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Le equazioni
Diapositive riassemblate e rielaborate da
prof. Antonio Manca da materiali offerti
dalla rete.
1
Definizione e caratteristiche
Chiamiamo equazione l’uguaglianza tra due espressioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, che è
verificata solo per particolari valori che vengono attribuiti a tali variabili.
L’espressione che si trova a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro, quella che si
trova a destra si chiama secondo membro.
Le variabili delle due espressioni si chiamano incognite.
ESEMPIO
2x – 3
I membro
= x+1
II membro
Incognita: è la lettera x
Dominio : è l’insieme dei valori che si possono attribuire a x
Soluzione: è il valore di x che rende vera l’uguaglianza
2
Classificazione
Equazioni
Razionali
Irrazionali
Le incognite non
compaiono sotto un
segno di radice
Le incognite compaiono
sotto un segno di radice
Numeriche
letterali
Oltre alle incognite non
compaiono altre lettere
Oltre alle incognite
compaiono altre lettere
Intere
le incognite non
compaiono in un
denominatore
Fratte
Le incognite
compaiono anche nei
denominatori
ne
o
i
z
ua ma
q
r
n’e a fo
u
di nell 0:
l
o
d ra x)= de
a
Gr inte P( rado io
i l g om
È ol i n
p
3
Definizione e caratteristiche
EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI
Un equazione di dominio D si dice:
 determinata se ha un numero finito di soluzioni in D;
 indeterminata se ne ha un numero infinito;
 impossibile se non ha soluzioni in D.
ESEMPI
x–2=3
L’equazione è determinata perché ha come
sola soluzione 5.
1 – 2x = (x – 1)2 – x2
L’equazione è indeterminata perché il primo
membro è sempre uguale al secondo.
x+4=x
L’equazione è impossibile perché non esiste
un valore di x che sommato a 4 dia ancora x.
4
Diversi tipi di equazioni
L’equazione può contenere altre lettere oltre all’incognita; queste lettere si chiamano parametri.
Parametro
Parametro: è una lettera che
compare nell’equazione, ma che si
suppone abbia un valore fisso
anche se non noto a priori.
ax – 2 = 3x + a
Incognita
Incognita: è la lettera di cui si
vuole trovare il valore che
soddisfa l’equazione.
Per convenzione le incognite delle equazioni vengono indicate con le ultime lettere dell’alfabeto
internazionale, quindi x, y, z; i parametri con le prime, quindi a, b, c e così via.
5
Diversi tipi di equazioni
CLASSIFICHIAMO LE EQUAZIONI
 Equazioni numeriche:
oltre alla x, non contengono altre lettere
1+x =
 Equazioni letterali :
oltre alla x contengono anche dei parametri
 Equazioni intere:
l’incognita non compare al denominatore
 Equazioni frazionarie:
l’incognita si trova in almeno uno dei denominatori
2x – 1
3
ax + 2 = (a – 1) x + a
x+1
3
–
x–1
x+1
1
x =
2
–
2x – 1
2x + 3
4
3
=1
6
Principi di equivalenza
Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
ESEMPIO
3x = 6
e
x+3=5
Esse sono diverse nella forma, ma entrambe determinate con la stessa soluzione x = 2:
3x = 6
2
32=6
x+3=5
2
2+3=5
7
Principi di equivalenza
PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Teorema. Se si aggiunge ai due membri di un’equazione una stessa espressione algebrica P, che ha lo
stesso dominio dell’equazione data, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
A
=
B
A + P = B + P
8
Principi di equivalenza
L’applicazione di questo principio ci permette di passare da un’equazione ad un’altra equivalente via via
più semplice, che permette di determinare il valore di x.
2x – 5 = x – 2
Applichiamo il primo principio di equivalenza
Aggiungiamo
+5
ad entrambi i membri
Riduciamo i termini simili
Sottraiamo
x ad entrambi i membri
Riduciamo i termini simili e otteniamo
2x – 5
2x
=
2x
–x
+5
=
x–2
= x+3
–x
+5
x+3
x = +3
che è la soluzione cercata
9
Principi di equivalenza
CONSEGUENZE DEL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Regola del trasporto. Si può spostare un termine da un membro all’altro di un’equazione purché gli si
cambi segno.
Di conseguenza una qualunque equazione si può sempre scrivere nella forma E(x) = 0, dove E(x) è
l’espressione che si ottiene spostando tutti i termini al primo membro.
ESEMPIO
2x + 1 = 4 – x
2x + 1+ x
= 4
2x + 1 + x – 4 = 0
10
Principi di equivalenza
Regola di cancellazione. Se nei due membri di un’equazione compaiono due addendi uguali, uno per
ogni membro, questi possono essere soppressi.
