5. Integrali La teoria dell`integrazione in R2 si costruisce a partire

5. Integrali
La teoria dell’integrazione in
R2
si costruisce a partire dalla nozione geometrica di area di un rettangolo.
Def. 1. La misura (o area) del rettangolo R
R = (x, y) ∈ R2 | a ≤ x < b, c ≤ y < d = [a, b[ ×[c, d[
a < b, c < d
è definita come
m(R) = (b − a)(d − c).
La nozione di integrale per funzioni costanti a tratti su una famiglia di rettangoli è altrettanto
naturale.
Def. 2. Sia f : R2 → R una funzione per cui esiste una famiglia finita R1 , . . . , Rn di rettangoli
disgiunti tale che

c
(x, y) ∈ R1


 1
... ...
Ri ∩ Rj = ∅ i 6= j
(1)
f (x, y) =
dove
.
c
(x,
y)
∈
R
c1 , . . . , cn ∈ R

n
n


0
(x, y) 6∈ (R1 ∪ . . . ∪ Rn )
L’integrale di f è definito come
Z
(2)
f (x, y) dxdy = c1 m(R1 ) + . . . + cn m(Rn ).
R2
Le funzioni che soddisfano la (1) sono dette funzioni semplici.
Le funzioni integrabili sono funzioni che si possono approssimare (in modo opportuno) con funzioni
semplici. A tal fine si introduce la nozione di insieme trascurabile.
Def. 3. Un insieme E ⊂ R2 è detto trascurabile (o di misura nulla) se, per ogni > 0, esiste una
famiglia finita o numerabile di rettangoli R1 , . . . , Rn , . . . tale che
E ⊂ R1 ∪ . . . ∪ Rn ∪ . . .
e
∞
X
m(Rn ) ≤ .
n=1
La famiglia di rettangoli che ricopre l’insieme dipende da e, se è costituita da un numero finito di
rettangoli, la serie si riduce ad una somma finita.
La definizione di insieme trascurabile implica che ogni sottoinsieme di un insieme trascurabile è
trascurabile e che l’unione numerabile di insiemi trascurabili è trascurabile.
Esempio 1. Gli insiemi
√ costituiti da√un solo punto A = {(x0 , y0 )} sono trascurabili. Infatti dato
> 0, sia R = [x0 , x0 + [ ×[y0 , y0 + [ . Chiaramente A ⊂ R e m(R) = .
Ne segue che un insieme costituito da una numero finito o numerabile di punti è trascurabile.
Esempio 2. Dato x0 ∈ R, la retta E = (x, y) ∈ R2 | x = x0 è trascurabile. Infatti, dato > 0 sia
n n
2 2n
Rn = [x0 − n , x0 + n [ ×[− , [
m(Rn ) = n
= n
n2
n2
4 4
n2 4
2
S
P∞
P∞ allora E ⊂ n≥1 Rn e n=1 m(Rn ) = n=1 2n = .
Più in generale si può dimostrare che se
x = x(t)
γ:
t∈I
I intervallo
y = y(t)
∀n ≥ 1,
è una curva di classe C 1 , allora la sua traccia A = {(x(t), y(t)) | t ∈ I} è un insieme trascurabile.
1
2
Esempio 3. L’insieme di Dirichelet
[ E = (x, y) ∈ R2 | x ∈ Q, y ∈ R =
(x, y) ∈ R2 | x = x0
x0 ∈Q
è trascurabile poiché è unione numerabile di insiemi trascurabili.
Siamo ora in grado di dare la definizione di funzione integrabile.
Def. 4. Una funzione f : R2 → R si dice (Lebesgue) integrabile se esiste una successione (fn )n≥1 di
funzioni semplici che soddisfa le seguenti due condizioni
(3)
per ogni (x, y) 6∈ E
f (x, y) = lim fn (x, y)
n→+∞
dove E ⊂ R2 è un insieme trascurabile,
e
Z
(4)
per ogni > 0 esiste n ∈ N tale che
