Programma dettagliato del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2009 / 10) CL Ingegneria Civile e Ambientale NUMERI REALI : - Assiomi . - Insiemi finiti e non finiti. Estremo superiore ed inferiore. - Proprietà di Archimede - Radici ed esponenziali. PRINCIPIO DI INDUZIONE CALCOLO COMBINATORIO: - Coefficienti binomiali e loro proprietà . - Binomio di Newton. NUMERI COMPLESSI : - Come coppie, in forma algebrica, in forma trigonometrica. - Coniugato, modulo, operazioni algebriche e radici (con dim.) - Teorema fondamentale dell’algebra. TOPOLOGIA : - Gli intorni sferici in R . - Punti interni, di frontiera, di accumulazione, isolati. Insiemi aperti e chiusi, chiusura di un insieme. (esempi in R) LIMITI di successioni - definizione di successione, successioni limitate, monotone, convergenti; verifiche di limiti - reale ampliato; successioni divergenti - teoremi: unicità, permanenza del segno (nei due versi), confronto, limitata x infinitesima = infinitesima (tutti con dimostrazione). - Successioni monotone e teorema ( dim.) - Operazioni nel caso finito e non (con dim.) - Forme indeterminate 1 n - Limiti notevoli ( x n , n a , n n ) con dim. lim (1 ) n e senza dim. - Infinitesimi e infiniti : confronti e graduatoria degli infiniti - Limiti esponenziali e relative forme indeterminate LIMITI DI FUNZIONI - definizione con gli intorni - definizioni nei casi specifici - limite destro e sinistro e relativo Teorema - caratterizzazione sequenziale: esempi in cui il limite non esiste - limiti e operazioni nei casi finiti e non ; teorema di confronto (dedotto da quelli sulle successioni, senza dim.) sin x ln (1 x) a x 1 1 ; lim x 1 ; lim x0 ; lim x0 x x x x x - limiti notevoli lim x0 (con dim) SERIE NUMERICHE: - Serie convergenti, divergenti, indeterminate ed esempi. Condizione necessaria di convergenza - Serie a termini non negativi, criteri di convergenza (con dim). - Serie a segni alterni - La serie geometrica e la serie armonica - Convergenza assoluta. FUNZIONI CONTINUE - Definizione; continuità delle funzioni fondamentali - Continuità dell’inversa e della composizione - Permanenza del segno - Teorema degli zeri (con dim.) e dei valori intermedi (con dim) - Teorema di Weierstrass (no dim) - Confronto tra infiniti e infinitesimi DERIVATE - definizione; derivata destra e sinistra; significato geometrico x - derivata di x ; e ; ; ln x; sen x (con dim) - relazione tra continuità e derivabilità (con dim) - punti di non derivabilità - derivata di somma , prodotto, rapporto (dim.) - derivata della funzione composta (dim), dell’inversa ( dim. ed esempi); derivata delle funzioni esponenziali - derivate successive FUNZIONI DERIVABILI - definizione di max e min locale - Teorema di Fermat (dim); punti stazionari - Teorema di Rolle (dim) ; Teor. di Lagrange (dim) - Ricerca dei max e dei min - Relazioni tra monotonia e segno della derivata (dim) - Teor. di l’Hospital (senza dim.) Funzioni convesse - Definizione di sottinsieme convesso del piano ; epigrafico convesso. - Definizione di funzione convessa (con l’epigrafico e con la disuguaglianza) - Caratterizzazioni delle funzioni convesse derivabili una o due volte (no dim ) - Studio dei punti di max e min tramite f”. - Punti di flesso Formule di Taylor e di McLaurin - Teorema di Taylor (no dim ). Resto nella forma di Peano (pag. 248) Polinomi di McLaurin delle funzioni fondamentali - Applicazioni allo studio dei punti stazionari (pag. 162) e al calcolo di limiti. INTEGRALE DEFINITO - Somme inferiori e superiori - Definizione di integrale di Riemann - Proprietà dell’integrale definito. Condizione necessaria e sufficiente di integrabilità - Condizioni sufficienti di integrabilità Teorema della media integrale per funzioni continue ( con dim) - Teorema fondamentale e formula fondamentale(con dim) - Area INTEGRALE INDEFINITO - Nozione di primitiva; integrale indefinito - Proprietà di linearità - Integrali indefiniti immediati - Integrazione per parti e per sostituzione (con dim) - Integrazione delle funzioni razionali INTEGRALI IMPROPRI - Definizioni - Teoremi di confronto ed esempi Testo di riferimento : P.Marcellini- C.Sbordone “Elementi di Analisi Matematica uno” ed. Liguori