ESEMPIO
2x + 3 = 5x + 3
Sono uguali
2x = 5x
11
Principi di equivalenza
SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Teorema. Se si moltiplicano i due membri per una stessa espressione P, che abbia lo stesso dominio
dell’equazione e che in quel dominio sia sempre diversa da zero, si ottiene un’equazione equivalente a
quella data.
A
A
=
B
P = B
P
12
Principi di equivalenza
CONSEGUENZE DEL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Regola di semplificazione. Si possono semplificare tutti i termini di un’equazione per uno stesso fattore
comune, purché diverso da zero.
ESEMPIO
3x – 6 = 9
Tutti i termini sono divisibili per 3.
3x – 6
9
=
3
3
3
x–2 =3
13
Principi di equivalenza
Regola del cambio dei segni. Se si cambiano i segni a tutti i termini di un’equazione, in entrambi i
membri, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
ESEMPIO
– 2x – 3 = x – 1
2x + 3 = – x + 1
14
Principi di equivalenza
Regola della riduzione a coefficienti interi. Da un’equazione a coefficienti frazionari si può passare ad
un’equazione a coefficienti interi moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. fra i denominatori di tutte
le frazioni.
ESEMPIO
1
1
1
x+ 1 =
x–
3
2
6
6
(
2x + 6
6
) (
=
3x – 1
6
m.c.m. (3, 2, 6) = 6
)
6
2x + 6 = 3x – 1
15
Equazioni numeriche intere
IL GRADO DI UN’EQUAZIONE
Un’equazione intera si può sempre scrivere in forma normale come E(x) = 0, dove E(x) è un polinomio.
Quando un’equazione è scritta in questa forma, si dice grado dell’equazione il grado complessivo del
polinomio E(x). Ad esempio:
2x – 3 = 0
È un’equazione di primo grado.
4x2 – 6x + 3 = 0
È un’equazione di secondo grado.
6x3 – 7x + 1 = 0
È un’equazione di terzo grado.
16
Equazioni numeriche intere
LE EQUAZIONI LINEARI
Un’equazione di primo grado si dice anche lineare ed ha la forma:
ax + b = 0
Termine noto
a è il coefficiente del termine di primo grado, b è il termine noto dell’equazione.
Il dominio di un’equazione lineare è sempre R.
Possiamo dire di avere risolto un’equazione lineare quando riusciamo a scriverla nella forma
x=k
In questo caso diciamo che k è la soluzione e che S={k} è l’insieme delle soluzioni.
17
Equazioni numeriche intere
PROCEDURA DI RISOLUZIONE
ax + b = 0
Data l’equazione
ax = – b
Si porta il termine noto al secondo membro
a≠0
Si analizza il coefficiente a
x=
–
S=
b
–
a
{
a=0
b
a
}
b=0
b≠0
Indeterminata
S=R
Impossibile
S=
18
Esempi
x- 2 + x –5 = 1
3
2
→
2x – 4 + 3x – 15 = 1
6
6 • 5x – 19 = 6
6
5x = 19 + 6
2• (x- 2 ) + 3 • ( x- 5 ) =1
6
→ 5x - 19 = 1
6
→ 5x – 19 = 6
→ 5x = 25
→ 5x = 25
5
5
x = 5 ( è la SOLUZIONE )
19
Esempio
7 - x = 2x+1 – 1-x
3 6
6
2

14 – x = 2x+1 - 3·( 1- x )
6
6
Denominatori uguali ,li sopprimiamo e facciamo i calcoli
14 – x = 2x + 1 – 3 +3x
Trasportiamo i monomi con la x al I°membro e i termini noti
al secondo membro :
-x – 2x –3x =-14 +1 –3 , riduciamo i termini simili :
- 6x = - 16 , dividiamo per il coeff. numerico davanti alla x
-6x = -16 →
x=8
che è la SOLUZIONE
-6
-6
3
20
VERIFICA di un'equazione
Per fare la verifica si calcolano separatamente i valori
che entrambi i membri assumono quando in essi si
sostituisce all’incognita x la soluzione ; se tali valori sono
uguali la soluzione è esatta
ESEMPIO
ESEMPIO
2X – 4 = X + 11 verifico che X = 10 è la SOL.