|fm (x, y) − fn (x, y)| dxdy ≤ ∀m ≥ n ≥ n.
R2
In tal caso si definisce integrale di f il limite, necessariamente finito,
Z
Z
(5)
f (x, y) dxdy = lim
fn (x, y) dxdy.
n→+∞ R2
R2
La (3) è una condizione di approssimazione di f con funzioni semplici e, se è soddisfatta, si dice
che la funzione f è misurabile. La (4) è una condizione di convergenza la quale garantisce che
il limite (5) esiste finito ed è indipendente dalla scelta della successione che approssima f . Poiché
|fn (x, y) − fm (x, y)| è una funzione semplice, gli integrali in (4) e in (5) sono definiti dalla (2).
La definizione di integrale si estende anche a funzioni definite su sottoinsiemi di R2 .
Def. 5. Sia A ⊂ R2 un insieme.
Una funzione f : A → R è detta integrabile [risp. misurabile] su A se la funzione fb : R2 → R
f (x, y) (x, y) ∈ A
fb(x, y) =
0
(x, y) 6∈ A
è integrabile [risp. misurabile], e si definisce integrale di f su A il valore
Z
Z
f (x, y) dxdy =
fb(x, y) dxdy.
R2
A
In particolare, l’insieme A è detto di misura finita [risp. misurabile] se la funzione 1 ( (f (x, y) = 1 per
ogni (x, y) ∈ A ) è integrabile [risp. misurabile] su A. Se A è di misura finita il valore
Z
m(A) =
1 dxdy.
A
si chiama misura (o area) di A.
Esistono funzioni ed insiemi non misurabili, ma tali esempi sono estremamente patologici. La
totalitità delle funzioni che si incontrano negli esercizi sono misurabili poiché valgono le seguenti
proprietà.
(1) Somma, prodotto e rapporto (purché il denominatore non si annulli) di funzioni misurabili è
misurabile.
(2) Se f è misurabile, allora |f | è misurabile.
(3) Se f è misurabile e f (x, y) = g(x, y) per ogni (x, y) 6∈ E con E trascurabile, allora g è
misurabile.
(4) Se f (x, y) = limn→+∞ fn (x, y) per ogni (x, y) ∈ R2 e le funzioni fn sono misurabili, allora f è
misurabile.
(5) Unione numerabile ed intersezione numerabile di insiemi misurabili è misurabile.
(6) Il complemento di un insieme misurabile è misurabile.
(7) Le funzioni continue sono misurabili.
3
(8) Gli insiemi aperti e chiusi sono misurabili.
La seguente proposizione riassume le principali proprietà dell’integrale.
Prop. 1. Sia A un sottoinsieme di R2 .
(1) Linearità: se f e g sono funzioni integrabili su A ed α, β ∈ R, allora αf + βg è integrabile su
A e vale
Z
Z
Z
(αf (x, y) + βg(x, y)) dxdy = α
f (x, y) dxdy + β
g(x, y) dxdy.
A
A
A
(2) Monotonia: se f e g sono integrabili su A e f (x, y) ≤ g(x, y) per ogni (x, y) ∈ A, allora
Z
Z
f (x, y) dxdy ≤
g(x, y) dxdy.
A
A
R
In particolare, se f è positiva vale A f (x, y) dxdy ≥ 0, e se A è di misura finita vale m(A) ≥ 0.
(3) Disuguaglianza triangolare: se f è integrabile su A, allora |f | è integrabile su A e
Z
Z
|
f (x, y) dxdy| ≤
|f (x, y)| dxdy.
A
A
(4) Additività sui domini: se f è integrabile su A = B ∪ C con B ∩ C = ∅, B e C misurabili,
