendo le due espressioni iniziali:
d (∆T ) = −dq
1
Cc
+
1
Cf
che sostituita nell'equazione dello scambiatore di calore, e integrando dall'ingresso
all'uscita della sezione considerata:
´2
´
2
= −U C1c + C1f 1 dA
= −U A C1c + C1f
T
−T
T −T
= −U A c,i q c,u + f,u q f,i
d(∆T )
∆T
1
2
ln ∆T
∆T1
2
ln ∆T
∆T1
−∆T1
q = U A ∆T2∆T
= U A∆Tml
2
ln
∆T1
e si denisce quindi temperatura media logaritmica il termine:
∆Tml =
∆T2 −∆T1
∆T
ln ∆T2
1
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