Statistica (a.a. 2012/2013) (Lez2B-18 marzo2013) 1) Sia X il carattere continuo "statura" osservato in un collettivo di n. 50 unità, la cui distribuzione di frequenze è fornita dalla prime due colonne della tabella: stature(xi - xi+1) n° unità (ni) 150-160 10 160-170 18 170-180 17 180-190 5 valori centrali (x'i) ni*x'i si calcoli il valore medio della distribuzione. Soluzione Si utilizzi la media aritmetica ponderata ________________________________________________________________________________ 2) Media aritmetica (PROPRIETA’) Sia dato un carattere quantitativo X, valgono le seguenti proprietà: A) La somma algebrica degli scarti di ciascuna osservazione dalla media aritmetica è pari a zero: N nel caso di una serie di dati ∑ ( xi − µ ) = 0 i =1 s nel caso di una distribuzione di frequenze ∑ ( xi − µ ) n i =1 i =0 B) La somma dei quadrati degli scarti di ciascuna osservazione dalla media aritmetica, è invece minore o uguale della somma dei quadrati degli scarti da un qualunque altro numero reale. C) Traslatività. Se a ciascun valore osservato si aggiunge una costante k, la media aritmetica della nuova distribuzione risulterà “traslata” di k rispetto alla distribuzione dei dati iniziali. D) Omogeneità. Se ciascun valore osservato viene moltiplicato per una costante h, la media aritmetica della nuova distribuzione si otterrà moltiplicando per il fattore h la media della distribuzione dei dati iniziali. E) Associativa. Se il collettivo statistico è suddiviso in s sottogruppi di numerosità anche diversa, la media aritmetica è ottenibile dalla media aritmetica delle medie dei singoli gruppi, ponderate con le relative numerosità. Si utilizzi la PROPRIETA’ TRASLATIVA- Lo stipendio medio mensile di 60 dipendenti di un’azienda è risultato nell’anno 2011 pari a € 1.304,00. Se nel 2012 si è registrato un incremento mensile di 80 € sullo stipendio di ciascun dipendente, si calcoli il nuovo stipendio medio mensile. Si utilizzi la PROPRIETA’ DI OMOGENEITA’ – Se i prezzi espressi in euro di 4 beni sono i seguenti: 5,00; 6,00; 8,00; 9,25. Si calcoli il prezzo medio in lire dei medesimi beni. Si utilizzi la PROPRIETA’ ASSOCIATIVA - Determinare il numero medio di chiamate per minuto che passano per una centralina tra le ore 8 e le ore 9, sapendo che tra le ore 8 e le ore 8:20 passano mediamente al minuto 2,1 telefonate, mentre tra le 8:20 e le ore 9 ne passano 5,9. 3) ANALISI DI MERCATO Si vuole conoscere il consumo medio annuo di pane di un certo collettivo, mediante una ricerca diretta sui consumatori. Non sarà opportuno chiedere “Quanto pane consuma in media all’anno”? in quanto la domanda così formulata richiede una stima relativa ad un ampio intervallo di tempo. Si potrà, invece, chiedere: “Quanti giorni Le dura in media 1 Kg di pane”? Supponendo di aver rilevato i seguenti dati: Famiglie F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 TOTALE Durata media in giorni di 1 Kg di pane 1 1 2 2 3 3 4 5 si determini il consumo medio annuo di pane (utilizzando il valore medio appropriato al caso in esame). Soluzione Si utilizzi la media armonica _________________________________________________________________________________ 4) SERIE STORICA Si vuole conoscere il tasso medio di variazione del prezzo del pane (con la media appropriata al caso in esame), disponendo dei seguenti dati: Anni 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Prezzi - € al Kg 1 1,25 1,60 1,75 1,85 1,95 2,10 Soluzione Si utilizzi la media geometrica ____________________________________________________________________________________ 5) MEDIANA. Riprendendo la distribuzione del punto 1): stature(xi - xi+1) n° unità (ni) 150-160 10 160-170 18 170-180 17 180-190 5 Ni si calcoli il valore mediano. Soluzione Determinare le frequenze cumulate, riportando i valori nella terza colonna, e poi applicare la formula utile per il calcolo della mediana nel caso di distribuzioni di frequenze.