allora f è integrabile su B e su C e vale
Z
Z
Z
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dxdy +
f (x, y) dxdy.
A
B
C
In particolare, se A ha misura finita, B e C hanno misura finita e vale
m(B) ≤ m(A)
m(A) = m(B) + m(C)
[ m(C) ≤ m(A) ].
(5) Insiemi trascurabili: se A è trascurabile, per ogni funzione f : A → R
Z
f (x, y) dxdy = 0.
A
In particolare, A è trascurabile se e solo se m(A) = 0.
I due teoremi che seguono sono il nucleo della teoria dell’integrazione.
Teo 1 (Teorema della convergenza monotona). Sia (fn )n≥1 una successione crescente [decrescente] di
funzioni definite su A,
f1 (x, y) ≤ f2 (x, y) ≤ . . . ≤ fn (x, y) ≤ fn+1 (x, y) ≤ . . .
∀(x, y) ∈ A,
che converge puntualmente ad f in A,
(6)
∀(x, y) ∈ A.
f (x, y) = lim fn (x, y)
n→+∞
Se le funzioni fn sono integrabili su A ed esiste finito
Z
(7)
lim
fn (x, y) dxdy,
n→+∞ A
allora f è integrabile su A e vale
Z
Z
f (x, y) dxdy = lim
n→+∞ A
A
fn (x, y) dxdy.
R
Poiché A fn (x, y) dxdy n≥1 è una successione numerica monotona, la (7) è equivalente al fatto che
esiste una costante positiva C per cui
Z
|
fn (x, y) dxdy| ≤ C
∀n ≥ 1.
A
4
La condizione (6) non è necessaria (benché facile da verificare). Infatti, la monotonia delle successione
e la (7) implicano che esiste finito
lim fn (x, y)
n→+∞
∀(x, y) ∈ A e x 6∈ E
dove E ⊂ A è un insieme trascurabile
e si definisce f : A → R
(
f (x, y) =
lim fn (x, y) (x, y) ∈ A \ E
n→+∞
(x, y) ∈ E
0
.
Teo 2 (Teorema della convergenza dominata). Sia (fn )n≥1 una successione di funzioni che converge
puntualmente ad f in A ⊂ R2 ,
f (x, y) = lim fn (x, y)
n→+∞
∀(x, y) ∈ A.
Se le funzioni fn sono integrabili su A ed esiste una funzione g positiva ed integrabile tale che
|fn (x, y)| ≤ g(x, y)
∀(x, y) ∈ A,
allora f è integrabile su A e vale
Z
Z
f (x, y) dxdy = lim
fn (x, y) dxdy(x, y).
n→+∞ A
A
Il teorema della convergenza dominata implica, in particolare, il seguente criterio di integrabilità.
Prop. 2 (Criterio del confronto). Sia f una funzione misurabile per cui esiste una funzione positiva
g integrabile su A tale che
|f (x, y)| ≤ g(x, y)
per ogni (x, y) ∈ A,
allora f è integrabile su A.
In particolare, se A è misurabile e limitato ed f è limitata su A, allora A è di misura finita, f è
integrabile su A e vale
Z
f (x, y) dxdy ≤ m(A) sup |f (x, y)|.
A
(x,y)∈A
Dal precedente criterio si ha che
(1) se f è misurabile, allora f è integrabile se e solo se |f | è integrabile;
(2) se A è un insieme chiuso e limitato ed f è continua, allora A è di misura finita, f è integrabile
su A e
Z
m(A)
min f (x, y) ≤
(x,y)∈A
f (x, y) dxdy ≤ m(A) max f (x, y).
A
(x,y)∈A
Le condizioni di limitatezza di A e di f sono condizioni sufficienti, ma non necessarie, per garantire
l’integrabilità come mostra il seguente esempio.
Esempio 4. Mostriamo che è