2
2· 10 – 4 = 10 + 11  20-4=5+11  16 = 16
2
x= 10 è proprio la SOLUZIONE
21
Esempio
10 (x + 2) + 20 = 6 (x - 2) + 22 - x
Soluzione
Verifica
10x+20+20 = 6x - 12 + 22 – x
10 [(-6) + 2] + 20 = 6 [(-6) - 2] + 22 - (6)
10x + x - 6x = -12 + 22 - 20
5x = -30
10 (-6 + 2) + 20 = 6 (-6 - 2) + 22 + 6
5x/5 = -30/5
10 (-4) + 20 = 6 (-8) + 22 + 6
-40 + 20 = - 48 + 22 + 6
x = (-30)/5 = - 6 -20 = -26 +6
-20 = - 20
verificata 22
ESEMPIO
Per risolvere la seguente la seguente equazione
algebrica:
si deve procedere come segue.
(5 x + 1) 2 − 5(2 x + 3) = (5 x − 2)(5 x + 2) − 2 x
1.
Si applicano le regole del calcolo algebrico per eliminare le parentesi e sviluppare i
prodotti notevoli:
25x2 + 1 + 10x – 10x – 15 = 25x2 – 4 – 2x
2.
Si portano tutti i termini contenente l’incognita al primo membro e tutti i termini noti al
secondo membro. Nel passaggio da un membro all’altro si cambia segno (conseguenza
del 1° principio di equivalenza), mentre per i termini che rimangono al loro posto i segni
rimangono invariati:
25/ x + 10/ x − 10/ x − 25/ x + 2 x = − 1 + 15 − 4
2
2
3.
Si riducono, secondo le regole del calcolo algebrico, i termini simili:
2x = 10
4.
Si dividono entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente dell’incognita
(conseguenza del 2° principio di equivalenza): 2/ x 10
x= 5
=
= 5
2/
2
VERIFICA
Per verificare se la soluzione trovata è esatta, bisogna sostituirla al posto della x
nell’equazione di partenza ed ottenere l’uguaglianza tra primo e secondo membro:
(5 x + 1) 2 − 5(2 x + 3) = (5 x − 2)(5 x + 2) − 2 x
(5 ⋅ 5 + 1) − 5(2 ⋅ 5 + 3) = (5 ⋅ 5 − 2)(5 ⋅ 5 + 2) − 2 ⋅ 5
2
676 – 65 = 621 – 10
611 = 611
uguaglianza verificata
Se l’uguaglianza non è verificata, c’è un errore o nella
risoluzione dell’equazione, o nella verifica.
ESEMPIO N. 3
Per risolvere la seguente la seguente equazione algebrica intera:
3
5
3 1
x− 3+ x = − x+ 4
2
4
8 4
si deve procedere come segue.
1.
Si effettua il mcm di tutti i denominatori e le conseguenti operazioni:
12 x − 24 + 10 x 3 − 2 x + 32
=
8
8
2.
Si elimina il mcm moltiplicando entrambi i membri per il mcm (conseguenza del 2° principio
di equivalenza):
12 x − 24 + 10 x 3 − 2 x + 32
8/ ⋅
=
⋅ 8/
8/
8/
3.
Si portano tutti i termini contenente l’incognita al primo membro e tutti i termini noti al
secondo membro. Nel passaggio da un membro all’altro si cambia segno (conseguenza
del 1° principio di equivalenza), mentre per i termini che rimangono al loro posto i segni
rimangono invariati:
12x + 10x + 2x = 24 + 3 + 32
4.
Si riducono, secondo le regole del calcolo algebrico, i termini simili:
24x = 59
5.
Si dividono entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente dell’incognita
(conseguenza del 2° principio di equivalenza):
24/ x 59
=
24/
24
x=
59
24
VERIFICA
Per verificare se la soluzione trovata è esatta, bisogna sostituirla al posto della x
nell’equazione di partenza ed ottenere l’uguaglianza tra primo e secondo membro:
3 59
5 59 3 1 59
⋅
− 3+ ⋅
= − ⋅
+ 4
2 24
4 24 8 4 24
354 − 288 + 295 36 − 59 + 384
=
96/
96/
177
295 3 59
− 3+
= −
+ 4
48
96 8 96
361 = 361 uguaglianza verificata
Se l’uguaglianza non è verificata, c’è un errore o nella risoluzione
dell’equazione, o nella verifica.