f (x, y) =









integrabile la funzione f : R2 → R
1
2
...
n
n+1
...
0
1 ≤ x < 23 = 1 + 12 , 0 ≤ y < 1
2 ≤ x < 49 = 2 + 212 , 0 ≤ y < 21
...
n ≤ x < n + 21n , 0 ≤ y < n1
1
n + 1 ≤ x < (n + 1) + 2n+1
, 0≤y<
...
altrove
.
1
n+1
5
Dato n ≥ 1, sia fn : R2 → R

1




 2
fn (x, y) =
...


 n


0
1 ≤ x < 23 = 1 + 21 , 0 ≤ y < 1
2 ≤ x < 94 = 2 + 212 , 0 ≤ y < 12
.
...
1
1
n ≤ x < n + 2n , 0 ≤ y < n
altrove
La successione (fn )≥1 è crescente, converge puntualmente ad f e
Z
1
1
− n+1
1
1
1
fn (x, y) dxdy = + 2 . . . + n = 2 2 1 ≤ 1
2 2
2
1− 2
R2
poiché le fn sono funzioni semplici. Il teorema della convergenza monotona implica che f è integrabile
e
Z
∞
X
1
= 1.
f (x, u) dxdy =
2n
R2
n=1
Tuttavia f non è limitata superiormente e non si annulla al di fuori di un insieme limitato.
Nel teorema della convergenza monotona la condizione che la successione sia monotona non si può
eliminare come mostra il seguente esempio.
Esempio 5. Dato n ≥ 1, sia fn : R2 → R

−1




 1
...
fn (x, y) =


(−1)n



0
1 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 1
2 ≤ x < 3, 0 ≤ y < 12
...
n ≤ x < n + 1, 0 ≤ y <
altrove
.
1
n
Le fn sono funzioni semplici il cui integrale vale
Z
1
(−1)n
fn (x, y) dxdy = −1 + + . . . +
.
2
n
R2
La successione (fn )n≥1 converge puntualmente a f : R2 → R

1 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 1

 −1


1
2 ≤ x < 3, 0 ≤ y < 21




...
 ...
n ≤ x < n + 1, 0 ≤ y < n1
(−1)n
.
f (x, y) =

1
n+1

(−1)
n + 1 ≤ x < n + 2, 0 ≤ y < n+1




.
.
.
.
..