Esempio
4 (-3 – x) – 14 (x + 2) + 15 = - 15 – 8x
Soluzione
-12 - 4x - 14x - 28 + 15 = - 15 - 8x
Verifica
4 [-3 - (-1)] - 14 [(-1) + 2] + 15 = - 15 8(-1)
-4x - 14x + 8x = - 15 + 12 + 28 15
4 (-3 +1) - 14 (-1 + 2) + 15 = - 15 + 8
-10x = + 10
4 (-2) - 14 (1) + 15 = - 7
-10x/(-10) = + 10/(-10)
-8 - 14 + 15 = - 7
x = (-10)/(10)
-7 = - 7
x = -1
verificata 27
Vediamo ora qualche esempio di risoluzione di un’equazione di I ° grado
indeterminata:
4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)²
Soluzione
4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)²
4 ∙(x² - 10x + 25) = 4x² - 40x + 100 4x² - 40x + 100 = 4x² - 40x + 100
identità verificata per qualsiasi valore attribuito alla x oppure
riprendendo da
4x² - 40x + 100 = 4x² - 40x + 100
e applicando la regola dell’elisione si ottiene
0=0
quindi, anche in questo caso, indipendentemente dal valore attribuito
all’incognita l’equazione è sempre verificata
28
Esempio
x – 1 + 5 ∙ (x – 3) + (-2)² = 6 ∙ (x – 2)
Soluzione
x – 1 + 5 ∙ (x – 3) + (-2)² = 6 ∙ (x – 2)
x – 1 + 5x – 15 + 4 = 6x – 12
x + 5x – 6x = -12 + 1 + 15 – 4
0=0
anche in questo caso l’equazione è soddisfatta indipendentemente dal
valore attribuito alla x, cioè è soddisfatta da qualsiasi valore di x, dunque
l’equazione è indeterminata
29
Esempio
(5x – 2)² + (5x +2)² = 50 ∙ (x + 2) ∙ (x –2)
Soluzione
(5x – 2)² + (5x +2)² = 50 ∙ (x + 2) ∙ (x –2)
25x² – 20x + 4 + 25x² + 20x + 4 = 50 ∙ (x² - 4)
50x² + 8 = 50x² - 200
8 = - 200
risulta dunque che l’equazione non è mai soddisfatta indipendentemente dal
valore attribuito alla x, cioè nessun valore dato alla x è soluzione dell’equazione.
L’equazione è impossibile
30
Esempio
( x + 1) − 4 = 2 x + ( x − 2) ⋅ ( x + 2) + 1
2
Soluzione
( x + 1) − 4 = 2 x + ( x − 2) ⋅ ( x + 2) + 1
x + 1+ 2x − 4 = 2x + x − 4 + 1
2
2
0x = 0
x/ + 2/ x/ − 2/ x/ − x/ = − 1/ + 4/ − 4/ + 1/
2
2
2
Soluzione indeterminata
Formule prodotti notevoli
Quadrato di un binomio
( a + b ) = a + b + 2ab
Prodotto di due binomi
( a − b ) ⋅ ( a + b) = a − b
2
2
( a − b ) = a + b − 2ab
2
2
2
2
2
2
31
Esempio
( x + 1) − x ⋅ ( x + 3) = 2 ⋅ ( x + 1)
3
2
Soluzione
( x + 1) − x ⋅ ( x + 3) = 2 ⋅ ( x + 1)
3
x + 1 + 3x + 3x − x − 3x = 2 x + 2
2
3
2
2
3
2
x= 1
x/ + 3/ x/ + 3 x − x/ − 3/ x/ − 2 x = 2 − 1
3
3
2
Formule prodotti notevoli
Cubo di un binomio
( a + b ) = a + b + 3a b + 3ab
3
3
3
2
2
( a − b ) = a − b − 3a b + 3ab
3
3
3
2
2
32
Esempio
3x − 1 5 − x
1+ 2x 1
+
= x+ 2−
+
4
2
4
2
Soluzione
3x − 1 5 − x
1 + 2x 1
+
= x+ 2−
+
4
2
4
2
3 x − 1 + 10 − 2 x 4 x + 8 − 1 − 2 x + 2
=
4/
4/
3x − 1 + 10 − 2 x = 4 x + 8 − 1 − 2 x + 2
3x − 2 x − 4 x + 2 x = 1 − 10 + 8 − 1 + 2
− x= 0
x= 0
33
Esempio
 x 1
 x 1 5
2⋅  −  + 5⋅  −  = + x
 3 2
 5 3 8
Soluzione
 x 1
 x 1 5
2⋅  −  + 5⋅  −  = + x
 3 2
 5 3 8
2
5 5
x − 1+ x − = + x
3
3 8
16 x − 24 + 24 x − 40 = 15 + 24 x
16 x = 79
2
2/ 5/
5 5
x− + x− = + x
3
2/ 5/
3 8
16 x − 24 + 24 x − 40 15 + 24 x
=
24/
24/
16 x + 24 x − 24 x = 15 + 24 + 40
x=
79
16
34