0
altrove
R
P
(−1)n
Benché limn→+∞ R2 fn (x, y) dxdy = ∞
sia finito, la funzione f non è integrabile. Supponian=1
n
mo per assurdo che f sia integrabile. Questo implica che |f | è integrabile e, essendo |fn (x, y)| ≤ |f (x, y)|
per ogni (x, y) ∈ R2 , il teorema della convergenza dominata assicura che esiste finito
Z
Z
∞
X
1
|f (x, y)| dxdy = lim
,
|fn (x, y)| dxdy =
n→+∞ R2
n
R2
n=1
P
1
il che è assurdo poiché la serie ∞
n=1 n diverge a +∞.
Il seguente teorema fornisce una tecnica per calcolare gli integrali.
6
Teo 3 (Formula di riduzione). Sia A un insieme della forma
(8)
A = (x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b], ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)
dove ϕ, ψ : [a, b] → R continue,
ed f : A → R una funzione continua, allora f è integrabile su A e
!
Z
Z b Z ψ(x)
(9)
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dy dx.
A
a
ϕ(x)
Gli insiemi della forma data dalla (8) sono detti insiemi normali rispetto all’asse x, mentre il
secondo membro della (9) si chiama integrale iterato. Per costruzione A è chiuso e limitato, da cui
segue l’integrabilità di f .
Nell’equazione (9), fissato x ∈ [a, b], fx (y) = f (x, y) è una funzione continua della variabile y, quindi
per il teorema fondamentale del calcolo integrale
Z ψ(x)
f (x, y) dy = F (x, ψ(x)) − F (x, ϕ(x)),
ϕ(x)
dove F (x, y) è una primitiva di f (x, y) rispetto ad y, cioè ∂F
∂y (x, y) = f (x, y). Poiché la primitiva
F (x, y) può sempre essere scelta in modo che sia continua, F (x, ψ(x)) − F (x, ϕ(x)) è a sua volta
continua e il teorema fondamentale del calcolo integrale assicura
Z
f (x, y) dxdy = G(b) − G(a)
A
G0 (x)
dove
= F (x, ψ(x)) − F (x, ϕ(x)).
Chiaramente il teorema vale anche per insiemi normali rispetto all’asse y
A = (x, y) ∈ R2 | y ∈ [a, b], ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y) ,
in cui l’ordine di integrazione nell’integrale iterato è scambiato
!
Z
Z b Z ψ(y)
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dx dy.
A
a
ϕ(y)
Esempio 6. L’integrale della funzione continua f (x, y) = x2 + y sull’insieme
A = (x, y) ∈ R2 | y ≥ x2 , y ≤ 1
= (x, y) ∈ R2 | x ∈ [−1, 1], x2 ≤ y ≤ 1
√
√ = (x, y) ∈ R2 | y ∈ [0, 1], − y ≤ x ≤ y ,
che è normale sia rispetto a x sia rispetto a y, vale
1
Z 1
Z
Z 1 Z 1
Z 1
x4
16
1
y 2 4
2
2
2
2
(x +y) dxdy =
(x + ) − (x + ) dx = ,
(x + y)dy dx =
(x y + ) dx =
2 x2
2
2
15
A
−1
−1
x2
−1
oppure
!
!
√y
3
Z 1 3
Z 1
Z
Z 1 Z √y
2
3
x
y
16
(x2 + y)dx dy = 2
( + xy) dy = 2
+ y 2 dy = .
(x2 + y) dxdy =
√
3
3
15
0
0
A
0
− y
0
Il seguente esempio mostra come l’esistenza degli integrali iterati non garantisca l’integrabilità della
funzione
Esempio 7. Sia f (x, y) =
Poiché
x2 −y 2
(x2 +y 2 )2
f (x, y) =
con (x, y) 6= (0, 0) e f (0, 0) = 0.
∂
∂
−x
y
=
∂x (x2 + y 2 )
∂y (x2 + y 2 )
(x, y) 6= (0, 0),
7
allora
Z
1 Z 1
Z
1
1 π
y=1
y
dx
=
arctan
x
= ,
2 + y 2 ) y=0
(x
4
0
0
0
0
ma
Z 1 Z 1
Z 1
1
π
−x x=1
dy
=
−
arctan
y
f (x, y)dx dy =
=− .
2
2
4
0
0
0
0 (x + y ) x=0
La funzione f non è continua in (0, 0) e non è limitata in un intorno di (0, 0) poiché
1
lim f (x, 0) = lim 2 = +∞.
x→0
x→0 x
Il seguente teorema mostra come cambia l’integrale tramite una trasformazione regolare di coordinate.
b ⊂ R2 → R2 una trasformazione regolare di coordinate
Teo 4 (Cambiamento di variabili). Sia Φ : A
b e A = Φ(A)
b
tra gli aperti A
x = x(b
x, yb)
b
Φ:
(b
x, yb) ∈ A.
y = x(b
x, yb)
Se f : A → R vale
Z
Z
f (x(b
x, yb), y(b
x, yb)) |det JΦ (b
x, yb)| db
xdb
y
f (x, y) dxdy =
f (x, y)dy dx =
b
A
A
purché uno dei due integrali esista.
Il seguente esempio mostra il significato geometrico del fattore |det JΦ (b
x, yb)|.
Esempio 8. Sia Φ : R2 → R2 la trasformazione di coordinate lineare
x = ab
x + bb
y
Φ:
y = cb
x + db
y
b = ]0, 1[ × ]0, 1[ il quadrato di vertice l’origine e lato 1,
dove a, b, c, d ∈ R tali che ad − bc 6= 0. Sia A
b è il parallelogramma con vertice l’origine e lati i vettori (a, c) e (b, d). L’area di tale
allora A = Φ(A)
parallelogramma è
Z
Z
Z
m(A) =
1 dxdy =
|det JΦ (b
x, yb)| db
xdb
y=
|ad − bc| db
xdb
y = |ad − bc|,
b
Φ(A)
b
A
b
A
in accordo con la geometria elementare.
Il seguente esempio mostra l’uso combinato del teorema di convergenza monotona e del cambiamento
di coordinate.
Esempio 9. Vogliamo mostrare che
Z
e−(x
2 +y 2 )
dxdy = π.
R2
La funzione f (x, y) = e−(x
2 +y 2 )
è continua e positiva, per cui è integrabile su ogni insieme
Bn = B(O, n) = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ n2 .
bn = [0, n] × [0, 2π],
Sia Φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) la trasformazione di coordinate angolari. Posto B
poiché
◦
cn =B
bn e l’aperto
(1) Φ è una trasformazione regolare di coordinate tra l’aperto A
bn ) = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < n2 \ (x, y) ∈ R2 | x = 0, y ≤ 0 ,
An = Φ(A
bn \ A
cn ) = 0,
(2) m(B
(3) m(Bn \ An ) = 0,
8
il teorema di cambiamento di coordinate e quello su domini normali assicurano
Z n
Z
Z
2
2
2
2 n
2
2
e−r rdrdθ = 2π
e−r rdr = πe−r = π(1 − e−n ).
(10)
e−(x +y ) dxdy =
Posto fn :
Bn
R2 →
bn
B
R
0
0
2
2
e−(x +y ) (x, y) ∈ Bn
fn (x, y) =
0
(x, y) 6∈ Bn
la successione (fn )n≥1 è crescente e converge puntualmente ad f . La (10) implica che le funzioni fn
sono integrabili su R2 e
Z
Z
2
2
2
lim
fn (x, y) = lim
e−(x +y ) dxdy = lim π(1 − e−n ) = π.
n→+∞ R2
n→+∞ B
n
n→+∞
Il teorema della convergenza monotona assicura che f è integrabile e
Z
Z
2
2
−(x2 +y 2 )
e
dxdy = lim
e−(x +y ) dxdy = π.
R2
n→+∞ B
n
Calcolando l’integrale usando la formula di integrazione su domini normali, si ricava che
Z n
Z
Z
Z n
−(x2 +y 2 )
−(x2 +y 2 )
−x2
−y 2
e
dxdy = lim
e
dxdy = lim
e dx
e dy = π
n→+∞ [−n,n]×[−n,n]
R2
da cui
R +∞
−∞
−x2
e
dx =
√
n→+∞
−n
−n
π.
La teoria dell’integrazione si estende in modo naturale a funzioni definite in Rn . In particolare la
misura di un sottoinsieme A di R3 di misura finita si chiama volume
Z
volume(A) = m(A) =
1 dxdydz.
A
Per quanto riguardo il calcolo, il teorema di cambiamento di variabili si estende in modo naturale,
mentre la formula di riduzione dà luogo a due casi.
Teo 5 (Integrazione per fili). Sia A un insieme della forma
3
A = {(x, y, z) ∈ R | (x, y) ∈ D, ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)}
ed f : A → R una funzione continua, allora
Z
Z
(11)
f (x, y, z) dxdydz =
A
Z
dove
!
ψ(x,y)
f (x, y, z) dz
D
ϕ, ψ : D → R continue
,
D ⊂ R2 chiuso e limitato
dxdy.
ϕ(x,y)
Teo 6 (Integrazione per strati). Sia A un insieme della forma
A = {(x, y, z) ∈ Ω | z ∈ [a, b], g(x, y, z) ≤ 0}
dove
ed f : A → R una funzione continua, allora
Z
Z b Z
(12)
f (x, y, z) dxdydz =
A
a
g : Ω → R continua
,
Ω ⊂ R3 chiuso e limitato
f (x, y, z) dxdy dz.
Az
dove, fissato z ∈ [a, b], Az = (x, y) ∈ R2 | (x, y, z) ∈ Ω, g(x, y, z) ≤ 0 ⊂ R2 .
L’insieme Az ⊂ R2 è detto strato di quota c. Nei due teoremi, l’insieme A risulta chiuso e limitato,
per cui f è integrabile e, nella formula di integrazione per strati, Az è chiuso e limitato. Entrambe le
formule (11) e (12) riducono l’integrale triplo ad un integrale iterato, un integrale unidimensionale in dz
ed un integrale doppio in dxdy, che a sua volto può essere ridotto. La differenza consiste nell’ordine
in cui vengono calcolati i due integrali e nel dominio di integrazione. Per entrambe le tecniche di
riduzione, valgono analoghe formule permutando tra di loro le variabili x, y e z.
9
Esempio 10. Calcoliamo il volume del solido
A = {(x, y, z) ∈ R3 | (x − z)2 + (y − z)2 ≤ 1 − z 2 .}
integrando per strati la funzione 1. Posto g(x, y) = (x − z)2 + (y − z)2 + z 2 − 1, per ogni |z| > 1
l’insieme
Az è vuoto, mentre se z ∈ [−1, 1] lo strato Az rappresenta un cerchio di centro (z, z) e raggio
√
1 − z 2 . Poiché
Z
1 dxdy = π(1 − z 2 )
area(Az ) =
Az
si ha
Z
1
Z
volume(A) =
Z
1
1 dxdy dz =
−1
π(1 − z 2 ) dz = 2π(z −
−1
Az
z 3 1 4π
,
=
3 0
3
che è il volume della sfera di raggio 1
B = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.
Questo è conseguenza del principio di Cavalieri: due solidi A e B per cui i corrispondenti strati Az e
Bz hanno la stessa area per ogni z ∈ [a, b] (e lo strato è vuoto se z 6∈ [a, b]) hanno lo stesso volume.
Esempio 11 (Volume di un solido di rotazione). Sia D un sottoinsieme misurabile del semipiano xz
delle x positive
D ⊂ {(x, y, z) ∈ R3 | x ≥ 0 e y = 0}.
Si consideri il solido V ottenuto ruotando D intorno all’asse z di un angolo di 2π
p
V = {(x, y, z) ∈ R3 | ( x2 + y 2 , 0, z) ∈ D}.
Il volume di V è dato dalla formula di Guldino
Z
Z
volume(V ) =
1 dxdydx = 2π
x dxdz = 2πxb area(D)
V
D
dove xb è l’ascissa del baricentro di D visto come insieme bidimensionale nel piano xz. Per dimostrare
il risultato, sia Φ la trasformazione di coordinate cilindriche

 x = r cos θ
y = r sin θ
Φ(r, θ, z) =
r ∈]0, +∞[, θ ∈] − π, π[, z ∈ R.

z = z
La funzione Φ è iniettiva, di classe C 1 e


cos θ −r sin θ 0
det JΦ (r, θ, z) = det  sin θ r cos θ 0  = r > 0,
0
0
1
per cui definisce una trasformazione regolare di coordinate tra gli aperti A =]0, +∞[×] − π, π[×R e
b = R3 \ {(x, y, z) ∈ R3 | y = 0, x ≤ 0}. Il teorema di cambiamento di variabili implica che
A = Φ(A)
Z
Z
Z
1 dxdydx =
1 dxdydx =
r drdθdz
b | (r,0,z)∈D, θ∈]−π,π[}
V
V ∩A
{(r,θ,z)∈A
Z
= 2π
xdxdz
{(x,z)∈R2 | (x,0,z)∈D}
R
{(x,z)∈R2 | (x,0,z)∈D} xdxdz
= 2π
area(D)
area(D)